Fonksiyonun incelenmesi ve ayrıntılı bir çözümle bir grafiğin çizilmesi. Fonksiyonun tam incelenmesi ve grafiğin çizilmesi

Fonksiyonu tam olarak incelemek ve grafiğini çizmek için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1) fonksiyonun tanım kümesini bulun;

2) fonksiyonun süreksizlik noktalarını ve dikey asimptotları (varsa) bulun;

3) fonksiyonun sonsuzdaki davranışını araştırın, yatay ve eğik asimptotları bulun;

4) fonksiyonu parite (tuhaflık) ve periyodiklik (trigonometrik fonksiyonlar için) açısından inceleyin;

5) fonksiyonun monotonluğunun ekstremumlarını ve aralıklarını bulun;

6) dışbükeylik aralıklarını ve bükülme noktalarını belirler;

7) Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve mümkünse grafiği netleştiren bazı ek noktaları bulun.

Fonksiyonun çalışması grafiğinin oluşturulmasıyla eş zamanlı olarak gerçekleştirilir.

Örnek 9 Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

1. Tanımın kapsamı: ;

2. Fonksiyon bazı noktalarda süreksizlikten zarar görmektedir
,
;

Fonksiyonu dikey asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

;
,
─ dikey asimptot.

;
,
─ dikey asimptot.

3. Fonksiyonu eğik ve yatay asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

Dümdüz
─ eğik asimptot, eğer
,
.

,
.

Dümdüz
─ yatay asimptot.

4. Fonksiyon çifttir çünkü
. Fonksiyonun paritesi, grafiğin ordinat eksenine göre simetrisini gösterir.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremumlarını bulun.

Kritik noktaları bulalım, yani. Türevin 0 olduğu veya bulunmadığı noktalar:
;
. Üç puanımız var
;

. Bu noktalar gerçek eksenin tamamını dört aralığa böler. İşaretleri tanımlayalım her birinin üzerinde.

(-∞; -1) ve (-1; 0) aralıklarında fonksiyon artar, (0; 1) ve (1; +∞) ─ aralıklarında ise azalır. Bir noktadan geçerken
türevin işareti artıdan eksiye değişir, dolayısıyla bu noktada fonksiyonun maksimumu vardır
.

6. Dışbükeylik ve bükülme noktalarının aralıklarını bulun.

Hangi noktaları bulalım 0'dır veya mevcut değildir.

gerçek kökleri yoktur.
,
,

Puanlar
Ve
gerçek ekseni üç aralığa bölün. İşareti tanımlayalım her aralıkta.

Böylece aralıklardaki eğri
Ve
aşağı doğru dışbükey, (-1;1) aralığında yukarıya doğru dışbükey; fonksiyon noktalarda olduğundan bükülme noktaları yoktur
Ve
belirlenmedi.

7. Eksenler ile kesişme noktalarını bulun.

Akslı
fonksiyonun grafiği (0; -1) noktasında ve eksenle kesişir
grafik kesişmiyor çünkü bu fonksiyonun payının gerçek kökleri yoktur.

Verilen fonksiyonun grafiği Şekil 1’de gösterilmektedir.

Şekil 1 ─ Fonksiyon grafiği

Türev kavramının ekonomide uygulanması. Esneklik fonksiyonu

Ekonomik süreçleri incelemek ve diğer uygulamalı problemleri çözmek için bir fonksiyonun esnekliği kavramı sıklıkla kullanılır.

Tanım. Esneklik fonksiyonu
fonksiyonun bağıl artış oranının limiti denir değişkenin göreceli artışına en
, . (VII)

Bir fonksiyonun esnekliği, fonksiyonun yaklaşık olarak yüzde kaç oranında değişeceğini gösterir
bağımsız değişken değiştiğinde %1 oranında.

Talep ve tüketim analizinde esneklik fonksiyonu kullanılmaktadır. Talebin esnekliği (mutlak değer olarak) ise
o zaman talep esnek kabul edilir, eğer
─ nötr ise
─ fiyata (veya gelire) göre esnek değildir.

Örnek 10 Fonksiyonun esnekliğini hesaplayın
ve esneklik endeksinin değerini bulun. = 3.

Çözüm: Formül (VII)'ye göre fonksiyonun esnekliği:

x=3 olsun, o zaman
.Bağımsız değişkenin %1 oranında artması durumunda bağımlı değişkenin değerinin %1,42 oranında artacağı anlamına gelmektedir.

Örnek 11 Talep fonksiyonuna izin verin fiyatla ilgili benziyor
, Nerede ─ sabit katsayı. Talep fonksiyonunun esneklik göstergesinin x = 3 den fiyatındaki değerini bulun. birimler

Çözüm: talep fonksiyonunun esnekliğini formül (VII) kullanarak hesaplayın

İnanmak
para birimleri elde ederiz
. Bu şu anlama gelir: bir fiyata
para birimleri Fiyattaki %1'lik bir artış talepte %6'lık bir düşüşe neden olacaktır; talep esnektir.

Bugün sizi bizimle bir fonksiyonun grafiğini keşfetmeye ve oluşturmaya davet ediyoruz. Bu makaleyi dikkatlice inceledikten sonra, bu tür bir görevi tamamlamak için uzun süre terlemenize gerek kalmayacak. Bir fonksiyonun grafiğini incelemek ve oluşturmak kolay değildir; maksimum dikkat ve hesaplamaların doğruluğu gerektiren hacimli bir iştir. Materyalin anlaşılmasını kolaylaştırmak için aynı işlevi adım adım inceleyeceğiz ve tüm eylemlerimizi ve hesaplamalarımızı açıklayacağız. Matematiğin şaşırtıcı ve büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Gitmek!

İhtisas

Bir fonksiyonu keşfetmek ve grafiğini çizmek için çeşitli tanımları bilmeniz gerekir. Fonksiyon matematiğin ana (temel) kavramlarından biridir. Değişiklikler sırasında çeşitli değişkenler (iki, üç veya daha fazla) arasındaki bağımlılığı yansıtır. Fonksiyon aynı zamanda kümelerin bağımlılığını da gösterir.

Belirli bir değişim aralığına sahip iki değişkenimiz olduğunu hayal edin. Dolayısıyla, ikinci değişkenin her değerinin ikincinin bir değerine karşılık gelmesi koşuluyla y, x'in bir fonksiyonudur. Bu durumda y değişkeni bağımlıdır ve ona fonksiyon denir. X ve y değişkenlerinin şu şekilde olduğunu söylemek gelenekseldir: Bu bağımlılığın daha net anlaşılması için fonksiyonun bir grafiği oluşturulur. Bir fonksiyonun grafiği nedir? Bu, koordinat düzleminde her x değerinin bir y değerine karşılık geldiği bir dizi noktadır. Grafikler farklı olabilir - düz çizgi, hiperbol, parabol, sinüs dalgası vb.

Araştırma yapmadan bir fonksiyonun grafiğini çizmek imkansızdır. Bugün nasıl araştırma yapacağımızı ve bir fonksiyonun grafiğini nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz. Çalışma sırasında not almak çok önemlidir. Bu, görevin üstesinden gelmeyi çok daha kolay hale getirecek. En uygun araştırma planı:

  1. İhtisas.
  2. Süreklilik.
  3. Çift veya tek.
  4. Periyodiklik.
  5. Asimptotlar.
  6. Sıfırlar.
  7. Kalıcılığı imzala.
  8. Artıyor ve azalıyor.
  9. Aşırılıklar.
  10. Dışbükeylik ve içbükeylik.

İlk noktayla başlayalım. Tanımın tanım kümesini, yani fonksiyonumuzun hangi aralıklarda bulunduğunu bulalım: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Bizim durumumuzda fonksiyon x'in herhangi bir değeri için mevcuttur, yani tanım tanım kümesi R'ye eşittir. Bu, aşağıdaki gibi yazılabilir: xÎR.

Süreklilik

Şimdi süreksizlik fonksiyonunu inceleyeceğiz. Matematikte “süreklilik” terimi hareket yasalarının incelenmesi sonucunda ortaya çıktı. Sonsuz nedir? Uzay, zaman, bazı bağımlılıklar (örneğin, hareket problemlerinde S ve t değişkenlerinin bağımlılığı), ısıtılan bir nesnenin sıcaklığı (su, kızartma tavası, termometre vb.), sürekli bir çizgi (yani, kalemden kaldırmadan çizilebilir).

Bir grafik bir noktada kırılmazsa sürekli olarak kabul edilir. Böyle bir grafiğin en belirgin örneklerinden biri, bu bölümdeki resimde görebileceğiniz sinüzoiddir. Bir fonksiyon birkaç koşulun karşılanması durumunda x0 noktasında süreklidir:

  • bir fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır;
  • bir noktadaki sağ ve sol sınırlar eşittir;
  • limit fonksiyonun x0 noktasındaki değerine eşittir.

En az bir koşul karşılanmazsa fonksiyonun başarısız olduğu söylenir. Fonksiyonun bozulduğu noktalara genellikle kırılma noktaları denir. Grafiksel olarak görüntülendiğinde "kırılacak" bir fonksiyon örneği: y=(x+4)/(x-3). Üstelik x = 3 noktasında y yoktur (çünkü sıfıra bölmek imkansızdır).

Üzerinde çalıştığımız fonksiyonda (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) grafik sürekli olacağından her şeyin basit olduğu ortaya çıktı.

Tek çift

Şimdi eşlik fonksiyonunu inceleyin. İlk önce küçük bir teori. Çift işlev, x değişkeninin herhangi bir değeri için (değer aralığından) f(-x)=f(x) koşulunu karşılayan işlevdir. Örnekler şunları içerir:

  • modül x (grafik, grafiğin birinci ve ikinci çeyreğinin açıortayı olan bir daw'a benzer);
  • x kare (parabol);
  • kosinüs x (kosinüs).

Tüm bu grafiklerin y eksenine (yani y eksenine) göre bakıldığında simetrik olduğunu unutmayın.

O halde tek fonksiyon olarak adlandırılan şey nedir? Bunlar, x değişkeninin herhangi bir değeri için f(-x)=-f(x) koşulunu karşılayan işlevlerdir. Örnekler:

  • hiperbol;
  • kübik parabol;
  • sinüzoid;
  • teğet vb.

Lütfen bu fonksiyonların (0:0) noktasına, yani orijine göre simetrik olduğunu unutmayın. Makalenin bu bölümünde söylenenlere dayanarak, çift ve tek bir fonksiyonun şu özelliğe sahip olması gerekir: x, tanım kümesine aittir ve -x de.

Eşlik fonksiyonunu inceleyelim. Tanımların hiçbirine uymadığını görüyoruz. Bu nedenle fonksiyonumuz ne çift ne de tektir.

Asimptotlar

Bir tanımla başlayalım. Asimptot, grafiğe mümkün olduğu kadar yakın olan, yani belirli bir noktadan uzaklığın sıfıra doğru yöneldiği bir eğridir. Toplamda üç tür asimptot vardır:

  • dikey, yani y eksenine paralel;
  • yatay yani x eksenine paralel;
  • eğimli.

Birinci tipte ise bazı noktalarda şu çizgiler aranmalıdır:

  • açıklık;
  • tanım alanının uçları.

Bizim durumumuzda fonksiyon süreklidir ve tanım bölgesi R'ye eşittir. Sonuç olarak dikey asimptot yoktur.

Bir fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu vardır ve bu aşağıdaki gereksinimi karşılar: eğer x sonsuza veya eksi sonsuza eğilimliyse ve limit belirli bir sayıya eşitse (örneğin, a). Bu durumda y=a yatay asimptottur. İncelediğimiz fonksiyonda yatay asimptot yoktur.

Eğik bir asimptot yalnızca iki koşulun karşılanması durumunda ortaya çıkar:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Daha sonra şu formül kullanılarak bulunabilir: y=kx+b. Yine bizim durumumuzda eğik asimptotlar yoktur.

Fonksiyon sıfırları

Bir sonraki adım, fonksiyonun grafiğini sıfırlar için incelemektir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulma görevinin yalnızca bir fonksiyonun grafiğini incelerken ve oluştururken değil, aynı zamanda bağımsız bir görev ve eşitsizlikleri çözmenin bir yolu olarak da gerçekleştiğini belirtmek de çok önemlidir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bir grafik üzerinde bulmanız veya matematiksel gösterim kullanmanız gerekebilir.

Bu değerleri bulmak fonksiyonun grafiğini daha doğru çizmenize yardımcı olacaktır. Eğer konuşursak basit bir dille ise, fonksiyonun sıfırı, y = 0 olan x değişkeninin değeridir. Bir grafikte bir fonksiyonun sıfırlarını arıyorsanız grafiğin x ekseniyle kesiştiği noktalara dikkat etmelisiniz.

Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için şu denklemi çözmeniz gerekir: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra aşağıdaki cevabı alıyoruz:

İşaret tutarlılığı

Bir fonksiyonun (grafik) araştırılması ve oluşturulmasının bir sonraki aşaması, sabit işaretli aralıkların bulunmasıdır. Bu, fonksiyonun hangi aralıklarda süreceğini belirlememiz gerektiği anlamına gelir. pozitif değer ve bazılarında - olumsuz. Son bölümde bulunan sıfır fonksiyonları bunu yapmamıza yardımcı olacaktır. Bu nedenle, düz bir çizgi (grafikten ayrı) oluşturmamız ve fonksiyonun sıfırlarını bu çizgi boyunca küçükten büyüğe doğru sırayla dağıtmamız gerekiyor. Şimdi ortaya çıkan aralıklardan hangisinin “+” işaretine, hangisinin “-” işaretine sahip olduğunu belirlemeniz gerekiyor.

Bizim durumumuzda fonksiyon aralıklarla pozitif bir değer alır:

  • 1'den 4'e kadar;
  • 9'dan sonsuza.

Negatif anlam:

  • eksi sonsuzdan 1'e;
  • 4'ten 9'a kadar.

Bunu belirlemek oldukça kolaydır. Aralıktaki herhangi bir sayıyı fonksiyona yerleştirin ve cevabın hangi işarete (eksi veya artı) sahip olduğunu görün.

Artan ve azalan fonksiyonlar

Bir fonksiyonu keşfetmek ve oluşturmak için grafiğin nerede artacağını (Oy ekseni boyunca yukarıya doğru) ve nereye düşeceğini (y ekseni boyunca aşağı doğru sürün) bilmemiz gerekir.

Bir fonksiyon yalnızca x değişkeninin daha büyük bir değeri, y'nin daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa artar. Yani x2, x1'den büyüktür ve f(x2), f(x1)'den büyüktür. Ve azalan fonksiyonla (ne kadar çok x, o kadar az y) tamamen zıt bir fenomen gözlemliyoruz. Artış ve azalma aralıklarını belirlemek için aşağıdakileri bulmanız gerekir:

  • tanım alanı (zaten elimizde var);
  • türev (bizim durumumuzda: 1/3(3x^2-28x+49);
  • 1/3(3x^2-28x+49)=0 denklemini çözün.

Hesaplamalardan sonra sonucu elde ederiz:

Şunu elde ederiz: fonksiyon eksi sonsuzdan 7/3'e ve 7'den sonsuza kadar artar ve 7/3'ten 7'ye doğru azalır.

Aşırılıklar

y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) çalışmasının altındaki fonksiyon süreklidir ve x değişkeninin herhangi bir değeri için mevcuttur. Ekstrem nokta belirli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu gösterir. Bizim durumumuzda hiçbiri yok, bu da inşaat işini büyük ölçüde kolaylaştırıyor. Aksi halde türev fonksiyonu kullanılarak da bulunabilirler. Bulduğunuzda bunları grafik üzerinde işaretlemeyi unutmayın.

Dışbükeylik ve içbükeylik

y(x) fonksiyonunu daha detaylı incelemeye devam ediyoruz. Şimdi dışbükeylik ve içbükeylik açısından kontrol etmemiz gerekiyor. Bu kavramların tanımlarını anlamak oldukça zordur, her şeyi örneklerle analiz etmek daha iyidir. Test için: Bir fonksiyon azalmayan bir fonksiyonsa dışbükeydir. Katılıyorum, bu anlaşılmaz!

İkinci dereceden bir fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: y=1/3(6x-28). Şimdi sağ tarafı sıfıra eşitleyelim ve denklemi çözelim. Cevap: x=14/3. Bükülme noktasını, yani grafiğin dışbükeylikten içbükeyliğe veya tam tersi yönde değiştiği yeri bulduk. Eksi sonsuzdan 14/3'e kadar olan aralıkta fonksiyon dışbükeydir ve 14/3'ten artı sonsuza kadar içbükeydir. Ayrıca grafikte dönüm noktasının düzgün ve yumuşak olması, keskin köşelerin bulunmaması gerektiğine de dikkat etmek çok önemlidir.

Ek noktaların tanımlanması

Görevimiz fonksiyonun grafiğini araştırmak ve oluşturmaktır. Çalışmayı tamamladık, fonksiyonun grafiğini oluşturmak artık zor değil. Koordinat düzleminde bir eğrinin veya düz çizginin daha doğru ve ayrıntılı bir şekilde çoğaltılması için birkaç yardımcı nokta bulabilirsiniz. Hesaplanmaları oldukça kolaydır. Örneğin x=3 alıyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve y=4'ü buluyoruz. Veya x=5 ve y=-5 vb. İnşaat için ihtiyaç duyduğunuz kadar ek puan alabilirsiniz. Bunlardan en az 3-5 tanesi bulunur.

Grafik çizme

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y fonksiyonunu araştırmamız gerekiyordu. Hesaplamalar sırasında gerekli tüm işaretlemeler koordinat düzleminde yapıldı. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmak, yani tüm noktaları birleştirmektir. Noktaları birleştirmek düzgün ve doğru olmalıdır, bu bir beceri meselesidir; biraz pratik yaparsanız programınız mükemmel olacaktır.

İlgili yayınlar