Investigarea unei funcții și trasarea unui grafic cu o soluție detaliată. Explorare și plotare cu funcții complete

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nespecificat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și pentru a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a unei funcții.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.

Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După ce ați studiat cu atenție acest articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest tip de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bun venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de schimbare. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte pe planul de coordonate, unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Par sau impar.
4. Periodicitate.
5. Asimptote.
6. Zerouri.
7. Constanţă.
8. Urcând și coborând.
9. Extreme.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Acesta poate fi scris ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în probleme de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Unul dintre cele mai evidente exemple ale unui astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

• o funcție este definită la un punct dat;
• limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
• limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

• modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
• x pătrat (parabolă);
• cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabolă cubică;
• sinusoid;
• tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza celor spuse în această secțiune a articolului, o funcție pară și impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

• verticală, adică paralelă cu axa y;
• orizontală, adică paralelă cu axa x;
• oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

• decalaj;
• capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important de menționat că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții apare nu numai în studiul și reprezentarea graficului unei funcții, ci și ca sarcină independentă și ca modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. Dacă să vorbească limbaj simplu, atunci zeroul funcției este valoarea variabilei x, la care y=0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim pe ce intervale ia funcția valoare pozitivă, iar pe unele - negativ. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de grafic) și să distribuim zerourile funcției de-a lungul ei în ordinea corectă de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Sens negativ:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

• domeniul de aplicare (o avem deja);
• derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
• rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valoare a variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune al graficului trebuie să fie neted și moale, nu ar trebui să existe colțuri ascuțite.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai exactă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.