Bir fonksiyon tanımının limiti nedir? Bir fonksiyonun limiti – tanımlar, teoremler ve özellikler

Limitler tüm matematik öğrencilerine pek çok sorun yaşatır. Bir limiti çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözüm yöntemleri arasından tam olarak belirli bir örnek için uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu yanıtlamaya çalışacağız: Yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla birlikte limit çözme konusunda birkaç ayrıntılı örnek vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şu: Bu sınır nedir ve neyin sınırı? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey bu. Ama önce limitin en genel tanımı:

Diyelim ki bazı değişken değerler var. Değişim sürecindeki bu değer sınırsız olarak belirli bir sayıya yaklaşıyorsa A , O A – bu değerin sınırı.

Belirli bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y böyle bir sayıya limit denir A , işlevin ne zaman yöneldiği X belli bir noktaya doğru yönelen A . Nokta A fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal gelebilir ama çok basit bir şekilde yazılmıştır:

Lim- İngilizceden sınır- sınır.

Limitin belirlenmesine ilişkin geometrik bir açıklama da var ancak konunun teorik yönünden ziyade pratik tarafıyla ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere eğilimlidir; bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir.

Spesifik bir örnek verelim. Görev sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3 bir fonksiyona dönüşür. Şunu elde ederiz:

Bu arada, matrislerdeki temel işlemlerle ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

Örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte bir örnek: X sonsuza doğru yönelir:

Sezgisel olarak paydadaki sayı ne kadar büyük olursa fonksiyonun alacağı değer o kadar küçük olur. Yani sınırsız büyümeyle X Anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, çaba göstereceğiniz değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X . Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar dahilinde türde belirsizlikler var 0/0 veya sonsuzluk/sonsuzluk . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hilelere başvur!

İçerideki belirsizlikler

Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Fonksiyonun yerine sonsuzu koymaya çalışırsak hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmenin belli bir sanat unsurunun olduğunu söylemekte fayda var: işlevi belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde nasıl dönüştürebileceğinize dikkat etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda pay ve paydayı şuna böleriz: X son sınıfta. Ne olacak?

Yukarıda tartışılan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfıra yöneleceğini biliyoruz. O halde limitin çözümü:

Tür belirsizliklerini çözmek için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna böl: X en yüksek derecede.

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var. her türlü iş

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değerleri fonksiyona koymak x=-1 verir 0 pay ve paydada. Biraz daha yakından baktığınızda payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Azaltalım ve elde edelim:

Dolayısıyla, tür belirsizliğiyle karşı karşıya kalırsanız 0/0 – pay ve paydayı çarpanlarına ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo sunuyoruz:

L'Hopital'in kuralı içeride

Her iki belirsizlik türünü de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alın.

L'Hopital kuralı şuna benzer:

Önemli nokta : Pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin bulunması gereken limit.

Ve şimdi - gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alalım:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde çözülür.

Bu bilgiyi pratikte yararlı bir şekilde uygulayabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitlerin nasıl çözüleceği" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve bu iş için kesinlikle zamanınız yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için profesyonel bir öğrenci servisiyle iletişime geçin.

En azından %%a \in \overline( \ noktasının bazı delinmiş mahallelerinde %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%%'de tanımlanan %%f(x)%% fonksiyonunu düşünün mathbb(R))%% genişletilmiş sayı doğrusu.

Cauchy limiti kavramı

\mathbb(R)%% içindeki %%A \sayısına denir fonksiyonun sınırı%%f(x)%%, %%a \in \mathbb(R)%% noktasında (veya %%x%%, %%a \in \mathbb(R)%%'ye doğru yöneliyor), eğer, ne %%\varepsilon%% pozitif sayısı ne olursa olsun, %%\delta%% pozitif bir sayı vardır, öyle ki %%a%% noktasının delinmiş %%\delta%% mahallesindeki tüm noktalar için fonksiyon değerleri %%\varepsilon %%-%%A%% noktasının mahallesine ait veya

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Bu tanım, Fransız matematikçi Augustin Cauchy tarafından önerilen %%\varepsilon%% ve %%\delta%% tanımı olarak adlandırılmakta ve gerekli matematiksel kesinliğe ve doğruluğa sahip olduğu için 19. yüzyılın başlarından günümüze kadar kullanılmaktadır.

%%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ biçimindeki %%a%% noktasının çeşitli komşuluklarını birleştirme text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) Çevresi %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ ile %% text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, Cauchy limitinin 24 tanımını elde ederiz.

Geometrik anlam

Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin geometrik anlamının ne olduğunu bulalım. %%y = f(x)%% fonksiyonunun grafiğini oluşturalım ve üzerinde %%x = a%% ve %%y = A%% noktalarını işaretleyelim.

%%y = f(x)%% fonksiyonunun %%x \to a%% noktasındaki limiti mevcuttur ve %%A%% noktasının herhangi bir %%\varepsilon%% komşuluğu için A'ya eşittir. %%a%% noktasının böyle bir %%\ delta%%-komşuluğu belirtilebilir, öyle ki bu %%\delta%%-mahalleden herhangi bir %%x%% için %%f(x)% değeri %, %%\varepsilon%%-mahalle noktalarında %%A%% olacaktır.

Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımına göre, %%x \'den a%%'ye kadar bir limitin varlığı için, fonksiyonun %%a%% noktasında hangi değeri aldığının bir önemi yoktur. %%x = a%% olduğunda fonksiyonun tanımlanmadığı veya %%A%% dışında bir değer aldığı durumlara örnekler verilebilir. Ancak sınır %%A%% olabilir.

Heine limitinin belirlenmesi

%%A \in \overline(\mathbb(R))%% öğesine %%f(x)%% fonksiyonunun %% x \to a, a \in \overline(\mathbb() noktasındaki limiti denir R))%% , tanım alanından %%\(x_n\) \'ye %%'ye kadar herhangi bir dizi için, karşılık gelen değerlerin dizisi %%\big\(f(x_n)\big\)% %, %%A%% eğilimindedir.

Heine'ye göre limit tanımı, belirli bir noktada bir fonksiyonun limitinin varlığı konusunda şüpheler ortaya çıktığında kullanıma uygundur. %%\(x_n\)%% dizisinin %%\big\(f(x_n)\big\)%% olacağı şekilde %%a%% noktasında bir limitle en az bir dizi oluşturmak mümkünse limiti yoksa %%f(x)%% fonksiyonunun bu noktada limiti olmadığı sonucuna varabiliriz. İki kişilik ise çeşitli%%\(x"_n\)%% ve %%\(x""_n\)%% dizileri Aynı limit %%a%%, %%\big\(f(x"_n)\big\)%% ve %%\big\(f(x""_n)\big\)%% dizileri çeşitli limitler varsa, bu durumda %%f(x)%% fonksiyonunun limiti de yoktur.

Örnek

%%f(x) = \sin(1/x)%% olsun. Bu fonksiyonun limitinin %%a = 0%% noktasında var olup olmadığını kontrol edelim.

Önce bu noktaya yakınsayan $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) dizisini seçelim. $$

%%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% ve %%\lim (x_n) = 0%% olduğu açıktır. O zaman %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% ve %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Sonra aynı noktaya yakınsayan bir dizi alın $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

bunun için %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% ve %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = %1. Benzer şekilde $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) dizisi için ) \pi) \sağ\), $$

ayrıca %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%% noktasına yakınsıyor.

Her üç dizi de Heine tanımı koşuluyla çelişen farklı sonuçlar verdi; bu fonksiyonun %%x = %0% noktasında limiti yoktur.

Teorem

Limitin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.

Bir fonksiyonun limitinin ana teoremlerinin ve özelliklerinin formülasyonu verilmiştir. Cauchy ve Heine'ye göre sonlu noktalarda ve sonsuzda (iki taraflı ve tek taraflı) sonlu ve sonsuz limitlerin tanımları verilmiştir. Aritmetik özellikler dikkate alınır; eşitsizliklerle ilgili teoremler; Cauchy yakınsama kriteri; karmaşık bir fonksiyonun limiti; Sonsuz küçük, sonsuz büyük ve monotonik fonksiyonların özellikleri. Bir fonksiyonun tanımı verilmiştir.

İçerik

Cauchy'ye göre ikinci tanım

Bir fonksiyonun (Cauchy'ye göre) bağımsız değişkeni x'in x'e eğilimi olan limiti 0 aşağıdaki koşulların karşılandığı sonlu bir sayı veya sonsuzdaki bir noktadır:
1) x noktasının böyle delinmiş bir komşuluğu var 0 f fonksiyonu burada (X) azimli;
2) a'ya ait olan herhangi bir komşuluk için, x noktasının böyle bir delikli komşuluğu vardır 0 fonksiyon değerlerinin a noktasının seçilen mahallesine ait olduğu:
.

Burada a ve x 0 aynı zamanda sonlu sayılar veya sonsuzdaki noktalar da olabilir. Varlık ve evrenselliğin mantıksal simgeleri kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
.

Bir bitiş noktasının sol veya sağ komşuluğunu bir küme olarak alırsak, sol veya sağda Cauchy limitinin tanımını elde ederiz.

Teorem
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.
Kanıt

Noktaların uygulanabilir mahalleleri

O halde aslında Cauchy tanımı şu anlama gelir.
Herhangi bir pozitif sayı için sayılar vardır, böylece : noktasının delinmiş komşuluğuna ait olan tüm x'ler için, fonksiyonun değerleri a: noktasının komşuluğuna aittir,
Nerede , .

Mahalleler dört sayı kullanılarak tanımlandığından bu tanımla çalışmak pek uygun değildir. Ancak uçları eşit uzaklıkta olan mahalleler oluşturularak bu durum basitleştirilebilir. Yani , koyabilirsiniz. Daha sonra teoremleri ispatlarken kullanımı daha kolay bir tanım elde edeceğiz. Üstelik keyfi mahallelerin kullanıldığı tanımla eşdeğerdir. Bu gerçeğin kanıtı “Bir fonksiyonun limitinin Cauchy tanımlarının eşdeğerliği” bölümünde verilmiştir.

O zaman bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz uzak noktalardaki limitinin birleşik bir tanımını verebiliriz:
.
Burada uç noktalar için
; ;
.
Sonsuzdaki noktaların herhangi bir komşuluğu delinir:
; ; .

Uç noktalarda fonksiyonun sonlu sınırları

a sayısına f fonksiyonunun limiti denir (X) x noktasında 0 , Eğer
1) fonksiyon, uç noktanın bazı delinmiş komşuluklarında tanımlanır;
2) eşitsizliğin geçerli olduğu tüm x'ler için, 'ye bağlı olan herhangi bir şey vardır
.

Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.

Tek taraflı sınırlar.
Bir noktada sol sınır (sol taraftaki sınır):
.
Bir noktada sağ limit (sağ limit):
.
Sol ve sağ sınırlar genellikle şu şekilde gösterilir:
; .

Bir fonksiyonun sonsuzdaki noktalardaki sonlu limitleri

Sonsuz noktalardaki limitler de benzer şekilde belirlenir.
.
.
.

Sonsuz Fonksiyon Sınırları

Ayrıca ve'ye eşit belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımlarını da girebilirsiniz:
.
.

Bir fonksiyonun limitinin özellikleri ve teoremleri

Ayrıca, söz konusu fonksiyonların, sonlu bir sayı veya aşağıdaki sembollerden biri olan noktanın ilgili delinmiş komşuluğunda tanımlandığını varsayıyoruz. Aynı zamanda tek taraflı bir sınır noktası da olabilir, yani veya şeklinde olabilir. Komşuluk, iki taraflı bir limit için iki taraflı, tek taraflı bir limit için ise tek taraflıdır.

Temel özellikler

Eğer f fonksiyonunun değerleri (X) sonlu sayıda x noktasını değiştirin (veya tanımsız hale getirin) 1, x 2, x 3, ... x n ise bu değişiklik fonksiyonun rastgele bir x noktasındaki limitinin varlığını ve değerini etkilemeyecektir. 0 .

Eğer sonlu bir limit varsa, o zaman x noktasının delinmiş bir komşuluğu vardır. 0 f fonksiyonu burada (X) sınırlı:
.

Fonksiyonun x noktasında olmasına izin verin 0 sıfır olmayan sonlu limit:
.
O halde, aralığındaki herhangi bir c sayısı için, x noktasının böyle bir delikli komşuluğu vardır. 0 , ne için ,
, Eğer ;
, Eğer .

Eğer noktanın bazı delinmiş komşuluklarında , bir sabit ise, o zaman .

Eğer x noktasının bazı delinmiş komşuluklarında ve sonlu limitler varsa 0
,
O .

Eğer , ve noktanın bazı mahallelerinde
,
O .
Özellikle, eğer bir noktanın bazı mahallelerindeyse
,
o zaman eğer , o zaman ve ;
eğer , o zaman ve .

Eğer bir x noktasının delinmiş bir mahallesindeyse 0 :
,
ve sonlu (veya belirli bir işaretin sonsuz) eşit sınırları vardır:
, O
.

Ana özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitinin temel özellikleri."

Fonksiyonlar ve noktasının bazı delinmiş mahallelerinde tanımlansın. Ve sonlu sınırlar olsun:
Ve .
Ve C bir sabit, yani belirli bir sayı olsun. Daha sonra
;
;
;
, Eğer .

Eğer öyleyse.

Aritmetik özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitinin aritmetik özellikleri".

Bir fonksiyonun limitinin varlığına ilişkin Cauchy kriteri

Teorem
Sonlu bir x'in delinmiş bir komşuluğunda veya sonsuz noktasında tanımlanan bir fonksiyon için 0 , bu noktada sonlu bir limite sahip olduğundan, herhangi bir ε için gerekli ve yeterlidir. > 0 x noktasının öyle delikli bir mahallesi vardı ki 0 , herhangi bir nokta için ve bu komşuluktan itibaren aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun limiti

Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin. Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: . Mahalleler ve bunlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun limit teoremi, fonksiyon bir noktada tanımlanmadığında veya limitten farklı bir değere sahip olduğunda uygulanır. Bu teoremi uygulamak için, fonksiyonun değer kümesinin noktayı içermediği noktanın delinmiş bir komşuluğu olmalıdır:
.

Eğer fonksiyon noktasında sürekli ise, o zaman limit işareti sürekli fonksiyonun argümanına uygulanabilir:
.
Aşağıdaki bu duruma karşılık gelen bir teoremdir.

Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
g fonksiyonunun bir limiti olsun (X) x → x olarak 0 ve t'ye eşittir 0 :
.
İşte x noktası 0 sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: .
Ve f fonksiyonuna izin verin (T) t noktasında sürekli 0 .
O halde f karmaşık fonksiyonunun bir limiti vardır. (g(x)) ve f'ye eşittir (t 0):
.

Teoremlerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği".

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar

Sonsuz küçük fonksiyonlar

Tanım
Bir fonksiyona sonsuz küçük denirse
.

Toplam, fark ve ürün sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyonun at'si sonsuz küçük bir fonksiyondur.

Sınırlı bir fonksiyonun çarpımı noktanın bazı delinmiş komşuluklarında, sonsuz küçük bir at'ye kadar, bir at sonsuz küçük fonksiyondur.

Bir fonksiyonun sonlu bir limite sahip olması için gerekli ve yeterlidir.
,
burada sonsuz küçük bir fonksiyon var.

"Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri".

Sonsuz büyük işlevler

Tanım
Bir fonksiyona sonsuz büyük denirse
.

Noktanın bazı delinmiş komşuluklarındaki sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz büyük bir fonksiyonun toplamı veya farkı, 'da sonsuz büyük bir fonksiyondur.

Eğer fonksiyon için sonsuz büyükse ve fonksiyon noktanın bazı delinmiş komşuluklarında sınırlıysa, o zaman
.

Eğer fonksiyon, noktanın bazı delinmiş komşuluklarında eşitsizliği sağlıyorsa:
,
ve fonksiyon şu noktada sonsuz küçüktür:
, ve (noktanın bazı delinmiş mahallelerinde), sonra
.

Özelliklerin kanıtları bölümde sunulmuştur.
"Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri".

Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki

Önceki iki özellikten sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki bağlantı çıkar.

Eğer bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.

Bir fonksiyon ve için sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon için sonsuz büyüktür.

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyon arasındaki ilişki sembolik olarak ifade edilebilir:
, .

Sonsuz küçük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, yani noktanın delinmiş bazı komşuluklarında pozitif (veya negatif), bu durumda bu gerçek şu şekilde ifade edilebilir:
.
Aynı şekilde, eğer sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, o zaman şunu yazarlar:
.

O halde sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki sembolik bağlantı aşağıdaki ilişkilerle desteklenebilir:
, ,
, .

Sonsuzluk sembolleriyle ilgili ek formülleri sayfada bulabilirsiniz
"Sonsuzluğu işaret eden noktalar ve özellikleri."

Monoton fonksiyonların limitleri

Tanım
X gerçel sayılarından oluşan bir küme üzerinde tanımlanan bir fonksiyona denir kesinlikle artıyor, eğer hepsi için aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse:
.
Buna göre, kesinlikle azalıyor fonksiyonunda aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
İçin azalmayan:
.
İçin artmayan:
.

Buradan kesin olarak artan bir fonksiyonun aynı zamanda azalmadığı sonucu çıkar. Kesinlikle azalan bir fonksiyon aynı zamanda artmayandır.

Fonksiyon çağrılır monoton azalmıyor veya artmıyorsa.

Teorem
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
Yukarıda M sayısıyla sınırlıysa, o zaman sonlu bir limit vardır. Yukarıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer aşağıdan m sayısı kadar sınırlıysa, o zaman sonlu bir sınır vardır. Aşağıdan sınırlı değilse, o zaman .

Eğer a ve b noktaları sonsuzda ise ifadelerdeki limit işaretleri şunu ifade eder.
Bu teorem daha kompakt bir şekilde formüle edilebilir.

Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin. O zaman a ve b noktalarında tek taraflı limitler vardır:
;
.

Artmayan bir fonksiyon için benzer bir teorem.

Fonksiyonun, olduğu aralıkta artmamasına izin verin. Sonra tek taraflı sınırlar var:
;
.

Teoremin kanıtı sayfada sunulmuştur.
"Monotonik fonksiyonların sınırları".

Fonksiyon Tanımı

İşlev y = f (X) X kümesinin her bir x elemanının, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y elemanı ile ilişkili olduğu bir yasadır (kuraldır).

Eleman x ∈ X isminde fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken.
Eleman y ∈ Y isminde fonksiyon değeri veya bağımlı değişken.

X kümesi denir fonksiyonun alanı.
y öğeleri kümesi ∈ Y X kümesinde ön görüntüleri olanlara denir alan veya fonksiyon değerleri kümesi.

Gerçek fonksiyon çağrılır yukarıdan sınırlı (aşağıdan) eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu bir M sayısı varsa:
.
Sayı fonksiyonu çağrılır sınırlı, eğer herkes için öyle bir M sayısı varsa:
.

Üst kenar veya kesin üst sınır Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını yukarıdan sınırlayan en küçük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri s′'yi aşan bir argümanın bulunduğu bir s sayısıdır: .
Bir fonksiyonun üst sınırı şu şekilde gösterilebilir:
.

Sırasıyla alt kenar veya kesin alt sınır Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını aşağıdan sınırlayan en büyük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri i′'den küçük olan bir argümanın bulunduğu bir i sayısıdır: .
Bir fonksiyonun infimumu şu şekilde gösterilebilir:
.

Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Ayrıca bakınız:

Bu yazımızda size bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu anlatacağız. Öncelikle bu olgunun özünü anlamak için çok önemli olan genel noktaları açıklayalım.

Sınır kavramı

Matematikte ∞ sembolüyle gösterilen sonsuzluk kavramı temel olarak önemlidir. Sonsuz büyük + ∞ veya sonsuz küçük - ∞ sayısı olarak anlaşılmalıdır. Sonsuzluktan bahsettiğimizde, genellikle bu iki anlamı aynı anda kastederiz, ancak + ∞ veya - ∞ biçimindeki gösterim, yalnızca ∞ ile değiştirilmemelidir.

Bir fonksiyonun limiti lim x → x 0 f(x) şeklinde yazılır. En alta ana argüman x'i yazıyoruz ve bir ok yardımıyla hangi x0 değerine yöneleceğini gösteriyoruz. Eğer x 0 değeri somut bir gerçel sayı ise, o zaman fonksiyonun bir noktadaki limitiyle uğraşıyoruz demektir. Eğer x 0 değeri sonsuza gidiyorsa (∞, + ∞ veya - ∞ olması önemli değil), o zaman fonksiyonun sonsuzdaki limitinden bahsetmemiz gerekir.

Limit sonlu veya sonsuz olabilir. Belirli bir gerçek sayıya eşitse, yani. lim x → x 0 f (x) = A, o zaman buna sonlu limit denir, ancak lim x → x 0 f (x) = ∞ ise, lim x → x 0 f (x) = + ∞ veya lim x → x 0 f (x) = - ∞ , o zaman sonsuzdur.

Eğer ne sonlu ne de sonsuz bir değer belirleyemiyorsak böyle bir limit yok demektir. Bu duruma bir örnek sinüsün sonsuzdaki limiti olabilir.

Bu paragrafta bir fonksiyonun limitinin değerinin bir noktada ve sonsuzda nasıl bulunacağını açıklayacağız. Bunu yapmak için temel tanımları tanıtmamız ve sayı dizilerinin ne olduğunu, yakınsaklıklarını ve ıraksaklıklarını hatırlamamız gerekiyor.

Tanım 1

A sayısı, f(x) fonksiyonunun x → ∞ olarak limitidir, eğer değerlerinin sırası herhangi bir sonsuz büyük argüman dizisi için (negatif veya pozitif) A'ya yakınsarsa.

Bir fonksiyonun limitini yazmak şuna benzer: lim x → ∞ f (x) = A.

Tanım 2

X → ∞ olduğundan, herhangi bir sonsuz büyük argüman dizisinin değer dizisi de sonsuz derecede büyükse (pozitif veya negatif) bir f(x) fonksiyonunun limiti sonsuzdur.

Giriş lim x → ∞ f (x) = ∞ gibi görünüyor.

örnek 1

x → ∞ limitinin temel tanımını kullanarak lim x → ∞ 1 x 2 = 0 eşitliğini kanıtlayın.

Çözüm

x = 1, 2, 3, argümanının sonsuz büyük pozitif değer dizisi için 1 x 2 fonksiyonunun değer dizisini yazarak başlayalım. . . , N , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Değerlerin giderek azalarak 0’a doğru yöneleceğini görüyoruz. Resimde bakın:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - N , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Burada aynı zamanda sıfıra doğru monoton bir azalma da görebiliyoruz, bu da eşitlik koşulunda bunun geçerliliğini teyit ediyor:

Cevap: Eşitlik koşulunda bunun doğruluğu teyit edilir.

Örnek 2

lim x → ∞ e 1 10 x limitini hesaplayın.

Çözüm

Daha önce olduğu gibi, sonsuz büyük pozitif argüman dizisi için f (x) = e 1 10 x değer dizilerini yazarak başlayalım. Örneğin x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e110; e410; e910; e1610; e2510; . . . ; e10010; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Bu dizinin sonsuz pozitif olduğunu görüyoruz, yani f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Sonsuz büyük bir negatif dizinin değerlerini yazmaya geçelim, örneğin x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e-1 10; e-4 10; e-9 10; e-16 10; e-25 ​​10; . . . ; e-100 10; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

O da sıfıra eğilimli olduğundan f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 olur.

Sorunun çözümü resimde açıkça gösterilmiştir. Mavi noktalar bir pozitif değer dizisini, yeşil noktalar ise bir negatif değer dizisini gösterir.

Cevap: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr ve x → + ∞ 0 , pr ve x → - ∞ .

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplama yöntemine geçelim. Bunu yapmak için tek taraflı bir limitin nasıl doğru şekilde tanımlanacağını bilmemiz gerekir. Bu aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarını bulmakta da işimize yarayacaktır.

Tanım 3

B sayısı, x n fonksiyonunun herhangi bir argüman dizisi için değerlerinin sırasının belirli bir sayıya yakınlaşması durumunda, x → a olarak soldaki f (x) fonksiyonunun limitidir, eğer değerleri a (x n)'den küçük kalır< a).

Böyle bir limit yazılı olarak lim x → a - 0 f(x) = B olarak gösterilir.

Şimdi sağdaki bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu formüle edelim.

Tanım 4

B sayısı, x n fonksiyonunun herhangi bir argüman dizisi için değerlerinin sırasının belirli bir sayıya yakınlaşması durumunda, x → a olarak sağdaki f (x) fonksiyonunun limitidir, eğer değerleri a (x n > a)'dan büyük kalır.

Bu limiti lim x → a + 0 f(x) = B olarak yazarız.

Bir f(x) fonksiyonunun limitini, sol ve sağ tarafta eşit limitlere sahip olduğunda belirli bir noktada bulabiliriz; lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Her iki limit de sonsuz ise fonksiyonun başlangıç ​​noktasındaki limiti de sonsuz olacaktır.

Şimdi belirli bir problemin çözümünü yazarak bu tanımları netleştireceğiz.

Örnek 3

f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 fonksiyonunun x 0 = 2 noktasında sonlu bir limiti olduğunu kanıtlayın ve değerini hesaplayın.

Çözüm

Sorunu çözebilmek için bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin tanımını hatırlamamız gerekiyor. Öncelikle orijinal fonksiyonun solda bir limiti olduğunu kanıtlayalım. X n ise x 0 = 2'ye yakınsayacak fonksiyon değerlerinin bir dizisini yazalım< 2:

f(-2); f(0) ; f(1) ; f112; f134; f178; f1 15 16; . . . ; f1 1023 1024; . . . = = 8,667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; -1,489; -1,747; -1,874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Yukarıdaki dizi - 2'ye indirgendiğinden, lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 yazabiliriz.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Bu dizideki fonksiyon değerleri şöyle görünecektir:

f(6); f(4) ; f(3); f212; f234; f278; f2 15 16; . . . ; f2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; -3,833; -2,958; -2,489; -2,247; -2,124; . . . , - 2,001, . . . → - 2

Bu dizi aynı zamanda - 2'ye de yakınsar, bu da lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 anlamına gelir.

Bu fonksiyonun sağ ve sol tarafındaki limitlerin eşit olacağını bulduk, bu da f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 fonksiyonunun x 0 = 2 noktasındaki limitinin mevcut olduğu anlamına gelir, ve lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Çözümün ilerleyişini çizimde görebilirsiniz (yeşil noktalar x n'ye yakınsayan bir değerler dizisidir)< 2 , синие – к x n > 2).

Cevap: Bu fonksiyonun sağ ve sol tarafındaki limitleri eşit olacaktır, yani fonksiyonun limiti vardır ve lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Limit teorisini daha derinlemesine incelemek için, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve ana süreksizlik noktaları türleri hakkındaki makaleyi okumanızı tavsiye ederiz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir dizinin sonlu limitinin tanımı verilmiştir. İlgili özellikler ve eşdeğer tanım tartışılmaktadır. A noktasının dizinin limiti olmadığını belirten bir tanım verilmiştir. Tanım kullanılarak bir limitin varlığının kanıtlandığı örnekler ele alınmıştır.

İçerik

Ayrıca bakınız: Dizi limiti – temel teoremler ve özellikler
Başlıca eşitsizlik türleri ve özellikleri

Burada bir dizinin sonlu limitinin tanımına bakacağız. Bir dizinin sonsuza yakınsaması durumu “Sonsuz büyük bir dizinin tanımı” sayfasında tartışılmıştır.

Herhangi bir ε pozitif sayısı için bir dizinin limiti bir a sayısıdır. > 0 ε'ya bağlı olarak bir N ε doğal sayısı vardır, öyle ki tüm doğal sayılar için n > N ε eşitsizliği
| x n - a|< ε .
Burada xn, n numaralı dizinin elemanıdır. Sıra sınırışu şekilde ifade edilir:
.
Veya adresinde.

Eşitsizliği dönüştürelim:
;
;
.

ε - bir noktanın komşuluğu a - açık bir aralıktır (a - ε, a + ε). Yakınsak dizi, limiti olan bir dizidir. Sıranın da olduğu söyleniyor yakınsar a. Iraksak bir dizi, sınırı olmayan bir dizidir.

Tanımdan, eğer bir dizinin bir a limiti varsa, o zaman a noktasının hangi ε-komşuluğunu seçersek seçelim, sınırlarının ötesinde dizinin yalnızca sonlu sayıda elemanı olabilir veya hiç olmayabilir (boş bir ayarlamak). Ve herhangi bir ε-komşusu sonsuz sayıda eleman içerir. Aslında belirli bir ε sayısını verdikten sonra elimizde ε sayısı bulunur. Yani sayıların yer aldığı dizinin tüm elemanları tanım gereği a noktasının ε-komşuluğunda yer alır. İlk elemanlar herhangi bir yere yerleştirilebilir. Yani, ε-komşuluğu dışında elementlerden, yani sonlu bir sayıdan fazlası olamaz.

Ayrıca farkın monoton bir şekilde sıfıra doğru yönelmesi, yani her zaman azalması gerekmediğini de not ediyoruz. Monoton olmayan bir şekilde sıfırlanma eğiliminde olabilir: yerel maksimumlara sahip olarak artabilir veya azalabilir. Bununla birlikte, n arttıkça bu maksimumlar sıfıra doğru yönelmelidir (muhtemelen aynı zamanda monoton olarak da değil).

Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak limitin tanımı şu şekilde yazılabilir:
(1) .

a'nın bir limit olmadığını belirlemek

Şimdi a sayısının dizinin limiti olmadığı yönündeki ters ifadeyi düşünün.

a numarası dizinin limiti değil, eğer herhangi bir n doğal sayısı için böyle bir doğal m varsa > n, Ne
.

Bu ifadeyi mantıksal semboller kullanarak yazalım.
(2) .

beyanı a sayısı dizinin limiti değil, anlamına gelir
a noktasının böyle bir ε - mahallesini seçebilirsiniz, bunun dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.

Bir örneğe bakalım. Ortak elemanlı bir dizi verilsin
(3)
Bir noktanın herhangi bir komşuluğu sonsuz sayıda eleman içerir. Ancak bu nokta dizinin limiti değildir, çünkü noktanın herhangi bir komşuluğu aynı zamanda sonsuz sayıda eleman içerir. ε = ε = olan bir noktanın komşuluğunu alalım 1 . Bu aralık olacak (-1, +1) . N'si çift olan ilk eleman dışındaki tüm elemanlar bu aralığa aittir. Ancak tek n'li tüm öğeler bu aralığın dışındadır çünkü x n eşitsizliğini sağlarlar. > 2 . Tek elemanların sayısı sonsuz olduğundan seçilen mahallenin dışında da sonsuz sayıda eleman olacaktır. Dolayısıyla nokta dizinin limiti değildir.

Şimdi bunu (2) numaralı ifadeye sıkı sıkıya bağlı kalarak göstereceğiz. Bu nokta (3) dizisinin bir limiti değildir, çünkü herhangi bir doğal n için eşitsizliğin geçerli olduğu tek bir sayı vardır.
.

Herhangi bir a noktasının bu dizinin limiti olamayacağı da gösterilebilir. Her zaman a noktasının ne 0 ne de 2 noktasını içermeyen bir ε komşuluğunu seçebiliriz. Ve seçilen mahallenin dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.

Sıra sınırının eşdeğer tanımı

ε - komşuluk kavramını genişletirsek bir dizinin limitine eşdeğer bir tanım verebiliriz. Eğer ε-komşuluğu yerine a noktasının herhangi bir komşuluğunu içeriyorsa eşdeğer bir tanım elde edeceğiz. Bir noktanın komşuluğu, o noktayı içeren herhangi bir açık aralıktır. Matematiksel olarak bir noktanın komşuluğu aşağıdaki gibi tanımlanır: burada ε 1 ve ε 2 - keyfi pozitif sayılar.

O halde limitin eşdeğer tanımı aşağıdaki gibidir.

Bir dizinin limiti, herhangi bir komşuluğu için bir doğal sayı N varsa, öyle ki dizinin sayıları olan tüm elemanları bu komşuluğa aitse, bir a sayısıdır.

Bu tanım genişletilmiş biçimde de sunulabilir.

Herhangi bir pozitif sayı için bir dizinin limiti bir a sayısıdır ve eşitsizlikler tüm doğal sayılar için geçerli olacak şekilde bir N doğal sayısı vardır.
.

Tanımların denkliğinin kanıtı

Yukarıda sunulan bir dizinin limitinin iki tanımının eşdeğer olduğunu kanıtlayalım.

İlk tanıma göre a sayısı dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı için ε aşağıdaki eşitsizliklerin karşılandığı bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir:
(4) .

İkinci tanımla a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Yani herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun olduğunu göstermemiz gerekir. 1 ve ε 2 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5) .

İki pozitif sayımız olsun: ε 1 ve ε 2 . Ve bunların en küçüğü ε olsun: . Daha sonra ; ; . Bunu (5)'te kullanalım:
.
Ancak eşitsizlikler tatmin edicidir. O zaman eşitsizlik (5) de sağlanır.

Yani, herhangi bir pozitif sayı için (5) eşitsizliklerinin karşılandığı bir fonksiyon bulduk ε 1 ve ε 2 .
İlk kısım kanıtlandı.

Şimdi a sayısı ikinci tanıma göre dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir. 1 ve ε 2 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5) .

İlk tanıma göre a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için koymanız gerekir. Daha sonra aşağıdaki eşitsizlikler geçerli olduğunda:
.
Bu, ile ilk tanıma karşılık gelir.
Tanımların denkliği kanıtlanmıştır.

Örnekler

örnek 1

Kanıtla .

(1) .
Bizim durumumuzda;
.

.
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.

.
Daha sonra
.
Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.

Örnek 2

Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
.

Bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
(1) .
Bizim durumumuzda;
.

Pozitif sayıları girin ve:
.
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.

Yani, herhangi bir pozitif için, aşağıdakilerden büyük veya ona eşit olan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.
Daha sonra
.
.

Örnek 3

.

, notasyonunu tanıtıyoruz.
Farkı dönüştürelim:
.
Doğal n için = 1, 2, 3, ... sahibiz:
.

Bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
(1) .
Pozitif sayıları girin ve:
.
O zaman ve ise
.

Yani, herhangi bir pozitif için, aşağıdakilerden büyük veya ona eşit olan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.
burada
.
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.

Örnek 4

Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
.

Bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
(1) .
Bizim durumumuzda;
.

Pozitif sayıları girin ve:
.
O zaman ve ise
.

Yani, herhangi bir pozitif için, aşağıdakilerden büyük veya ona eşit olan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.
Daha sonra
.
Bu, sayının dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.

Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Ayrıca bakınız: