Reši enačbo 2 4. Reševanje linearnih enačb s primeri
Pri predmetu matematika v 7. razredu se prvič srečamo enačbe z dvema spremenljivkama, vendar jih proučujemo le v okviru sistemov enačb z dvema neznankama. Zato pade izpred oči cela vrsta problemov, pri katerih so na koeficiente enačbe uvedeni določeni pogoji, ki jih omejujejo. Poleg tega so zanemarjene tudi metode za reševanje problemov, kot je "Reši enačbo v naravnih ali celih številih", čeprav se tovrstne težave vse pogosteje pojavljajo v gradivu enotnega državnega izpita in na sprejemnih izpitih.
Katero enačbo bomo imenovali enačba z dvema spremenljivkama?
Tako so na primer enačbe 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ali xy = 12 enačbe v dveh spremenljivkah.
Razmislite o enačbi 2x – y = 1. Postane resnična, ko sta x = 2 in y = 3, zato je ta par vrednosti spremenljivke rešitev zadevne enačbe.
Tako je rešitev katere koli enačbe z dvema spremenljivkama niz urejenih parov (x; y), vrednosti spremenljivk, ki to enačbo spremenijo v pravo numerično enakost.
Enačba z dvema neznankama lahko:
A) imeti eno rešitev. Na primer, enačba x 2 + 5y 2 = 0 ima edinstveno rešitev (0; 0);
b) imajo več rešitev. Na primer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rešitve: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nimajo rešitev. Na primer, enačba x 2 + y 2 + 1 = 0 nima rešitev;
G) imajo neskončno veliko rešitev. Na primer, x + y = 3. Rešitve te enačbe bodo števila, katerih vsota je enaka 3. Množico rešitev te enačbe lahko zapišemo v obliki (k; 3 – k), kjer je k poljubno realno število.
Glavne metode za reševanje enačb z dvema spremenljivkama so metode, ki temeljijo na faktoriziranju izrazov, izolaciji celotnega kvadrata, uporabi lastnosti kvadratne enačbe, omejenih izrazov in metod ocenjevanja. Enačbo običajno pretvorimo v obliko, iz katere lahko dobimo sistem za iskanje neznank.
Faktorizacija
Primer 1.
Reši enačbo: xy – 2 = 2x – y.
rešitev.
Združimo izraze za namene faktorizacije:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz vsakega oklepaja izvzamemo skupni faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:
y = 2, x – poljubno realno število ali x = -1, y – poljubno realno število.
torej odgovor so vsi pari oblike (x; 2), x € R in (-1; y), y € R.
Enakost nenegativnih števil na nič
Primer 2.
Rešite enačbo: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
rešitev.
Združevanje:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Zdaj lahko vsak oklepaj prepognemo s formulo razlike na kvadrat.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Vsota dveh nenegativnih izrazov je nič le, če je 3x – 2 = 0 in 2y – 3 = 0.
To pomeni x = 2/3 in y = 3/2.
Odgovor: (2/3; 3/2).
Metoda ocenjevanja
Primer 3.
Rešite enačbo: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
rešitev.
V vsakem oklepaju izberemo celoten kvadrat:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ocenimo 
pomen izrazov v oklepajih.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 in (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potem je leva stran enačbe vedno vsaj 2. Enakost je možna, če:
(x + 1) 2 + 1 = 1 in (y – 2) 2 + 2 = 2, kar pomeni x = -1, y = 2.
Odgovor: (-1; 2).
Spoznajmo še eno metodo za reševanje enačb z dvema spremenljivkama druge stopnje. Ta metoda je sestavljena iz obravnavanja enačbe kot kvadrat glede na neko spremenljivko.
Primer 4.
Rešite enačbo: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
rešitev.
Rešimo enačbo kot kvadratno enačbo za x. Poiščimo diskriminanco:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Enačba bo imela rešitev le, ko je D = 0, torej če je y = 4. V prvotno enačbo nadomestimo vrednost y in ugotovimo, da je x = 3.
Odgovor: (3; 4).
Pogosto v enačbah z dvema neznankama kažejo omejitve spremenljivk.
Primer 5.
Rešite enačbo v celih številih: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
rešitev.
Prepišimo enačbo v obliki x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna stran dobljene enačbe, deljena s 5, daje ostanek 2. Zato x 2 ni deljiv s 5. Toda kvadrat a število, ki ni deljivo s 5, daje ostanek 1 ali 4. Tako je enakost nemogoča in ni rešitev.
Odgovor: brez korenin.
Primer 6.
Rešite enačbo: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
rešitev.
Označimo celotne kvadratke v vsakem oklepaju:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Leva stran enačbe je vedno večja ali enaka 3. Enakost je možna, če je |x| – 2 = 0 in y + 3 = 0. Torej je x = ± 2, y = -3.
Odgovor: (2; -3) in (-2; -3).
Primer 7.
Za vsak par negativnih celih števil (x;y), ki ustreza enačbi
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunajte vsoto (x + y). V odgovoru navedite najmanjši znesek.
rešitev.
Izberimo celotne kvadrate:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ker sta x in y celi števili, sta tudi njuna kvadrata cela števila. Vsoto kvadratov dveh celih števil, ki je enaka 37, dobimo, če seštejemo 1 + 36. Torej:
(x – y) 2 = 36 in (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 in (y + 2) 2 = 36.
Z reševanjem teh sistemov in ob upoštevanju, da sta x in y negativna, najdemo rešitve: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Odgovor: -17.
Ne obupajte, če imate težave pri reševanju enačb z dvema neznankama. Z malo vaje lahko obvladate vsako enačbo.
Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti enačbe v dveh spremenljivkah?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Enačba z eno neznanko, ki po odprtju oklepajev in prinašanju podobnih členov dobi obliko
ax + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili linearna enačba z eno neznanko. Danes bomo ugotovili, kako rešiti te linearne enačbe.
Na primer, vse enačbe:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linearno.
Vrednost neznanke, ki spremeni enačbo v pravo enakost, se imenuje odločitev oz koren enačbe .
Na primer, če v enačbi 3x + 7 = 13 namesto neznanega x nadomestimo številko 2, dobimo pravilno enakost 3 2 +7 = 13. To pomeni, da je vrednost x = 2 rešitev ali koren enačbe.
In vrednost x = 3 ne spremeni enačbe 3x + 7 = 13 v resnično enakost, saj je 3 2 +7 ≠ 13. To pomeni, da vrednost x = 3 ni rešitev ali koren enačbe.
Reševanje katere koli linearne enačbe se zmanjša na reševanje enačb oblike
ax + b = 0.
Premaknimo prosti člen z leve strani enačbe na desno in spremenimo znak pred b v nasprotno, dobimo
Če je a ≠ 0, potem je x = ‒ b/a .
Primer 1. Rešite enačbo 3x + 2 =11.
Premaknimo 2 z leve strani enačbe na desno in spremenimo znak pred 2 v nasprotno, dobimo
3x = 11 – 2.
Nato naredimo odštevanje
3x = 9.
Če želite najti x, morate produkt deliti z znanim faktorjem, tj
x = 9:3.
To pomeni, da je vrednost x = 3 rešitev ali koren enačbe.
Odgovor: x = 3.
Če je a = 0 in b = 0, potem dobimo enačbo 0x = 0. Ta enačba ima neskončno veliko rešitev, saj ko katero koli število pomnožimo z 0 dobimo 0, vendar je tudi b enak 0. Rešitev te enačbe je poljubno število.
Primer 2. Rešite enačbo 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Razširimo oklepaje:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Tukaj je nekaj podobnih izrazov:
0x = 0.
Odgovor: x - poljubno število.
Če je a = 0 in b ≠ 0, potem dobimo enačbo 0x = - b. Ta enačba nima rešitev, saj ko katerokoli število pomnožimo z 0, dobimo 0, a b ≠ 0.
Primer 3. Rešite enačbo x + 8 = x + 5.
Združimo izraze z neznankami na levi strani in proste izraze na desni strani:
x – x = 5 – 8.
Tukaj je nekaj podobnih izrazov:
0х = ‒ 3.
Odgovor: ni rešitev.
Vklopljeno Slika 1 prikazuje diagram za reševanje linearne enačbe
Sestavimo splošno shemo za reševanje enačb z eno spremenljivko. Oglejmo si rešitev primera 4.
Primer 4. Recimo, da moramo rešiti enačbo
1) Pomnožite vse člene enačbe z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev, ki je enak 12.
2) Po zmanjšanju dobimo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Če želite ločiti izraze, ki vsebujejo neznane in proste izraze, odprite oklepaj:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) V enem delu združimo izraze, ki vsebujejo neznanke, v drugem pa proste izraze:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Predstavimo podobne izraze:
- 22x = - 154.
6) Delimo z – 22, dobimo
x = 7.
Kot lahko vidite, je koren enačbe sedem.
Na splošno tako enačbe je mogoče rešiti z naslednjo shemo:
a) spravi enačbo v njeno celoštevilsko obliko;
b) odprite oklepaje;
c) v enem delu enačbe združi člene, ki vsebujejo neznanko, v drugem pa proste člene;
d) privabi podobne člane;
e) rešite enačbo oblike aх = b, ki smo jo dobili po vnosu podobnih členov.
Vendar ta shema ni potrebna za vsako enačbo. Pri reševanju številnih enostavnejših enačb morate začeti ne od prve, ampak od druge ( Primer. 2), tretji ( Primer. 13) in celo iz pete stopnje, kot v primeru 5.
Primer 5. Rešite enačbo 2x = 1/4.
Poiščite neznanko x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Poglejmo reševanje nekaterih linearnih enačb, ki jih najdemo na glavnem državnem izpitu.
Primer 6. Rešite enačbo 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Odgovor: - 0,125
Primer 7. Rešite enačbo – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Odgovor: 2.3
Primer 8. Reši enačbo
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Primer 9. Poiščite f(6), če je f (x + 2) = 3 7
rešitev
Ker moramo najti f(6) in poznamo f (x + 2),
potem x + 2 = 6.
Rešimo linearno enačbo x + 2 = 6,
dobimo x = 6 – 2, x = 4.
Če je x = 4, potem
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Odgovor: 27.
Če imate še vedno vprašanja ali želite reševanje enačb razumeti bolj temeljito, se prijavite na moje ure v URNIKU. Z veseljem vam bom pomagal!
TutorOnline priporoča tudi ogled nove video lekcije naše mentorice Olge Alexandrovne, ki vam bo pomagala razumeti tako linearne enačbe kot druge.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Analizirajmo dve vrsti rešitev sistemov enačb:
1. Reševanje sistema z metodo substitucije.
2. Reševanje sistema s počlanskim seštevanjem (odštevanjem) enačb sistema.
Da bi rešili sistem enačb po substitucijski metodi morate slediti preprostemu algoritmu:
1. Ekspresno. Iz poljubne enačbe izrazimo eno spremenljivko.
2. Nadomestek. Dobljeno vrednost nadomestimo v drugo enačbo namesto izražene spremenljivke.
3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko. Najdemo rešitev za sistem.
Rešiti sistem z metodo seštevanja (odštevanja) po členih moram:
1. Izberemo spremenljivko, za katero bomo naredili enake koeficiente.
2. Enačbe seštevamo ali odštevamo, tako da dobimo enačbo z eno spremenljivko.
3. Rešite nastalo linearno enačbo. Najdemo rešitev za sistem.
Rešitev sistema so presečišča funkcijskih grafov.
Oglejmo si podrobno rešitev sistemov z uporabo primerov.
Primer #1:
Rešimo z metodo zamenjave
Reševanje sistema enačb z metodo substitucije2x+5y=1 (1 enačba)
x-10y=3 (2. enačba)
1. Ekspresno
Vidimo, da je v drugi enačbi spremenljivka x s koeficientom 1, kar pomeni, da je spremenljivko x najlažje izraziti iz druge enačbe.
x=3+10y
2. Ko smo jo izrazili, v prvo enačbo namesto spremenljivke x nadomestimo 3+10y.
2(3+10y)+5y=1
3. Reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko.
2(3+10y)+5y=1 (odprite oklepaje)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rešitev sistema enačb so presečišča grafov, zato moramo najti x in y, ker presečišče sestavljata x in y. Poiščemo x, v prvi točki, kjer smo ga izrazili, nadomestimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Običajno pišemo točke, na prvo mesto zapišemo spremenljivko x, na drugo mesto pa spremenljivko y.
Odgovor: (1; -0,2)
Primer #2:
Rešujmo z metodo seštevanja (odštevanja) po členih.
Reševanje sistema enačb z metodo dodajanja3x-2y=1 (1 enačba)
2x-3y=-10 (2. enačba)
1. Izberemo spremenljivko, recimo, da izberemo x. V prvi enačbi ima spremenljivka x koeficient 3, v drugi - 2. Koeficiente moramo narediti enake, za to imamo pravico pomnožiti enačbe ali deliti s poljubnim številom. Prvo enačbo pomnožimo z 2, drugo pa s 3 in dobimo skupni koeficient 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Odštejte drugo od prve enačbe, da se znebite spremenljivke x. Rešite linearno enačbo.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Poišči x. Najdeni y nadomestimo v katerokoli od enačb, recimo v prvo enačbo.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Presečišče bo x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)
Se želite brezplačno pripravljati na izpite? Tutor na spletu zastonj. Brez heca.
