Geometride düz açı. Açı kavramı ve türleri Üç gelişmiş açı

İlkokulda öğrencilere açı kavramı tanıtılmaktadır. Ancak belirli özelliklere sahip geometrik bir figür olarak, onu geometride 7. sınıftan itibaren incelemeye başlarlar. Öyle gibi, oldukça basit şekil onun hakkında ne söylenebilir. Ancak, yeni bilgiler edinen okul çocukları, onun hakkında oldukça ilginç gerçekler öğrenebileceğinizi giderek daha fazla anlıyor.

Temas halinde

ne zaman çalışılır

Okul geometri kursu iki bölüme ayrılmıştır: planimetri ve katı geometri. Her birinin çok fazla ilgisi var. köşelere verilen:

• Planimetride temel kavramları verilir, boyut olarak türleri ile tanışma gerçekleşir. Her bir üçgen türünün özellikleri daha ayrıntılı olarak incelenir. Öğrenciler için yeni tanımlar ortaya çıkıyor - bunlar, iki çizginin birbiriyle kesişme noktasında ve bir sekantın birkaç çizgisinin kesişme noktasında oluşan geometrik şekillerdir.
• Stereometride, uzamsal açılar incelenir - dihedral ve trihedral.

Dikkat! Bu makale, planimetrideki açıların tüm türlerini ve özelliklerini tartışmaktadır.

Tanım ve ölçüm

Çalışmaya başlamak, önce belirlemek, açı nedir planimetride.

Düzlemde belirli bir noktayı alıp ondan iki gelişigüzel ışın çizersek, aşağıdaki unsurlardan oluşan bir açı olan geometrik bir şekil elde ederiz:

• tepe noktası - ışınların çekildiği nokta, Latin alfabesinin büyük harfiyle gösterilir;
• kenarlar üstten çizilen yarım çizgidir.

Düşündüğümüz şekli oluşturan tüm unsurlar düzlemi böler. iki parça:

• dahili - planimetride 180 dereceyi geçmez;
• harici.

Planimetride açıları ölçme ilkesi sezgisel olarak açıkladı. Başlangıç ​​olarak, öğrenciler gelişmiş bir açı kavramıyla tanıştırılır.

Önemli! Köşesinden çıkan yarım çizgiler düz bir çizgi oluşturuyorsa, bir açının geliştirildiği söylenir. Katlanmamış bir açı diğer tüm durumlardır.

180 eşit parçaya bölünmüşse, o zaman bir parçanın ölçüsünün 10'a eşit olduğunu düşünmek adettendir. Bu durumda ölçümün derece cinsinden yapıldığını ve böyle bir rakamın derece ölçüsünün 180 derece olduğunu söylerler.

Ana türler

Açı türleri, derece ölçüsü, oluşumlarının doğası ve aşağıdaki kategoriler gibi kriterlere göre alt bölümlere ayrılmıştır.

boyuta göre

Büyüklük göz önüne alındığında, açılar ayrılır:

• dağıtılmış;
• dümdüz;
• köreltmek;
• baharatlı.

Hangi açının konuşlandırıldığı yukarıda sunuldu. Düz çizgi kavramını tanımlayalım.

Dağıtılanları iki eşit parçaya bölerek elde edilebilir. Bu durumda soruyu cevaplamak kolaydır: dik açı, kaç derecedir?

elde etmek için 180 dereceyi 2'ye bölün. dik açı 90 derecedir. Bu harika bir rakam çünkü geometrideki birçok gerçek onunla ilişkilendiriliyor.

Ayrıca atamada kendine has özellikleri vardır. Şekilde bir dik açıyı göstermek için bir yay ile değil, bir kare ile gösterilmiştir.

Düz bir çizginin keyfi bir ışınının bölünmesiyle elde edilen açılara keskin denir. Olayların mantığına göre, dar açının dik açıdan küçük olduğu, ancak ölçüsünün 0 dereceden farklı olduğu sonucu çıkar. Yani 0 ile 90 derece arasında bir değere sahiptir.

Geniş açı dik açıdan büyük, doğru açıdan küçüktür. Derece ölçüsü 90 ila 180 derece arasında değişir.

Bu öğe, genişletilmiş olan hariç, incelenmekte olan farklı şekil türlerine ayrılabilir.

Döndürülmemiş açının nasıl kırıldığına bakılmaksızın, planimetrinin temel aksiyomu her zaman kullanılır - "ölçümün ana özelliği".

-de açıyı bir ışınla bölmek veya birkaç, belirli bir şeklin derece ölçüsü, bölündüğü açıların ölçülerinin toplamına eşittir.

7. sınıf düzeyinde büyüklüklerine göre açı çeşitleri burada bitmektedir. Ancak bilgeliği artırmak için, derece ölçüsü 180 dereceden fazla olan başka çeşitler de eklenebilir, bunlara konveks denir.

Çizgilerin kesişme noktasındaki rakamlar

Öğrencilerin tanıtıldığı bir sonraki açı türleri, iki çizgi kesiştiğinde oluşan elemanlardır. Karşılıklı yerleştirilmiş şekillere dikey denir. Onların ayırt edici özelliği, eşit olmalarıdır.

Aynı çizgiye bitişik olan elemanlara bitişik denir. Mülklerini haritalayan teorem diyor ki Komşu açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.

Bir üçgendeki öğeler

Şekli bir üçgendeki bir eleman olarak düşünürsek, açılar iç ve dış olarak ayrılır. Üçgen üç bölümle sınırlıdır ve üç köşeden oluşur. Her tepe noktasında üçgenin içinde bulunan açılar, dahili denir.

Herhangi bir iç elemanı herhangi bir tepe noktasından alıp herhangi bir kenarı uzatırsak, oluşan ve iç açıya bitişik olan açıya dış denir. Bu eleman çifti şu özelliğe sahiptir: toplamları 180 derecedir.

İki düz çizginin kesişimi

Çizgi kesişimi

İki düz çizgi kesiştiğinde açılar da oluşur, genellikle çiftler halinde dağıtılır. Her eleman çiftinin kendi adı vardır. Şuna benziyor:

• iç çaprazlama: ∟4 ve ∟6, ∟3 ve ∟5;
• dahili tek taraflı: ∟4 ve ∟5, ∟3 ve ∟6;
• karşılık gelen: ∟1 ve ∟5, ∟2 ve ∟6, ∟4 ve ∟8, ∟3 ve ∟7.

Kesenin iki çizgiyi kesmesi durumunda, tüm bu açı çiftlerinin belirli özellikleri vardır:

1. İç çaprazlama ve karşılık gelen rakamlar birbirine eşittir.
2. Dahili tek taraflı elemanların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.

Geometride açıları, özelliklerini inceliyoruz

Matematikte açı türleri

Çözüm

Bu makale, planimetride bulunan ve yedinci sınıfta incelenen tüm ana açı türlerini sunmaktadır. Sonraki tüm derslerde, dikkate alınan tüm elemanlarla ilgili özellikler, geometrinin daha fazla çalışılması için temel oluşturur. Örneğin, çalışırken, bir sekantın iki paralel çizgisinin kesişme noktasında oluşan açıların tüm özelliklerini hatırlamak gerekecektir. Üçgenlerin özelliklerini incelerken, bitişik açıların ne olduğunu hatırlamak gerekir. Stereometriye geçtikten sonra, tüm üç boyutlu şekiller incelenecek ve planimetrik şekillere dayalı olarak inşa edilecektir.

Bu makale, ana geometrik şekillerden biri olan açıyı ele alacaktır. Bu konsepte genel bir giriş yaptıktan sonra, böyle bir figürün belirli bir tipine odaklanacağız. Düz açı geometride önemli bir kavramdır ve bu makalenin odak noktası olacaktır.

Geometrik açı kavramına giriş

Geometride, tüm bilimin temelini oluşturan bir dizi nesne vardır. Açı sadece onları ifade eder ve bir ışın kavramı kullanılarak belirlenir, bu yüzden onunla başlayalım.

Ayrıca, açının kendisinin tanımına geçmeden önce, geometride eşit derecede önemli birkaç nesneyi hatırlamanız gerekir - bu bir nokta, düzlemde düz bir çizgi ve düzlemin kendisidir. Düz bir çizgi, ne başlangıcı ne de sonu olan en basit geometrik şekildir. Düzlem, iki boyutu olan bir yüzeydir. Eh, geometride bir ışın (veya yarım çizgi), düz bir çizginin başlangıcı olan ancak sonu olmayan bir parçasıdır.

Bu kavramları kullanarak, bir açının, tamamen belirli bir düzlemde uzanan ve ortak bir orijine sahip uyumsuz iki ışından oluşan geometrik bir şekil olduğunu söyleyebiliriz. Bu tür ışınlara açının kenarları denir ve kenarların ortak başlangıcı tepe noktasıdır.

Açı türleri ve geometri

Açıların oldukça farklı olabileceğini biliyoruz. Bu nedenle, aşağıda açı türlerini ve temel özelliklerini daha iyi anlamaya yardımcı olacak küçük bir sınıflandırma yapılacaktır. Dolayısıyla, geometride birkaç tür açı vardır:

1. Dik açı. 90 derecelik bir değerle karakterize edilir, bu da kenarlarının her zaman birbirine dik olduğu anlamına gelir.
2. Keskin köşe. Bu açılar, 90 dereceden daha küçük bir boyuta sahip olan tüm temsilcilerini içerir.
3. Geniş açı. 90 ila 180 derece arasında bir değere sahip tüm açılar da burada olabilir.
4. Genişletilmiş köşe Kesinlikle 180 derecelik bir boyuta sahiptir ve dıştan kenarları tek bir düz çizgi oluşturur.

Doğru açı kavramı

Şimdi gelişmiş açıya daha detaylı bakalım. Bu, aşağıdaki şekilde açıkça görülebileceği gibi, her iki tarafın da aynı düz çizgi üzerinde uzandığı durumdur. Bu, taraflarından birinin aslında diğerinin devamı olduğunu güvenle söyleyebileceğimiz anlamına gelir.

Böyle bir açının her zaman tepe noktasından çıkan bir ışın kullanılarak bölünebileceği gerçeğini hatırlamakta fayda var. Sonuç olarak, geometride bitişik olarak adlandırılan iki açı elde ederiz.

Ayrıca, geliştirilen açının çeşitli özellikleri vardır. Bunlardan ilki hakkında konuşmak için "açıortay" kavramını hatırlamanız gerekir. Bunun, herhangi bir açıyı kesinlikle ikiye bölen bir ışın olduğunu hatırlayın. Doğru açıya gelince, açıortayı onu 90 derecelik iki dik açı oluşturacak şekilde böler. Bunu matematiksel olarak hesaplamak çok kolaydır: 180˚ (düzleştirilmiş açının derecesi): 2 = 90˚.

Gelişmiş açıyı tamamen keyfi bir ışınla bölersek, sonuç olarak her zaman biri keskin, diğeri geniş olacak iki açı elde ederiz.

Düz Köşe Özellikleri

Bu listede yaptığımız tüm ana özelliklerini bir araya getirerek bu açıyı dikkate almak uygun olacaktır:

1. Düz açının kenarları antiparaleldir ve düz bir çizgi oluşturur.
2. Geliştirilen açının değeri her zaman 180˚'dir.
3. İki bitişik açı birlikte her zaman bir doğru açı oluşturur.
4. 360˚ olan tam açı, açılmış iki açıdan oluşur ve bunların toplamına eşittir.
5. Yarım doğrultulmuş açı dik açıdır.

Dolayısıyla, bu tür açıların tüm bu özelliklerini bilerek, bunları bir dizi geometrik problemi çözmek için kullanabiliriz.

Düz köşelerle ilgili sorunlar

Doğru açı kavramına hakim olup olmadığınızı anlamak için aşağıdaki sorulardan birkaçını yanıtlamaya çalışın.

1. Kenarları dikey bir çizgi oluşturuyorsa doğru açı nedir?
2. İlkinin büyüklüğü 72˚ ve diğerinin 118˚ olduğu iki açı bitişik olur mu?
3. Bir tam açı iki doğru açıdan oluşuyorsa kaç tane dik açısı vardır?
4. Bir düz açı, bir kiriş tarafından derece ölçüleri 1:4 olarak ilişkili olacak şekilde iki açıya bölünür. Ortaya çıkan açıları hesaplayın.

Çözümler ve cevaplar:

1. Doğru açının konumu ne olursa olsun, tanımı gereği her zaman 180˚'ye eşittir.
2. Bitişik köşelerin bir ortak tarafı vardır. Bu nedenle, bir araya getirdikleri açının boyutunu hesaplamak için, derece ölçülerinin değerini eklemeniz yeterlidir. Yani, 72 +118 = 190. Ama tanımı gereği, bir doğru açı 180˚'dir, yani verilen iki açı bitişik olamaz.
3. Bir düz açı iki dik açı içerir. Ve dolu olanda konuşlandırılmış iki tane olduğu için, içinde 4 düz çizgi olacağı anlamına gelir.
4. İstenilen açıları a ve b olarak adlandırırsak, x onlar için orantılılık katsayısı olsun, bu da a \u003d x ve buna göre b \u003d 4x anlamına gelir. Derece cinsinden bir düz açı 180˚'dir. Ve özelliklerine göre, bir açının derece ölçüsü her zaman kenarlarından geçen gelişigüzel bir ışınla bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir, x + 4x = 180 olduğu sonucuna varabiliriz. ˚, yani 5x = 180˚ . Buradan şunu buluruz: x=a=36˚ ve b = 4x = 144˚. Cevap: 36˚ ve 144˚.

Tüm bu soruları sorulmadan ve cevaplara bakmadan cevaplamayı başardıysanız, bir sonraki geometri dersine geçmeye hazırsınız demektir.

Bir açının ne olduğunu tanımlayarak başlayalım. Birincisi, İkinci olarak, açının kenarları olarak adlandırılan iki ışından oluşur. Üçüncüsü, ikincisi, köşenin tepe noktası olarak adlandırılan bir noktadan çıkar. Bu işaretlere dayanarak bir tanım yapabiliriz: açı, bir noktadan (tepe noktası) çıkan iki ışından (kenar) oluşan geometrik bir şekildir.

Dereceye göre, birbirlerine göre konumlarına göre ve daireye göre sınıflandırılırlar. Boyutlarına göre açı türleri ile başlayalım.

Bunların birkaç çeşidi vardır. Her türe daha yakından bakalım.

Yalnızca dört ana açı türü vardır - sağ, geniş, keskin ve gelişmiş açı.

Dümdüz

Şuna benziyor:

Derece ölçüsü her zaman 90 o'dur, yani bir dik açı 90 derecelik bir açıdır. Yalnızca kare ve dikdörtgen gibi dörtgenler bunlara sahiptir.

Köreltmek

Şuna benziyor:

Derece ölçüsü her zaman 90 dereceden büyük, ancak 180 dereceden küçüktür. Çokgenlerde bir eşkenar dörtgen, keyfi bir paralelkenar gibi dörtgenlerde ortaya çıkabilir.

Baharatlı

Şuna benziyor:

Bir dar açının derece ölçüsü her zaman 90°'den küçüktür. Bir kare ve isteğe bağlı bir paralelkenar dışında tüm dörtgenlerde oluşur.

konuşlandırılmış

Genişletilmiş açı şöyle görünür:

Çokgenlerde oluşmaz, ancak diğerlerinden daha az önemli değildir. Düz açı, derece ölçüsü her zaman 180º olan geometrik bir şekildir. Tepe noktasından herhangi bir yönde bir veya daha fazla ışın çekerek üzerine inşa edebilirsiniz.

Birkaç başka ikincil açı türü vardır. Okullarda okutulmazlar ama en azından varlıklarını bilmek gerekir. Yalnızca beş ikincil açı türü vardır:

1. Sıfır

Şuna benziyor:

Açının adı zaten büyüklüğünden bahsediyor. İç alanı 0 o olup, şekilde görüldüğü gibi kenarları üst üste gelmektedir.

2. eğik

Eğik düz, geniş ve keskin ve gelişmiş açı olabilir. Temel koşulu 0 o, 90 o, 180 o, 270 o'ye eşit olmamasıdır.

3. Dışbükey

Dışbükey sıfır, sağ, geniş, keskin ve gelişmiş açılardır. Zaten anladığınız gibi, bir dışbükey açının derece ölçüsü 0 o ila 180 o arasındadır.

4. Dışbükey olmayan

Dışbükey olmayan açılar, 181 o ila 359 o dahil olmak üzere bir derece ölçüsüne sahip açılardır.

5. Dolu

Tam açı 360 derecedir.

Bunların hepsi boyutlarına göre açı türleridir. Şimdi türlerini uçakta birbirlerine göre konumlarına göre düşünün.

1. Ek

Bunlar, bir düz çizgi oluşturan iki keskin açıdır, yani. toplamları 90 o'dur.

2. İlgili

Bir ışın konuşlandırılan, daha doğrusu tepesinden herhangi bir yönde çizilirse bitişik açılar oluşur. Toplamları 180 o.

3. Dikey

İki çizgi kesiştiğinde dikey açılar oluşur. Derece ölçüleri eşittir.

Şimdi daireye göre bulunan açı türlerine geçelim. Sadece iki tane var: merkezi ve yazılı.

1. Merkez

Merkez açı, tepesi dairenin merkezinde olan açıdır. Derece ölçüsü, kenarların gösterdiği daha küçük yayın derece ölçüsüne eşittir.

2. Yazılı

Çevresel açı, köşesi daire üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıdır. Derece ölçüsü, üzerinde bulunduğu yayın yarısına eşittir.

Her şey köşelerle ilgili. Artık geometride en ünlü - keskin, geniş, düz ve konuşlandırılmış - ek olarak bunların birçok başka türü olduğunu biliyorsunuz.

Açı, bir noktadan çıkan iki farklı ışından oluşan geometrik bir şekildir. Bu durumda bu ışınlara açının kenarları denir. Işınların başladığı noktaya açının tepe noktası denir. Resimde noktadaki köşeyi görebilirsiniz. HAKKINDA ve taraflar k Ve M.

A ve C noktaları köşenin kenarlarında işaretlenmiştir.Bu köşe AOC açısı olarak belirlenebilir. Ortada, köşe tepe noktasının bulunduğu noktanın adı olmalıdır. O açısı veya km açısı gibi başka tanımlamalar da vardır. Geometride, açı kelimesi yerine genellikle özel bir simge yazılır.

Döndürülmüş ve döndürülmemiş açı

Bir açının her iki kenarı da aynı doğru üzerindeyse bu açıya ne ad verilir? konuşlandırılmış açı. Yani köşenin bir tarafı, köşenin diğer tarafının devamıdır. Aşağıdaki şekil O açısını göstermektedir.

Herhangi bir açının düzlemi iki parçaya böldüğüne dikkat edilmelidir. Köşe genişletilmez ise parçalardan biri köşenin iç bölgesi, diğeri ise bu köşenin dış bölgesi olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilde düzleştirilmemiş bir köşe gösterilmektedir ve bu köşenin dış ve iç alanları işaretlenmiştir.

Gelişmiş bir açı olması durumunda, düzlemi böldüğü iki parçadan herhangi biri açının dış bölgesi olarak kabul edilebilir. Bir noktanın bir açıya göre konumundan bahsedebiliriz. Nokta köşenin dışında (dış bölgede), kenarlarından birinde olabilir veya köşenin içinde (iç bölgede) olabilir.

Aşağıdaki şekilde A noktası O köşesinin dışında, B noktası köşenin bir tarafında ve C noktası köşenin içindedir.

açı ölçümü

Açıları ölçmek için iletki adı verilen bir cihaz vardır. açı birimi derece. Unutulmamalıdır ki her açının sıfırdan büyük olan belirli bir ölçüsü vardır.

Derece ölçüsüne bağlı olarak, açılar birkaç gruba ayrılır.