Dikey düzlemler, iki düzlemin dikliğinin bir işaretidir. stereometri
Tanım. Dihedral açı, bir düz çizgi a ve ortak sınırı a olan ve aynı düzleme ait olmayan iki yarım düzlemden oluşan bir şekildir.
Tanım. Bir dihedral açının derece ölçüsü, doğrusal açılarından herhangi birinin derece ölçüsüdür.
Tanım. Aralarındaki açı 90o ise kesişen iki düzlemin dik olduğu söylenir.
İki düzlemin dikliğinin işareti.
Özellikleri.
- Bir küboidde altı yüzün tamamı dikdörtgendir.
- Bir küboidin tüm dihedral açıları dik açıdır
- Dikdörtgen paralel yüzün köşegeninin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.
Konuyla ilgili görevler ve testler "Konu 7. "Dihedral açı. Düzlem Dikliği"."
- Dihedral açı. Düzlem dikliği
- Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği - Doğruların ve düzlemlerin dikliği 10. sınıf
Dersler: 1 Ödev: 10 Kısa Sınav: 1
- Dik ve eğik. Doğru ile düzlem arasındaki açı - Doğruların ve düzlemlerin dikliği 10. sınıf
Dersler: 2 Ödev: 10 Test: 1
- Düzlem paralellik - Düz çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği 10. sınıf
Dersler: 1 Ödevler: 8 Testler: 1
- Dikey çizgiler - Temel geometrik bilgiler 7. Sınıf
Dersler: 1 Ödev: 17 Test: 1
Konunun materyali, planimetriden bildiğiniz çizgilerin dikliği hakkındaki bilgileri özetler ve sistemleştirir. Uzaydaki çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki ile ilgili teoremlerin incelenmesinin yanı sıra dikey ve eğik malzeme ile ilgili malzemenin planimetriden sistematik bir tekrarı ile birleştirilmesi tavsiye edilir.
Hemen hemen tüm hesaplama problemlerinin çözümleri, Pisagor teoreminin uygulanmasına ve sonuçlarına indirgenir. Birçok problemde, Pisagor teoremini veya sonuçlarını uygulama olasılığı, üç dik teoremi veya paralellik ve düzlemlerin dikliği özellikleri ile doğrulanır.
Bu ders, "İki düzlemin dikliğinin bir işareti" konusu hakkında fikir edinmek isteyenlere yardımcı olacaktır. Bunun başında, dihedral ve lineer açı tanımını tekrarlayacağız. Sonra hangi düzlemlere dik denildiğini ele alacağız ve iki düzlemin dikliği için kriteri ispatlayacağız.
Konu: Doğruların ve düzlemlerin dikliği
Ders: İki düzlemin diklik işareti
Tanım. Dihedral açı, aynı düzleme ait olmayan iki yarım düzlem ve bunların ortak düz çizgisi a (a bir kenardır) tarafından oluşturulan bir şekildir.
Pirinç. 1
İki yarım düzlem α ve β düşünün (Şekil 1). Ortak sınırları l'dir. Bu şekle dihedral açı denir. Kesişen iki düzlem, ortak bir kenarı olan dört dihedral açı oluşturur.
Bir dihedral açı, doğrusal açısı ile ölçülür. Dihedral açının ortak kenarı l üzerinde rastgele bir nokta seçiyoruz. Bu noktadan α ve β yarım düzlemlerinde a ve b düz çizgisine dik çizgiler çizeriz ve dihedral açının lineer açısını elde ederiz.
Düz a ve b çizgileri φ, 180° - φ, φ, 180° - φ'ye eşit dört açı oluşturur. Bu açılardan en küçüğüne doğrular arasındaki açı denildiğini hatırlayın.
Tanım. Düzlemler arasındaki açı, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açıların en küçüğüdür. φ - α ve β düzlemleri arasındaki açı, eğer
Tanım. Kesişen iki düzlem, aralarındaki açı 90° ise dik (karşılıklı olarak dik) olarak adlandırılır.
Pirinç. 2
l kenarında keyfi bir M noktası seçilir (Şekil 2). Sırasıyla α düzleminde ve β düzleminde l kenarına iki dik MA = a ve MB = b doğrusu çizelim. AMB açısını aldık. AMB açısı, bir dihedral açının doğrusal açısıdır. AMB açısı 90° ise, α ve β düzlemlerinin dik olduğu söylenir.
B çizgisi, yapım gereği l çizgisine diktir. α ve β düzlemleri arasındaki açı 90° olduğundan, b çizgisi a çizgisine diktir. b çizgisinin, α düzleminden kesişen iki a ve l doğrusuna dik olduğunu elde ederiz. Dolayısıyla b doğrusu α düzlemine diktir.
Benzer şekilde, a çizgisinin β düzlemine dik olduğu kanıtlanabilir. a doğrusu l doğrusuna yapım gereği diktir. α ve β düzlemleri arasındaki açı 90° olduğundan, a çizgisi b çizgisine diktir. a çizgisinin β düzleminden kesişen iki b ve l çizgisine dik olduğunu elde ederiz. Dolayısıyla a doğrusu β düzlemine diktir.
İki düzlemden biri diğer düzleme dik bir çizgiden geçiyorsa, bu düzlemler diktir.
İspat et:
Pirinç. 3
Kanıt:
α ve β düzlemlerinin AC düz çizgisi boyunca kesişmesine izin verin (Şekil 3). Düzlemlerin karşılıklı olarak dik olduğunu kanıtlamak için, aralarında doğrusal bir açı oluşturmanız ve bu açının 90 ° 'ye eşit olduğunu göstermeniz gerekir.
AB çizgisi, β düzlemine ve dolayısıyla β düzleminde uzanan AC çizgisine koşul tarafından diktir.
AD doğrusunu β düzleminde AC doğrusuna dik çizelim. O halde BAD, dihedral açının lineer açısıdır.
AB çizgisi β düzlemine ve dolayısıyla β düzleminde uzanan AD çizgisine de diktir. Dolayısıyla BAD lineer açısı 90°'dir. Bu nedenle, α ve β düzlemleri diktir ve bu ispatlanması gerekiyordu.
Verilen iki düzlemin kesiştiği doğruya dik olan düzlem, bu düzlemlerin her birine diktir (Şekil 4).
İspat et:
Pirinç. 4
Kanıt:
l doğrusu γ düzlemine diktir ve α düzlemi l doğrusundan geçer. Dolayısıyla, düzlemlerin dikliği kriterine göre, α ve γ düzlemleri diktir.
l doğrusu γ düzlemine diktir ve β düzlemi l doğrusundan geçer. Bu nedenle, düzlemlerin diklik işaretiyle, β ve γ düzlemleri diktir.
DERSİN METİN AÇIKLAMASI:
Uzayda bir uçak fikri, örneğin bir masanın veya duvarın yüzeyini elde etmenizi sağlar. Bununla birlikte, bir masa veya duvarın sonlu boyutları vardır ve düzlem, sınırlarının ötesine sonsuza kadar uzanır.
Kesişen iki düzlem düşünün. Kesiştikleri zaman, ortak bir kenarı olan dört dihedral açı oluştururlar.
Dihedral açının ne olduğunu hatırlayalım.
Gerçekte, dihedral açı şeklinde nesnelerle karşılaşırız: örneğin, aralıklı bir kapı veya yarı açık bir klasör.
Alfa ve beta iki düzleminin kesişiminde dört dihedral açı elde ederiz. Dihedral açılardan biri (phi), ikincisi (1800 -), üçüncüsü, dördüncüsü (1800-) olsun.
Dihedral açılardan birinin 900'e eşit olduğu durumu düşünün.
Bu durumda tüm dihedral açılar 900'e eşittir.
Dik düzlemlerin tanımını verelim:
Aralarındaki dihedral açı 90° ise iki düzlemin dik olduğu söylenir.
Sigma ve epsilon düzlemleri arasındaki açı 90 derecedir, yani düzlemler diktir
Dik düzlemlere örnekler verelim.
Duvar ve tavan.
Yan duvar ve masa üstü.
İki düzlemin diklik işaretini formüle edelim:
TEOREM: İki düzlemden biri diğerine dik olan bir doğrudan geçiyorsa bu düzlemler de diktir.
Bu özelliği kanıtlayalım.
Koşul olarak, AM çizgisinin α düzleminde olduğu, AM çizgisinin β düzlemine dik olduğu bilinmektedir,
Kanıtlayın: α ve β düzlemleri diktir.
Kanıt:
1) α ve β düzlemleri AR düz çizgisi boyunca kesişir, AM AR ise AM β koşuluyla, yani AM, β düzleminde yatan herhangi bir çizgiye diktir.
2) β düzleminde AP'ye dik bir AT doğrusu çizelim.
TAM açısını elde ederiz - dihedral açının doğrusal açısı. Ama MA β'dan beri TAM açısı = 90°. Dolayısıyla, α β.
Q.E.D.
İki düzlemin diklik işaretinden önemli bir sonucumuz var:
SONUÇ: İki düzlemin kesiştiği bir doğruya dik olan bir düzlem, bu düzlemlerin her birine diktir.
Yani: α∩β=с ve γ с ise, o zaman γ α ve γ β.
Bu sonucu ispatlayalım: gama düzlemi c düz çizgisine dik ise, o zaman iki düzlemin paralellik işaretine göre, gama alfaya diktir. Benzer şekilde, gama betaya diktir.
Dihedral açı için bu sonucu yeniden formüle edelim:
Dihedral açının lineer açısından geçen düzlem, bu dihedral açının kenar ve yüzlerine diktir. Başka bir deyişle, bir dihedral açının lineer açısını oluşturduysak, içinden geçen düzlem bu dihedral açının kenarına ve yüzlerine diktir.
Verilen: ΔABC, C = 90°, AC α düzlemindedir, α ve ABC düzlemleri arasındaki açı = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Bul: B noktasından α düzlemine olan mesafe.
1) VC α'yı oluşturalım. O halde CS, BC'nin bu düzlem üzerindeki izdüşümüdür.
2) BC AS (koşulla), dolayısıyla üç dik teoremi (TTP), CS AS ile. Bu nedenle VSK, α düzlemi ile ABC üçgeninin düzlemi arasındaki dihedral açının lineer açısıdır. Yani, WSC = 60°.
3) Pisagor teoremine göre ΔBCA'dan:
Cevap VK, üç cm'lik 6 köke eşittir
İki düzlemin dikliğinin pratik kullanımı (uygulamalı karakter).
Uzayda diklik şunlara sahip olabilir:
1. İki düz çizgi
3. İki uçak
Bu üç durumu sırayla ele alalım: bunlarla ilgili tüm teorem tanımları ve ifadeleri. Ve sonra üç dik ile ilgili çok önemli bir teoremi tartışacağız.
İki çizginin dikliği.
Tanım:
Bana da Amerika'yı açtılar diyebilirsiniz! Ancak uzayda her şeyin bir uçaktakiyle tamamen aynı olmadığını unutmayın.
Bir düzlemde, yalnızca bu tür çizgiler (kesişen) dik olabilir:
Ancak iki doğrunun uzayda dikliği kesişmese bile olabilir. Bakmak:
bir doğru, onu kesmese de, bir doğruya diktir. Nasıl yani? Çizgiler arasındaki açının tanımını hatırlıyoruz: çarpık çizgiler arasındaki açıyı bulmak için ve a çizgisi üzerinde rastgele bir noktadan bir çizgi çizmeniz gerekir. Ve sonra ve arasındaki açı (tanımı gereği!) ile arasındaki açıya eşit olacaktır.
Hatırladı? Bizim durumumuzda, çizgiler ve dik olduğu ortaya çıkarsa, o zaman çizgiler ve dik olarak kabul edilmelidir.
Tamamen açık olmak için, bir bakalım örnek vermek. Bir küp olsun. Ve çizgiler arasındaki açıyı bulmanız istenir. Bu çizgiler kesişmez - kesişirler. ve arasındaki açıyı bulmak için çizin.
Bunun nedeni - bir paralelkenar (ve hatta bir dikdörtgen!), Öyle görünüyor. Ve gerçeği nedeniyle - bir kare, öyle çıkıyor. Demek ki.
Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.
Tanım:
İşte resim:
bir doğru, bu düzlemdeki tüm doğrulara dikse, bir düzleme diktir: ve, ve, ve, ve hatta! Ve bir milyar satır daha!
Evet, ama o zaman düz bir çizgide ve bir düzlemde dikliği genel olarak nasıl kontrol edebilirsiniz? Yani hayat yeterli değil! Ama neyse ki matematikçiler icat ederek bizi sonsuzluk kabusundan kurtardı. bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti.
Formüle ediyoruz:
Ne kadar harika olduğunu görün:
çizginin dik olduğu düzlemde sadece iki çizgi (u) varsa, bu çizgi hemen düzleme, yani bu düzlemdeki tüm çizgilere (yan tarafta duran bazı çizgiler dahil) dik olacaktır. ). Bu çok önemli bir teoremdir, bu yüzden anlamını da bir diyagram şeklinde çizeceğiz.
Ve tekrar bakalım örnek vermek.
Bize düzenli bir tetrahedron verilsin.
Görev: bunu kanıtlamak. Diyeceksiniz ki: bunlar iki düz çizgi! Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin bununla ne ilgisi var?!
Fakat bak:
kenarın ortasını işaretleyip ve çizelim. Bunlar ve içindeki medyanlardır. Üçgenler düzenli ve.
İşte bir mucize: olduğu gibi ortaya çıkıyor. Ve ayrıca, düzlemdeki tüm düz çizgilere ve dolayısıyla ve. Kanıtlanmış. Ve en önemli nokta, tam olarak düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin kullanılmasıydı.
Uçaklar dik olduğunda
Tanım:
Yani (daha fazla ayrıntı için, "dihedral açı" konusuna bakın), bu düzlemlerin kesişme çizgisine iki dik (ler) arasındaki açının eşit olduğu ortaya çıkarsa, iki düzlem (ler) diktir. Ve bir doğrunun ve bir düzlemin uzayında dik düzlemler kavramını diklik kavramına bağlayan bir teorem vardır.
Bu teoremin adı
Düzlemlerin diklik kriteri.
Formüle edelim:
Her zaman olduğu gibi, "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerinin kodunun çözülmesi şöyle görünür:
- Eğer, o zaman dikten geçer.
- Eğer dikten geçerse, o zaman.
(doğal olarak, burada ve uçaklardır).
Bu teorem stereometrideki en önemli teoremlerden biridir, ancak ne yazık ki uygulanması en zor olanlardan biridir.
Bu yüzden çok dikkatli olmalısınız!
Yani ifade şudur:
Ve yine, "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerini deşifre etmek. Teorem aynı anda iki şeyi belirtir (resme bakın):
Problemi çözmek için bu teoremi uygulamaya çalışalım.
Bir görev: düzgün bir altıgen piramit verilir. Çizgiler arasındaki açıyı bulun ve.
Çözüm:
Düzenli bir piramitte, tepe noktasının izdüşüm sırasında tabanın merkezine düşmesi nedeniyle, çizginin çizginin izdüşümü olduğu ortaya çıkıyor.
Ama bunu normal bir altıgende biliyoruz. Üç dik teoremini uyguluyoruz:
Ve cevabı yazın:
UZAYDA HATLARIN DİKKENLİĞİ. KISACA ANA HAKKINDA
İki çizginin dikliği.
Açı aralarında ise uzayda iki çizgi diktir.
Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.
Bir doğru, o düzlemdeki tüm doğrulara dikse, o düzleme diktir.
Düzlem dikliği.
Aralarındaki dihedral açı eşitse, düzlemler diktir.
Düzlemlerin diklik kriteri.
İki düzlem, ancak ve ancak biri diğer düzleme dik düzlemden geçerse diktir.
Üç dik teoremi:
Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.
Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.
Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...
Ne için?
Sınavı başarıyla geçmek, enstitüye bütçeden kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ olarak ömür boyu.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...
İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanırlar. Bu istatistik.
Ama asıl mesele bu değil.
Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmemek...
Ama kendin düşün...
Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?
ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.
Sınavda size teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.
Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.
İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.
Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
- Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 ruble
Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm ömrü boyunca sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.
“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
İki düzlemden biri diğer düzleme dik bir doğrudan geçiyorsa, verilen düzlemler diktir () (Şek. 28)
α - düzlem, içinde kendisine dik olan düz bir çizgidir, β düz bir çizgiden geçen bir düzlemdir içinde, Ve itibarenα ve β düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.
Sonuçlar. Bir düzlem, verilen iki düzlemin kesişim çizgisine dik ise, bu düzlemlerin her birine diktir.
Görev 1. Uzayda bir doğrunun herhangi bir noktasından, ona dik iki farklı çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayın.
Kanıt:
aksiyoma göre içizgide olmayan bir nokta var fakat. Teorem 2.1 ile noktadan İÇİNDE ve doğrudan fakat düzlem α çizilebilir. (Şek. 29) Teorem 2.3'e göre noktadan FAKATα düzleminde düz bir çizgi çizilebilir fakat. Aksiyom C 1'e göre, bir nokta var İTİBAREN, α'ya ait değil. Noktadan Teorem 15.1 ile İTİBAREN ve doğrudan fakatβ düzlemi çizilebilir. β düzleminde, Teorem 2.3'e göre, a noktasından geçen bir doğru çizilebilir. fakat. Yapısı gereği ve c'deki doğruların yalnızca bir ortak noktası vardır. FAKAT ve ikisi de dik
Görev 2. 3.4 m'lik bir mesafeyle ayrılmış dikey olarak duran iki sütunun üst uçları bir enine çubukla birbirine bağlanmıştır. Bir sütunun yüksekliği 5,8 m, diğeri 3,9 m'dir, enine çubuğun uzunluğunu bulun.
AC= 5.8m, BD= 3,9 m, AB- ? (şek.30)
AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
Pisagor teoremi ile ∆ AEB elde ederiz:
AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1.9) 2 + (3.4) 2 \u003d 15.17 (m 2)
AB== 3,9 (m)
Görevler
Hedef. En basit durumlarda analiz etmeyi öğrenin karşılıklı düzenleme Uzaydaki nesneler, stereometrik problemleri çözerken planimetrik gerçekleri ve yöntemleri kullanır.
1. Uzayda bir doğrunun herhangi bir noktasından ona dik bir doğru çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayın.
2. AB, AC ve AD doğruları birbirine diktir. Aşağıdaki durumlarda SD segmentini bulun:
1) AB = 3cm , Güneş= 7cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5cm, Güneş= 16cm;
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. A noktası uzakta a kenarlı bir eşkenar üçgenin köşelerinden fakat. A noktasından üçgenin düzlemine olan mesafeyi bulun.
4. Bir doğrunun bir düzleme paralel olması durumunda, tüm noktalarının düzlemden aynı uzaklıkta olduğunu kanıtlayın.
5. 15 m uzunluğunda bir telefon kablosu, yerden 8 m yükseklikte bağlı olduğu bir telefon direğinden, 20 m yükseklikte bağlandığı bir eve uzatılmaktadır.Ev arasındaki mesafeyi bulunuz. ve direk, telin sarkmadığı varsayılarak.
6. Bir noktadan bir düzleme, 10 cm ve 17 cm'ye eşit iki eğimli çizilir.Bu eğimli olanların izdüşümlerindeki fark 9 cm'dir.Eğimli olanların izdüşümlerini bulun.
7. Bir noktadan bir düzleme biri diğerinden 26 cm daha büyük olan iki eğik çizgi çizilir. Eğiklerin izdüşümleri 12 cm ve 40 cm'dir, eğik olanları bulunuz.
8. Bir noktadan bir düzleme iki eğik çizgi çizilir. 1:2 oranında ise ve obliklerin izdüşümleri 1 cm ve 7 cm ise eğiklerin uzunluklarını bulun.
9. Bir noktadan bir düzleme 23 cm ve 33 cm'ye eşit iki eğik çizgi çizilir.
eğik oranın projeksiyonları 2:3 ise, bu noktadan düzleme olan mesafe.
10. a ve B noktalarından düzleme olan uzaklık: 1) 3,2 cm ve 5,3 cm, 7,4 cm ve 6,1 cm; 3) a ve c.
11. AB doğru parçasının düzlemi kesmesi şartıyla önceki problemi çözün.
12. 1 m uzunluğunda bir segment bir düzlemle kesişir, uçları 0,5 m ve 0,3 m mesafede düzlemden çıkarılır, segmentin düzlem üzerindeki izdüşümünün uzunluğunu bulun ..
13. A ve B noktalarından düzleme dik açılar bırakılıyor. A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulun, eğer dikler 3 m ve 2 m ise, tabanları arasındaki mesafe 2,4 m ise ve AB doğru parçası düzlemi kesmiyorsa.
14. İki dik düzlemde uzanan A ve B noktalarından, AC ve BD dikmeleri düzlemlerin kesişme doğrusuna düşürülür. Aşağıdaki durumlarda AB doğru parçasının uzunluğunu bulun: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. ABC eşkenar üçgeninin A ve B köşelerinden üçgenin düzlemine AA 1 ve BB 1 dikmeleri dikilir. AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m ve A 1 B 1 segmenti düzlemi kesmiyorsa, C köşesinden A 1 B 1 segmentinin ortasına kadar olan mesafeyi bulun. üçgen
16. ABC dik üçgeninin dar açılarının A ve B köşelerinden üçgenin düzlemine AA 1 ve BB 1 dikleri dikilir. A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m ve A segmenti ise, üst C'den A 1 B 1 segmentinin ortasına kadar olan mesafeyi bulun 1 B 1 üçgenin düzlemini kesmez.
