arcsin sinx gráf. Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik és képleteik

Inverz trigonometrikus függvények(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

Arcsine(jelölése: arcsin x; arcsin x a szög bűn egyenlő vele x).

Arcsine (y = arcsin x) - inverz trigonometrikus függvény bűn (x = siny), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget bűn.

Funkció y=sin x folytonos és a teljes számegyenese mentén korlátos. Funkció y=arcsin x- szigorúan növeli.

Az arcsin függvény tulajdonságai.

arcszinusz gráf.

Szerezd meg az arcsin függvényt.

Legyen funkciója y = sin x. A teljes definíciós tartományában darabonként monoton, tehát a fordított megfeleltetés y = arcsin x nem függvény. Ezért azt a szegmenst vesszük figyelembe, amelyen csak növekszik, és felveszi a - tartomány minden értékét. Mert funkcióhoz y = sin x az intervallumon a függvény összes értékét az argumentum egyetlen értékével kapjuk meg, ami azt jelenti, hogy ezen a szegmensen van egy inverz függvény y = arcsin x, melynek gráfja szimmetrikus a függvény grafikonjára y = sin x egy vonalszakaszon y=x.

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos feladatokat gyakran kínálják az iskolai érettségi vizsgákon és egyes egyetemeken a felvételi vizsgákon. A téma részletes tanulmányozása csak tanórán kívüli órákon vagy szabadon választható kurzusokon valósítható meg. A javasolt kurzus célja, hogy a lehető legteljesebb mértékben fejlessze minden hallgató képességeit, javítsa matematikai képzését.

A tanfolyam 10 órás:

1. Az arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x függvényei (4 óra).

2. Inverz trigonometrikus függvények műveletei (4 óra).

3. Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Témakör: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x függvények.

Cél: a probléma teljes körű ismertetése.

1. y függvény \u003d arcsin x.

a) A szegmensen lévő y \u003d sin x függvényhez van egy inverz (egyértékű) függvény, amelyet arcszinusznak hívunk, és a következőképpen jelöljük: y \u003d arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a főfüggvény grafikonjával az I - III koordinátaszögek felezőszöge tekintetében.

Függvénytulajdonságok y = arcsin x .

1) A meghatározás köre: szegmens [-1; egy];

2) Változási terület: vágás ;

3) y függvény = arcsin x páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekvő;

5) A gráf origójában keresztezi az Ox, Oy tengelyeket.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin . Ez a példa részletesen a következőképpen fogalmazható meg: keressünk egy olyan argumentumot a , amely a -tól ig terjedő tartományban található, és amelynek szinusza egyenlő -val.

Döntés. Számtalan érv létezik, amelyek szinusza például: stb. De minket csak az az argumentum érdekel, amely az intervallumon van. Ez az érv lesz. Így, .

2. példa Find .Döntés. Ugyanúgy érvelve, mint az 1. példában, azt kapjuk .

b) szóbeli gyakorlatok. Keresés: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Válaszminta: , mert . Van-e értelme a kifejezéseknek: ; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendbe: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Az y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x függvények (hasonlóan).

2. lecke (2 óra) Témakör: Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik.

Cél: ebben a leckében készségeket kell kifejleszteni a trigonometrikus függvények értékeinek meghatározásában, az inverz trigonometrikus függvények ábrázolásában D (y), E (y) és a szükséges transzformációk segítségével.

Ebben a leckében végezzen gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a definíciós tartomány megtalálását, a következő típusú függvények körét: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Függvénygráfokat kell készíteni: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Példa.Ábrázoljuk y = arccos

A következő gyakorlatokat illesztheti be a házi feladatba: készítsen függvénygrafikonokat: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Inverz függvények grafikonjai

3. lecke (2 óra) Téma:

Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez a fokozott matematikai felkészülési követelményeket támasztó szakokra jelentkezők számára fontos) az inverz trigonometrikus függvények alapvető összefüggéseinek megismertetésével.

Óraanyag.

Néhány egyszerű trigonometrikus művelet inverz trigonometrikus függvényekkel: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? egy; cos (arсcos x) = x, i xi? egy; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Megjegyzés: a gyökér elé vesszük a „+” jelet, mert a = arcsin x teljesíti a .

c) sin (1,5 + arcsin) Válasz:;

d) ctg ( + arctg 3). Válasz: ;

e) tg (- arcctg 4). Válasz: .

f) cos (0,5 + arccos) . Válasz: .

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5) .

Legyen arctg 5 = a, akkor sin 2 a = vagy sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctg , b = arctg ,

akkor tan(a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] valódi arcsin x + arccos x = .

Bizonyíték:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = bűn (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Önálló megoldáshoz: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Otthoni megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

4. lecke (2 óra) Téma: Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: ebben a leckében bemutatni az arányok használatát összetettebb kifejezések transzformációjában.

Óraanyag.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos ), ctg (arccos()).

ÍROTT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

A független munka segít meghatározni az anyag asszimilációs szintjét

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Házi feladathoz felajánlhatja:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) sin (2 arctán); 5) tg ( (arcsin ))

5. lecke (2h) Témakör: Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken.

Cél: a tanulók megértésének kialakítása a trigonometrikus függvényekkel végzett inverz trigonometrikus műveletekről, összpontosítva a tanult elmélet értelmességének növelésére.

A téma tanulmányozása során feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Anyag a leckéhez:

Az y = arcsin (sin x) függvény vizsgálatával és ábrázolásával kezdhetjük el az új anyagok tanulását.

3. Minden x I R y I -hez van társítva, azaz.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) ezen:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Így,

Miután felépítettük y = arcsin (sin x) -re, szimmetrikusan folytatjuk az origót a [- ; 0], figyelembe véve ennek a függvénynek a páratlanságát. A periodicitás segítségével a teljes numerikus tengelyre megyünk tovább.

Ezután írjon le néhány arányt: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És végezze el a következő gyakorlatokat: a) arccos (sin 2) Válasz: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctg (tg 2) Válasz: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Válasz: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Válasz: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctanx; e) arccos + arccos

A sin, cos, tg és ctg függvényeket mindig egy arcszinusz, arccosinusz, arctangens és arckotangens kíséri. Az egyik a másik következménye, és a függvénypárok ugyanolyan fontosak a trigonometrikus kifejezésekkel való munka során.

Tekintsük egy egységkör rajzát, amely grafikusan jeleníti meg a trigonometrikus függvények értékeit.

Ha kiszámítja az OA, arcos OC, arctg DE és arcctg MK íveket, akkor mindegyik egyenlő lesz az α szög értékével. Az alábbi képletek a fő trigonometrikus függvények és a hozzájuk tartozó ívek közötti kapcsolatot tükrözik.

Ahhoz, hogy jobban megértsük az arcszinusz tulajdonságait, figyelembe kell venni a funkcióját. Menetrend a koordináták középpontján átmenő aszimmetrikus görbe alakja van.

Arcsine tulajdonságai:

Ha grafikonokat hasonlítunk össze bűnés ív bűn, két trigonometrikus függvény találhat közös mintákat.

Ív koszinusz

Az a szám Arccos az α szög értéke, melynek koszinusza egyenlő a-val.

Ív y = arcos x tükrözi az arcsin x diagramját, azzal az egyetlen különbséggel, hogy átmegy az OY tengely π/2 pontján.

Tekintsük az arccosine függvényt részletesebben:

1. A függvény a [-1; egy].
2. ODZ for arccos - .
3. A grafikon teljes egészében az I. és II. negyedben található, és maga a függvény sem páros, sem nem páratlan.
4. Y = 0 x = 1 esetén.
5. A görbe teljes hosszában csökken. Az arc koszinusz egyes tulajdonságai megegyeznek a koszinuszfüggvénnyel.

Az arc koszinusz egyes tulajdonságai megegyeznek a koszinuszfüggvénnyel.

Lehetséges, hogy az „ívek” ilyen „részletes” tanulmányozása feleslegesnek tűnik az iskolások számára. Ellenkező esetben azonban néhány elemi tipikus USE feladat zsákutcába vezetheti a tanulókat.

1. Feladat. Adja meg az ábrán látható funkciókat.

Válasz: rizs. 1-4, 2-1 ábra.

Ebben a példában az apróságokon van a hangsúly. Általában a tanulók nagyon figyelmetlenek a grafikonok felépítésére és a függvények megjelenésére. Valóban, minek memorizálni a görbe formáját, ha az mindig kiszámított pontokból felépíthető. Ne felejtse el, hogy a teszt feltételei között az egyszerű feladat rajzolására fordított idő bonyolultabb feladatok megoldásához szükséges.

Arktangens

Arctg az a szám az α szög olyan értéke, hogy az érintője egyenlő a-val.

Ha figyelembe vesszük az arctangens diagramját, a következő tulajdonságokat különböztethetjük meg:

1. A gráf végtelen, és a (- ∞; + ∞) intervallumon van definiálva.
2. Az arktangens páratlan függvény, ezért arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 x = 0 esetén.
4. A görbe a teljes definíciós tartományon növekszik.

Adjuk meg a tg x és arctg x rövid összehasonlító elemzését táblázat formájában.

Ív érintő

Az a - szám Arcctg-je olyan α értéket vesz fel a (0; π) intervallumból, hogy a kotangense egyenlő a-val.

Az ívkotangens függvény tulajdonságai:

1. A függvénydefiníciós intervallum a végtelen.
2. A megengedett értékek tartománya a (0; π) intervallum.
3. F(x) nem páros és nem páratlan.
4. A függvény grafikonja a teljes hosszában csökken.

A ctg x és az arctg x összehasonlítása nagyon egyszerű, mindössze két rajzot kell rajzolnia, és le kell írnia a görbék viselkedését.

2. feladat. Korrelálja a grafikont és a függvény alakját!

Logikusan a grafikonok azt mutatják, hogy mindkét függvény növekszik. Ezért mindkét ábra valamilyen arctg függvényt jelenít meg. Az arctangens tulajdonságaiból ismert, hogy x = 0 esetén y=0,

Válasz: rizs. 1-1. ábra. 2-4.

Trigonometrikus azonosságok arcsin, arcos, arctg és arcctg

Korábban már azonosítottuk az ívek és a trigonometria fő funkciói közötti kapcsolatot. Ez a függőség számos képlettel kifejezhető, amelyek lehetővé teszik például egy argumentum szinuszának kifejezését az arcszinuszán, arccosinusán keresztül vagy fordítva. Az ilyen azonosságok ismerete hasznos lehet konkrét példák megoldásában.

Vannak arányok az arctg és arcctg számára is:

Egy másik hasznos képletpár beállítja az azonos szög arcsin és arcos, valamint arcctg és arcctg értékeinek összegét.

Példák problémamegoldásra

A trigonometriai feladatok feltételesen négy csoportra oszthatók: számítsuk ki egy adott kifejezés számértékét, ábrázoljuk egy adott függvényt, keressük meg a definíciós tartományát vagy az ODZ-t, és végezzünk analitikus transzformációkat a példa megoldásához.

Az első típusú feladatok megoldása során a következő cselekvési tervet kell betartani:

Függvénygráfokkal való munka során a legfontosabb a tulajdonságaik ismerete és a görbe megjelenése. A trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásához azonosságtáblázatokra van szükség. Minél több képletre emlékszik a tanuló, annál könnyebben találja meg a választ a feladatra.

Tegyük fel, hogy a vizsgán egy ilyen típusú egyenletre kell választ találni:

Ha helyesen alakítja át a kifejezést és hozza a kívánt formába, akkor a megoldása nagyon egyszerű és gyors. Először vigyük az arcsin x-et az egyenlet jobb oldalára.

Ha emlékszünk a képletre arcsin (sinα) = α, akkor a válaszkeresést lecsökkenthetjük egy két egyenletrendszer megoldására:

Az x modell megszorítása ismét az arcsin tulajdonságaiból adódik: ODZ x [-1; egy]. Ha a ≠ 0, a rendszer egy része egy másodfokú egyenlet, amelynek gyöke x1 = 1 és x2 = - 1/a. Ha a = 0, akkor x egyenlő lesz 1-gyel.

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, a velük fordított függvények nem egyértékűek. Tehát az y = egyenlet bűn x, for adott , végtelenül sok gyökere van. Valóban, a szinusz periodicitása miatt, ha x ilyen gyök, akkor x + 2n(ahol n egész szám) lesz az egyenlet gyöke is. És így, az inverz trigonometrikus függvények többértékűek. A velük való munka könnyebbé tétele érdekében bemutatjuk fő értékeik fogalmát. Tekintsük például a szinust: y = bűn x. Ha az x argumentumot az intervallumra korlátozzuk, akkor rajta az y = függvény bűn x monoton növekszik. Ezért van egy egyértékű inverz függvénye, amelyet arcszinusznak nevezünk: x = arcsin y.

Hacsak másképp nem jelezzük, az inverz trigonometrikus függvények a főértékeiket jelentik, amelyeket a következő definíciók határoznak meg.

Arcsine ( y= arcsin x) a szinusz inverz függvénye ( x= siny
ív koszinusz ( y= arccos x) a koszinusz inverz függvénye ( x= kényelmes), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete.
Arktangens ( y= arctg x) az érintő inverz függvénye ( x= tg y), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete.
ív érintő ( y= arcctg x) a kotangens inverz függvénye ( x= ctg y), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete.

Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai

Az inverz trigonometrikus függvények grafikonjai a trigonometrikus függvények grafikonjaiból származnak az y = x egyenesre való tükörreflexióval. Lásd a Szinusz, koszinusz, Tangens, kotangens szakaszokat.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Alapképletek

Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.

arcsin(sin x) = x nál nél
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x nál nél
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x nál nél
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x nál nél
ctg(arctg x) = x

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek

Lásd még: Inverz trigonometrikus függvények képletei származtatása

Összeg és különbség képletek

vagy

és

és

vagy

és

és

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

Ív koszinusz, cos inverz függvénye (x = cos y), y= arccos x számára van definiálva, és van egy értékkészlete. Más szóval, az értékével adja vissza a szöget kötözősaláta.

Ív koszinusz(szimbólum: arccos x; arccos x az a szög, amelynek koszinusza egyenlő x stb).

Funkció y = cos x folytonos és a teljes számegyenese mentén korlátos. Funkció y = arccos x szigorúan csökken.

Az arcsin függvény tulajdonságai.

Az arccos funkció beszerzése.

Adott egy függvény y = cos x. A teljes definíciós tartományban darabonként monoton, és ebből ered a fordított megfelelés y = arccos x nem függvény. Ezért figyelembe vesszük azt a szegmenst, amelyen szigorúan csökken, és felveszi az összes értékét - . Ezen a szegmensen y = cos x szigorúan monoton csökken, és minden értékét csak egyszer veszi fel, ami azt jelenti, hogy az intervallumon inverz függvény van y = arccos x, amelynek gráfja szimmetrikus a gráfra y = cos x egy vonalszakaszon y=x.