Arcsin sinx grafiği. Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri ve formülleri

Ters trigonometrik fonksiyonlar(dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar.

arksinüs(olarak gösterilir ark sin x; ark sin x- bu açı günah onun eşitleri X).

arksinüs (y = arksin x) - ters trigonometrik fonksiyon günah (x = sin y), bir etki alanına ve bir dizi değere sahip olan . Başka bir deyişle açıyı değerine göre döndürür günah.

İşlev y=sinx süreklidir ve tüm sayı doğrusu boyunca sınırlıdır. İşlev y=arksin x- kesinlikle artar.

Arcsin fonksiyonunun özellikleri.

Arcsine grafiği.

Arcsin fonksiyonunun alınması.

Bir işlev var y = günah x. Tüm tanım alanı boyunca parçalı monotondur, dolayısıyla ters yazışma vardır. y = arksin x bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, yalnızca arttığı ve değer aralığının her değerini aldığı segmenti dikkate alıyoruz - . Çünkü fonksiyon için y = günah x aralıkta, fonksiyonun tüm değerleri argümanın yalnızca bir değeriyle elde edilir; bu, bu aralıkta ters bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir y = arksin x grafiği fonksiyonun grafiğine simetrik olan y = günah x nispeten düz bir segment üzerinde y = x.

Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili problemler sıklıkla okul final sınavlarında ve bazı üniversitelerin giriş sınavlarında sunulmaktadır. Bu konunun detaylı bir şekilde incelenmesi ancak seçmeli derslerde veya seçmeli derslerde yapılabilir. Önerilen ders, her öğrencinin yeteneklerini mümkün olduğunca geliştirmek ve matematik hazırlığını geliştirmek için tasarlanmıştır.

Kurs 10 saat sürmektedir:

1.Arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x fonksiyonları (4 saat).

2.Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili işlemler (4 saat).

3. Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler (2 saat).

Ders 1 (2 saat) Konu: Fonksiyonlar y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Hedef: Bu konunun tam olarak ele alınması.

1.Fonksiyon y = arksin x.

a) Parçadaki y = sin x fonksiyonu için, arksinüs adını vermeyi ve onu şu şekilde göstermeyi kabul ettiğimiz ters (tek değerli) bir fonksiyon vardır: y = arksin x. Ters fonksiyonun grafiği, I - III koordinat açılarının açıortayına göre ana fonksiyonun grafiği ile simetriktir.

y = arcsin x fonksiyonunun özellikleri.

1) Tanım alanı: segment [-1; 1];

2)Değişim alanı: segment;

3)Fonksiyon y = arksin x tek: arksin (-x) = - arksin x;

4) y = arcsin x fonksiyonu monoton olarak artmaktadır;

5) Grafik Ox, Oy eksenlerini orijinde kesiyor.

Örnek 1. a = arcsin'i bulun. Bu örnek ayrıntılı olarak şu şekilde formüle edilebilir: ile ile arasında yer alan ve sinüsü eşit olan bir a argümanı bulun.

Çözüm. Sinüsü eşit olan sayısız argüman vardır, örneğin: vesaire. Ancak biz yalnızca segmentteki argümanla ilgileniyoruz. Bu argüman olacaktır. Bu yüzden, .

Örnek 2. Bul .Çözüm.Örnek 1'dekiyle aynı şekilde tartışarak şunu elde ederiz: .

b) sözlü egzersizler. Bul: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Örnek cevap: , Çünkü . İfadeler anlamlı mı: ; arksin 1.5; ?

c) Artan sırada düzenleyin: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Fonksiyonlar y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (benzer).

Ders 2 (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri.

Amaç: Bu derste değerleri belirleme becerilerini geliştirmek gereklidir. trigonometrik fonksiyonlar D (y), E (y) ve gerekli dönüşümleri kullanarak ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini oluşturmada.

Bu derste, y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos türündeki fonksiyonların tanım tanım kümesini ve değer kümesini bulmayı içeren alıştırmaları tamamlayın.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturmalısınız: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 yaysin 2x; c) y = arksin;

d) y = arksin; e) y = arksin; e) y = arksin; g) y = | arksin | .

Örnek. y = arccos'u çizelim

Ödevinize aşağıdaki alıştırmaları ekleyebilirsiniz: fonksiyonların grafiklerini oluşturun: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Ters Fonksiyonların Grafikleri

3 Nolu Ders (2 saat) Konu:

Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde işlemler.

Amaç: Ters trigonometrik fonksiyonlar için temel ilişkileri tanıtarak matematik bilgisini genişletmek (bu, matematik eğitimi için artan gereksinimleri olan uzmanlık alanlarına girenler için önemlidir).

Ders için materyal.

Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde bazı basit trigonometrik işlemler: sin (arcsin x) = x, i xi ? 1; çünkü (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , xIR; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Egzersizler.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6 olsun;

cos (arcsin x) = ; günah (arccos x) = .

Not: a = arcsin x şartı sağladığı için kökün önüne “+” işaretini alıyoruz.

c) sin (1,5 + arksin) Cevap: ;

d) ctg ( + arctg 3).Cevap: ;

e) tg ( – arcctg 4). Cevap: .

e) cos (0,5 + arccos). Cevap: .

Hesaplamak:

a) günah (2 arktan 5) .

Arctan 5 = a olsun, sonra sin 2 a = veya günah (2 arktan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Cevap: 0,28.

c) arktg + arktg.

a = arctg, b = arctg olsun,

o zaman tg(a + b) = .

d) günah (arksin + arksin).

e) Her x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

Kanıt:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arkcos x)

Kendiniz çözmek için: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Ev çözümü için: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arksin + arksin; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arkctg 5); 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arktg 0,5 – arktg 3.

4 Nolu Ders (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde işlemler.

Hedef: Bu derste daha karmaşık ifadeleri dönüştürürken oranların kullanımını göstermek.

Ders için materyal.

SÖZLÜ OLARAK:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

YAZILI OLARAK:

1) cos (arksin + arksin + arksin).

2) cos (arctg 5–arctg 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Bağımsız çalışma, materyalin ustalık düzeyini belirlemeye yardımcı olacaktır.

1) tg (arktg 2 – arktg) 2) çünkü( - arktan2) 3) arksin + arkcos	1) cos (arksin + arksin) 2) günah (1.5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arktg 2

İçin Ev ödevişunları önerebiliriz:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arktg + tan ( arksin )); 4) sin(2 arktg); 5) tg ((arksin))

5 Nolu Ders (2 saat) Konu: Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler.

Amaç: Öğrencilerin trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki ters trigonometrik işlemlere ilişkin anlayışlarını oluşturmak, çalışılan teorinin anlaşılmasını arttırmaya odaklanmak.

Bu konuyu incelerken ezberlenecek teorik materyalin hacminin sınırlı olduğu varsayılmaktadır.

Ders materyali:

Y = arcsin (sin x) fonksiyonunu inceleyerek ve grafiğini çizerek yeni materyaller öğrenmeye başlayabilirsiniz.

3. Her x I R, y I ile ilişkilidir, yani.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Fonksiyon tektir: sin(-x) = - sin x; arksin(sin(-x)) = - arksin(sin x).

6. Grafik y = arcsin (sin x) üzerinde:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

B)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Bu yüzden,

üzerinde y = arcsin (sin x)'i kurduktan sonra, [-; üzerinde orijin etrafında simetrik olarak devam ediyoruz; 0], bu fonksiyonun tuhaflığı göz önüne alındığında. Periyodikliği kullanarak tüm sayı doğrusu boyunca devam ediyoruz.

Daha sonra bazı ilişkileri yazın: arcsin (sin a) = a eğer<= a <= ; arccos (cos A ) = a eğer 0 ise<= a <= ; arctg (tg a) = a eğer< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Ve aşağıdaki alıştırmaları yapın:a) arccos(sin 2).Cevap: 2 - ; b) arksin (cos 0,6) Cevap: - 0,1; c) arctg (tg 2).Cevap: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Cevap: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Cevap: 2 - ; e) arksin (sin (- 0,6)). Cevap: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Cevap: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Cevap: - 0,6; - arktan x; e) arccos + arccos

Sin, cos, tg ve ctg fonksiyonlarına her zaman arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve fonksiyon çiftleri trigonometrik ifadelerle çalışırken eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim daire çizimini düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsak, bunların hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, temel trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtmaktadır.

Arsinüsün özelliklerini daha iyi anlamak için fonksiyonunu dikkate almak gerekir. Takvim koordinat merkezinden geçen asimetrik bir eğri formuna sahiptir.

Arsin'in özellikleri:

Grafikleri karşılaştırırsak günah Ve arksinİki trigonometrik fonksiyonun ortak ilkeleri olabilir.

ark kosinüs

Bir sayının Arcco'su, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

Eğri y = arkosx arcsin x grafiğini yansıtır, tek farkı OY ekseni üzerindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Ark kosinüs fonksiyonuna daha detaylı bakalım:

1. Fonksiyon [-1; 1].
2. Arccos için ODZ - .
3. Grafiğin tamamı birinci ve ikinci çeyrekte yer alır ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
4. x = 1'de Y = 0.
5. Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Belki okul çocukları "kemerler" üzerine bu kadar "ayrıntılı" bir çalışmayı gereksiz bulacaktır. Ancak aksi takdirde bazı temel standart sınav görevleri öğrencileri çıkmaz sokağa sürükleyebilir.

1. Egzersiz.Şekilde gösterilen fonksiyonları belirtiniz.

Cevap: pirinç. 1 – 4, Şekil 2 – 1.

Bu örnekte vurgu küçük şeylere yapılmıştır. Tipik olarak öğrenciler grafiklerin oluşturulması ve fonksiyonların görünümü konusunda çok dikkatsizdirler. Aslında, her zaman hesaplanan noktalar kullanılarak çizilebiliyorsa neden eğri tipini hatırlayasınız ki? Test koşullarında, basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın daha karmaşık görevleri çözmek için gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

Arctg a sayıları, tanjantı a'ya eşit olacak şekilde α açısının değeridir.

Arktanjant grafiğini dikkate alırsak aşağıdaki özellikleri vurgulayabiliriz:

1. Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanır.
2. Arktanjant tek bir fonksiyondur, dolayısıyla arktan (- x) = - arktan x.
3. x = 0'da Y = 0.
4. Eğri tüm tanım aralığı boyunca artar.

Tg x ve arctg x'in kısa bir karşılaştırmalı analizini tablo halinde sunalım.

Arkotanjant

Bir sayının arkı - kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından bir α değeri alır.

Yay kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

1. Fonksiyon tanımı aralığı sonsuzdur.
2. Kabul edilebilir değerlerin aralığı (0; π) aralığıdır.
3. F(x) ne çift ne de tektir.
4. Fonksiyonun grafiği tüm uzunluğu boyunca azalır.

Ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir; sadece iki çizim yapıp eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Fonksiyonun grafiğini ve notasyon formunu eşleştirin.

Mantıklı düşünürsek her iki fonksiyonun da arttığı grafiklerden açıkça görülmektedir. Bu nedenle her iki şekil de belirli bir arktan işlevi sergiliyor. Arktanjantın özelliklerinden x = 0'da y=0 olduğu bilinmektedir,

Cevap: pirinç. 1 – 1, şekil. 2 – 4.

Trigonometrik kimlikler arcsin, arcos, arctg ve arcctg

Daha önce kemerler ile trigonometrinin temel fonksiyonları arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünü ark sinüsü, ark kosinüsü veya tam tersi yoluyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örnekleri çözerken faydalı olabilir.

Arctg ve arcctg için de ilişkiler vardır:

Başka bir kullanışlı formül çifti, aynı açının arcctg ve arcctg'sinin yanı sıra arcsin ve arcos toplamının değerini ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplamak, belirli bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak, tanım alanını veya ODZ'yi bulmak ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirmek.

İlk tür sorunu çözerken aşağıdaki eylem planına uymalısınız:

Fonksiyon grafikleriyle çalışırken asıl önemli olan bunların özellikleri ve eğrinin görünümü hakkında bilgi sahibi olmaktır. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek kimlik tablolarını gerektirir. Öğrenci ne kadar çok formülü hatırlarsa, görevin cevabını bulmak o kadar kolay olur.

Diyelim ki Birleşik Devlet Sınavında aşağıdaki gibi bir denklemin cevabını bulmanız gerekiyor:

İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürüp istediğiniz forma getirirseniz çözmek çok basit ve hızlı olur. Öncelikle arcsin x'i eşitliğin sağ tarafına taşıyalım.

Formülü hatırlıyorsanız arksin (sin α) = α, o zaman cevap arayışını iki denklemden oluşan bir sistemin çözümüne indirgeyebiliriz:

X modeli üzerindeki kısıtlama yine arcsin'in özelliklerinden kaynaklanmıştır: x [-1 için ODZ; 1]. a ≠0 olduğunda sistemin bir kısmı kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a olan ikinci dereceden bir denklemdir. a = 0 olduğunda x 1'e eşit olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan ters fonksiyonları benzersiz değildir. Yani, y = denklemi günah x Belirli bir durumda sonsuz sayıda köke sahiptir. Aslında sinüsün periyodikliği nedeniyle, eğer x böyle bir kökse, o zaman öyledir x + 2πn(burada n bir tam sayıdır) aynı zamanda denklemin kökü olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana anlamları kavramı tanıtıldı. Örneğin sinüsü düşünün: y = günah x. Eğer x argümanını aralıkla sınırlandırırsak, onun üzerinde y = fonksiyonu olur. günah x monoton olarak artar. Bu nedenle arksinüs adı verilen benzersiz bir ters fonksiyona sahiptir: x = arksin y.

Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlarla, aşağıdaki tanımlarla belirlenen ana değerlerini kastediyoruz.

Arksinüs ( y = ark sin x) sinüsün ters fonksiyonudur ( x = günahkar
Ark kosinüs ( y = arkcos x) kosinüsün ters fonksiyonudur ( x = samimi), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.
Arktanjant ( y = arktan x) tanjantın ters fonksiyonudur ( x = tg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.
arkkotanjant ( y = arkctg x) kotanjantın ters fonksiyonudur ( x = ctg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla elde edilir. Bkz. Sinüs, kosinüs, Teğet, kotanjant bölümleri.

y = ark sin x

y = arkcos x

y = arktan x

y = arkctg x

Temel formüller

Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.

arksin(sin x) = x en
günah(arcsin x) = x
arccos(çünkü x) = x en
cos(arccos x) = x

arktan(tg x) = x en
tg(arctg x) = x
arkctg(ctg x) = x en
ctg(arcctg x) = x

Ters trigonometrik fonksiyonlara ilişkin formüller

Ayrıca bakınız: Ters trigonometrik fonksiyonlar için formüllerin türetilmesi

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

(dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar.

ark kosinüs, cos'a ters fonksiyon (x = cos y), y = Arcco'lar X'da tanımlanır ve birçok değeri vardır. Başka bir deyişle açıyı değerine göre döndürür çünkü.

ark kosinüs(tanım: arkcos x; arkcos x kosinüsü eşit olan açıdır X ve benzeri).

İşlev y = çünkü x süreklidir ve tüm sayı doğrusu boyunca sınırlıdır. İşlev y = arkcos x kesin olarak azalıyor.

Arcsin fonksiyonunun özellikleri.

Arcco işlevini alma.

Bir fonksiyon verildiğinde y = çünkü x. Tüm tanım alanı boyunca parçalı monotondur ve bu nedenle ters yazışma y = arkcos x bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, kesinlikle azaldığı ve tüm değerlerini aldığı segmenti dikkate alacağız - . Bu segmentte y = çünkü x kesinlikle monoton bir şekilde azalır ve tüm değerlerini yalnızca bir kez alır, bu da segmentte ters bir fonksiyon olduğu anlamına gelir y = arkcos x grafiği grafiğe simetrik olan y = çünkü x nispeten düz bir segment üzerinde y = x.