A merőleges síkok két sík merőlegességének jele. Sztereometria
Meghatározás. A diéderszög egy a egyenesből és két közös határvonalú a félsíkból alkotott alakzat, amely nem tartozik ugyanahhoz a síkhoz.
Meghatározás. A diéderszög fokmértéke bármely lineáris szögének fokmértéke.
Meghatározás. Két egymást metsző síkot merőlegesnek mondunk, ha a köztük lévő szög 90o.
Két sík merőlegességének jele.
Tulajdonságok.
- Egy téglatestben mind a hat lap téglalap.
- A téglatest minden kétszögű szöge derékszög
- Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.
Feladatok és tesztek a "Téma 7. "Diéderszög. Sík merőlegessége"."
- Kétszögű szög. Sík merőlegessége
- Egyenes és sík merőlegessége - Egyenesek és síkok merőlegessége 10 osztály
Leckék: 1 Feladatok: 10 Kvíz: 1
- Merőleges és ferde. Szög a vonal és a sík között - Egyenesek és síkok merőlegessége 10 osztály
Leckék: 2 Feladatok: 10 Teszt: 1
- Síkpárhuzam - Egyenesek és síkok párhuzamossága 10. fokozat
Leckék: 1 Feladatok: 8 Teszt: 1
- Merőleges vonalak - Geometriai alapinformációk 7. évfolyam
Leckék: 1 Feladatok: 17 Feladat: 1
A téma anyaga összefoglalja és rendszerezi a planimetriából Ön által ismert egyenesek merőlegességére vonatkozó információkat. A térbeli egyenesek és síkok párhuzamossága és merőlegessége közötti kapcsolatra vonatkozó tételek, valamint a merőleges és a ferde anyag vizsgálatát kombinálni kell a planimetriából származó releváns anyag szisztematikus ismétlésével.
Szinte minden számítási probléma megoldása a Pitagorasz-tétel alkalmazására és annak következményeire redukálódik. Sok problémában a Pitagorasz-tétel alkalmazásának lehetőségét vagy annak következményeit a három merőleges tétel vagy a síkok párhuzamosságának és merőlegességének tulajdonságai indokolják.
Ez a lecke segít azoknak, akik képet szeretnének kapni a "Két sík merőlegességének jele" témáról. Ennek elején megismételjük a diéder és a lineáris szög definícióját. Ezután megvizsgáljuk, hogy mely síkokat nevezzük merőlegesnek, és igazoljuk két sík merőlegességének kritériumát.
Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége
Tanulság: Két sík merőlegességének jele
Meghatározás. A diéderszög olyan alakzat, amelyet két nem egy síkhoz tartozó félsík alkot, és ezek közös egyenese a (a egy él).
Rizs. 1
Tekintsünk két α és β félsíkot (1. ábra). Közös határuk l. Ezt az alakzatot diéderszögnek nevezzük. Két egymást metsző sík négy kétszöget alkot közös éllel.
A diéderszöget a lineáris szögével mérjük. A kétszög l közös élén tetszőleges pontot választunk. Az α és β félsíkban ebből a pontból húzunk a és b merőlegeseket az l egyenesre, és megkapjuk a diéderszög lineáris szögét.
Az a és b egyenesek négy szöget alkotnak, amelyek egyenlőek φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Emlékezzünk vissza, hogy ezen szögek közül a legkisebbet vonalak közötti szögnek nevezzük.
Meghatározás. A síkok közötti szög az e síkok által alkotott kétszögek közül a legkisebb. φ - az α és β síkok közötti szög, ha
Meghatározás. Két egymást metsző síkot merőlegesnek (egymásra merőlegesnek) nevezünk, ha a köztük lévő szög 90°.
Rizs. 2
Az l élen egy tetszőleges M pontot választunk (2. ábra). Rajzoljunk két merőleges egyenest MA = a és MB = b az l élre az α síkban, illetve a β síkban. Megkaptuk az AMB szöget. Az AMB szög egy diéderszög lineáris szöge. Ha az AMB szög 90°, akkor az α és β síkokat merőlegesnek mondjuk.
A b egyenes konstrukció szerint merőleges az l egyenesre. A b egyenes merőleges az a egyenesre, mivel az α és β síkok közötti szög 90°. Azt kapjuk, hogy a b egyenes merőleges két egymást metsző a és l egyenesre az α síkból. Ezért a b egyenes merőleges az α síkra.
Hasonlóképpen bebizonyítható, hogy az a egyenes merőleges a β síkra. Az a egyenes konstrukció szerint merőleges az l egyenesre. Az a egyenes merőleges a b egyenesre, mivel az α és β síkok közötti szög 90°. Azt kapjuk, hogy az a egyenes merőleges a β síkból metsző két b és l egyenesre. Ezért az a egyenes merőleges a β síkra.
Ha két sík közül az egyik átmegy a másik síkra merőleges egyenesen, akkor ezek a síkok merőlegesek.
Bizonyít:
Rizs. 3
Bizonyíték:
Az α és β síkok metsszék egymást az AC egyenes mentén (3. ábra). Annak bizonyításához, hogy a síkok egymásra merőlegesek, lineáris szöget kell alkotnia közöttük, és meg kell mutatnia, hogy ez a szög egyenlő 90 ° -kal.
Az AB egyenes a feltétel alapján merőleges a β síkra, és így a β síkban fekvő AC egyenesre is.
Rajzoljuk meg az AD egyenest az AC egyenesre merőlegesen a β síkban. Ekkor a BAD a diéderszög lineáris szöge.
Az AB egyenes merőleges a β síkra, és így a β síkban fekvő AD egyenesre is. Tehát a BAD lineáris szög 90°. Ebből következik, hogy az α és β síkok merőlegesek, amit igazolni kellett.
Az a sík, amely merőleges arra az egyenesre, amely mentén két adott sík metszi egymást, mindegyik síkra merőleges (4. ábra).
Bizonyít:
Rizs. 4
Bizonyíték:
Az l egyenes merőleges a γ síkra, az α sík pedig átmegy az l egyenesen. Ezért a síkok merőlegességének kritériuma alapján az α és γ síkok merőlegesek.
Az l egyenes merőleges a γ síkra, a β sík pedig átmegy az l egyenesen. Ezért a síkok merőlegességének előjele alapján a β és γ síkok merőlegesek.
A LECKE SZÖVEG MAGYARÁZATA:
A térben lévő sík ötlete lehetővé teszi, hogy például egy asztal vagy fal felületét kapja meg. Egy asztalnak vagy falnak azonban véges méretei vannak, és a sík határain túl a végtelenségig terjed.
Tekintsünk két egymást metsző síkot. Amikor metszik egymást, négy kétszöget alkotnak közös éllel.
Emlékezzünk vissza, mi az a kétszög.
A valóságban olyan tárgyakkal találkozunk, amelyek kétszög alakúak: például egy nyitott ajtóval vagy egy félig nyitott mappával.
Két alfa és béta sík metszéspontjában négy diéderszöget kapunk. Legyen az egyik diéder szög egyenlő (phi), akkor a második egyenlő (1800 -), a harmadik, negyedik (1800-).
Tekintsük azt az esetet, amikor az egyik kétszög 900.
Ekkor ebben az esetben minden diéderszög egyenlő 900-al.
Vezessük be a merőleges síkok definícióját:
Két síkot merőlegesnek mondunk, ha a köztük lévő kétszög 90°.
A szigma és az epszilon síkok közötti szög 90 fok, ami azt jelenti, hogy a síkok merőlegesek
Adjunk példákat merőleges síkra.
Fal és mennyezet.
Oldalfal és asztallap.
Fogalmazzuk meg két sík merőlegességének jelét:
TÉTEL: Ha két sík közül az egyik átmegy a másik síkra merőleges egyenesen, akkor ezek a síkok merőlegesek.
Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot.
Feltétel alapján ismert, hogy az AM egyenes az α síkban fekszik, az AM egyenes merőleges a β síkra,
Bizonyítsuk be: az α és β síkok merőlegesek.
Bizonyíték:
1) Az α és β síkok az АР egyenes mentén metszik egymást, míg AM АР, mivel AM β feltétellel, azaz AM merőleges a β síkban fekvő bármely egyenesre.
2) Rajzoljunk egy AT egyenest, amely merőleges az AP-re a β síkban.
Megkapjuk a TAM szöget - a diéderszög lineáris szögét. De a szög TAM = 90°, mivel MA β. Ezért α β.
Q.E.D.
Két sík merőlegességének előjeléből fontos következményünk van:
KÖVETKEZMÉNY: Egy olyan sík, amely merőleges egy olyan egyenesre, amely mentén két sík metszi egymást, merőleges e síkok mindegyikére.
Azaz: ha α∩β=с és γ с, akkor γ α és γ β.
Bizonyítsuk be ezt a következményt: ha a gamma sík merőleges a c egyenesre, akkor a két sík párhuzamossága miatt a gamma merőleges az alfára. Hasonlóképpen, a gamma merőleges a bétára.
Fogalmazzuk meg újra ezt a következményt egy diéderszögre:
A diéderszög lineáris szögén áthaladó sík merőleges ennek a kétszögnek a szélére és lapjaira. Más szóval, ha megszerkesztettünk egy diéderszög lineáris szögét, akkor a rajta áthaladó sík merőleges ennek a kétszögnek az élére és lapjaira.
Adott: ΔABC, C = 90°, AC az α síkban fekszik, az α és ABC síkok közötti szög = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Keresse: távolság B ponttól α síkhoz.
1) Szerkesszük meg a VC α-t. Ekkor a CS a BC vetülete erre a síkra.
2) BC AS (feltétel szerint), tehát a három merőleges tétel (TTP) alapján CS AS. Ezért a VSK az α sík és az ABC háromszög síkja közötti diéderszög lineáris szöge. Vagyis WSC = 60°.
3) A ΔBCA-ból a Pitagorasz-tétel szerint:
Válasz VK egyenlő 6 gyökér három cm
Két sík merőlegességének gyakorlati felhasználása (alkalmazott jellege).
A térbeli merőlegességnek a következők lehetnek:
1. Két egyenes
3. Két sík
Vegyük sorra ezt a három esetet: a hozzájuk kapcsolódó összes definíciót és tételállítást. És akkor megvitatunk egy nagyon fontos tételt három merőlegesről.
Két egyenes merőlegessége.
Meghatározás:
Mondhatni: nekem is megnyitották Amerikát! De ne feledje, hogy az űrben minden nem egészen ugyanaz, mint a repülőn.
Egy síkon csak az ilyen (metsző) egyenesek lehetnek merőlegesek:
De két egyenes térbeli merőlegessége akkor is lehet, ha nem metszik egymást. Néz:
egy egyenes merőleges egy egyenesre, bár nem metszi azt. Hogy hogy? Emlékezzünk a vonalak közötti szög meghatározására: a ferde vonalak és a szög közötti szög meghatározásához vonalat kell húzni az a vonal tetszőleges pontján keresztül. És akkor a és közötti szög (definíció szerint!) egyenlő lesz az és közötti szöggel.
Emlékezett? Nos, a mi esetünkben, ha a és a vonalak merőlegesnek bizonyulnak, akkor a és a vonalakat merőlegesnek kell tekinteni.
Hogy teljesen világos legyen, nézzük meg példa. Legyen egy kocka. És arra kérik, hogy találja meg a és a vonalak közötti szöget. Ezek a vonalak nem metszik egymást – metszik egymást. A és közötti szög meghatározásához rajzoljon.
Annak a ténynek köszönhetően, hogy - egy paralelogramma (és még egy téglalap is!), Kiderül, hogy. És annak a ténynek köszönhetően, hogy - egy négyzet, kiderül, hogy. Nos, ez azt jelenti.
Egyenes és sík merőlegessége.
Meghatározás:
Íme a kép:
egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges az ebben a síkban lévő minden egyenesre: és, és, és, és páros! És még egymilliárd sor!
Igen ám, de hogyan lehet akkor általában ellenőrizni a merőlegességet egyenesben és síkban? Szóval az élet nem elég! De szerencsére a matematikusok megmentettek minket a végtelen rémálmától azáltal, hogy feltalálták egyenes és sík merőlegességének jele.
Megfogalmazzuk:
Nézd meg, milyen nagyszerű:
ha csak két egyenes van abban a síkban, amelyre az egyenes merőleges, akkor ez az egyenes azonnal merőleges lesz a síkra, vagyis a síkban lévő összes egyenesre (beleértve az oldalt álló egyeneseket is) ). Ez egy nagyon fontos tétel, ezért a jelentését diagram formájában is megrajzoljuk.
És nézzük újra példa.
Adjunk egy szabályos tetraédert.
Feladat: ennek bizonyítása. Azt fogja mondani: ez két egyenes! Mi köze az egyenes és a sík merőlegességének ehhez?!
De nézd:
jelöljük meg az él közepét és rajzoljuk és. Ezek a mediánok és. A háromszögek szabályos és.
Íme, egy csoda: kiderül, hogy, valamint. És tovább, a síkban lévő összes egyeneshez, és innen, és. Bizonyított. És a legfontosabb pont az egyenes és a sík merőlegessége jelének használata volt.
Amikor a síkok merőlegesek
Meghatározás:
Azaz (további részletekért lásd a „diéderszög” témakört), két sík (s) merőleges, ha kiderül, hogy a két merőleges (s) szöge e síkok metszésvonalával egyenlő. És van egy tétel, amely összeköti a merőleges síkok fogalmát a merőlegesség fogalmával egy egyenes és egy sík terében.
Ezt a tételt ún
A síkok merőlegességének kritériuma.
Fogalmazzuk meg:
Mint mindig, az "akkor és csak akkor" szavak dekódolása így néz ki:
- Ha, akkor átmegy a merőlegesen.
- Ha átmegy a merőlegesen, akkor.
(természetesen itt és vannak repülők).
Ez a tétel az egyik legfontosabb a sztereometriában, de sajnos az egyik legnehezebben alkalmazható.
Szóval nagyon óvatosnak kell lenni!
Tehát a megfogalmazás:
És megint az "akkor és csak akkor" szavak megfejtése. A tétel egyszerre két dolgot mond (nézd meg a képet):
Próbáljuk meg ezt a tételt alkalmazni a probléma megoldására.
Feladat: szabályos hatszögletű gúla adott. Keresse meg az és a vonalak közötti szöget.
Megoldás:
Tekintettel arra, hogy egy szabályos piramisban a csúcs a vetítés során az alap közepébe esik, kiderül, hogy az egyenes az egyenes vetülete.
De ezt egy szabályos hatszögben tudjuk. Alkalmazzuk a három merőleges tételt:
És írd meg a választ:
VONALAK MÉRŐSÉGE TÉRBEN. RÖVIDEN A FŐRŐL
Két egyenes merőlegessége.
Két egyenes a térben merőleges, ha közöttük szög van.
Egyenes és sík merőlegessége.
Egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges az adott síkban lévő összes egyenesre.
Sík merőlegessége.
A síkok merőlegesek, ha a köztük lévő kétszög egyenlő.
A síkok merőlegességének kritériuma.
Két sík akkor és csak akkor merőleges, ha az egyik átmegy a másik síkra merőlegesen.
Három merőleges tétel:
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?
TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.
A vizsgán nem kérdeznek elméletet.
Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.
És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.
Ahhoz, hogy segítséget kapjon a feladatainkhoz, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
- A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
- Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 899 rubel
Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.
Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.
Következtetésképpen...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.
Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg!
Ha a két sík közül az egyik a másik síkra merőleges egyenesen halad át, akkor az adott síkok merőlegesek () (28. ábra)
α - sík, V egy rá merőleges egyenes, β egy egyenesen átmenő sík V, És Val vel az az egyenes, amely mentén az α és β síkok metszik egymást.
Következmény. Ha egy sík merőleges két adott sík metszésvonalára, akkor merőleges e síkok mindegyikére
1. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a tér bármely pontján keresztül lehetséges két különböző, rá merőleges egyenest húzni.
Bizonyíték:
Az axióma szerint én van egy pont nem a vonalon A. A 2.1 Tétel szerint a ponton keresztül BAN BENés közvetlen Aα sík rajzolható. (29. ábra) A 2.3. Tétel szerint ponton keresztül A az α síkban lehet egyenest húzni A. A C 1 axióma szerint van egy pont VAL VEL, nem tartozik α-hoz. A 15.1 Tétel szerint a ponton keresztül VAL VELés közvetlen Aβ sík rajzolható. A β síkban a 2.3. Tétel szerint az a ponton keresztül egyenest húzhatunk A. Az in és c szerkezetű egyeneseknek csak egy közös pontja van Aés mindkettő merőleges
2. feladat. Két függőlegesen álló, 3,4 m távolságra elválasztott oszlop felső végeit keresztrúd köti össze. Az egyik oszlop magassága 5,8 m, a másik 3,9 m. Határozza meg a keresztrúd hosszát!
AC= 5,8 m, BD= 3,9 m, AB- ? (30. ábra)
AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
A ∆-ből származó Pitagorasz-tétel szerint AEB kapunk:
AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)
AB== 3,9 (m)
Feladatok
Cél. Tanuljon meg elemezni a legegyszerűbb esetekben kölcsönös megegyezés térben lévő objektumok, sztereometrikus feladatok megoldása során használjon planimetrikus tényeket és módszereket.
1. Bizonyítsuk be, hogy a térben egy egyenes bármely pontján keresztül lehet rá merőleges egyenest húzni.
2. Az AB, AC és AD egyenesek páronként merőlegesek. Keresse meg az SD szegmenst, ha:
1) AB = 3 cm , nap= 7 cm, HIRDETÉS= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, HIRDETÉS= 5 cm, nap= 16 cm;
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. Az A pont távol van a oldalú egyenlő oldalú háromszög csúcsaiból A. Határozzuk meg az A pont távolságát a háromszög síkjától!
4. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor minden pontja azonos távolságra van a síktól.
5. Telefonoszlopról 15 m hosszú telefonvezetéket feszítünk ki, ahol a földtől 8 m magasságban van rögzítve, egy házhoz, ahol 20 m magasságban van rögzítve.. Keresse meg a ház közötti távolságot és az oszlopot, feltételezve, hogy a vezeték nem ereszkedik meg.
6. Egy pontból egy síkra húzunk két 10 cm-es és 17 cm-es ferde vetületet, amelyeknek a vetületei között a különbség 9 cm. Határozza meg a ferde vetületeket!
7. Egy pontból két ferde vonalat húzunk egy síkra, amelyek közül az egyik 26 cm-rel nagyobb, mint a másik. A ferdék vetületei 12 cm és 40 cm. Keresse meg a ferdéket!
8. Egy pontból két ferde vonalat húzunk egy síkra. Határozzuk meg a ferdék hosszát, ha 1:2 arányban vannak, és a ferdék vetületei 1 cm és 7 cm.
9. Egy pontból két ferde vonalat húzunk egy síkra, egyenlők 23 cm és 33 cm.
ettől a ponttól a síkig mért távolság, ha a ferde arány vetületei 2:3.
10. Határozza meg az AB szakasz közepe és egy olyan sík távolságát, amely nem metszi ezt a szakaszt, ha az a és B pont és a sík távolsága: 1) 3,2 cm és 5,3 cm, 7,4 cm és 6,1 cm; 3) a és c.
11. Oldja meg az előző feladatot, feltéve, hogy az AB szakasz metszi a síkot.
12. Egy 1 m hosszú szakasz metszi a síkot, végeit 0,5 m és 0,3 m távolságra távolítjuk el a síktól. Határozza meg a szakasz síkra vetítésének hosszát.
13. Az A és B pontból merőlegeseket ejtünk a síkra. Határozzuk meg az A és B pontok közötti távolságot, ha a merőlegesek 3 m és 2 m, az alapjaik távolsága 2,4 m, és az AB szakasz nem metszi a síkot.
14. A két merőleges síkban fekvő A és B pontból az AC és BD merőlegeseket a síkok metszésvonalára ejtjük. Határozza meg az AB szakasz hosszát, ha: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Az ABC egyenlő oldalú háromszög A és B csúcsaiból felállítjuk a háromszög síkjára húzódó AA 1 és BB 1 merőlegeseket. Határozza meg a távolságot a C csúcstól az A 1 B 1 szakasz közepéig, ha AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m és az A 1 B 1 szakasz nem metszi a szakasz síkját háromszög
16. Az ABC derékszögű háromszög hegyesszögeinek A és B csúcsaiból a háromszög síkjára AA 1 és BB 1 merőlegesek vannak felállítva. Keresse meg a távolságot a C tetejétől az A 1 B 1 szegmens közepéig, ha A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m és az A szakasz 1 B 1 nem metszi a háromszög síkját.
