Benzer paydalara sahip ortak kesirler nasıl eklenir? Tam sayılara ve farklı paydalara sahip kesirleri toplama
Kesirli eylemler.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.
Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.
Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.
Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.
Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Hatırlatmama izin ver: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:
Kısaca genel anlamda:
Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:
Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.
Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.
Başka bir örnek:
Durum benzer. Burada 16'dan 48'i çıkarıyoruz. Basitçe 3'le çarpıyoruz. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:
Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:
Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!
Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:
Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.
Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...
Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı.
Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.
Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet...
Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:
Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (iyi olur!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:
Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Bu ne olsun:
Not! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...
Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:
Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar, tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!
Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca uğraşır, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)
Hesaplamak:
Cevaplar (karışıklık içinde):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kesirlerle çeşitli işlemler (örneğin kesir ekleme) gerçekleştirebilirsiniz. Kesirlerin eklenmesi birkaç türe ayrılabilir. Her kesir ekleme türünün kendi kuralları ve eylem algoritması vardır. Her ekleme türüne ayrıntılı olarak bakalım.
Paydaları benzer olan kesirleri toplama.
Ortak paydaya sahip kesirlerin nasıl toplanacağına dair bir örneğe bakalım.
Turistler A noktasından E noktasına yürüyüşe çıktılar. İlk gün A noktasından B noktasına veya tüm yol boyunca \(\frac(1)(5)\) yürüdüler. İkinci gün B noktasından D noktasına veya \(\frac(2)(5)\)'a kadar tüm yolu yürüdüler. Yolculuğun başlangıcından D noktasına kadar ne kadar yol kat ettiler?
A noktasından D noktasına olan mesafeyi bulmak için \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) kesirlerini eklemeniz gerekir.
Paydaları benzer olan kesirleri eklemek, bu kesirlerin paylarını da eklemeniz gerektiği anlamına gelir, ancak payda aynı kalacaktır.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Gerçek anlamda, aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı şu şekilde görünecektir:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Cevap: Turistler tüm yol boyunca \(\frac(3)(5)\) yürüdüler.
Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
Bir örneğe bakalım:
İki kesir \(\frac(3)(4)\) ve \(\frac(2)(7)\) eklemeniz gerekir.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için önce bulmalısınız ve ardından benzer paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanın.
Payda 4 ve 7 için ortak payda 28 sayısı olacaktır. İlk kesir \(\frac(3)(4)\) 7 ile çarpılmalıdır. İkinci kesir \(\frac(2)(7)\ ) 4 ile çarpılmalıdır.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \renk(kırmızı) (7) + 2 \times \renk(kırmızı) (4))(4 \ çarpı \renk(kırmızı) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Kelimenin tam anlamıyla aşağıdaki formülü elde ederiz:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Karışık sayıları veya karışık kesirleri toplama.
Toplama, toplama kanununa göre gerçekleşir.
Karışık kesirler için, tam parçaları tam parçalarla, kesirli kısımları da kesirlerle toplarız.
Karışık sayıların kesirli kısımlarının paydaları aynıysa payları toplarız ancak payda aynı kalır.
\(3\frac(6)(11)\) ve \(1\frac(3)(11)\) karışık sayılarını toplayalım.
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\renk(kırmızı) (3) + \renk(mavi) (\frac(6)(11))) + ( \renk(kırmızı) (1) + \renk(mavi) (\frac(3)(11))) = (\renk(kırmızı) (3) + \renk(kırmızı) (1)) + (\renk( mavi) (\frac(6)(11)) + \renk(mavi) (\frac(3)(11)) = \renk(kırmızı)(4) + (\renk(mavi) (\frac(6) + 3)(11))) = \renk(kırmızı)(4) + \renk(mavi) (\frac(9)(11)) = \renk(kırmızı)(4) \renk(mavi) (\frac (9)(11))\)
Karışık sayıların kesirli kısımlarının paydaları farklıysa ortak paydayı buluruz.
Karışık sayıların \(7\frac(1)(8)\) ve \(2\frac(1)(6)\) toplama işlemini gerçekleştirelim.
Payda farklı, bu yüzden ortak paydayı bulmamız gerekiyor, 24'e eşit. İlk kesir \(7\frac(1)(8)\)'i ek olarak 3 faktörüyle çarpın ve ikinci kesir \( 2\frac(1)(6)\) x 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \renk(kırmızı) (3))(8 \times \renk(kırmızı) (3) ) = 2\frac(1\times \renk(kırmızı) (4))(6\times \renk(kırmızı) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
İlgili sorular:
Kesirler nasıl eklenir?
Cevap: Öncelikle ne tür bir ifade olduğuna karar vermelisiniz: kesirler aynı paydalara, farklı paydalara veya karışık kesirlere sahiptir. İfadenin türüne bağlı olarak çözüm algoritmasına geçiyoruz.
Farklı paydalara sahip kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Ortak paydayı bulmanız ve ardından aynı paydalara sahip kesirleri toplama kuralını uygulamanız gerekir.
Karışık kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Tamsayılarla tamsayıları, kesirlerle kesirli kısımları topluyoruz.
Örnek 1:
İkisinin toplamı düzgün bir kesir verebilir mi? Yanlış kesir mi? Örnekler ver.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
\(\frac(5)(7)\) kesri bir özel kesirdir ve iki uygun kesrin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3) toplamının sonucudur. (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
\(\frac(58)(45)\) kesri uygunsuz bir kesirdir; \(\frac(2)(5)\) ve \(\frac(8) uygun kesirlerin toplamının sonucudur. (9)\).
Cevap: Her iki sorunun cevabı da evet.
Örnek #2:
Kesirleri ekleyin: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \renk(kırmızı) (3))(3 \times \renk(kırmızı) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Örnek #3:
Karışık kesri bir doğal sayı ile bir uygun kesrin toplamı olarak yazın: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Örnek #4:
Toplamı hesaplayın: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Görev 1:
Öğle yemeğinde pastadan \(\frac(8)(11)\) yedik ve akşam yemeğinde \(\frac(3)(11)\) yedik. Sizce pasta tamamen yenildi mi yenilmedi mi?
Çözüm:
Kesrin paydası 11 olup pastanın kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Öğle yemeğinde 11 dilim pastanın 8'ini yedik. Akşam yemeğinde 11 dilim pastanın 3'ünü yedik. 8 + 3 = 11'i toplayalım, 11 dilim pastanın yani pastanın tamamını yemiş olduk.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Cevap: Pastanın tamamı yenildi.
Bu derste farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplanması ve çıkarılması işlenecektir. Farklı paydalara sahip ortak kesirleri nasıl toplayıp çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bunu yapmak için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir. Cebirsel kesirlerin aynı kurallara uyduğu ortaya çıktı. Aynı zamanda cebirsel kesirleri ortak bir paydaya nasıl indireceğimizi zaten biliyoruz. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri 8. sınıf dersinin en önemli ve en zor konularından biridir. Üstelik bu konu ileride okuyacağınız cebir dersinde de pek çok konu içerisinde yer alacaktır. Dersin bir parçası olarak, farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerde toplama ve çıkarma kurallarını inceleyeceğiz ve ayrıca bir dizi tipik örneği analiz edeceğiz.
Sıradan kesirler için en basit örneğe bakalım.
Örnek 1. Kesirleri ekleyin: .
Çözüm:
Kesirleri toplama kuralını hatırlayalım. Başlamak için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir. Adi kesirlerin ortak paydası: en küçük ortak Kat(LCM) orijinal paydaların.
Tanım
En az doğal sayı ve sayılarına aynı anda bölünebilen .
LCM'yi bulmak için paydaları asal faktörlere ayırmanız ve ardından her iki paydanın genişletilmesinde yer alan tüm asal faktörleri seçmeniz gerekir.
; . O halde sayıların LCM'si iki ikili ve iki üçlü içermelidir: .
Ortak paydayı bulduktan sonra, her kesir için ek bir faktör bulmanız gerekir (aslında ortak paydayı karşılık gelen kesrin paydasına bölmeniz gerekir).
Daha sonra her kesir elde edilen ek faktörle çarpılır. Önceki derslerde toplamayı ve çıkarmayı öğrendiğimiz paydaları aynı olan kesirler elde ediyoruz.
Şunu elde ederiz: 
.
Cevap:.
Şimdi farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplamasını ele alalım. Öncelikle paydası sayı olan kesirlere bakalım.
Örnek 2. Kesirleri ekleyin: .
Çözüm:
Çözüm algoritması önceki örneğe tamamen benzer. Bu kesirlerin ortak paydasını ve her biri için ek faktörleri bulmak kolaydır.
.
Cevap:.
Öyleyse formüle edelim Farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma algoritması:
1. Kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.
2. Kesirlerin her biri için ek faktörleri bulun (ortak paydayı verilen kesrin paydasına bölerek).
3. Payları karşılık gelen ek faktörlerle çarpın.
4. Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma kurallarını kullanarak kesirleri ekleyin veya çıkarın.
Şimdi paydasında harf ifadeleri bulunan kesirlerle ilgili bir örneği ele alalım.
Örnek 3. Kesirleri ekleyin: .
Çözüm:
Her iki paydadaki harf ifadeleri aynı olduğundan sayıların ortak paydasını bulmalısınız. Son ortak payda şöyle görünecektir: . Dolayısıyla bu örneğin çözümü şuna benzer:.
Cevap:.
Örnek 4. Kesirleri çıkarma: .
Çözüm:
Ortak bir payda seçerken "hile yapamıyorsanız" (bunu çarpanlara ayıramaz veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanamazsınız), o zaman her iki kesirin paydalarının çarpımını ortak payda olarak almanız gerekir.
Cevap:.
Genel olarak bu tür örnekleri çözerken en zor görev ortak bir payda bulmaktır.
Daha karmaşık bir örneğe bakalım.
Örnek 5. Basitleştirin: .
Çözüm:
Ortak bir payda bulurken, öncelikle orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmaya çalışmalısınız (ortak paydayı basitleştirmek için).
Bu özel durumda:
O zaman ortak paydayı belirlemek kolaydır: 
.
Ek faktörleri belirleyip bu örneği çözüyoruz:
Cevap:.
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını oluşturalım.
Örnek 6. Basitleştirin: .
Çözüm:
Cevap:.
Örnek 7. Basitleştirin: .
Çözüm:
.
Cevap:.
Şimdi iki değil üç kesrin toplandığı bir örneği ele alalım (sonuçta, daha fazla sayıda kesir için toplama ve çıkarma kuralları aynı kalır).
Örnek 8. Basitleştirin: .
$\frac63$ kesirini düşünün. $\frac63 =6:3 = 2$ olduğundan değeri 2'dir. Pay ve payda 2 ile çarpılırsa ne olur? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Açıkçası kesrin değeri değişmedi, dolayısıyla $\frac(12)(6)$ çünkü y de 2'ye eşit. pay ve paydayı çarpın 3 ile $\frac(18)(9)$ elde edilir veya 27 ile $\frac(162)(81)$ elde edilir veya 101 ile $\frac(606)(303)$ elde edilir. Bu durumların her birinde payı paydaya bölerek elde ettiğimiz kesrin değeri 2'dir. Yani değişmemiştir.
Diğer fraksiyonlarda da aynı durum gözlenmektedir. $\frac(120)(60)$ (2'ye eşit) kesirinin payı ve paydası 2'ye (sonuç $\frac(60)(30)$) veya 3'e (sonuç: $\frac(40)(20) $) veya 4 (sonuç $\frac(30)(15)$) vb. olursa, her durumda kesrin değeri değişmeden kalır ve 2'ye eşit olur.
Bu kural eşit olmayan kesirler için de geçerlidir. bütün sayı.
$\frac(1)(3)$ kesirinin pay ve paydası 2 ile çarpılırsa $\frac(2)(6)$ elde edilir, yani kesrin değeri değişmemiştir. Ve aslında pastayı 3 parçaya bölüp birini alırsanız ya da 6 parçaya bölüp 2 parça alırsanız her iki durumda da aynı miktarda pasta elde edersiniz. Dolayısıyla $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ sayıları aynıdır. Genel bir kural formüle edelim.
Herhangi bir kesrin payı ve paydası, kesrin değeri değişmeden aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
Bu kuralın çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. Örneğin, her zaman olmasa da bazı durumlarda büyük sayılarla yapılan işlemlerden kaçınmaya izin verir.
Örneğin, $\frac(126)(189)$ kesirinin pay ve paydasını 63'e bölerek hesaplaması çok daha kolay olan $\frac(2)(3)$ kesrini elde edebiliriz. Bir örnek daha. $\frac(155)(31)$ kesirinin pay ve paydasını 31'e bölebilir ve 5:1=5 olduğundan $\frac(5)(1)$ veya 5 kesirini elde edebiliriz.
Bu örnekte ilk kez karşılaştık paydası 1 olan kesir. Bu tür kesirler hesaplamalarda önemli bir rol oynar. Herhangi bir sayının 1'e bölünebileceğini ve değerinin değişmeyeceğini unutmamak gerekir. Yani $\frac(273)(1)$ 273'e eşittir; $\frac(509993)(1)$ eşittir 509993 vb. Bu nedenle, her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğinden sayıları ile bölmemiz gerekmez.
Paydası 1 olan bu tür kesirlerle, diğer tüm kesirlerle aynı aritmetik işlemleri gerçekleştirebilirsiniz: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Bir tamsayıyı, çizginin altında bir birim olacak şekilde kesir olarak temsil etmenin ne işe yaradığını sorabilirsiniz, çünkü bir tamsayıyla çalışmak daha uygundur. Ancak asıl mesele şu ki, bir tam sayıyı kesir olarak temsil etmek, aynı anda hem tam sayılarla hem de kesirlerle uğraşırken bize çeşitli işlemleri daha verimli bir şekilde gerçekleştirme fırsatı verir. Örneğin, öğrenmek için farklı paydalara sahip kesirleri toplama. $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(5)$ eklememiz gerektiğini varsayalım.
Yalnızca paydaları eşit olan kesirleri toplayabileceğimizi biliyoruz. Bu, kesirleri paydaları eşit olacak şekilde nasıl azaltacağımızı öğrenmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu durumda yine bir kesrin payını ve paydasını değerini değiştirmeden aynı sayıyla çarpabileceğimiz gerçeğine ihtiyacımız olacak.
Öncelikle $\frac(1)(3)$ kesirinin pay ve paydasını 5 ile çarpın. $\frac(5)(15)$ elde ederiz, kesrin değeri değişmemiştir. Daha sonra $\frac(1)(5)$ kesirinin pay ve paydasını 3 ile çarpıyoruz. $\frac(3)(15)$ elde ediyoruz, yine kesrin değeri değişmemiş. Bu nedenle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Şimdi bu sistemi hem tamsayı hem de kesirli kısımlar içeren sayıların toplamına uygulamaya çalışalım.
$3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ eklemeliyiz. Öncelikle tüm terimleri kesirlere dönüştürelim ve şunu elde edelim: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Şimdi tüm kesirleri ortak bir paydaya getirmemiz gerekiyor, bunun için birinci kesrin payını ve paydasını 12, ikincisini 4 ve üçüncüsünü 3 ile çarpıyoruz. Sonuç olarak $\frac(36) elde ediyoruz. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, bu da $\frac(55)(12)$'a eşittir. Eğer kurtulmak istiyorsan uygunsuz kesir bir tam sayı ve bir kesirden oluşan bir sayıya dönüştürülebilir: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ veya $4\frac(7) )(12)$.
İzin verilen tüm kurallar kesirlerle işlemler Az önce incelediğimiz , negatif sayılar için de geçerlidir. Yani -1: 3 $\frac(-1)(3)$ olarak ve 1: (-3) $\frac(1)(-3)$ olarak yazılabilir.
Hem negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölünmesi hem de pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölünmesi negatif sayılarla sonuçlanacağı için her iki durumda da cevap negatif bir sayı olacaktır. Yani
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ veya $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Bu şekilde yazıldığında eksi işareti pay veya paydayı ayrı ayrı değil, kesrin tamamını ifade eder.
Öte yandan, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ şeklinde yazılabilir ve negatif bir sayının negatif bir sayıya bölünmesi pozitif bir sayı verdiğinden $\frac olur. (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$ şeklinde yazılabilir.
Negatif kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması, pozitif kesirlerin eklenmesi ve çıkarılmasıyla aynı şemaya göre gerçekleştirilir. Örneğin $1-1\frac13$ nedir? Her iki sayıyı da kesir olarak temsil edelim ve $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ elde edelim. Kesirleri ortak bir paydaya getirip $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, yani $\frac(3)(3)-\ elde edelim. frac(4) (3)$ veya $-\frac(1)(3)$.
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zeno, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesinde matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar yer aldı ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...
Ve şimdi en çok şeye sahibim faiz Sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
