Inverz trigonometrikus függvények és grafikonjaik. Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arctangens? Cikk inverz trigonometrikus függvényei

A matematika és alkalmazásai számos problémájában a trigonometrikus függvény ismert értékéből meg kell találni a szög megfelelő értékét, fokban vagy radiánban kifejezve. Ismeretes, hogy a szinusznak ugyanaz az értéke végtelen sok szögnek felel meg, például ha $\sin α=1/2,$, akkor a $α$ szög egyenlő lehet $30°$ és $150°-kal is, $ vagy radián mértékegységben $π /6$ és $5π/6,$, valamint az ezekből kapott szögek bármelyike, ha hozzáadunk egy $360°⋅k,$ vagy $2πk,$ alakú tagot, ahol a $k$ bármely egész szám. Ez világossá válik, ha figyelembe vesszük a $y=\sin x$ függvény grafikonját az egész számegyenesen (lásd: $1$ ábra): ha egy $1/2$ hosszúságú szakaszt ábrázolunk a $Oy$ tengelyen, és rajzolunk egy A $Ox tengellyel párhuzamos vonal, $, akkor végtelen számú pontban metszi a szinuszost. A válaszok sokféleségének elkerülése érdekében bevezetik az inverz trigonometrikus függvényeket, más néven kör- vagy ívfüggvényeket (a latin arcus szóból - "ív").

A négy alapvető trigonometrikus függvény: $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ és $\mathrm(ctg)\,x$ megfelel a négy $\arcsin x,$ ívfüggvénynek. $\arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ és $\mathrm(arcctg)\,x$ (olvassa: arcsine, arccosine, arctangens, arccotangens). Tekintsük az \arcsin x és \mathrm(arctg)\,x függvényeket, mivel a másik kettőt a következő képletekkel fejezzük ki:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

A $y = \arcsin x$ egyenlőség definíció szerint egy olyan $y,$ szöget jelent radián mértékkel kifejezve, amely a $−\frac(π)(2)$ és $\frac(π)(2) közötti tartományba esik. ,$ szinusz, amely egyenlő: $x,$, azaz $\sin y = x.$ A $\arcsin x$ függvény a $\sin x,$ függvény inverz függvénye a $\left[−\ intervallumon frac(π)(2 ),+\frac(π)(2)\right],$ ahol ez a függvény monoton növekszik és minden értéket felvesz $−1$-tól $+1-ig.$ Nyilvánvalóan az argumentum A $\arcsin x$ függvény $y$-a csak a $\left[−1,+1\right] szegmensből vehet fel értéket.$ Így a $y=\arcsin x$ függvény a szegmensen van definiálva. $\left[−1,+1\right],$ monoton növekszik, és értékei kitöltik a $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\ szegmenst. jobbra].$ A függvény diagramja az ábrán látható. $2.$

A $−1 ≤ a ≤ 1$ feltétel mellett a $\sin x = a$ egyenlet minden megoldását $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1 formában ábrázoljuk. ,± 2, … .$ Például, ha

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$, akkor $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 , … .$

A $y=\mathrm(arcctg)\,x$ reláció a $x$ összes értékére definiálva van, és definíció szerint azt jelenti, hogy a radiánban kifejezett $y,$ szög belül van

$−\frac(π)(2)

és ennek a szögnek az érintője x, azaz $\mathrm(tg)\,y = x.$ A $\mathrm(arctg)\,x$ függvény a teljes valós egyenesen van definiálva, a függvény inverz függvénye $\mathrm( tg)\,x$, amelyet csak az intervallumon veszünk figyelembe

$−\frac(π)(2)

A $y = \mathrm(arctg)\,x$ függvény monoton növekszik, grafikonja a 2. ábrán látható. $3.$

A $\mathrm(tg)\,x = a$ egyenlet minden megoldása felírható $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Vegye figyelembe, hogy az inverz trigonometrikus függvényeket széles körben használják a matematikai elemzésben. Például az egyik első függvény, amelyre végtelen hatványsor-ábrázolást kaptunk, a $\mathrm(arctg)\,x.$ közeli függvény volt.

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos feladatokat gyakran kínálják az iskolai érettségi vizsgákon és egyes egyetemeken a felvételi vizsgákon. A téma részletes tanulmányozása csak tanórán kívüli órákon vagy szabadon választható kurzusokon valósítható meg. A javasolt kurzus célja, hogy a lehető legteljesebb mértékben fejlessze minden hallgató képességeit, javítsa matematikai képzését.

A tanfolyam 10 órás:

1. Az arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x függvényei (4 óra).

2. Inverz trigonometrikus függvények műveletei (4 óra).

3. Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Témakör: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x függvények.

Cél: a probléma teljes körű ismertetése.

1. y függvény \u003d arcsin x.

a) A szegmensen lévő y \u003d sin x függvényhez van egy inverz (egyértékű) függvény, amelyet arcszinusznak hívunk, és a következőképpen jelöljük: y \u003d arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a főfüggvény grafikonjával az I - III koordinátaszögek felezőszöge tekintetében.

Függvénytulajdonságok y = arcsin x .

1) A meghatározás köre: szegmens [-1; egy];

2) Változási terület: vágás ;

3) y függvény = arcsin x páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekvő;

5) A gráf origójában keresztezi az Ox, Oy tengelyeket.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin . Ez a példa részletesen a következőképpen fogalmazható meg: keressünk egy olyan argumentumot a , amely a -tól ig terjedő tartományban található, és amelynek szinusza egyenlő -val.

Döntés. Számtalan érv létezik, amelyek szinusza például: stb. De minket csak az az argumentum érdekel, amely az intervallumon van. Ez az érv lesz. Így, .

2. példa Find .Döntés. Ugyanúgy érvelve, mint az 1. példában, azt kapjuk .

b) szóbeli gyakorlatok. Keresés: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Válaszminta: , mert . Van-e értelme a kifejezéseknek: ; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendbe: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Az y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x függvények (hasonlóan).

2. lecke (2 óra) Témakör: Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik.

Cél: ebben a leckében készségeket kell kifejleszteni a trigonometrikus függvények értékeinek meghatározásában, az inverz trigonometrikus függvények ábrázolásában D (y), E (y) és a szükséges transzformációk segítségével.

Ebben a leckében végezzen gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a definíciós tartomány megtalálását, a következő típusú függvények körét: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Függvénygráfokat kell készíteni: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Példa.Ábrázoljuk y = arccos

A következő gyakorlatokat illesztheti be a házi feladatba: készítsen függvénygrafikonokat: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Inverz függvények grafikonjai

3. lecke (2 óra) Téma:

Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez a fokozott matematikai felkészülési követelményeket támasztó szakokra jelentkezők számára fontos) az inverz trigonometrikus függvények alapvető összefüggéseinek megismertetésével.

Óraanyag.

Néhány egyszerű trigonometrikus művelet inverz trigonometrikus függvényekkel: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? egy; cos (arсcos x) = x, i xi? egy; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Megjegyzés: a gyökér elé vesszük a „+” jelet, mert a = arcsin x teljesíti a .

c) sin (1,5 + arcsin) Válasz:;

d) ctg ( + arctg 3). Válasz: ;

e) tg (- arcctg 4). Válasz: .

f) cos (0,5 + arccos) . Válasz: .

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5) .

Legyen arctg 5 = a, akkor sin 2 a = vagy sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctg , b = arctg ,

akkor tan(a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] valódi arcsin x + arccos x = .

Bizonyíték:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = bűn (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Önálló megoldáshoz: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Otthoni megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

4. lecke (2 óra) Téma: Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: ebben a leckében bemutatni az arányok használatát összetettebb kifejezések transzformációjában.

Óraanyag.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos ), ctg (arccos()).

ÍROTT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

A független munka segít meghatározni az anyag asszimilációs szintjét

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Házi feladathoz felajánlhatja:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) sin (2 arctán); 5) tg ( (arcsin ))

5. lecke (2h) Témakör: Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken.

Cél: a tanulók megértésének kialakítása a trigonometrikus függvényekkel végzett inverz trigonometrikus műveletekről, összpontosítva a tanult elmélet értelmességének növelésére.

A téma tanulmányozása során feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Anyag a leckéhez:

Az y = arcsin (sin x) függvény vizsgálatával és ábrázolásával kezdhetjük el az új anyagok tanulását.

3. Minden x I R y I -hez van társítva, azaz.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) ezen:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Így,

Miután felépítettük y = arcsin (sin x) -re, szimmetrikusan folytatjuk az origót a [- ; 0], figyelembe véve ennek a függvénynek a páratlanságát. A periodicitás segítségével a teljes numerikus tengelyre megyünk tovább.

Ezután írjon le néhány arányt: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És végezze el a következő gyakorlatokat: a) arccos (sin 2) Válasz: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctg (tg 2) Válasz: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Válasz: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Válasz: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctanx; e) arccos + arccos

Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arctangens?

Figyelem!
Vannak további
anyagok be Különleges 555. szakasz.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

A fogalmakhoz arcszinusz, arccosinus, arctangens, arccotangens a hallgatóság óvatos. Nem érti ezeket a kifejezéseket, és ezért nem bízik ebben a dicsőséges családban.) De hiába. Ezek nagyon egyszerű fogalmak. Amik mellesleg nagyban megkönnyítik egy hozzáértő ember életét a döntéskor trigonometrikus egyenletek!

Zavarban van az egyszerűségtől? Hiába.) Itt és most erről fog meggyőződni.

Persze a megértés kedvéért jó lenne tudni mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. igen őket táblázat értékeit bizonyos szögeknél... Legalábbis a legáltalánosabb értelemben. Akkor itt sem lesz gond.

Szóval meglepődünk, de ne feledjük: arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arctangens csak néhány szög. Se több se kevesebb. Van egy szög, mondjuk 30°. És van egy szög arcsin0.4. Vagy arctg(-1.3). Mindenféle szög létezik.) A szögeket egyszerűen különböző módon írhatja fel. A szöget a következőképpen írhatja fel fokok vagy radiánok. Vagy megteheti - szinuszán, koszinuszán, érintőjén és kotangensén keresztül ...

Mit jelent a kifejezés

arcsin 0.4?

Ez az a szög, amelynek szinusza 0,4! Igen igen. Ez az arcszinusz jelentése. Konkrétan megismétlem: arcsin 0,4 olyan szög, amelynek szinusza 0,4.

És ez az.

Hogy ezt az egyszerű gondolatot sokáig a fejemben tartsam, még le is bontom ezt a szörnyű kifejezést - az arcszinust:

ív bűn 0,4
injekció, akinek a szinusza egyenlő 0,4

Ahogy meg van írva, úgy hallatszik.) Majdnem. Előtag ív eszközök ív(szó boltív tudod?), mert az ókori emberek íveket használtak sarkok helyett, de ez nem változtat a dolog lényegén. Emlékezz egy matematikai kifejezés erre az elemi dekódolására! Ráadásul az arc koszinusz, arc tangens és arc tangens esetében a dekódolás csak a függvény nevében tér el.

Mi az az arccos 0.8?
Ez egy szög, amelynek koszinusza 0,8.

Mi az arctan(-1,3)?
Ez egy szög, amelynek érintője -1,3.

Mi az arcctg 12?
Ez egy szög, amelynek kotangense 12.

Egy ilyen elemi dekódolás egyébként lehetővé teszi az epikus baklövések elkerülését.) Például az arccos1,8 kifejezés elég szilárdnak tűnik. Kezdjük a dekódolást: Az arccos1,8 egy olyan szög, amelynek koszinusza 1,8... Hop-hop!? 1.8!? A koszinusz nem lehet nagyobb egynél!

Jobb. Az arccos1,8 kifejezésnek nincs értelme. És ha egy ilyen kifejezést írunk valamelyik válaszba, az nagyon szórakoztatja az ellenőrzőt.)

Elemi, amint látja.) Minden szögnek megvan a maga személyes szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Ezért a trigonometrikus függvény ismeretében magát a szöget is felírhatja. Erre az arcszinuszokat, arckoszinuszokat, arctangenseket és arckotangenseket szánják. Továbbá ezt az egész családot kicsinyítőnek fogom nevezni - ívek. kevesebbet gépelni.)

Figyelem! Elemi verbális és tudatos az ívek megfejtése lehetővé teszi a különféle feladatok nyugodt és magabiztos megoldását. És be szokatlan feladatokat csak ő menti meg.

Át lehet váltani az ívekről a közönséges fokokra vagy radiánokra?- Hallok egy óvatos kérdést.)

Miért ne!? Könnyen. Mehetsz oda és vissza. Sőt, néha erre is szükség van. Az ívek egyszerű dolog, de nélkülük valahogy nyugodtabb, nem?)

Például: mi az arcsin 0.5?

Nézzük a visszafejtést: arcsin 0,5 az a szög, amelynek szinusza 0,5. Most fordítsa a fejét (vagy a Google-t)), és emlékezzen, melyik szög szinusza 0,5? A szinusz 0,5 y 30 fokos szögben. Ennyi a lényeg: arcsin 0,5 egy 30°-os szög. Nyugodtan írhatod:

arcsin 0,5 = 30°

Vagy még pontosabban, radiánban:

Ennyi, elfelejtheted az arcszinust, és a szokásos fokokkal vagy radiánokkal dolgozhatsz tovább.

Ha rájöttél mi az arcszinusz, arkkoszinusz ... Mi az arctangens, arckotangens ... Akkor könnyen megbirkózhatsz például egy ilyen szörnyeteggel.)

Egy tudatlan ember rémülten hátrál, igen...) És egy hozzáértő ne feledje a visszafejtést: az arcszinusz az a szög, amelynek a szinusza... Nos, és így tovább. Ha egy hozzáértő ember is tudja szinusztábla... koszinusztábla. Érintő és kotangens táblázat, akkor nincs semmi probléma!

Elég, ha figyelembe vesszük, hogy:

Megfejtem, i.e. fordítsd le a képletet szavakra: szög, amelynek érintője 1 (arctg1) 45°-os szög. Vagy ami ugyanaz, Pi/4. Hasonlóképpen:

és ennyi... Cseréljük az összes ívet radiánban kifejezett értékekkel, minden lecsökken, hátra van, hogy kiszámoljuk, mennyi lesz 1 + 1. 2 lesz.) Melyik a helyes válasz.

Így lehet (és kell) áttérni az arcszinuszokról, arkoszinuszokról, arctangensekről és arctangensekről a közönséges fokokra és radiánokra. Ez nagyban leegyszerűsíti az ijesztő példákat!

Az ilyen példákban gyakran az ívek belsejében vannak negatívértékeket. Például arctg(-1.3), vagy pl arccos(-0.8)... Ez nem probléma. Íme néhány egyszerű képlet a negatívból a pozitív felé történő átlépéshez:

Mondjuk egy kifejezés értékének meghatározásához:

Ezt meg tudod oldani egy trigonometrikus kör segítségével, de nem akarod megrajzolni. Hát rendben. Indulás innen negatív az ív koszinuszán belüli értékeket pozitív a második képlet szerint:

A jobb oldali arckoszin belsejében már pozitív jelentése. Mit

csak tudnod kell. Marad az ív koszinusz helyett a radiánok helyettesítése és a válasz kiszámítása:

Ez minden.

Korlátozások az arcszinuszra, arccosinera, arctangensre, arccotangensre.

Van-e probléma a 7–9. példákkal? Nos, igen, van valami trükk.)

Mindezek a példák, az 1-től a 9-ig, gondosan sorba rendezve vannak a polcokon 555. §. Mit, hogyan és miért. A titkos csapdákkal és trükkökkel együtt. Plusz módszerek a megoldás drámai egyszerűsítésére. Ez a rész egyébként sok hasznos információt és gyakorlati tippet tartalmaz a trigonometriáról általában. És nem csak a trigonometriában. Sokat segít.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Inverz trigonometrikus függvények(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

Ezek általában 6 funkciót tartalmaznak:

• arcszinusz(szimbólum: arcsin x; arcsin x a szög bűn ami egyenlő azzal x),
• arccosine(szimbólum: arccos x; arccos x az a szög, amelynek koszinusza egyenlő x stb),
• ív érintő(szimbólum: arctg x vagy arctan x),
• ív érintő(szimbólum: arcctg x vagy arccot ​​​​x vagy arccotan x),
• íves(szimbólum: arcsec x),
• arccosecant(szimbólum: arccosec x vagy arccsc x).

Arcsine (y = arcsin x) az inverz függvénye bűn (x = siny . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget bűn.

Ív koszinusz (y = arccos x) az inverz függvénye kötözősaláta (x = cos y kötözősaláta.

Arktangens (y = arctan x) az inverz függvénye tg (x = tgy), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget tg.

Ív érintő (y = arcctg x) az inverz függvénye ctg (x = ctg y), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete. Más szóval, az értékével adja vissza a szöget ctg.

arcsec- arcsekant, visszaadja a szöget a szekáns értékével.

arccosec- arccosecant, a koszekáns értékével adja vissza a szöget.

Ha az inverz trigonometrikus függvény nincs megadva a megadott pontban, akkor értéke nem jelenik meg a kapott táblázatban. Funkciók arcsecés arccosec nincsenek a (-1,1) szegmensen definiálva, hanem ív bűnés arccos csak a [-1,1] intervallumon vannak definiálva.

Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az "ark-" előtag hozzáadásával (a lat. ív minket- ív). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy geometriailag az inverz trigonometrikus függvény értéke egy egységnyi kör ívének hosszához (vagy az ezt az ívet bezáró szöghez) társítja, amely megfelel egy vagy másik szakasznak.

Néha a külföldi szakirodalomban, valamint a tudományos / mérnöki számológépekben olyan jelöléseket használnak, mint pl bűn −1, cos -1 az arcszinuszhoz, arkoszinhoz és hasonlókhoz - ez nem tekinthető teljesen pontosnak, mert valószínűleg összetéveszthető egy funkció hatalommá emelésével −1 (« −1 » (mínusz az első hatvány) határozza meg a függvényt x=f-1(y), a függvény inverze y=f(x)).

Inverz trigonometrikus függvények alapvető összefüggései.

Itt fontos odafigyelni, hogy milyen intervallumokra érvényesek a képletek.

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek.

Jelölje át az inverz trigonometrikus függvények bármelyik értékét Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​xés tartsa meg a jelölést: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x fő értékeik számára, akkor a köztük lévő viszonyt olyan kapcsolatok fejezik ki.