A doğrusu, kesişen iki doğrudan birini kesiyor. Çizgi türleri

l1 ve l2 doğruları aynı düzlemde yer almıyorsa kesişen doğrular olarak adlandırılır. Bu doğruların yön vektörleri a ve b olsun ve M1 ve M2 noktaları sırasıyla l1 ve l2 doğrularına ait olsun.

O zaman a, b, M1M2> vektörleri eş düzlemli değildir ve bu nedenle bunların karışık çarpımı sıfıra eşit değildir, yani (a, b, M1M2>) =/= 0. Tersi de doğrudur: if (a, b, M1M2> ) =/= 0, o zaman a, b, M1M2> vektörleri eş düzlemli değildir ve sonuç olarak l1 ve l2 doğruları aynı düzlemde bulunmaz, yani kesişirler. sadece koşul(a, b, M1M2>) =/= 0 ise, burada a ve b doğruların yön vektörleridir ve M1 ve M2 sırasıyla verilen doğrulara ait noktalardır. (a, b, M1M2>) = 0 koşulu, doğruların aynı düzlemde yer alması için gerekli ve yeterli bir koşuldur. Doğrular kanonik denklemleriyle verilirse

a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) ve koşul (2) aşağıdaki gibi yazılır:

Kesişen çizgiler arasındaki mesafe

çarpık çizgilerden biri ile diğer çizgiden geçen ona paralel bir düzlem arasındaki mesafedir.Eğri çizgiler arasındaki mesafe, eğri çizgilerden birinin bir noktasından paralel diğer çizgiden geçen bir düzleme olan uzaklıktır. ilk satır.

26. Bir elipsin tanımı, kanonik denklem. Kanonik denklemin türetilmesi. Özellikleri.

Bir elips, bu düzlemin odak adı verilen iki odaklanmış F1 ve F2 noktasına olan mesafelerin toplamının sabit bir değer olduğu bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.Bu, elipsin odaklarının çakışmasını dışlamaz. sistem, elipsin denklemle (elipsin kanonik denklemi) tanımlanacağı şekilde:

Eksenleri koordinat eksenleriyle çakışan, orijin merkezli bir elipsi tanımlar.

Sağ tarafta eksi işaretli bir birim varsa, ortaya çıkan denklem:

hayali bir elipsi tanımlar. Böyle bir elipsin gerçek düzlemde gösterilmesi imkansızdır.Odakları F1 ve F2 olarak ve aralarındaki mesafeyi 2c olarak ve elipsin rastgele bir noktasından odaklara olan mesafelerin toplamını 2a olarak gösterelim.

Elips denklemini türetmek için, Oxy koordinat sistemini seçiyoruz, böylece F1 ve F2 odakları Ox ekseninde uzanıyor ve koordinatların orijini F1F2 segmentinin ortasıyla çakışıyor. O zaman odaklar aşağıdaki koordinatlara sahip olacaktır: u M(x; y) elipsin keyfi bir noktası olsun. Ardından, bir elipsin tanımına göre, yani.

Bu aslında bir elipsin denklemidir.

27. Hiperbolün tanımı, kanonik denklem. Kanonik denklemin türetilmesi. Özellikleri

Bir hiperbol, bu düzlemin odak adı verilen sabit iki F1 ve F2 noktasına olan uzaklıklar arasındaki farkın mutlak değerinin bir sabit olduğu bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.M(x;y) keyfi bir nokta olsun. hiperbol hakkında. Daha sonra |MF 1 – MF 2 |=2a veya MF 1 – MF 2 =±2a hiperbol tanımına göre,

28. Parabolün tanımı, kanonik denklem. Kanonik denklemin türetilmesi. Özellikleri. Bir parabol, bu düzlemin bazı sabit F noktasına olan mesafesinin, yine söz konusu düzlemde bulunan bazı sabit düz çizgiye olan mesafesine eşit olduğu bir düzlemin GMT'sidir. F, parabolün odak noktasıdır; sabit düz çizgi, parabolün doğrultusudur. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2 piksel;

Özellikleri: 1. Parabolün bir simetri ekseni vardır (parabolün ekseni); 2.Tümü

parabol, p>0'da Oksi düzleminin sağ yarı düzleminde ve solunda bulunur.

mümkünse<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Uzayda iki doğrunun bir ortak noktası varsa, bu iki doğrunun kesiştiği söylenir. Aşağıdaki şekilde a ve b doğruları A noktasında kesişiyor. a ve c doğruları kesişmiyor.

Herhangi iki doğrunun ya tek bir ortak noktası vardır ya da ortak noktaları yoktur.

Paralel çizgiler

Uzayda aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen iki doğruya paralel denir. Paralel çizgileri belirlemek için özel bir simge - || kullanın.

a||b gösterimi, a satırının b satırına paralel olduğu anlamına gelir. Yukarıdaki şekilde a ve c doğruları paraleldir.

paralel çizgi teoremi

Uzayda belirli bir doğru üzerinde olmayan herhangi bir noktadan, verilen doğruya paralel bir doğru ve dahası sadece bir tane geçer.

Çapraz çizgiler

Aynı düzlemde bulunan iki doğru kesişebilir veya paralel olabilir. Ancak uzayda, iki düz çizginin aynı düzleme ait olması gerekmez. İki farklı düzlemde yer alabilirler.

Açıkçası, farklı düzlemlerde bulunan çizgiler kesişmez ve paralel çizgiler değildir. Aynı düzlemde olmayan iki doğruya denir geçiş hatları.

Aşağıdaki şekil, farklı düzlemlerde uzanan iki kesişen a ve b doğrusunu göstermektedir.

İşaret ve eğri çizgiler teoremi

İki doğrudan biri belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğer doğru bu düzlemi ilk doğrunun üzerinde olmayan bir noktada kesiyorsa, bu doğrular çarpıktır.

kesişen çizgiler teoremi: kesişen iki doğrunun her birinden diğer doğruya paralel bir düzlem ve dahası sadece bir tane geçer.

Böylece, uzayda çizgilerin karşılıklı düzenlenmesinin tüm olası durumlarını düşündük. Sadece üç tane var.

1. Çizgiler kesişiyor. (Yani tek bir ortak noktaları vardır.)

2. Doğrular paraleldir. (Yani ortak noktaları yoktur ve aynı düzlemdedirler.)

3. Düz çizgiler kesişir. (Yani, farklı düzlemlerde bulunurlar.)

Teorem. Bir doğru belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve başka bir doğru bu düzlemi ilk doğruya ait olmayan bir noktada kesiyorsa, bu iki doğru kesişir. Kesişen çizgilerin işareti Kanıt. a doğrusu bir düzlemde olsun ve b doğrusu düzlemi a doğrusuna ait olmayan bir B noktasında kessin. a ve b doğruları aynı düzlemdeyse B noktası da bu düzlemdedir.Doğrudan geçen tek bir düzlem ve bu doğrunun dışında bir nokta olduğuna göre bu düzlem bir düzlem olmalıdır. Ama o zaman b doğrusu, koşulla çelişen bir düzlemde uzanacaktır. Bu nedenle, a ve b doğruları aynı düzlemde yer almaz, yani. melez.

Düzgün bir üçgen prizmanın kenarlarını içeren kaç çift eğri çizgi vardır? Çözüm: Her taban kenarı için onunla kesişen üç kenar vardır. Her bir yan kenar için, onunla kesişen iki kenar vardır. Bu nedenle, istenen eğri çizgi çifti sayısı Alıştırma 5'tir.

Düzgün bir altıgen prizmanın kenarlarını içeren kaç çift eğri çizgi vardır? Çözüm: Her bir taban kenarı, kesişen 8 çift doğruya katılır. Her bir yan kenar, kesişen 8 çift çizgiye katılır. Bu nedenle, istenen eğik çizgi çifti sayısı Alıştırma 6'dır.

Ders: Kesişen, paralel ve eğik çizgiler; çizgilerin dikliği

Kesişen çizgiler

Düzlemde birkaç düz çizgi varsa, er ya da geç bunlar keyfi olarak veya dik açılarda kesişecek veya paralel olacaklardır. Her vakaya bir göz atalım.

Kesişen doğrular, en az bir kesişme noktası olan doğrulardır.

En az bir doğrunun diğer bir doğruyla neden iki veya üç kez kesişemediğini sorabilirsiniz. Haklısın! Ancak çizgiler birbiriyle tamamen örtüşebilir. Bu durumda sonsuz sayıda ortak nokta olacaktır.

paralellik

Paralel sonsuzda bile asla kesişmeyecek doğruları adlandırabiliriz.

Başka bir deyişle, paralel, tek bir ortak noktası olmayanlardır. Bu tanımın ancak doğruların aynı düzlemde olması durumunda geçerli olduğunu, ancak ortak noktaları yoksa, farklı düzlemlerde olmaları durumunda kesişen kabul edildiğini lütfen unutmayın.

Hayattaki paralel çizgilere örnekler: monitör ekranının iki zıt kenarı, dizüstü bilgisayarlardaki çizgiler ve kare, dikdörtgen ve diğer şekillere sahip diğer birçok parça.

Bir doğrunun ikinciye paralel olduğunu yazılı olarak göstermek istediklerinde aşağıdaki a||b gösterimi kullanılır. Bu gösterim, a çizgisinin b çizgisine paralel olduğunu söylüyor.

Bu konuyu incelerken, bir ifadeyi daha anlamak önemlidir: düzlemde belirli bir çizgiye ait olmayan bir noktadan, tek bir paralel çizgi çizilebilir. Ama dikkat edin, düzeltme yine uçakta. Üç boyutlu uzayı düşünürsek, kesişmeyecek, ancak kesişecek sonsuz sayıda çizgi çizmek mümkündür.

Yukarıda açıklanan ifadeye denir paralel doğrular aksiyomu.

diklik

Doğrudan hatlar yalnızca şu durumlarda çağrılabilir: dik 90 derecelik bir açıyla kesişirlerse.

Uzayda, bir doğru üzerinde belirli bir noktadan geçen sonsuz sayıda dik doğru çizilebilir. Ancak, bir düzlemden bahsediyorsak, o zaman bir doğru üzerindeki bir noktadan, tek bir dikey çizgi çizilebilir.

Çapraz çizgiler. Sekant

Bazı doğrular bir noktada keyfi bir açıyla kesişiyorsa, bunlar çağrılabilir. melezleme.

Herhangi bir eğri çizginin dikey açıları ve bitişik olanları vardır.

Kesişen iki çizginin oluşturduğu açıların ortak bir tarafı varsa, bunlara bitişik denir:

Komşu açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.