Inverzna funkcija. Teorija in uporaba C 3 inverzna funkcija možnost 2

Naj obstaja funkcija y=f(x), X je njena definicijska domena, Y je njeno območje vrednosti. Vemo, da vsak x 0  ustreza eni sami vrednosti y 0 =f(x 0), y 0 Y.

Lahko se izkaže, da vsak y (ali njegov del  1) ustreza tudi enemu x iz X.

Potem pravijo, da je na območju  (ali njegovem delu  ) funkcija x=y definirana kot inverzna funkcija za funkcijo y=f(x).

Na primer:

X =(); Y=$

Ker je ta funkcija padajoča in zvezna na intervalu $X$, potem na intervalu $Y=$, ki je prav tako padajoča in zvezna na tem intervalu (1. izrek).

Izračunajmo $x$:

\ \

Izberite primerne $x$:

odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Težave pri iskanju inverznih funkcij

V tem delu bomo obravnavali inverzne funkcije za nekatere elementarne funkcije. Težave bomo reševali po zgornji shemi.

Primer 2

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=x+4$

Poiščimo $x$ iz enačbe $y=x+4$:

Primer 3

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=x^3$

rešitev.

Ker je funkcija naraščajoča in zvezna na celotnem definicijskem področju, ima po izreku 1 na njem inverzno zvezno in naraščajočo funkcijo.

Poiščimo $x$ iz enačbe $y=x^3$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Vrednost je primerna v našem primeru (ker so domena definicije vsa števila)

Ponovno definirajmo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Primer 4

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=cosx$ na intervalu $$

rešitev.

Razmislite o funkciji $y=cosx$ na množici $X=\left$. Je zvezna in padajoča na množici $X$ in preslika množico $X=\left$ na množico $Y=[-1,1]$, torej po izreku o obstoju inverzne zvezne monotone funkcije funkcija $y=cosx$ v množici $Y$ obstaja inverzna funkcija, ki je prav tako zvezna in naraščajoča v množici $Y=[-1,1]$ in preslika množico $[-1,1]$ na množico $\levo$.

Poiščimo $x$ iz enačbe $y=cosx$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Ponovno definirajmo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Primer 5

Poiščite inverzno funkcijo za funkcijo $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

rešitev.

Razmislite o funkciji $y=tgx$ na množici $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Je zvezna in naraščajoča na množici $X$ in preslika množico $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na množico $Y =R$ ima torej po izreku o obstoju inverzne zvezne monotone funkcije funkcija $y=tgx$ v množici $Y$ inverzno funkcijo, ki je prav tako zvezna in naraščajoča v množici $Y=R $ in preslika množico $R$ v množico $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Poiščimo $x$ iz enačbe $y=tgx$:

Iskanje ustreznih vrednosti $x$

Ponovno definirajmo spremenljivke, dobimo, da ima inverzna funkcija obliko

Naleteli smo že na problem, ko je bilo treba glede na dano funkcijo f in dano vrednost njenega argumenta izračunati vrednost funkcije na tej točki. Toda včasih se morate soočiti z inverznim problemom: najti vrednost argumenta, pri katerem funkcija zavzame dano vrednost y, glede na znano funkcijo f in njeno določeno vrednost y.

Funkcija, ki sprejme vsako od svojih vrednosti na eni sami točki v svoji domeni definicije, se imenuje invertibilna funkcija. Na primer, linearna funkcija bi bila invertibilna funkcija. Toda kvadratna funkcija ali sinusna funkcija ne bosta invertibilni funkciji. Ker lahko funkcija sprejme isto vrednost z različnimi argumenti.

Inverzna funkcija

Predpostavimo, da je f neka poljubna invertibilna funkcija. Vsako število iz domene svojih vrednosti y0 ustreza samo enemu številu iz domene definicije x0, tako da je f(x0) = y0.

Če zdaj vsako vrednost x0 povežemo z vrednostjo y0, bomo dobili novo funkcijo. Na primer, za linearno funkcijo f(x) = k * x + b bo funkcija g(x) = (x - b)/k njena inverzna funkcija.

Če kakšna funkcija g na vsaki točki X območje vrednosti invertibilne funkcije f zavzame takšno vrednost, da je f(y) = x, potem pravimo, da funkcija g- obstaja inverzna funkcija za f.

Če nam je dan graf neke inverzibilne funkcije f, potem lahko za sestavo grafa inverzne funkcije uporabimo naslednjo izjavo: graf funkcije f in njene inverzne funkcije g bosta simetrična glede na premico premica, določena z enačbo y = x.

Če je funkcija g inverzna funkciji f, potem bo funkcija g invertibilna funkcija. In funkcija f bo inverzna funkciji g. Običajno pravimo, da sta dve funkciji f in g medsebojno inverzni.

Naslednja slika prikazuje grafa funkcij f in g, ki sta med seboj inverzni.

Izpeljimo naslednji izrek: če funkcija f narašča (ali pada) na nekem intervalu A, potem je obrnljiva. Inverzna funkcija g, definirana v območju vrednosti funkcije f, je tudi naraščajoča (ali ustrezno padajoča) funkcija. Ta izrek se imenuje izrek o inverzni funkciji.