Egyenes szög a geometriában. A szögek fogalma és fajtái Három kidolgozott szög

A tanulók általános iskolában ismerkednek meg a szög fogalmával. De mint bizonyos tulajdonságokkal rendelkező geometriai alakzatot 7. osztálytól kezdik tanulni geometriából. Úgy tűnik, elég egyszerű forma mit lehet elmondani róla. De az új ismeretek megszerzésével az iskolások egyre jobban megértik, hogy meglehetősen érdekes tényeket tudhat meg róla.

Kapcsolatban áll

Mikor tanulmányozzák

Az iskolai geometria tanfolyam két részre oszlik: planimetriára és szilárd geometriára. Mindegyikük nagy figyelmet szentel. adott a sarkoknak:

• A planimetriában alapkoncepciójuk adott, típusaikkal méretbeli megismerkedés történik. Az egyes háromszögtípusok tulajdonságait részletesebben tanulmányozzuk. Új definíciók jelennek meg a diákok számára - ezek geometriai alakzatok, amelyek két vonal metszéspontjában és egy szekáns több vonalának metszéspontjában alakulnak ki.
• A sztereometriában a térbeli szögeket tanulmányozzák - diéderes és triéderes.

Figyelem! Ez a cikk a szögek minden típusát és tulajdonságait tárgyalja a planimetriában.

Definíció és mérés

A tanulás megkezdésekor először határozzuk meg, mi az a szög a planimetriában.

Ha a síkon egy bizonyos pontot veszünk, és két tetszőleges sugarat rajzolunk belőle, egy geometriai alakzatot kapunk - egy szöget, amely a következő elemekből áll:

• a csúcsot - azt a pontot, ahonnan a sugarakat húzták, a latin ábécé nagybetűje jelzi;
• az oldalak felülről félvonalasak.

Az általunk vizsgált ábrát alkotó összes elem felosztja a síkot két rész:

• belső - a planimetriában nem haladja meg a 180 fokot;
• külső.

A szögmérés elve a planimetriában intuitívan magyarázta. Kezdetben a hallgatók megismerkednek a fejlett szög fogalmával.

Fontos! Szöget akkor nevezünk kialakultnak, ha a csúcsából kiinduló félegyenesek egyenest alkotnak. Kibontott szög az összes többi eset.

Ha 180 egyenlő részre osztjuk, akkor egy rész mértékét szokás 10-nek tekinteni. Ebben az esetben azt mondják, hogy a mérés fokokban történik, és egy ilyen szám fokmértéke 180 fok.

Főbb típusok

A szögtípusok olyan kritériumok szerint vannak felosztva, mint a fokmérték, kialakításuk jellege és az alábbi kategóriák.

Méret szerint

A nagyság alapján a szögek a következőkre oszlanak:

• telepítve;
• egyenes;
• tompa;
• fűszeres.

A fentebb bemutattuk, hogy melyik szöget nevezzük kihelyezettnek. Határozzuk meg az egyenes fogalmát.

Megszerezhető a kihelyezett két egyenlő részre osztásával. Ebben az esetben könnyen megválaszolható a kérdés: derékszög, hány fok?

Osszuk el 180 fokot 2-vel, hogy megkapjuk derékszög 90 fok. Ez egy csodálatos ábra, mivel a geometriában sok tény kapcsolódik hozzá.

Ennek is megvannak a maga sajátosságai a megnevezésben. A derékszög ábrázolásához az ábrán nem ív, hanem négyzet jelzi.

Azokat a szögeket, amelyeket egy egyenes tetszőleges sugarának elosztásával kapunk, hegyesnek nevezzük. A dolgok logikája szerint ebből az következik, hogy egy hegyesszög kisebb, mint a derékszög, de a mértéke eltér a 0 foktól. Vagyis 0 és 90 fok közötti értéke van.

A tompaszög nagyobb, mint a derékszög, de kisebb, mint az egyenes szög. Mértéke 90 és 180 fok között változik.

Ez az elem különböző típusú figurákra osztható, kivéve a kiterjesztett.

Függetlenül attól, hogy a nem elforgatott szög hogyan törik meg, mindig a planimetria alapvető axiómáját használják - „a mérés fő tulajdonságát”.

Nál nél a szöget egy sugárral elosztva vagy több, egy adott ábra fokszáma megegyezik azon szögek mértékeinek összegével, amelyekre fel van osztva.

A 7. évfolyam szintjén a szögtípusok nagyságukban ott érnek véget. De az erudíció növelése érdekében hozzátehető, hogy vannak más fajták is, amelyek fokmérője meghaladja a 180 fokot, ezeket konvexnek nevezik.

Ábrák a vonalak metszéspontjában

A következő szögtípusok, amelyekkel a tanulók megismerkednek, a két egyenes metszésénél keletkező elemek. Az egymással szemben elhelyezett figurákat függőlegesnek nevezzük. Megkülönböztető jellemzőjük, hogy egyenrangúak.

Azokat az elemeket, amelyek egyazon vonallal szomszédosak, szomszédosnak nevezzük. A tulajdonságukat leképező tétel azt mondja A szomszédos szögek 180 fokosak.

Elemek egy háromszögben

Ha az ábrát egy háromszög elemének tekintjük, akkor a szögeket belső és külső részekre osztjuk. A háromszöget három szakasz határolja, és három csúcsból áll. A háromszög belsejében lévő szögek minden csúcsban, belsőnek nevezzük.

Ha bármely csúcsban egy belső elemet veszünk, és bármelyik oldalt kiterjesztjük, akkor a kialakult és a belsővel szomszédos szöget külsőnek nevezzük. Ennek az elempárnak a következő tulajdonsága van: összegük 180 fok.

Két egyenes metszéspontja

Vonalmetszés

Ha két egyenes metszi egymást, akkor szögek is keletkeznek, amelyeket általában párban osztanak el. Minden elempárnak saját neve van. Ez így néz ki:

• belső keresztezés: ∟4 és ∟6, ∟3 és ∟5;
• belső egyoldalas: ∟4 és ∟5, ∟3 és ∟6;
• megfelelnek: ∟1 és ∟5, ∟2 és ∟6, ∟4 és ∟8, ∟3 és ∟7.

Abban az esetben, ha a szekáns két egyenest metsz, ezek a szögpárok bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. A belső keresztben fekvő és a megfelelő alakzatok egyenlőek egymással.
2. A belső egyoldalas elemek 180 fokos szöget adnak.

Tanulmányozzuk a szögeket a geometriában, tulajdonságaikat

Szögfajták a matematikában

Következtetés

Ez a cikk bemutatja az összes főbb szögtípust, amely a planimetriában található, és amelyeket a hetedik osztályban tanulmányoznak. Minden további kurzusban az összes figyelembe vett elemre vonatkozó tulajdonságok képezik a geometria további tanulmányozásának alapját. Például a tanulmányozás során fel kell idézni a szekáns két párhuzamos egyenesének metszéspontjában kialakult szögek összes tulajdonságát. A háromszögek jellemzőinek tanulmányozásakor emlékezni kell, hogy melyek a szomszédos szögek. A sztereometriára áttérve minden háromdimenziós figurát tanulmányozunk és planimetrikus ábrák alapján építünk.

Ez a cikk megvizsgálja az egyik fő geometriai formát - a szöget. A fogalom általános bevezetése után az ilyen figurák egy bizonyos típusára fogunk összpontosítani. Az egyenes szög fontos fogalom a geometriában, és ennek a cikknek a középpontjában áll.

Bevezetés a geometriai szög fogalmába

A geometriában számos olyan tárgy van, amelyek minden tudomány alapját képezik. A szög csak rájuk vonatkozik, és a sugár fogalmával határozzák meg, tehát kezdjük vele.

Ezenkívül, mielőtt magának a szögnek a meghatározásához kezdene, emlékeznie kell több, ugyanolyan fontos objektumra a geometriában - ez egy pont, egy egyenes vonal a síkon és maga a sík. Az egyenes vonal a legegyszerűbb geometriai alakzat, amelynek nincs sem eleje, sem vége. A sík olyan felület, amelynek két dimenziója van. Nos, a sugár (vagy egy félegyenes) a geometriában egy olyan egyenes része, amelynek van kezdete, de nincs vége.

Ezekkel a fogalmakkal kijelenthetjük, hogy a szög olyan geometriai alakzat, amely teljesen egy bizonyos síkban fekszik, és két egymáshoz nem illeszkedő, közös eredetű sugárból áll. Az ilyen sugarakat a szög oldalainak nevezzük, és az oldalak közös kezdete a csúcsa.

A szögek típusai és a geometria

Tudjuk, hogy a szögek nagyon eltérőek lehetnek. Ezért az alábbiakban egy kis besorolást adunk, amely segít jobban megérteni a szögek típusait és főbb jellemzőit. Tehát a geometriában többféle szög létezik:

1. Derékszög. 90 fokos érték jellemzi, ami azt jelenti, hogy oldalai mindig merőlegesek egymásra.
2. Éles sarok. Ezek a szögek magukban foglalják az összes képviselőjüket, amelyek mérete kisebb, mint 90 fok.
3. Tompaszög. Itt lehet minden szög 90-180 fok között.
4. Kiterjesztett sarok. Mérete szigorúan 180 fok, oldalai kívülről egy egyenes vonalat alkotnak.

Az egyenes szög fogalma

Most nézzük meg részletesebben a kidolgozott szöget. Ez az eset áll fenn, ha mindkét oldal ugyanazon az egyenesen fekszik, ami jól látható az alábbi ábrán. Ez azt jelenti, hogy bátran kijelenthetjük, hogy egyik oldala valójában a másik folytatása.

Érdemes megjegyezni azt a tényt, hogy egy ilyen szöget mindig fel lehet osztani egy sugár segítségével, amely a csúcsából jön ki. Ennek eredményeként két szöget kapunk, amelyeket a geometriában szomszédosnak nevezünk.

Ezenkívül a kidolgozott szögnek számos jellemzője van. Ahhoz, hogy az elsőről beszélhessen, emlékeznie kell a "szögfelező" fogalmára. Emlékezzünk vissza, hogy ez egy olyan sugár, amely minden szöget szigorúan felére oszt. Ami az egyenes szöget illeti, annak felezője úgy osztja fel, hogy két 90 fokos derékszög keletkezik. Ezt nagyon könnyű matematikailag kiszámítani: 180˚ (egy kiegyenesített szög foka): 2 = 90˚.

Ha a kidolgozott szöget elosztjuk egy teljesen tetszőleges sugárral, akkor ennek eredményeként mindig két szöget kapunk, amelyek közül az egyik hegyes, a másik tompaszögű lesz.

Lapos sarok tulajdonságok

Kényelmes lesz figyelembe venni ezt a szöget, összegyűjtve az összes fő tulajdonságát, amelyet ebben a listában megtettünk:

1. Az egyenes szög oldalai párhuzamosak és egyenes vonalat alkotnak.
2. A kidolgozott szög értéke mindig 180˚.
3. Két szomszédos szög együtt mindig egyenes szöget alkot.
4. A teljes szög, amely 360˚, két kihelyezett szögből áll, és egyenlő ezek összegével.
5. A kiegyenesített szög fele derékszög.

Tehát, ismerve az ilyen típusú szögek összes jellemzőjét, felhasználhatjuk őket számos geometriai probléma megoldására.

Problémák az egyenes sarkokkal

Annak megértéséhez, hogy elsajátította-e az egyenes szög fogalmát, próbáljon meg válaszolni néhány alábbi kérdésre.

1. Mi az egyenes szög, ha az oldalai függőleges vonalat alkotnak?
2. Szomszédos lesz-e két szög, ha az első nagysága 72˚, a másiké 118˚?
3. Ha egy teljes szög két egyenes szögből áll, hány derékszöge van?
4. Az egyenes szöget egy nyaláb két olyan szögre osztja, amelyek fokmértékei 1:4 arányban állnak egymással. Számítsa ki a kapott szögeket!

Megoldások és válaszok:

1. Nem számít, hogyan helyezkedik el az egyenes szög, definíció szerint mindig 180˚.
2. A szomszédos sarkoknak van egy közös oldaluk. Ezért az általuk összeállított szög méretének kiszámításához csak hozzá kell adni a fokmérőik értékét. Tehát 72 +118 = 190. De definíció szerint az egyenes szög 180˚, ami azt jelenti, hogy két adott szög nem lehet szomszédos.
3. Egy egyenes szög két derékszöget tartalmaz. És mivel a teljesben két telepített van, ez azt jelenti, hogy 4 egyenes lesz benne.
4. Ha a kívánt szögeket a-nak és b-nek nevezzük, akkor legyen x ezek arányossági együtthatója, ami azt jelenti, hogy a \u003d x, és ennek megfelelően b \u003d 4x. Az egyenes szög fokban 180˚. Tulajdonságai alapján pedig, hogy egy szög fokszáma mindig egyenlő azon szögek mértékének összegével, amelyekbe az oldalai között áthaladó tetszőleges sugár felosztja, arra a következtetésre juthatunk, hogy x + 4x = 180 ˚, ami azt jelenti, hogy 5x = 180˚. Innen a következőket kapjuk: x=a=36˚ és b = 4x = 144˚. Válasz: 36˚ és 144˚.

Ha sikerült megválaszolnia ezeket a kérdéseket felszólítás nélkül és anélkül, hogy belekukkantott volna a válaszokba, akkor készen áll a következő geometria leckére.

Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk, mi a szög. Először is, másodszor, két sugár alkotja, amelyeket a szög oldalainak nevezünk. Harmadszor, az utóbbi egy pontból jön ki, amelyet a sarok csúcsának neveznek. Ezen jelek alapján definíciót készíthetünk: a szög olyan geometriai alakzat, amely egy pontból (csúcsból) kilépő két sugárból (oldalból) áll.

Fokozatok, egymáshoz és a körhöz viszonyított elhelyezkedésük szerint vannak osztályozva. Kezdjük a szögtípusokkal méretük szerint.

Több fajta is létezik belőlük. Nézzük meg közelebbről az egyes típusokat.

A szögeknek csak négy fő típusa van - derékszögű, tompaszögű, hegyesszögű és fejlett szög.

Egyenes

Ez így néz ki:

Fokmértéke mindig 90 o, vagyis a derékszög 90 fokos szög. Csak olyan négyszögek vannak, mint egy négyzet és egy téglalap.

Tompa

Ez így néz ki:

A fokmérték mindig nagyobb 90 foknál, de kisebb 180 foknál. Előfordulhat olyan négyszögekben, mint rombusz, tetszőleges paralelogramma, sokszögekben.

Fűszeres

Ez így néz ki:

A hegyesszög fokmértéke mindig kisebb, mint 90°. Minden négyszögben előfordul, kivéve a négyzetet és a tetszőleges paralelogrammát.

bevetve

A kiterjesztett szög így néz ki:

Nem sokszögben fordul elő, de nem kevésbé fontos, mint az összes többi. Az egyenes szög egy geometriai alakzat, amelynek fokmérője mindig 180º. Építhet rá úgy, hogy egy vagy több sugarat rajzol a csúcsából bármely irányba.

Számos más másodlagos szögtípus létezik. Az iskolákban nem tanulják, de legalább a létezésükről tudni kell. Csak öt másodlagos szögtípus létezik:

1. Nulla

Ez így néz ki:

Már maga a szög neve is beszél a nagyságáról. Belső területe 0 o, oldalai az ábrán látható módon egymáson fekszenek.

2. Ferde

A ferde lehet egyenes és tompaszögű, valamint hegyes és fejlett szög. Fő feltétele, hogy ne legyen egyenlő 0 o, 90 o, 180 o, 270 o-val.

3. Konvex

A konvexek a nulla, a jobb oldali, a tompa, az éles és a fejlett szögek. Amint már megértette, a konvex szög mértéke 0 o és 180 o között van.

4. Nem domború

A nem konvex szögek 181 o-tól 359 o-ig terjedő fokos szögek.

5. Tele

A 360 fokos szög teljes szög.

Ezek minden típusú szögek méretük szerint. Most vegyük figyelembe típusaikat a síkon egymáshoz viszonyított elhelyezkedésük szerint.

1. Kiegészítő

Ez két hegyesszög, amelyek egy egyenest alkotnak, azaz. összegük 90 o.

2. Kapcsolódó

Szomszédos szögek jönnek létre, ha egy sugarat bármely irányba húzunk egy kihelyezett, pontosabban a tetején keresztül. Összegük 180 o.

3. Függőleges

Függőleges szögek akkor jönnek létre, ha két egyenes metszi egymást. A mértékük egyenlő.

Most térjünk át a körhöz képest elhelyezkedő szögtípusokra. Csak kettő van belőlük: központi és feliratos.

1. Központi

A középső szög az, amelynek csúcsa a kör közepén van. Fokmértéke megegyezik az oldalak által befogott kisebb ív fokszámával.

2. Felírva

Beírt szög az, amelynek csúcsa a körön fekszik, és oldalai metszik azt. Fokmértéke egyenlő annak az ívnek a felével, amelyen nyugszik.

Minden a sarkokról szól. Most már tudja, hogy a geometriában a leghíresebb - éles, tompa, egyenes és kihelyezett - mellett sok más típus is létezik.

A szög egy geometriai alakzat, amely két különböző, egy pontból kiinduló sugárból áll. Ebben az esetben ezeket a sugarakat a szög oldalainak nevezzük. Azt a pontot, amely a sugarak kezdete, a szög csúcsának nevezzük. A képen látható a sarok a csúcsponttal RÓL RŐLés a felek kÉs m.

A sarok oldalain az A és C pontok vannak kijelölve, ezt a sarkot nevezhetjük AOC szögnek. Középen kell lennie annak a pontnak a nevének, ahol a sarokcsúcs található. Vannak más elnevezések is, az O szög vagy a km szög. A geometriában a szög szó helyett gyakran egy speciális ikont írnak.

Elforgatott és nem elforgatott szög

Ha egy szög mindkét oldala ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor ezt a szöget nevezzük bevetve szög. Vagyis a sarok egyik oldala a sarok másik oldalának a folytatása. Az alábbi ábra az O szöget mutatja.

Meg kell jegyezni, hogy bármely szög két részre osztja a síkot. Ha a sarok nincs kitágítva, akkor az egyik részt a sarok belső tartományának, a másikat pedig a sarok külső tartományának nevezzük. Az alábbi ábra egy nem lapított sarkot mutat, és ennek a saroknak a külső és belső területeit jelöli.

Kidolgozott szög esetén a két rész bármelyike, amelyre a síkot felosztja, a szög külső tartományának tekinthető. Egy pont szöghez viszonyított helyzetéről beszélhetünk. A pont lehet a sarkon kívül (a külső régióban), lehet annak egyik oldalán, vagy a sarokban belül (a belső régióban).

Az alábbi ábrán az A pont az O sarkon kívül, a B pont a sarok egyik oldalán, a C pont a sarok belsejében található.

Szögmérés

A szögek mérésére van egy szögmérő nevű eszköz. A szög mértékegysége az fokozat. Meg kell jegyezni, hogy minden szögnek van egy bizonyos mértéke, amely nagyobb nullánál.

A fokmértéktől függően a szögeket több csoportra osztják.