Oldja meg a másodfokú egyenlőtlenség online számológépét. Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Egyenlőtlenségek online megoldása

Az egyenlőtlenségek megoldása előtt meg kell érteni, hogyan oldják meg az egyenleteket.

Nem számít, hogy az egyenlőtlenség szigorú () vagy nem szigorú (≤, ≥), az első lépés az egyenlet megoldása az egyenlőtlenség jelének egyenlőséggel (=) való helyettesítésével.

Magyarázza el, mit jelent egy egyenlőtlenség megoldása?

Az egyenletek tanulmányozása után a hallgatónak a következő kép van a fejében: meg kell találnia a változó olyan értékeit, amelyekre az egyenlet mindkét része ugyanazt az értéket veszi fel. Más szóval, keresse meg az összes pontot, ahol az egyenlőség érvényesül. Minden helyes!

Amikor egyenlőtlenségekről beszélünk, az azt jelenti, hogy megtaláljuk azokat az intervallumokat (szegmenseket), amelyeken az egyenlőtlenség érvényes. Ha az egyenlőtlenségben két változó van, akkor a megoldás már nem intervallumok, hanem a sík egyes területei lesznek. Találd ki, mi lesz a három változós egyenlőtlenség megoldása?

Hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket?

Az intervallumok módszere (más néven intervallum módszer) az egyenlőtlenségek megoldásának univerzális módszerének tekinthető, amely abból áll, hogy meghatározzuk mindazokat az intervallumokat, amelyeken belül az adott egyenlőtlenség teljesül.

Anélkül, hogy kitérnénk az egyenlőtlenség típusára, ebben az esetben nem ez a lényeg, meg kell oldani a megfelelő egyenletet és meg kell határozni a gyökereit, majd ezeket a megoldásokat meg kell jelölni a numerikus tengelyen.

Hogyan lehet helyesen felírni egy egyenlőtlenség megoldását?

Ha meghatározta az egyenlőtlenség megoldásának intervallumait, magát a megoldást kell helyesen kiírnia. Van egy fontos árnyalat - az intervallumok határai szerepelnek a megoldásban?

Itt minden egyszerű. Ha az egyenlet megoldása kielégíti az ODZ-t és az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor az intervallum határa benne van az egyenlőtlenség megoldásában. Különben nem.

Minden egyes intervallumot figyelembe véve az egyenlőtlenség megoldása lehet maga az intervallum, vagy egy félintervallum (amikor az egyik határa kielégíti az egyenlőtlenséget), vagy egy szegmens - egy intervallum a határaival együtt.

Fontos pont

Ne gondolja, hogy csak az intervallumok, félintervallumok és szegmensek jelenthetnek megoldást egy egyenlőtlenségre. Nem, a megoldásban egyedi pontok is szerepelhetnek.

Például az |x|≤0 egyenlőtlenségnek csak egy megoldása van - a 0 pont.

És az egyenlőtlenség |x|

Mire jó az egyenlőtlenség-kalkulátor?

Az egyenlőtlenség-kalkulátor megadja a helyes végső választ. Ebben az esetben a legtöbb esetben egy numerikus tengely vagy sík illusztrációja szerepel. Láthatja, hogy az intervallumok határai benne vannak-e a megoldásban vagy sem - a pontok kitöltve vagy áttörve jelennek meg.

Köszönet online számológép egyenlőtlenségek esetén ellenőrizheti, hogy az egyenlet gyökereit helyesen találta-e meg, jelölte-e meg a valós tengelyen, és ellenőrizte-e az egyenlőtlenségi feltétel teljesülését az intervallumokon (és határokon)?

Ha az Ön válasza eltér a kalkulátor válaszától, akkor feltétlenül ellenőriznie kell a megoldást, és azonosítania kell az elkövetett hibát.

Mit kell tudni az egyenlőtlenségi ikonokról? Ikon egyenlőtlenségek több (> ), vagy Kevésbé (< ) hívják szigorú. Ikonokkal több vagy egyenlő (≥ ), kisebb vagy egyenlő (≤ ) hívják nem szigorú. Ikon nem egyenlő (≠ ) önmagában áll, de állandóan ilyen ikonnal is kell példákat megoldani. És meg is fogjuk.)

Maga az ikon nem sok hatással van a megoldási folyamatra. De a megoldás végén, a végső válasz kiválasztásakor teljes erővel megjelenik az ikon jelentése! Ahogy az alábbiakban látni fogjuk, a példákban. Vannak viccek...

Az egyenlőtlenségek, akárcsak az egyenlőségek hűséges és hűtlen. Itt minden egyszerű, trükkök nélkül. Mondjuk 5 > 2 a helyes egyenlőtlenség. 5 < 2 helytelen.

Az ilyen előkészítés működik az egyenlőtlenségek ellen bármilyen fajtaés egyszerű a horrorig.) Csak két (csak kettő!) elemi cselekvést kell helyesen végrehajtani. Ezek a műveletek mindenki számára ismerősek. De ami tipikus, ezekben a műveletekben a korlátok jelentik a fő hibát az egyenlőtlenségek megoldásában, igen... Ezért ezeket a műveleteket meg kell ismételni. Ezeket a műveleteket így hívják:

Az egyenlőtlenségek identitástranszformációi.

Az egyenlőtlenségek identitástranszformációi nagyon hasonlóak az egyenletek azonosságtranszformációihoz. Valójában ez a fő probléma. A különbségek elsiklanak a feje fölött, és ... megérkezett.) Ezért ezeket a különbségeket külön kiemelem. Tehát az egyenlőtlenségek első azonos transzformációja:

1. Ugyanaz a szám vagy kifejezés hozzáadható (kivonható) az egyenlőtlenség mindkét részéhez. Bármi. Az egyenlőtlenség jele nem fog változni.

A gyakorlatban ezt a szabályt az egyenlőtlenség bal oldaláról a jobb oldalra (és fordítva) történő kifejezések előjelváltással történő átviteleként alkalmazzák. A kifejezés előjelének megváltoztatásával, nem egyenlőtlenséggel! Az egy az egyben szabály ugyanaz, mint az egyenletek szabálya. De a következő azonos transzformációk az egyenlőtlenségekben jelentősen eltérnek az egyenletek transzformációitól. Ezért pirossal kiemelem őket:

2. Az egyenlőtlenség mindkét része szorozható (osztható) ugyanazzalpozitívszám. Bármilyenpozitív Nem fog változni.

3. Az egyenlőtlenség mindkét része szorozható (osztható) ugyanazzalnegatív szám. Bármilyennegatívszám. Az egyenlőtlenség jele ebbőlaz ellenkezőjére fog változni.

Emlékszel (remélem...), hogy egy egyenlet bármivel szorozható/osztható. És tetszőleges számra, és egy x-szel rendelkező kifejezésre. Amíg nem nulla. Ő, az egyenlet, ettől se meleg, se hideg.) Nem változik. De az egyenlőtlenségek érzékenyebbek a szorzásra/osztásra.

Jó példa a hosszú emlékezetre. Írunk egy egyenlőtlenséget, amely nem okoz kétségeket:

5 > 2

Szorozd meg mindkét oldalt +3, kapunk:

15 > 6

Van-e kifogás? Nincs kifogás.) Ha pedig az eredeti egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk -3, kapunk:

15 > -6

Ez pedig egyenes hazugság.) Teljes hazugság! A nép becsapása! De amint az egyenlőtlenség jele megfordul, minden a helyére kerül:

15 < -6

A hazugságról és a megtévesztésről – nem csak esküszöm.) "Elfelejtettem lecserélni az egyenlőtlenség jelét..."- ez itthon hiba az egyenlőtlenségek megoldásában. Ez a csekély és egyszerű szabály nagyon sok embernek fájt! Akik elfelejtették...) Szóval esküszöm. Talán emlékszel...)

Azok, akik különösen figyelmesek, észreveszik, hogy az egyenlőtlenség nem szorozható meg egy x-szel rendelkező kifejezéssel. Tisztelet figyelmes!) És miért ne? A válasz egyszerű. Ennek a kifejezésnek az előjelét nem ismerjük x-szel. Lehet pozitív, negatív... Ezért nem tudjuk, milyen egyenlőtlenségjelet tegyünk a szorzás után. Cserélni vagy sem? Ismeretlen. Természetesen ez a korlátozás (az egyenlőtlenség x-szel való szorzásának/osztásának tilalma) megkerülhető. Ha tényleg szüksége van rá. De ez más leckék témája.

Ez mind az egyenlőtlenségek azonos átalakulása. Hadd emlékeztesselek még egyszer, hogy dolgoznak Bármi egyenlőtlenségek. És most továbbléphet bizonyos típusokra.

Lineáris egyenlőtlenségek. Megoldás, példák.

A lineáris egyenlőtlenségeket olyan egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben x elsőfokú, és nincs x-szel való osztás. Típus:

x+3 > 5x-5

Hogyan oldódnak fel ezek az egyenlőtlenségek? Nagyon könnyen megoldhatók! Nevezetesen: a segítségével csökkentjük a legzavarosabb lineáris egyenlőtlenséget egyenesen a válaszra. Ez az egész megoldás. Kiemelem a megoldás főbb pontjait. A hülye hibák elkerülése érdekében.)

Megoldjuk ezt az egyenlőtlenséget:

x+3 > 5x-5

Ugyanúgy oldjuk meg, mint a lineáris egyenletet. Az egyetlen különbséggel:

Nagyon figyelj az egyenlőtlenség jelére!

Az első lépés a leggyakoribb. x-szel - balra, x nélkül - jobbra... Ez az első azonos átalakítás, egyszerű és problémamentes.) Csak ne felejtse el megváltoztatni az átvitt tagok előjeleit.

Az egyenlőtlenség jele megmarad:

x-5x > -5-3

Hasonlókat mutatunk be.

Az egyenlőtlenség jele megmarad:

4x > -8

Marad az utolsó azonos transzformáció alkalmazása: ossza el mindkét részt -4-gyel.

Oszd el negatív szám.

Az egyenlőtlenség jele megfordul:

x < 2

Ez a válasz.

Így oldódik meg minden lineáris egyenlőtlenség.

Figyelem! A 2. pontot fehérre húzzuk, azaz. festetlen. Üres belül. Ez azt jelenti, hogy ő nem szerepel a válaszban! Szándékosan rajzoltam olyan egészségesnek. Az ilyen pontot (üres, nem egészséges!)) a matematikában ún kilyukasztott pont.

A tengelyen lévő többi szám megjelölhető, de nem szükséges. Azok a külső számok, amelyek nem kapcsolódnak az egyenlőtlenségünkhöz, zavaróak lehetnek, igen... Csak emlékezni kell arra, hogy a számok növekedése a nyíl irányába megy, pl. számok 3, 4, 5 stb. vannak jobbra kettesek, és az 1, 0, -1 stb. - balra.

egyenlőtlenség x < 2 - szigorú. X szigorúan kevesebb, mint kettő. Ha kétségei vannak, az ellenőrzés egyszerű. Behelyettesítünk egy kétes számot az egyenlőtlenségbe, és azt gondoljuk: "Kettő kevesebb, mint kettő? Persze hogy nem!" Pontosan. Egyenlőtlenség 2 < 2 rossz. A kettes nem jó válasznak.

Egyetlen is elég jó? Természetesen. Kevesebb ... És a nulla jó, és -17 és 0,34 ... Igen, minden kettőnél kisebb szám jó! És még 1,9999 .... Legalább egy kicsit, de kevesebb!

Tehát mindezeket a számokat jelöljük a számtengelyen. Hogyan? Itt vannak lehetőségek. Az első lehetőség a keltetés. Vigyük az egeret a kép fölé (vagy érintsük meg a képet a táblagépen), és látjuk, hogy az x feltételnek megfelelő x-ek területe árnyékolt < 2 . Ez minden.

Tekintsük a második lehetőséget a második példában:

x ≥ -0,5

Rajzoljon egy tengelyt, jelölje be a számot -0,5. Mint ez:

Észrevetted a különbséget?) Hát igen, nehéz nem észrevenni... Ez a pont fekete! Átfestve. Ez azt jelenti, hogy -0,5 szerepel a válaszban. Itt egyébként valakit ellenőriz és összezavar. Cseréljük:

-0,5 ≥ -0,5

Hogy hogy? -0,5 nem több, mint -0,5! Van még több ikon...

Ez rendben van. Egy nem szigorú egyenlőtlenségben minden megfelelő, ami az ikonhoz illik. És egyenlő illeszkedik és több jó. Ezért -0,5 szerepel a válaszban.

Tehát a -0,5-öt jelöltük a tengelyen, marad az összes -0,5-nél nagyobb szám megjelölése. Ezúttal a megfelelő x értékek tartományát jelölöm bilincs(a szóból ív) kikelés helyett. Vigye az egérmutatót a kép fölé, és nézze meg ezt az íjat.

Nincs különösebb különbség a keltetés és az ívek között. Tedd úgy, ahogy a tanár mondja. Ha nincs tanár, húzd meg a karokat. Bonyolultabb feladatoknál a keltetés kevésbé nyilvánvaló. Meg lehet zavarodni.

Így rajzolódnak ki a lineáris egyenlőtlenségek a tengelyen. Áttérünk az egyenlőtlenségek következő szingularitására.

Írj választ az egyenlőtlenségekre!

Jó volt az egyenletekben.) Megtaláltuk x-et, és felírtuk a választ, például: x \u003d 3. Az egyenlőtlenségekben a válaszírásnak két formája van. Egy - végső egyenlőtlenség formájában. Egyszerű esetekre jó. Például:

x< 2.

Ez egy teljes válasz.

Néha meg kell írni ugyanazt, de más formában, számhézagokon keresztül. Aztán a bejegyzés kezd nagyon tudományosnak tűnni):

x ∈ (-∞; 2)

Az ikon alatt ∈ elrejteni a szót "tartozik".

A bejegyzés így hangzik: x a mínusz végtelentől kettőig terjedő intervallumhoz tartozik kivéve. Egészen logikus. X tetszőleges szám lehet az összes lehetséges szám közül mínusz végtelentől kettőig. Dupla X nem lehet, amit a szó mond nekünk "kivéve".

Hol van a válaszban, hogy "kivéve"? Ezt a tényt a válasz megjegyzi. kerek zárójel közvetlenül a kettes után. Ha a kettes szerepelne, a zárójel az lenne négyzet. Itt van: ]. A következő példa egy ilyen zárójelet használ.

Írjuk fel a választ: x ≥ -0,5 intervallumon keresztül:

x ∈ [-0,5; +∞)

Olvas: x a mínusz 0,5 intervallumhoz tartozik, beleértve, egészen a plusz végtelenig.

A végtelen soha nem tud bekapcsolni. Ez nem szám, hanem szimbólum. Ezért az ilyen bejegyzésekben a végtelen mindig együtt létezik egy zárójellel.

Ez a rögzítési forma alkalmas összetett válaszok esetén, amelyek több hézagból állnak. De - csak a végső válaszokért. A köztes eredményeknél, ahol további megoldás várható, célszerűbb a szokásos formát használni, egyszerű egyenlőtlenség formájában. Ezzel a vonatkozó témákban fogunk foglalkozni.

Népszerű feladatok egyenlőtlenségekkel.

Maguk a lineáris egyenlőtlenségek egyszerűek. Ezért a feladatok gyakran nehezebbé válnak. Tehát azt gondolni, hogy szükséges volt. Ez, ha megszokásból, nem túl kellemes.) De hasznos. Példákat mutatok az ilyen feladatokra. Nem neked kell megtanulnod őket, ez felesleges. És azért, hogy ne féljen, amikor hasonló példákkal találkozik. Egy kis gondolkodás - és minden egyszerű!)

1. Keressen két megoldást a 3x - 3 egyenlőtlenségre!< 0

Ha nem nagyon világos, hogy mit kell tenni, emlékezzen a matematika fő szabályára:

Ha nem tudod, mit csinálj, tedd meg, amit tudsz!

x < 1

És akkor mi van? Semmi különös. Mit kérdezünk? Megkérünk, hogy találjunk két olyan számot, amelyek egy egyenlőtlenség megoldása. Azok. megfelel a válasznak. Két Bármi számok. Valójában ez kínos.) A 0 és a 0,5 pár megfelelő. Egy pár -3 és -8. Igen, végtelen számú ilyen pár van! Mi a helyes válasz?!

Válaszolok: mindent! Bármely számpár, amelyek mindegyike kisebb egynél, lenne a helyes válasz.Írj, amit akarsz. Menjünk tovább.

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

4x-3 ≠ 0

Az ehhez hasonló munkák ritkák. De segédegyenlőtlenségekként például az ODZ megtalálásakor vagy egy függvény tartományának megtalálásakor mindig találkozunk velük. Egy ilyen lineáris egyenlőtlenség megoldható közönséges lineáris egyenletként. Csak mindenhol, kivéve a "=" jelet ( egyenlő) tedd a jelet " ≠ " (nem egyenlő). Tehát a válaszhoz egy egyenlőtlenség jellel érkezik:

x ≠ 0,75

Többben nehéz példák jobb, ha másképp csinálod. Tegye egyenlővé az egyenlőtlenséget. Mint ez:

4x-3 = 0

Nyugodtan oldja meg a tanítás szerint, és megkapja a választ:

x = 0,75

A legfontosabb dolog a legvégén, a végső válasz leírásakor, hogy ne felejtsük el, hogy megtaláltuk x-et, ami egyenlőség.És nekünk kell - egyenlőtlenség. Ezért egyszerűen nincs szükségünk erre az X-re.) És le kell írnunk a megfelelő ikonnal:

x ≠ 0,75

Ez a megközelítés kevesebb hibát eredményez. Akik egyenleteket oldanak meg a gépen. És azok számára, akik nem oldanak meg egyenleteket, az egyenlőtlenségek valójában haszontalanok ...) Egy másik példa egy népszerű feladatra:

3. Keresse meg az egyenlőtlenség legkisebb egész számú megoldását:

3 (x - 1) < 5x + 9

Először egyszerűen megoldjuk az egyenlőtlenséget. Kinyitjuk a zárójeleket, áthelyezzük, hasonlókat adunk... Kapunk:

x > - 6

Hát nem így történt!? Követted a jelzéseket? És a tagok jelei mögött, és az egyenlőtlenség jele mögött ...

Képzeljük el újra. Meg kell találnunk egy konkrét számot, amely megfelel a válasznak és a feltételnek is "legkisebb egész szám". Ha nem derül ki azonnal, egyszerűen elővehet bármilyen számot, és kitalálhatja. A kettő nagyobb, mint a mínusz hat? Természetesen! Van megfelelő kisebb szám? Természetesen. Például a nulla nagyobb, mint -6. És még kevésbé? A lehető legkisebbre van szükségünk! A mínusz három több, mint a mínusz hat! Már elkaphatod a mintát, és abbahagyhatod a számok hülye válogatását, igaz?)

A -6-hoz közelebb eső számot veszünk. Például -5. Válasz végrehajtva, -5 > - 6. Találsz egy másik számot, amely -5-nél kisebb, de -6-nál nagyobb? Lehet például -5,5 ... Állj! Nekünk mondták egész megoldás! Nem gurul -5,5! Mit szólnál mínusz hathoz? Eee! Az egyenlőtlenség szigorú, mínusz 6 nem kevesebb, mint mínusz 6!

Tehát a helyes válasz -5.

Remélem, minden világos az értékválasztással az általános megoldás közül. Egy másik példa:

4. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

7 < 3x+1 < 13

Hogyan! Az ilyen kifejezést ún hármas egyenlőtlenség. Szigorúan véve ez az egyenlőtlenségek rendszerének rövidített jelölése. De még mindig meg kell oldani az ilyen hármas egyenlőtlenségeket bizonyos feladatokban... Ez minden rendszer nélkül megoldható. Ugyanazokkal az azonos átalakításokkal.

Le kell egyszerűsíteni, tiszta X-re hozni ezt az egyenlőtlenséget. De... Mit hova kell átvinni!? Itt az ideje, hogy ne feledje, hogy a balra-jobbra váltás az rövidített forma az első azonos átalakítás.

A teljes forma pedig így néz ki: Bármilyen számot vagy kifejezést hozzáadhat/kivonhat az egyenlet mindkét részéhez (egyenlőtlenség).

Itt három rész van. Tehát mindhárom részre azonos transzformációkat alkalmazunk!

Tehát megszabaduljunk az egyenlőtlenség középső részében lévőtől. Vonjunk ki egyet a teljes középső részből. Hogy az egyenlőtlenség ne változzon, a maradék két részből kivonunk egyet. Mint ez:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Már jobb, igaz?) Marad a három rész három részre osztása:

2 < x < 4

Ez minden. Ez a válasz. X tetszőleges szám lehet kettőtől (nem beleértve) négyig (nem beleértve). Ezt a választ is időközönként írjuk, az ilyen bejegyzések négyzetegyenlőtlenségekben lesznek. Ott ezek a leggyakoribbak.

A lecke végén megismétlem a legfontosabbat. A lineáris egyenlőtlenségek megoldásának sikere a lineáris egyenletek átalakításának és egyszerűsítésének képességétől függ. Ha ugyanakkor kövesse az egyenlőtlenség jelét, nem lesz gond. Amit kívánok neked. Nincs mit.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Miután megkaptuk a kezdeti információkat a változókkal való egyenlőtlenségekről, rátérünk azok megoldásának kérdésére. Elemezzük a lineáris egyenlőtlenségek egy változós megoldását és a megoldásukra szolgáló összes módszert algoritmusokkal és példákkal. Csak az egyváltozós lineáris egyenleteket veszik figyelembe.

Mi a lineáris egyenlőtlenség?

Először meg kell határoznia egy lineáris egyenletet, és meg kell találnia a szabványos formáját, valamint azt, hogy miben fog különbözni a többitől. Az iskolai kurzusból azt kaptuk, hogy az egyenlőtlenségeknek nincs alapvető különbsége, ezért több definíciót kell használni.

1. definíció

Lineáris egyenlőtlenség egy változóval x egy a x + b > 0 alakú egyenlőtlenség, ha > helyett bármilyen egyenlőtlenségjelet használunk< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2. definíció

Egyenlőtlenségek a x< c или a · x >c , ahol x változó, a és c pedig néhány szám, hívjuk lineáris egyenlőtlenségek egy változóval.

Mivel semmit nem mondanak arról, hogy az együttható egyenlő lehet-e 0-val, ezért egy szigorú egyenlőtlenség 0 x > c és 0 x alakú< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Különbségeik a következők:

• az elsőben a · x + b > 0, a másodikban a · x > c – jelölés;
• nulla együttható a , a ≠ 0 - az elsőben és a = 0 - a másodikban.

Úgy gondolják, hogy az a x + b > 0 és az a x > c egyenlőtlenségek ekvivalensek, mert a tag egyik részből a másikba való áthelyezésével kapják őket. A 0 · x + 5 > 0 egyenlőtlenség megoldása oda vezet, hogy meg kell oldani, és az a = 0 eset nem fog működni.

3. definíció

Úgy tekintjük, hogy az egy x változóban lévő lineáris egyenlőtlenségek a forma egyenlőtlenségei a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0és a x + b ≥ 0, ahol a és b valós számok. Az x helyett lehet egy közönséges szám.

A szabály alapján azt kapjuk, hogy 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 lineárisnak nevezzük.

Hogyan oldjuk meg a lineáris egyenlőtlenséget

Az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának fő módja az, hogy ekvivalens transzformációkkal keressük meg az x elemi egyenlőtlenségeket< p (≤ , >, ≥) , p valamilyen szám, ha a ≠ 0 , és a alakú< p (≤ , >, ≥) ha a = 0 .

Egy változós egyenlőtlenség megoldásához használhatja az intervallum módszert, vagy ábrázolhatja grafikusan. Bármelyikük használható elkülönítve.

Egyenértékű transzformációk használata

Az a x + b alakú lineáris egyenlőtlenség megoldása< 0 (≤ , >, ≥) , az egyenlőtlenség ekvivalens transzformációit kell alkalmazni. Az együttható nulla lehet vagy nem. Tekintsük mindkét esetet. A tisztázás érdekében ragaszkodni kell egy 3 pontból álló sémához: a folyamat lényege, az algoritmus, maga a megoldás.

4. definíció

Algoritmus lineáris egyenlőtlenség megoldására a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén

• a b szám átkerül az ellentétes előjelű egyenlőtlenség jobb oldalára, ami lehetővé teszi, hogy a megfelelő a x-hez jussunk< − b (≤ , > , ≥) ;
• az egyenlőtlenség mindkét része el lesz osztva egy 0-tól eltérő számmal. Sőt, ha a pozitív, az előjel megmarad, ha a negatív, akkor az ellenkezőjére változik.

Tekintsük ennek az algoritmusnak az alkalmazását a példák megoldására.

1. példa

Oldjunk meg egy 3 · x + 12 ≤ 0 alakú egyenlőtlenséget.

Megoldás

Ennek a lineáris egyenlőtlenségnek a = 3 és b = 12. Ezért az x a együtthatója nem egyenlő nullával. Alkalmazzuk a fenti algoritmusokat és oldjuk meg.

A 12-es tagot át kell vinni az egyenlőtlenség másik részébe egy előjelváltással. Ekkor 3 · x ≤ − 12 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Mindkét részt el kell osztani 3-mal. Az előjel nem változik, mert a 3 pozitív szám. Azt kapjuk, hogy (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , ami x ≤ − 4 eredményt ad.

Egy x ≤ − 4 alakú egyenlőtlenség ekvivalens. Vagyis 3 x + 12 ≤ 0 megoldása bármely valós szám, amely kisebb vagy egyenlő 4-nél. A választ x ≤ − 4 egyenlőtlenségként vagy a (− ∞ , − 4 ] alakú numerikus intervallumként írjuk fel.

A fent leírt teljes algoritmus a következőképpen van felírva:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12 ; x ≤ − 4 .

Válasz: x ≤ − 4 vagy (− ∞ , − 4 ] .

2. példa

Jelölje meg a − 2 , 7 · z > 0 egyenlőtlenség összes elérhető megoldását.

Megoldás

A feltételből azt látjuk, hogy az a együttható z-ben egyenlő -2-vel, 7-tel, és b kifejezetten hiányzik, vagy egyenlő nullával. Nem használhatja az algoritmus első lépését, hanem azonnal lépjen a másodikra.

Az egyenlet mindkét részét elosztjuk a számmal - 2, 7. Mivel a szám negatív, az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére kell változtatni. Vagyis azt kapjuk, hogy (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Beírjuk a teljes algoritmust rövid forma:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Válasz: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3. példa

Oldja meg a - 5 · x - 15 22 ≤ 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

A feltétel szerint azt látjuk, hogy az x változóra az a együtthatójú egyenlőtlenséget, amely egyenlő -5, a b együtthatóval kell megoldani, ami a -15 22 törtnek felel meg. Az egyenlőtlenséget az algoritmus szerint kell megoldani, azaz: mozgassuk a - 15 22-t egy másik, ellentétes előjelű részre, osszuk el mindkét részt -5-tel, változtassuk meg az egyenlőtlenség előjelét:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

A jobb oldal utolsó átmeneténél a szám osztásának szabálya különböző jelek 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , utána osztást végzünk közönséges tört természetes számra - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

Válasz: x ≥ - 3 22 és [ - 3 22 + ∞) .

Tekintsük azt az esetet, amikor a = 0. Az a x + b alak lineáris kifejezése< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Minden az egyenlőtlenség megoldásának meghatározásán alapul. Bármely x értékre b alakú numerikus egyenlőtlenséget kapunk< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Minden ítéletet egy algoritmus formájában veszünk figyelembe a 0 x + b lineáris egyenlőtlenségek megoldására< 0 (≤ , > , ≥) :

5. definíció

A forma numerikus egyenlőtlensége b< 0 (≤ , >, ≥) igaz, akkor az eredeti egyenlőtlenségnek bármilyen értékre van megoldása, és hamis, ha az eredeti egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

4. példa

Oldja meg a 0 · x + 7 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Ez a 0 · x + 7 > 0 lineáris egyenlőtlenség bármilyen x értéket felvehet. Ekkor 7 > 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az utolsó egyenlőtlenséget igaznak tekintjük, így bármilyen szám lehet a megoldása.

Válasz: intervallum (− ∞ , + ∞) .

5. példa

Keressünk megoldást a 0 · x − 12, 7 ≥ 0 egyenlőtlenségre.

Megoldás

Ha tetszőleges számra behelyettesítjük az x változót, akkor azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenség − 12 , 7 ≥ 0 . Ez helytelen. Vagyis 0 · x − 12, 7 ≥ 0-nak nincs megoldása.

Válasz: nincsenek megoldások.

Tekintsük a lineáris egyenlőtlenségek megoldását, ahol mindkét együttható nulla.

6. példa

Határozzon meg egy feloldhatatlan egyenlőtlenséget 0 · x + 0 > 0 és 0 · x + 0 ≥ 0 értékekből.

Megoldás

Ha x helyett tetszőleges számot helyettesítünk, akkor két 0 > 0 és 0 ≥ 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az első helytelen. Ez azt jelenti, hogy 0 x + 0 > 0-nak nincs megoldása, 0 x + 0 ≥ 0-nak pedig végtelen sok megoldása van, azaz tetszőleges szám.

Válasz: a 0 x + 0 > 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása, a 0 x + 0 ≥ 0-nak pedig vannak megoldásai.

Ezt a módszert figyelembe veszik a matematika iskolai kurzusában. Az intervallum módszer képes feloldani különböző fajták az egyenlőtlenségek is lineárisak.

Az intervallum módszert lineáris egyenlőtlenségekre alkalmazzuk, ha az x együttható értéke nem egyenlő 0-val. Ellenkező esetben más módszerrel kell számolnia.

6. definíció

A távolsági módszer a következő:

• az y = a x + b függvény bevezetése;
• nullák keresése a definíciós tartomány intervallumokra való felosztásához;
• jelek meghatározása azok fogalmához intervallumokon.

Állítsunk össze egy algoritmust az a x + b lineáris egyenletek megoldására< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén az intervallum módszerrel:

• az y = a · x + b függvény nulláinak megtalálása egy a · x + b = 0 alakú egyenlet megoldásához. Ha a ≠ 0, akkor a megoldás lesz az egyetlen gyök, amely x 0-t vesz fel;
• koordinátaegyenes építése x 0 koordinátájú pont képével, szigorú egyenlőtlenséggel, a pontot kilyukasztott, nem szigorú egyenlőtlenséggel árnyékoljuk;
• az y = a x + b függvény előjeleinek meghatározása az intervallumokon, ehhez meg kell találni a függvény értékeit az intervallum pontjain;
• az egyenlőtlenség megoldása > vagy ≥ előjelekkel a koordinátaegyenesen, sraffozás hozzáadódik a pozitív rés fölé,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Tekintsünk néhány példát lineáris egyenlőtlenség megoldására az intervallum módszerrel.

6. példa

Oldja meg a − 3 · x + 12 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Az algoritmusból következik, hogy először meg kell találni a − 3 · x + 12 = 0 egyenlet gyökerét. Azt kapjuk, hogy − 3 · x = − 12 , x = 4 . Meg kell ábrázolni a koordináta egyenest, ahol a 4-es pontot jelöljük. Kiszúrják, mivel az egyenlőtlenség szigorú. Tekintsük az alábbi rajzot.

Meg kell határozni a jeleket az intervallumokon. A (− ∞ , 4) intervallumon történő meghatározásához ki kell számítani az y = − 3 · x + 12 függvényt x = 3 esetén. Innen azt kapjuk, hogy − 3 3 + 12 = 3 > 0 . A rés előjele pozitív.

Meghatározzuk az előjelet a (4, + ∞) intervallumból, majd behelyettesítjük az x \u003d 5 értéket. Van − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Az egyenlőtlenséget a > előjellel oldjuk meg, és a sraffozás a pozitív rés felett történik. Tekintsük az alábbi rajzot.

A rajzból látható, hogy a kívánt megoldás (− ∞ , 4) vagy x alakú< 4 .

Válasz: (− ∞ , 4) vagy x< 4 .

A grafikus ábrázolás megértéséhez 4 lineáris egyenlőtlenséget kell példaként figyelembe venni: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 és 0, 5 x − 1 ≥ 0. Megoldásuk x lesz< 2 , x ≤ 2 , x >2 és x ≥ 2 . Ehhez rajzoljuk meg alább az y = 0, 5 · x − 1 lineáris függvény grafikonját.

Ez egyértelmű

7. definíció

• a 0 , 5 x − 1 egyenlőtlenség megoldása< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• a 0 , 5 x − 1 ≤ 0 megoldás az az intervallum, ahol az y = 0, 5 x − 1 függvény 0 x alatt van vagy egybeesik;
• a 0 , 5 x − 1 > 0 megoldást tekintjük annak az intervallumnak, ahol a függvény O x felett helyezkedik el;
• a megoldás 0 , 5 x − 1 ≥ 0 az az intervallum, ahol a grafikon nagyobb, mint O x, vagy egybeesik.

Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásának értelme a rések megkeresése, amelyeket a grafikonon kell ábrázolni. Ebben az esetben azt kapjuk, hogy a bal oldalon y \u003d a x + b, a jobb oldalon pedig y \u003d 0, és ez egybeesik Körülbelül x-szel.

8. definíció

Az y = a x + b függvény ábrázolását elvégezzük:

• miközben megoldjuk az a x + b egyenlőtlenséget< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• az a x + b ≤ 0 egyenlőtlenség megoldása során meghatározzuk azt az intervallumot, ahol a grafikon az O x tengelye alatt jelenik meg vagy egybeesik;
• az a · x + b > 0 egyenlőtlenség megoldása során meghatározásra kerül az intervallum, ahol a grafikon O x felett jelenik meg;
• az a x + b ≥ 0 egyenlőtlenség megoldása során azt az intervallumot határozzuk meg, ahol a grafikon O x felett van, vagy egybeesik.

7. példa

Oldja meg a - 5 · x - 3 > 0 egyenlőtlenséget a grafikon segítségével!

Megoldás

Fel kell építeni egy - 5 · x - 3 > 0 lineáris függvény grafikonját. Ez az egyenes csökken, mert x együtthatója negatív. Az O x - 5 · x - 3 > 0 metszéspontjának koordinátáinak meghatározásához a - 3 5 értéket kapjuk. Ábrázoljuk.

A > jelű egyenlőtlenség megoldása, akkor az O x feletti intervallumra kell figyelni. Pirossal kiemeljük a sík szükséges részét, és megkapjuk

A szükséges rés a piros szín O x része. Így a - ∞ , - 3 5 nyitott számsugár lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ha feltétel szerint nem szigorú egyenlőtlenségük lenne, akkor a pont értéke - 3 5 is megoldás lenne az egyenlőtlenségre. És egybeesne O x-szel.

Válasz: - ∞ , - 3 5 vagy x< - 3 5 .

A grafikus megoldást akkor használjuk, ha a bal oldal az y = 0 x + b függvénynek felel meg, azaz y = b . Ekkor az egyenes párhuzamos lesz O x-szel, vagy egybeesik b \u003d 0-val. Ezek az esetek azt mutatják, hogy egy egyenlőtlenségnek nincs megoldása, vagy bármilyen szám lehet megoldás.

8. példa

Határozzuk meg a 0 x + 7 egyenlőtlenségekből!< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Megoldás

Az y = 0 x + 7 ábrázolás y = 7, akkor egy O x-el párhuzamos és O x feletti egyenes koordinátasíkot kapunk. Tehát 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Az y \u003d 0 x + 0 függvény grafikonját y \u003d 0-nak tekintjük, vagyis az egyenes egybeesik O x-szel. Ezért a 0 · x + 0 ≥ 0 egyenlőtlenségnek sok megoldása van.

Válasz: a második egyenlőtlenségnek van megoldása bármely x értékre.

Lineáris egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek megoldása egy lineáris egyenlet megoldására redukálható, amelyeket lineáris egyenlőtlenségeknek nevezünk.

Ezeket az egyenlőtlenségeket az iskolai kurzusban figyelembe vettük, mivel ezek az egyenlőtlenségek megoldásának speciális esetei, ami zárójelek nyitásához és a hasonló kifejezések csökkentéséhez vezetett. Vegyük például, hogy 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

A fent megadott egyenlőtlenségeket mindig lineáris egyenletté redukáljuk. Ezt követően a zárójeleket megnyitjuk, és hasonló kifejezéseket adunk meg, amelyekről átkerül Különböző részek, a jelet az ellenkezőjére változtatja.

Ha az 5 − 2 x > 0 egyenlőtlenséget lineárisra redukáljuk, úgy ábrázoljuk, hogy alakja − 2 x + 5 > 0 , a második redukálásához pedig azt kapjuk, hogy 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Meg kell nyitni a zárójeleket, hasonló kifejezéseket hozni, az összes kifejezést balra kell mozgatni, és hasonló kifejezéseket kell hozni. Ez így néz ki:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ez a megoldás egy lineáris egyenlőtlenséghez vezet.

Ezeket az egyenlőtlenségeket lineárisnak tekintjük, mivel azonos megoldási elvűek, ami után elemi egyenlőtlenségekké redukálhatók.

Az ilyen egyenlőtlenség feloldásához lineárisra kell redukálni. Ezt így kell csinálni:

9. definíció

• nyitott zárójelek;
• gyűjtsön változókat a bal oldalon, és számokat a jobb oldalon;
• hasonló kifejezéseket hozzon;
• ossza el mindkét részt x együtthatójával.

9. példa

Oldja meg az 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 egyenlőtlenséget.

Megoldás

A zárójeleket kibontjuk, ekkor 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Hasonló tagok redukálása után azt kapjuk, hogy 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Miután a tagokat balról jobbra mozgatjuk, azt kapjuk, hogy 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Ennélfogva 32 ≤ 0 alakú egyenlőtlensége van a 0 · x + 32 ≤ 0 számítás során kapott eredményből. Látható, hogy az egyenlőtlenség hamis, ami azt jelenti, hogy a feltétel által adott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Válasz: nincs megoldás.

Érdemes megjegyezni, hogy sok másfajta egyenlőtlenség is létezik, amelyeket le lehet redukálni lineárisra vagy a fent bemutatott egyenlőtlenségre. Például 5 2 x − 1 ≥ 1 egy exponenciális egyenlet, amely 2 · x − 1 ≥ 0 lineáris megoldásra redukálódik. Ezeket az eseteket fogjuk figyelembe venni az ilyen típusú egyenlőtlenségek megoldása során.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Mit "négyzet egyenlőtlenség"? Nem kérdés!) Ha veszed Bármi másodfokú egyenletet, és változtassa meg az előjelet benne "=" (egyenlő) bármely egyenlőtlenségi ikonnal ( > ≥ < ≤ ≠ ), másodfokú egyenlőtlenséget kapunk. Például:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Hát értitek...)

Tudatosan összekapcsoltam itt az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket. A tény az, hogy a megoldás első lépése Bármi négyzetes egyenlőtlenség - oldja meg azt az egyenletet, amelyből ez az egyenlőtlenség keletkezik. Emiatt - a másodfokú egyenletek megoldásának képtelensége automatikusan az egyenlőtlenségek teljes kudarcához vezet. Világos a tipp?) Ha van, nézze meg, hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani. Ott minden részletezve van. És ebben a leckében az egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni.

A megoldásra kész egyenlőtlenség a következőképpen alakul: bal - négyzetes trinomikus ax 2 +bx+c, jobb oldalon - nulla. Az egyenlőtlenség jele bármi lehet. Az első két példa itt található készek a döntésre. A harmadik példát még elő kell készíteni.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

A cikkben megvizsgáljuk egyenlőtlenségek megoldása. Beszéljünk tisztán róla hogyan építsünk megoldást az egyenlőtlenségekre világos példákkal!

Mielőtt az egyenlőtlenségek példákkal való megoldását megvizsgálnánk, foglalkozzunk az alapfogalmakkal.

Bevezetés az egyenlőtlenségekbe

egyenlőtlenség kifejezésnek nevezzük, amelyben a függvényeket >, relációjelek kapcsolják össze. Az egyenlőtlenségek lehetnek numerikusak és alfabetikusak is.
A két relációjelű egyenlőtlenségeket kettősnek, a három-hármas egyenlőtlenségeket stb. Például:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) A > vagy vagy jelet tartalmazó egyenlőtlenségek nem szigorúak.
Egyenlőtlenségi megoldás a változó bármely értéke, amelyre ez az egyenlőtlenség igaz.
"Oldja meg az egyenlőtlenséget" azt jelenti, hogy meg kell találnia az összes megoldás halmazát az egyenlőtlenségek megoldásának módszerei. Mert egyenlőtlenségi megoldások végtelen számegyenest használjunk. Például, az egyenlőtlenség megoldása x > 3 egy intervallum 3-tól +-ig, és a 3-as szám nem szerepel ebben az intervallumban, ezért az egyenes pontját üres kör jelöli, mert szigorú az egyenlőtlenség.
+
A válasz a következő lesz: x (3; +).
Az x=3 érték nem szerepel a megoldások halmazában, ezért a zárójel kerek. A végtelen jele mindig zárójelben van. A jel jelentése „tartozás”.
Fontolja meg, hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket egy másik, az előjellel rendelkező példával:
x2
-+
Az x=2 érték benne van a megoldások halmazában, így a szögletes zárójelet és az egyenesen lévő pontot kitöltött körrel jelöljük.
A válasz ez lesz: x)