Predstavitev kombinacij in njihovih lastnosti. Predstavitev za lekcijo algebre in začetki analize na temo "Kombinatorika: premiki, permutacije, kombinacije"
Za uporabo predogleda predstavitev ustvarite Google račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com
Podnapisi diapozitivov:
Kombinacije
Kombinacije Število vseh izbir n elementov iz m podatkov ne glede na vrstni red se imenuje število kombinacij m elementov z n. Vse kombinacije se med seboj razlikujejo vsaj v enem elementu; Vrstni red elementov tukaj ni pomemben; Razlika med kombinacijo in postavitvijo je v tem, da če preuredite elemente v postavitvi, dobite drugačno razporeditev, vendar kombinacija ni odvisna od vrstnega reda elementov, ki so vanjo vključeni.
Kombinacije Število vseh izbir n elementov iz m podatkov ne glede na vrstni red se imenuje število kombinacij m elementov z n. Najdi: Število kombinacij od 6 do 3: Število kombinacij od 4 do 4:
Problem številka 1 Izmed 20 študentov morate izbrati dva dežurna. Na koliko načinov je to mogoče storiti? Rešitev: Izbrati je treba dve osebi izmed 20. Jasno je, da nič ni odvisno od vrstnega reda izbire, to je Ivanov - Petrov ali Petrov - Ivanov - to je isti par spremljevalcev. Zato bodo to kombinacije 20 proti 2.
Naloga številka 2. Minotaver ima v svojem labirintu 25 ujetnikov. a) Na koliko načinov lahko izbere tri za zajtrk, kosilo in večerjo? b) In na koliko načinov lahko osvobodimo tri ujetnike? Rešitev: A) Vrstni red je pomemben. b) Vrstni red ni pomemben
Naloga številka 3 V razredu je 27 učencev, med katerimi je treba izbrati tri. Na koliko načinov je to mogoče storiti, če: a) mora prvi učenec rešiti nalogo, drugi mora iti po kredo, tretji mora dežurati v menzi; b) naj pojejo v zboru? 6
Na koliko različnih načinov je mogoče iz sedmih udeležencev matematičnega krožka sestaviti ekipo dveh ljudi, ki bo sodelovala na olimpijadi? Naloga št. 4
Naloga №5 V oddelku dela 5 vodilnih in 8 vodilnih delavcev. Na službeno pot je treba poslati dva vodilna in dva višja raziskovalca. Na koliko načinov je mogoče izbrati?
Iz premešanega kompleta 36 kart so naključno izžrebane 4 karte. Kakšna je verjetnost, da so vse izvlečene karte asi? Naloga št. 6
Naloga št. 7 V seriji 50 delov je 10 pokvarjenih. Iz serije so naključno vzeti štirje deli. Ugotovite, kakšna je verjetnost, da so vsi štirje deli okvarjeni. Skupni izidi: Ugodni izidi: Verjetnost.
Predstavitev "Kombinacije" je vizualni pripomoček za obravnavo teme "Kombinacije" pri preučevanju osnov kombinatorike v 9. razredu. Nazorna vizualna predstavitev učne snovi prispeva k boljši učinkovitosti pouka, hitrejšemu doseganju ciljev pouka. Predstavitev vsebuje primere kombinacij, ki vodijo do definicije pojma, definicijo, namenjeno zapisovanju v zvezku in pomnjenju, obravnava značilnosti pojma in iskanje njegovega pomena, matematični aparat za reševanje problemov s kombinacijami, primere problemov reševanje.
V tej predstavitvi so za boljše razumevanje gradiva uporabljeni primeri, ki so jasno prikazani na slikah. S pomočjo prosojnic in animacij je gradivo strukturirano, poudarjeni so pomembni pojmi in podrobnosti. Na splošno taka predstavitev razbremeni učitelja potrebe po uporabi drugih orodij in predmetov za jasnost. Predstavitev lahko spremlja učiteljevo razlago o temi, jasno in nazorno prikaže značilnosti pojmov, ki se preučujejo.
Predstavitev se začne z uvodom v temo. Nato je prikazana rešitev problema, v kateri je treba najti število šopkov treh vrtnic ob prisotnosti 5 vrtnic različnih barv. Na sliki je 5 vrtnic različnih barv, ki so označene z a, b, c, d, e. Najprej se upoštevajo vse možnosti, ki jih je mogoče zložiti z rumeno vrtnico. Na zaslonu se po vrsti prikažejo vsi šopki z rumeno vrtnico. Teh je 6, in če takšne šopke označimo s črkami, potem so to abc, abd, abe, acd, as, ade. Sledijo vse možnosti, ki jih je mogoče zložiti brez rumene vrtnice. Na zaslonu je prikazana rdeča vrtnica in nato - tri možnosti z rdečo vrtnico. Če dobljene kombinacije označimo s črkami, so dobljene možnosti bcd, bce, bde. Preostale tri vrtnice lahko sestavljajo samo en šopek brez rdečih in rumenih vrtnic - cde. Če povzamemo rešitev, je treba opozoriti, da je rešitev mogoče dodati na 10 načinov. Na zaslonu so prikazane vse možne možnosti za šopke. Število možnih kombinacij je označeno s C 5 3 =10. Ta primer je služil kot uvod v pojem kombinacij v kombinatoriki. Hkrati je definicija kombinacije posebej označena na diapozitivu 8 in zaprta v okvir za pomnjenje. Kombinacije so definirane kot niz, ki je sestavljen iz k elementov, izbranih izmed nekaj n elementov.
Diapozitiv 9 opozarja na pomembno značilnost kombinacij, to je, da vrstni red elementov ni pomemben. Edina razlika med kombinacijami elementov je razlika v vsaj enem elementu. Kombinacije v matematiki označujemo s C n k . Ta oznaka se bere kot število kombinacij n elementov s k. Oznaka je označena na diapozitivu 10 in uokvirjena za pomnjenje.
Nadalje z obravnavanim primerom določimo matematični aparat za iskanje števila kombinacij. Za šopke vrtnic, o katerih smo govorili na začetku predstavitve, je bilo ugotovljeno, da je C 5 3 =10. Za prikaz formule za število kombinacij n elementov s k za k≤n so na zaslonu prikazane vse možne možnosti za postavitev vrtnic v šopke. Spomnimo se, da so permutacije v tem primeru definirane kot P 3 , število umestitev pa je v skladu s sprejetim zapisom enako A 5 3 . Število kombinacij je mogoče določiti s formulo, ki izraža število kombinacij glede na število umestitev in permutacij. Opozoriti je treba, da formula, ki določa število kombinacij, izhaja iz formule C 5 3 .P 3 =A 5 3 . Kaže, da bo število kombinacij C 5 3 =(A 5 3)/P 3 .
Na diapozitivu 14 je formula, izpeljana za iskanje števila kombinacij v tem primeru za iskanje števila šopkov tribarvnih vrtnic, sestavljenih iz 5 danih vrtnic, razširjena na splošni primer. Na splošno je formula za število kombinacij n x k elementov za k≤n izražena v smislu števila permutacij P k in števila umestitev A n k . Ker A n k \u003d C n k .P k , potem v splošnem primeru število kombinacij najdemo s formulo C n k \u003d (A n k) / P k . Če v to formulo nadomestimo izraze, s katerimi najdemo vrednost A n k in vrednost P k, potem dobimo splošno formulo za iskanje števila kombinacij: C n k =n!/k!(n-k)!. Ta formula je označena z barvo za pomnjenje, saj boste z njeno uporabo v nalogah morali najti vrednost števila kombinacij.
Diapozitiv 16 prikazuje primer reševanja problema, v katerem morate najti število kombinacij. Naloga je ugotoviti, na koliko načinov je mogoče izbrati 3 svinčnike iz kompleta 12 svinčnikov. Očitno je ta operacija kombinacija, saj vrstni red izbrane vrstice elementov ni pomemben. Število kombinacij je določeno s formulo C n k =n!/k!(n-k)!. Če nadomestimo vrednosti iz problema v to formulo, dobimo C 12 3 =12!/(3!.9!)=(10.11.12)/(1.2.3)=220.
Slide 17 obravnava rešitev drugega problema, pri katerem je treba najti število načinov, kako izbrati štiri dečke in tri dekleta za tekmovanja iz razreda, kjer je 12 deklet in 14 dečkov. Očitno se skupina za tekmovanje sestavlja s kombinacijami 4 od 14 fantov in kombinacijami 3 od 12 deklet. Skupno število kombinacij bo enako produktu C 14 4 .C 12 3 . Po izvedbi izračunov je rezultat število načinov - 220220.
Predstavitev "Kombinacije" priporočamo kot vizualni pripomoček za lekcijo algebre na to temo. Tudi to gradivo se lahko uporablja za izvedbo lekcije učenja na daljavo. Jasna podrobna razlaga gradiva bo učencem pomagala pri samostojnem razumevanju koncepta kombinacij in reševanju tovrstnih problemov.
diapozitiv 2
Kombinacije
Definicija 1 Kombinacija n elementov s k je katera koli množica po parih različnih k elementov, izbranih na kakršen koli način izmed danih n elementov. Z drugimi besedami, k-kombinacija je podmnožica k-elementov nabora n-elementov. Primer. Dano veliko. Naredimo 2 kombinaciji:
diapozitiv 3
Izrek 1 Število k-kombinacij n-elementnega niza izračunamo po formuli Dokaz. Iz vsake k-kombinacije, preurejanje njenih elementov na vse možne načine, dobimo k! umestitve. Torej od tukaj
diapozitiv 4
Primer
Na koliko načinov je mogoče izbrati 3 čokoladice izmed 5 razpoložljivih tablic? rešitev. Naloga se zmanjša na izračun števila kombinacij od 5 do 3
diapozitiv 5
Kombinacijske lastnosti
1) Dokaz: 2) Dokaz:
diapozitiv 6
3) Dokaz: 4) Dokaz:
Diapozitiv 7
Binomski izrek
Dokaz. Nadaljujemo z dokazom z indukcijo na n. Osnova indukcije. Za n=1 ima Newtonov binom obliko S poenostavitvijo izraza dobimo pravilno enakost 2) Induktivna predpostavka. Recimo, da za n=t velja enakost
Diapozitiv 8
3) Induktivni prehod. Dokažimo, da za n=t+1 enakost velja.Za to pomnožimo levi in desni del v enakosti induktivne predpostavke z. Dobiti
Diapozitiv 9
Razširimo oklepaje na desni strani enakosti. Podamo podobne. Uporabimo lastnosti števila kombinacij.
Diapozitiv 10
Posledice Newtonovega binoma
dobljeno iz Newtonovega binoma pri dobljeno iz Newtonovega binoma pri 1) Enakost 2) Enakost
diapozitiv 11
Kombinacije s ponovitvami
diapozitiv 12
Kombinacija s ponovitvami
Definicija 1 Kombinacija n elementov s k je katera koli množica k elementov, izbranih na kakršen koli način izmed danih n elementov. Primer: Podana je množica A=. Naredimo 2 kombinaciji s ponovitvami:
diapozitiv 13
Število kombinacij s ponovitvami
1. izrek. Število k-kombinacije s ponovitvami niza n elementov izračunamo po formuli Dokaz. Lema. Število urejenih nizov 0 in 1 dolžine n, sestavljenih iz k enic, je enako. Dokaz leme. Urejeni niz 0 in 1 je enolično določen z izbiro lokacij za enice. Število različnih možnosti izbire k mest za enote izračunamo po formuli Lema je dokazana.
Diapozitiv 14
Iz elementov množice gradimo k-kombinacije s ponovitvami V vsako tako množico najprej postavimo elemente vrste, nato vrsto itd. Vsaki k-kombinaciji s ponovitvami je pripisano zaporedje 0 in 1 dolžine n + k-1, število enic v tem zaporedju je k, število ničel je n-1. Vsaka 0 ločuje nize različnih vrst. Vsaka k-kombinacija s ponovitvami enolično določa navedeno zaporedje in obratno. Po lemi obstajajo takšna zaporedja. pomeni,
diapozitiv 15
Primer
Trgovina prodaja 4 vrste tort. Na koliko načinov je mogoče kupiti 7 tort? rešitev. Uporabljamo formulo za število kombinacij s ponovitvami, saj bo nakup vseboval torte ponavljajočih se vrst.
diapozitiv 16
vrteča miza
Diapozitiv 17
Reševanje problema
Diapozitiv 18
Naloge
1) Pošta prodaja 5 vrst internetnih kartic. Na koliko načinov je mogoče v njej kupiti 3 različne karte? Na koliko načinov je mogoče kupiti 3 karte? rešitev. Na prvo vprašanje bomo odgovorili s formulo za število kombinacij brez ponovitev, ker so karte različne, na drugo vprašanje bomo odgovorili s formulo za število kombinacij s ponovitvami, saj ni rečeno, da karte različnih vrst, kar pomeni, da se vrste kart lahko ponavljajo
Diapozitiv 19
2) V razredu je 8 fantov in 9 deklet. Na koliko načinov lahko izberemo skupino otrok, sestavljeno iz 4 fantov in 3 deklet? rešitev. Izberemo štiri fantke od 8, tri deklice od 9. Po pravilu množenja dobimo
Diapozitiv 20
3) Z Newtonovim binomom odprite oklepaje. rešitev.
diapozitiv 21
4) Na koliko načinov lahko 6 enakih pomaranč razdelimo med tri otroke? rešitev. Ker sta pomaranči enaki, ju sploh ni mogoče uporabiti kot 6 različnih elementov kompleta. Razmislite o nizu, sestavljenem iz treh otrok. Za pomaranče bomo izbrali otroke. Uporabljamo formulo za število kombinacij s ponovitvami, saj lahko en otrok dobi več pomaranč ali pa ne eno.
diapozitiv 22
5) Na koliko načinov je mogoče 5 enakih tiskalnikov, 3 telefone, 7 monitorjev razdeliti med 4 podjetja? rešitev. Najprej razdelimo tiskalnike, potem telefone in na koncu monitorje. Z uporabo pravila množenja dobimo
diapozitiv 23
6) Na koliko načinov lahko kodiramo vrata, če se odprejo s hkratnim pritiskom določenega števila različnih številk? Koda je lahko sestavljena iz 1, ali 2, ali ... ali 10 številk. Za enomestno kodo so različne možnosti, za dvomestno, ..., za desetmestno. Po pravilu dodajanja dobimo Uporabili smo posledico iz Newtonovega binoma.
diapozitiv 24
Vprašanja: Primerjaj izraze C A Izračunaj C k n n k 8 2
Ogled vseh diapozitivov
Permutacije Prenočišča Kombinacije Verjetnost
MOU srednja šola št. 30 Volgograd
Učiteljica matematike Skleinova N.I.
Faktoriel
Definicija 1
Faktorial je produkt prvih n naravnih števil
n! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!= 1*2*3*4=24
5!=1*2*3*4*5=120
Permutacije
Definicija 2
Permutacija n elementov je vsaka razporeditev teh elementov v določenem vrstnem redu. P=n!
Primer 1
Na koliko načinov je mogoče 8 udeležencev finalne tekme postaviti na osem tekalnih stez?
R 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320 (načini)
Prenočišča
Definicija 3
Razporeditev n elementov po k (k≤ n) je vsaka množica, sestavljena iz poljubnih k elementov, vzetih v določenem vrstnem redu iz danih n elementov
Primer 2
Učenci drugega razreda se učijo 8 predmetov. Na koliko načinov lahko sestavite urnik za en dan tako, da bo imel 4 različne predmete?
A 8 4 =8*7*6*5= 1680 (načini)
A n k =
Kombinacije
Definicija 4
Kombinacija n elementov s k je vsaka množica, sestavljena iz k elementov, izbranih izmed danih n elementov
Z n k =
Primer 3
Izmed 15 članov turistične skupine je treba izbrati tri dežurne osebe. Na koliko načinov se lahko ta izbira?
Z 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455 (načini)
Verjetnost
Definicija 5
Verjetnost dogodka A je razmerje med številom ugodnih izidov N (A) testa in številom vseh enako možnih izidov N
P (A) \u003d N (A) / N
Primer 4
Od 25 izpitnih nalog iz geometrije je študent pripravil 11 prvih in 8 zadnjih nalog. Kakšna je verjetnost, da bo na izpitu dobil listek, ki ga ni pripravil?
P(A)=(25-11-8)/25= 0,24
Seštevanje verjetnosti
Opredelitev 6
Če dogodek C pomeni, da se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov: A ali B, potem je verjetnost dogodka C enaka vsoti verjetnosti dogodkov A in B.
P(C)=P(A)+P(B)
Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je 1
P(A)+P( A )=1
Množenje verjetnosti
Opredelitev 7
Če dogodek C pomeni skupen pojav dveh neodvisnih dogodkov A in B, potem je verjetnost dogodka C enaka produktu verjetnosti dogodkov A in B.
P(C)=P(A)*P(B)
Verjetnost
Vsota verjetnosti
Vsota verjetnosti dveh dogodkov je enaka vsoti verjetnosti zmnožka teh dogodkov in verjetnosti vsote teh dogodkov
P (A) + P (B) \u003d P (A * B) + P (A + B)
Verjetnost vsote
Verjetnost vsote dveh dogodkov je enaka razliki med vsoto verjetnosti teh dogodkov in produktom verjetnosti teh dogodkov.
P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (A) * P (B)
Naloga 1
rešitev
Pogoj
Verjetnost vsakega zadetkov je enako 0,8.
Biatlonec strelja na tarče 5-krat. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Poiščite verjetnost, da je biatlonec prve 3-krat zadel tarčo in zadnja 2-krat zgrešil. Rezultat zaokrožite na najbližjo stotino.
Verjetnost vsakega zgrešiti je enako 1-0,8= 0,2 .
Po formuli za množenje verjetnosti dobimo
P(A )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2
P(A )= 0,02048 0,02
Odgovor: 0,02
Naloga 2
Pogoj
rešitev
V Pravljični deželi obstajata dve vrsti vremena: dobro in odlično, vreme pa, ko se zjutraj ustali, ostane ves dan nespremenjeno. Znano je, da bo z verjetnostjo 0,6 jutri vreme takšno kot danes. Danes je 18. september, vreme v Pravljični deželi je dobro. Poiščite verjetnost, da bo 21. septembra v Pravljični deželi odlično vreme.
Ker je 18. septembra vreme dobro, potem je 19. septembra vreme dobro z verjetnostjo 0,6, odlično pa z verjetnostjo 0,4.
Če je 19. septembra lepo vreme, potem je 20. septembra verjetnost lepega vremena 0,6*0,6=0,36
Verjetnost odličnega vremena je 0,6*0,4=0,24
Podobno, če je vreme odlično 19. septembra, potem bo z verjetnostjo 0,4 * 0,6 \u003d 0,24 odlično tudi 20. septembra. Vreme bo 20. septembra lepo z verjetnostjo 0,4 * 0,4 = 0,16.
Če trdimo podobno, dobimo, da bo verjetnost odličnega vremena 21. septembra enaka verjetnosti vsote: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496
Naloga 3
Pogoj
rešitev
Avtomatska linija izdeluje baterije. Verjetnost, da je končna baterija okvarjena, je 0,02. Pred pakiranjem gre vsaka baterija skozi nadzorni sistem. Verjetnost, da bo sistem blokiral slabo baterijo, je 0,98. Verjetnost, da bo sistem pomotoma blokiral zdravo baterijo, je 0,03. Poiščite verjetnost, da bo naključno izbrano proizvedeno baterijo blokiral nadzorni sistem.
Naj bo dogodek A = (baterija bo blokirana), potem lahko verjetnost pojava tega dogodka najdemo kot zvezo presečišč dogodkov.
P(A)=0,02*0,98+0,98*0,03
P(A)=0,98(0,02+0,03)
P(A)=0,98*0,05= 0,049
Odgovor: 0,049
Literatura
- Makarychev Yu.N. Algebra: elementi statistike in teorije verjetnosti: učbenik. dodatek za splošnoizobraževalce. institucije. Založba "Razsvetljenje", 2003
- Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra in začetek matematične analize. Del 1. Učbenik za izobraževalne organizacije. Založba Mnemosyne, 2015
- Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu. Matematika. Priprave na izpit-2016. Založba LLC "Legion", 2015
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. UPORABA 2016. Matematika. Teorija verjetnosti. Delovni zvezek. Založba MTSNMO, 2016
