Arcsin sinx graf. Inverzne trigonometrične funkcije, njihovi grafi in formule

Inverzne trigonometrične funkcije(krožne funkcije, ločne funkcije) - matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam.

arcsinus(označeno kot arcsin x; arcsin x- to je kot greh njemu enakih x).

arcsinus (y = arcsin x) - inverzna trigonometrična funkcija na greh (x = sin y), ki ima domeno in nabor vrednosti . Z drugimi besedami, vrne kot po njegovi vrednosti greh.

funkcija y=sin x je zvezna in omejena vzdolž celotne številske premice. funkcija y=arcsin x- strogo poveča.

Lastnosti funkcije arcsin.

Arkususni izris.

Pridobivanje funkcije arcsin.

Obstaja funkcija y = sinx. Skozi celotno področje definicije je po delih monoton, torej inverzna korespondenca y = arcsin x ni funkcija. Zato upoštevamo segment, na katerem le narašča in vzame vsako vrednost obsega vrednosti - . Ker za funkcijo y = sinx na intervalu so vse vrednosti funkcije pridobljene samo z eno vrednostjo argumenta, kar pomeni, da na tem intervalu obstaja inverzna funkcija y = arcsin x, katerega graf je simetričen grafu funkcije y = sinx na razmeroma ravnem segmentu y = x.

Problemi, povezani z inverznimi trigonometričnimi funkcijami, so pogosto ponujeni na šolskih zaključnih izpitih in na sprejemnih izpitih na nekaterih univerzah. Podroben študij te teme je mogoče doseči le pri izbirnem pouku oziroma izbirnih predmetih. Predlagani tečaj je zasnovan tako, da v največji možni meri razvije sposobnosti vsakega študenta in izboljša njegovo matematično pripravo.

Tečaj traja 10 ur:

1.Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ure).

2.Operacije inverznih trigonometričnih funkcij (4 ure).

3. Inverzne trigonometrične operacije na trigonometričnih funkcijah (2 uri).

Lekcija 1 (2 uri) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cilj: popolna pokritost te problematike.

1. Funkcija y = arcsin x.

a) Za funkcijo y = sin x na segmentu obstaja inverzna (enomerna) funkcija, za katero smo se dogovorili, da jo imenujemo arcsinus in jo označimo takole: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričen z grafom glavne funkcije glede na simetralo koordinatnih kotov I - III.

Lastnosti funkcije y = arcsin x.

1) Domena definicije: segment [-1; 1];

2) Območje spremembe: segment;

3) Funkcija y = arcsin x liho: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x je monotono naraščajoča;

5) Graf seka osi Ox, Oy v izhodišču.

Primer 1. Poiščite a = arcsin. Ta primer je mogoče podrobno formulirati na naslednji način: poiščite argument a, ki leži v območju od do, katerega sinus je enak.

rešitev. Obstaja nešteto argumentov, katerih sinus je enak, na primer: itd. A nas zanima samo argument, ki je na segmentu. To bi bil argument. Torej, .

Primer 2. Najdi .rešitev.Če trdimo na enak način kot v primeru 1, dobimo .

b) ustne vaje. Poišči: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primer odgovora: , Ker . Ali so izrazi smiselni: ; arcsin 1,5; ?

c) Razporedi v naraščajočem vrstnem redu: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobno).

Lekcija 2 (2 uri) Tema: Inverzne trigonometrične funkcije, njihovi grafi.

Namen: v tej lekciji je potrebno razviti spretnosti pri določanju vrednot trigonometrične funkcije, pri konstruiranju grafov inverznih trigonometričnih funkcij z uporabo D (y), E (y) in potrebnih transformacij.

V tej lekciji dokončajte vaje, ki vključujejo iskanje domene definicije, domene vrednosti funkcij tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Zgradite grafe funkcij: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primer. Narišimo y = arccos

V domačo nalogo lahko vključite naslednje vaje: sestavite grafe funkcij: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafi inverznih funkcij

Lekcija št. 3 (2 uri) Tema:

Operacije na inverznih trigonometričnih funkcijah.

Cilj: razširiti matematično znanje (to je pomembno za tiste, ki vstopajo na specialnosti s povečanimi zahtevami po matematičnem usposabljanju) z uvedbo osnovnih razmerij za inverzne trigonometrične funkcije.

Gradivo za lekcijo.

Nekaj ​​preprostih trigonometričnih operacij na inverznih trigonometričnih funkcijah: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

vaje.

a) tg (1,5 + lok g 5) = - ctg (lok g 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Naj bo arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Opomba: vzamemo znak "+" pred korenom, ker a = arcsin x ustreza .

c) sin (1,5 + arcsin) Odgovor: ;

d) ctg ( + arctg 3) Odgovor: ;

e) tg ( – arcctg 4) Odgovor: .

e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .

Izračunajte:

a) greh (2 arctan 5) .

Naj bo arctan 5 = a, potem je sin 2 a = ali sin (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Naj bo a = arctg, b = arctg,

potem je tg(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Dokaži, da je za vse x I [-1; 1] pravi arcsin x + arccos x = .

Dokaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Če želite to rešiti sami: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za domačo rešitev: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcija št. 4 (2 uri) Tema: Operacije inverznih trigonometričnih funkcij.

Namen: V tej lekciji pokazati uporabo razmerij pri preoblikovanju kompleksnejših izrazov.

Gradivo za lekcijo.

USTNO:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (lok 5), ctg (lok 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PISNO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Samostojno delo bo pomagalo ugotoviti stopnjo obvladovanja gradiva.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos (- arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arcctg 2

Za Domača naloga lahko predlagamo:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) greh 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arcg + tan ( arcsin )); 4) greh (2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Lekcija št. 5 (2 uri) Tema: Inverzne trigonometrične operacije na trigonometričnih funkcijah.

Cilj: oblikovati študentovo razumevanje inverznih trigonometričnih operacij na trigonometričnih funkcijah, s poudarkom na povečanju razumevanja teorije, ki se preučuje.

Pri preučevanju te teme se predpostavlja, da je obseg teoretičnega gradiva, ki ga je treba zapomniti, omejen.

Gradivo za lekcijo:

Z učenjem nove snovi se lahko začnete s preučevanjem funkcije y = arcsin (sin x) in risanjem njenega grafa.

3. Vsak x I R je povezan z y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je liha: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Torej,

Ko konstruiramo y = arcsin (sin x) na , nadaljujemo simetrično glede na izhodišče na [- ; 0] glede na nenavadnost te funkcije. S periodičnostjo nadaljujemo vzdolž celotne številske premice.

Nato zapišite nekaj odnosov: arcsin (sin a) = a če<= a <= ; arccos (cos a ) = a, če je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a če< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

In naredite naslednje vaje:a) arccos(sin 2).Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Odgovor: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Funkcije sin, cos, tg in ctg vedno spremljajo arksinus, arkosinus, arktangens in arkotangens. Eno je posledica drugega in pari funkcij so enako pomembni za delo s trigonometričnimi izrazi.

Razmislite o risbi enotskega kroga, ki grafično prikazuje vrednosti trigonometričnih funkcij.

Če izračunamo loke OA, arcos OC, arctg DE in arcctg MK, potem bodo vsi enaki vrednosti kota α. Spodnje formule odražajo razmerje med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami in njihovimi ustreznimi loki.

Da bi razumeli več o lastnostih arkusina, je treba upoštevati njegovo funkcijo. Urnik ima obliko asimetrične krivulje, ki poteka skozi koordinatno središče.

Lastnosti arkusina:

Če primerjamo grafe greh in arcsin, imata lahko dve trigonometrični funkciji skupne vzorce.

ark kosinus

Arccos števila je vrednost kota α, katerega kosinus je enak a.

Krivulja y = arcos x zrcali graf arcsin x, z edino razliko, da gre skozi točko π/2 na osi OY.

Oglejmo si podrobneje funkcijo ark kosinusa:

1. Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
2. ODZ za arccos - .
3. Graf se v celoti nahaja v prvi in ​​drugi četrtini, sama funkcija pa ni niti soda niti liha.
4. Y = 0 pri x = 1.
5. Krivulja se po celotni dolžini zmanjšuje. Nekatere lastnosti ark kosinusa sovpadajo s kosinusno funkcijo.

Nekatere lastnosti ark kosinusa sovpadajo s kosinusno funkcijo.

Morda se bo šolarjem tako "podrobno" preučevanje "lokov" zdelo nepotrebno. Sicer pa lahko nekatere osnovne standardne izpitne naloge študente zapeljejo v slepo ulico.

1. vaja. Označite funkcije, prikazane na sliki.

odgovor: riž. 1 – 4, sl. 2 – 1.

V tem primeru je poudarek na malenkostih. Običajno so učenci zelo nepozorni na sestavo grafov in videz funkcij. Dejansko, zakaj bi si zapomnili vrsto krivulje, če jo je vedno mogoče narisati z izračunanimi točkami. Ne pozabite, da bo v testnih pogojih čas, porabljen za risanje preproste naloge, potreben za reševanje bolj zapletenih nalog.

Arktangens

Arctgštevili a sta vrednost kota α, katerega tangens je enak a.

Če upoštevamo graf arktangensa, lahko izpostavimo naslednje lastnosti:

1. Graf je neskončen in definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens je liha funkcija, zato je arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 pri x = 0.
4. Krivulja narašča skozi celotno območje definicije.

Naj predstavimo kratko primerjalno analizo tg x in arctg x v obliki tabele.

Arkotangens

Arcctg števila - vzame vrednost α iz intervala (0; π), tako da je njegov kotangens enak a.

Lastnosti funkcije ark kotangens:

1. Interval definicije funkcije je neskončen.
2. Razpon sprejemljivih vrednosti je interval (0; π).
3. F(x) ni niti sodo niti liho.
4. Po vsej dolžini se graf funkcije znižuje.

Zelo preprosto je primerjati ctg x in arctg x; samo naredite dve risbi in opišite obnašanje krivulj.

Naloga 2. Poveži graf in zapis funkcije.

Če logično razmišljamo, je iz grafov razvidno, da obe funkciji naraščata. Zato obe sliki prikazujeta določeno arktanovo funkcijo. Iz lastnosti arktangenta je znano, da je y=0 pri x = 0,

odgovor: riž. 1 – 1, sl. 2 – 4.

Trigonometrične identitete arcsin, arcos, arctg in arcctg

Prej smo že ugotovili razmerje med loki in osnovnimi funkcijami trigonometrije. To odvisnost je mogoče izraziti s številnimi formulami, ki omogočajo izražanje na primer sinusa argumenta prek njegovega arksinusa, arkkosinusa ali obratno. Poznavanje takšnih identitet je lahko koristno pri reševanju konkretnih primerov.

Obstajajo tudi razmerja za arctg in arcctg:

Drug uporaben par formul nastavi vrednost za vsoto arcsin in arcos ter arcctg in arcctg istega kota.

Primeri reševanja problemov

Trigonometrične naloge lahko razdelimo v štiri skupine: izračunajte številsko vrednost določenega izraza, zgradite graf dane funkcije, poiščite njeno definicijsko domeno ali ODZ in izvedite analitične transformacije za rešitev primera.

Pri reševanju prve vrste problema se morate držati naslednjega akcijskega načrta:

Pri delu s funkcijskimi grafi je glavno poznavanje njihovih lastnosti in videza krivulje. Reševanje trigonometričnih enačb in neenačb zahteva identifikacijske tabele. Več formul si študent zapomni, lažje najde odgovor na nalogo.

Recimo, da morate na enotnem državnem izpitu najti odgovor za enačbo, kot je:

Če pravilno preoblikujete izraz in ga pripeljete v želeno obliko, potem je rešitev zelo preprosta in hitra. Najprej premaknimo arcsin x na desno stran enakosti.

Če se spomnite formule arcsin (sin α) = α, potem lahko iskanje odgovorov zmanjšamo na reševanje sistema dveh enačb:

Omejitev na model x je nastala, spet iz lastnosti arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Ko je a ≠0, je del sistema kvadratna enačba s korenoma x1 = 1 in x2 = - 1/a. Ko je a = 0, bo x enak 1.

Ker so trigonometrične funkcije periodične, njihove inverzne funkcije niso edinstvene. Torej, enačba y = greh x, za dano , ima neskončno veliko korenin. Dejansko zaradi periodičnosti sinusa, če je x tak koren, potem je tudi x + 2πn(kjer je n celo število) bo tudi koren enačbe. torej inverzne trigonometrične funkcije so večvredni. Za lažje delo z njimi je uveden koncept njihovih glavnih pomenov. Upoštevajte na primer sinus: y = greh x. Če omejimo argument x na interval , potem je na njem funkcija y = greh x monotono narašča. Zato ima edinstveno inverzno funkcijo, ki se imenuje arcsinus: x = arcsin y.

Če ni navedeno drugače, z inverznimi trigonometričnimi funkcijami razumemo njihove glavne vrednosti, ki jih določajo naslednje definicije.

arksinus ( y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa ( x = siny
Arkus kosinus ( y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa ( x = ker y), ki ima domeno definicije in nabor vrednosti.
Arktangens ( y = arctan x) je inverzna funkcija tangente ( x = tg y), ki ima domeno definicije in nabor vrednosti.
arkkotangens ( y = arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa ( x = ctg y), ki ima domeno definicije in nabor vrednosti.

Grafi inverznih trigonometričnih funkcij

Grafe inverznih trigonometričnih funkcij dobimo iz grafov trigonometričnih funkcij z zrcalnim odbojem glede na premico y = x. Glej razdelke Sinus, kosinus, Tangens, kotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Osnovne formule

Pri tem bodite še posebej pozorni na intervale, za katere veljajo formule.

arcsin(sin x) = x pri
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x pri
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x pri
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x pri
ctg(arcctg x) = x

Formule, ki povezujejo inverzne trigonometrične funkcije

Poglej tudi: Izpeljava formul za inverzne trigonometrične funkcije

Formule vsote in razlike

pri oz

pri in

pri in

pri oz

pri in

pri in

pri

pri

pri

pri

pri

pri

pri

pri

pri

pri

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

(krožne funkcije, ločne funkcije) - matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam.

ark kosinus, inverzna funkcija na cos (x = cos y), y = arccos x je definiran pri in ima veliko vrednosti. Z drugimi besedami, vrne kot po njegovi vrednosti cos.

ark kosinus(oznaka: arccos x; arccos x je kot, katerega kosinus je enak x in tako naprej).

funkcija y = cos x je zvezna in omejena vzdolž celotne številske premice. funkcija y = arccos x striktno pada.

Lastnosti funkcije arcsin.

Pridobivanje funkcije arccos.

Glede na funkcijo y = cos x. Skozi celotno področje definicije je po delih monotono in zato obratna korespondenca y = arccos x ni funkcija. Zato bomo upoštevali segment, na katerem se strogo zmanjša in prevzame vse svoje vrednosti - . Na tem segmentu y = cos x zmanjša strogo monotono in sprejme vse svoje vrednosti samo enkrat, kar pomeni, da je na segmentu inverzna funkcija y = arccos x, katerega graf je simetričen grafu y = cos x na razmeroma ravnem segmentu y = x.