4 harika üçgen nokta oluşturun. Araştırma çalışması "Bir üçgenin dikkat çekici noktaları

İlk iki teorem sizin için iyi bilinmektedir, diğer ikisini ispatlayacağız.

teorem 1

Bir üçgenin üç bisektörü bir noktada kesişir, bu yazılı dairenin merkezi.

Kanıt

açı açıortayının, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğu gerçeğine dayanır.

Teorem 2

Üçgenin kenarlarına dik üç dik açıortay, çevrelenmiş dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.

Kanıt

bir doğru parçasının dik açıortayının, bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğu gerçeğine dayanır.

teorem 3

Üç yükseklik veya üç düz, üçgenin yüksekliklerinin bulunduğu bir noktada kesişir. Bu nokta denir diklik merkeziüçgen.

Kanıt

ABC üçgeninin köşeleri boyunca karşı taraflara paralel düz çizgiler çiziyoruz.

Kavşakta `A_1 B_1 C_1` üçgeni oluşur.

Yapısı gereği, "ABA_1C" bir paralelkenardır, dolayısıyla "BA_1 = AC". Benzer şekilde, "C_1B = AC", dolayısıyla "C_1B = AC" olduğu, "B" noktasının "C_1A_1" segmentinin orta noktası olduğu belirlenmiştir.
Aynen aynı şekilde, "C", "B_1A_1" ortası ve "A", "B_1 C_1" ortasıdır.
"BN", "ABC" üçgeninin yüksekliği olsun, o zaman "A_1 C_1" segmenti için "BN" doğrusu dik açıortaydır. "ABC" üçgeninin yüksekliklerinin üzerinde bulunduğu üç çizginin "A_1B_1C_1" üçgeninin üç kenarının dik açıortayları olduğu buradan çıkar; ve bu tür dikler bir noktada kesişir (Teorem 2).
Üçgen dar açılıysa, yüksekliklerin her biri, köşeyi ve karşı taraftaki bir noktayı birleştiren bir parçadır. Bu durumda, 'B' ve 'N' noktaları, 'AM' çizgisi tarafından oluşturulan farklı yarım düzlemlerde yer alır, bu, 'BN' parçasının 'AM' doğrusunu kestiği anlamına gelir, kesişme noktası 'yüksekliğindedir. BN`, yani üçgenin içinde yer alır.
Bir dik üçgende, yüksekliklerin kesişme noktası dik açının tepe noktasıdır.

teorem 4

Bir üçgenin üç medyanı bir noktada kesişir ve kesişme noktasını yukarıdan sayarak "2:1" oranında paylaşır. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi (veya kütle merkezi) denir.
Bu teoremin çeşitli kanıtları vardır. İşte Thales teoremine dayanan bir tane.

Kanıt

"E", "D" ve "F", "ABC" üçgeninin "AB", "BC" ve "AC" kenarlarının orta noktaları olsun.

Medyan 'AD'yi ve 'E' ve 'F' noktalarından geçirin paralel onun doğrudan 'EK' ve 'FL'. Thales teoremine göre, `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) ve `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Ama 'BD = DC = a//2', yani 'BK = KD = DL = LC = a//4'. Aynı teoreme göre `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), yani `BM = 2MF`.

Bu, medyan "AD" ile kesişmenin "M" noktasındaki medyan "BF"nin üstten sayılarak "2:1" oranında bölündüğü anlamına gelir.

'M' noktasındaki 'AD' medyanının aynı oranda bölündüğünü ispatlayalım. Mantık benzer.

Medyan 'BF' ve 'CE'yi göz önüne alırsak, o zaman bunların 'BF' medyanının '2:1' oranında bölündüğü noktada, yani aynı 'M' noktasında kesiştiklerini de gösterebiliriz. Ve bu noktada, medyan "CE" de yukarıdan sayılarak "2:1" oranına bölünecektir.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometri, 8. Sınıf ÜÇGENLER DÖRT ÖNEMLİ NOKTA

Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Bir üçgenin medyanı (BD), üçgenin tepe noktasını karşı tarafın orta noktasına bağlayan doğru parçasıdır. A B C D Medyan

Bir üçgenin medyanları bir noktada kesişir (üçgenin ağırlık merkezi) ve bu noktaya yukarıdan sayılarak 2: 1 oranında bölünür. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bir üçgenin bisektörü (AD), üçgenin iç açısının bisektörünün doğru parçasıdır.

Açılmamış bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, bir açının içinde bulunan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta açıortayı üzerindedir. A M B C

Bir üçgenin tüm bisektörleri bir noktada kesişir - üçgende yazılı dairenin merkezi. C B 1 M A B A 1 C 1 O Dairenin yarıçapı (OM), merkezden (t.O) üçgenin kenarına düşürülen bir diktir.

YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepe noktasından karşı tarafı içeren doğruya bırakılan dikmenin parçasıdır. A B C D

Bir üçgenin (veya uzantılarının) yükseklikleri bir noktada kesişir. A A 1 B B 1 C C 1

ORTA DİK Dik açıortay (DF), bir üçgenin bir kenarına dik olan ve onu ikiye bölen bir çizgidir. A D F B C

A M B m O Bir doğru parçasına dik açıortayın (m) her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, segmentin uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta, ona dik açıortay üzerinde bulunur.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevrelenmiş dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine (OA) olan mesafedir. mn p

Öğrenci görevleri Geniş bir üçgen içine çizilmiş bir daire oluşturmak için bir pergel ve cetvel kullanın. Bunu yapmak için: Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Bisektörlerin kesişme noktası dairenin merkezidir. Dairenin yarıçapını oluşturun: dairenin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgen içine yazılmış bir daire oluşturun.

2. Geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturmak için bir pergel ve cetvel kullanın. Bunu yapmak için: Geniş bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar oluşturun. Bu diklerin kesişme noktası, çevrelenmiş dairenin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturun.

Sverdlovsk Bölgesi Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı.

MOUO Yekaterinburg.

Eğitim kurumu - MOUSOSH No. 212 "Yekaterinburg Kültür Lisesi"

Eğitim alanı - matematik.

Konu geometri.

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Açıklaması: 8. sınıf öğrencisi

Selitsky Dmitry Konstantinovich.

Bilim danışmanı:

Rabkanov Sergey Petrovich.

Ekaterinburg, 2001

Tanıtım 3

Açıklayıcı kısım:

Ortocenter 4

İç merkez 5

Ağırlık merkezi 7

Sınırlandırılmış dairenin merkezi 8

Euler satır 9

Pratik kısım:

Ortosentrik üçgen 10

Sonuç 11

Referanslar 11

Tanıtım.

Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıl boyunca üçgen geometrinin bir simgesi olmuştur. Sürekli yeni özellikler keşfediliyor. Üçgenin bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek çok zaman alacaktır. sözde ilgimi çekti harika noktalarüçgen." Bu tür noktalara bir örnek, açıortayların kesişme noktasıdır. Uzayda rastgele üç nokta alırsak, onlardan bir üçgen oluşturur ve bisektörler çizersek, onların (ortaylar) bir noktada kesişmesi dikkat çekicidir! Bu mümkün değil gibi görünüyor çünkü keyfi puanlar aldık, ancak bu kural her zaman işe yarıyor. Diğer "harika noktalar" da benzer özelliklere sahiptir.

Bu konudaki literatürü okuduktan sonra, kendime beş harika nokta ve bir üçgenin tanımlarını ve özelliklerini belirledim. Ama işim burada bitmedi, bu noktaları kendim keşfetmek istedim.

Bu yüzden amaç Bu çalışmanın konusu, bir üçgenin bazı dikkate değer özelliklerinin incelenmesi ve bir ortosentrik üçgenin incelenmesidir. Bu hedefe ulaşma sürecinde, aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Bir öğretmenin yardımıyla edebiyat seçimi

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve doğrularının temel özelliklerini öğrenme

Bu özelliklerin genelleştirilmesi

Ortosentrik üçgen ile ilgili bir problemin çizilmesi ve çözülmesi

Bu araştırma çalışmasında elde edilen sonuçları sundum. Tüm çizimleri bilgisayar grafikleri (vektör grafik editörü CorelDRAW) kullanarak yaptım.

Diklik merkezi. (Yüksekliklerin kesişme noktası)

Yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini ispatlayalım. doruklardan geçelim FAKAT, İÇİNDE Ve İTİBARENüçgen ABC zıt taraflara paralel düz çizgiler. Bu çizgiler bir üçgen oluşturur FAKAT 1 İÇİNDE 1 İTİBAREN 1 . üçgenin yüksekliği ABCüçgenin kenarlarının dik açıortaylarıdır FAKAT 1 İÇİNDE 1 İTİBAREN 1 . bu nedenle, bir noktada kesişirler - üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezi FAKAT 1 İÇİNDE 1 İTİBAREN 1 . Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına ortocenter ( H).

Merkez, yazılı bir dairenin merkezidir.

(Ortaortayların kesişme noktası)

Bir üçgenin açılarının açıortaylarının olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Bir nokta düşünün HAKKINDA açıortayların kesişimleri FAKAT Ve İÇİNDE. A açısının açıortayının herhangi bir noktası doğrulardan eşit uzaklıktadır. AB Ve AC ve açının açıortayının herhangi bir noktası İÇİNDE düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve Güneş, yani nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AC Ve Güneş, yani açının bisektöründe yer alır İTİBAREN. nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, Güneş Ve SA, yani merkezi olan bir daire var HAKKINDA bu çizgilere teğettir ve temas noktaları uzantılarında değil, yanlarda bulunur. Nitekim, köşelerdeki açılar FAKAT Ve İÇİNDEüçgen AOB keskin bu nedenle nokta projeksiyonu HAKKINDA direkt olarak AB segmentin içinde yatıyor AB.

Partiler için Güneş Ve SA ispat benzerdir.

Merkezin üç özelliği vardır:

açıortayın devamı ise İTİBARENüçgenin çevresini keser ABC noktada m, sonra MA=OG=MO.

Eğer AB- ikizkenar üçgenin tabanı ABC, sonra açının kenarlarına teğet daire DIA noktalarda FAKAT Ve İÇİNDE, noktadan geçer HAKKINDA.

Bir noktadan geçen doğru ise HAKKINDA yan paralel AB, kenarları kesişir Güneş Ve SA noktalarda FAKAT 1 Ve İÇİNDE 1 , sonra FAKAT 1 İÇİNDE 1 =FAKAT 1 İÇİNDE+AB 1 .

Ağırlık merkezi. (Ortancaların kesişme noktası)

Bir üçgenin medyanlarının bir noktada kesiştiğini ispatlayalım. Bunun için şu noktayı göz önünde bulundurun m medyanların kesiştiği yerde AA 1 Ve BB 1 . hadi üçgen şeklinde yapalım BB 1 İTİBAREN orta hat FAKAT 1 FAKAT 2 , paralel BB 1 . sonra FAKAT 1 E:ÖÖ=İÇİNDE 1 FAKAT 2 :AB 1 =İÇİNDE 1 FAKAT 2 :İÇİNDE 1 İTİBAREN=VA 1 :Güneş=1:2, yani orta nokta BB 1 Ve AA 1 medyanı böler AA 1 1:2 oranında. Benzer şekilde, medyanların kesişme noktası SS 1 Ve AA 1 medyanı böler AA 1 1:2 oranında. Bu nedenle, medyanların kesişme noktası AA 1 Ve BB 1 medyanların kesişme noktası ile çakışır AA 1 Ve SS 1 .

Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası köşelere bağlanırsa, üçgenler eşit alana sahip üç üçgene bölünecektir. Gerçekten, eğer kanıtlamak için yeterlidir, eğer r- medyanın herhangi bir noktası AA 1 bir üçgende ABC, sonra üçgenlerin alanları AVR Ve AKP eşittir. Sonuçta, medyanlar AA 1 Ve RA 1 üçgenlerde ABC Ve RVS eşit alana sahip üçgenler halinde kesin.

Tersi ifade de doğrudur: eğer bir noktada r, üçgenin içinde yatan ABC, üçgenlerin alanları AVR, ÇARŞAMBA GÜNÜ Ve SAR eşittir, o zaman r medyanların kesişim noktasıdır.

Kesişme noktasının bir özelliği daha vardır: Herhangi bir malzemeden bir üçgen keserseniz, üzerine medyanlar çizerseniz, medyanların kesişme noktasında bir asansör sabitlerseniz ve süspansiyonu bir tripoda sabitlerseniz, o zaman model (üçgen) bir yerde olacaktır. denge durumu, bu nedenle, kesişme noktası üçgenin ağırlık merkezinden başka bir şey değildir.

Sınırlı çemberin merkezi.

Üçgenin köşelerinden eşit uzaklıkta bir noktanın olduğunu veya başka bir deyişle üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin olduğunu ispatlayalım. Noktalardan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri FAKAT Ve İÇİNDE, segmente dik AB orta noktasından geçen (parçaya dik açıortay AB). Bir nokta düşünün HAKKINDA bölümlerin dik açıortaylarının kesiştiği yerde AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA noktalardan eşit uzaklıkta FAKAT Ve İÇİNDE ayrıca noktalardan İÇİNDE Ve İTİBAREN. bu yüzden noktalardan eşit uzaklıkta FAKAT Ve İTİBAREN, yani aynı zamanda segmentin dik açıortayı üzerinde yer alır. AC.

merkez HAKKINDA sınırlı daire, yalnızca üçgen dar ise üçgenin içinde bulunur. Üçgen bir dik üçgen ise, o zaman nokta HAKKINDA hipotenüsün orta noktası ile çakışır ve tepe noktasındaki açı ise İTİBAREN künt sonra düz AB noktaları ayırır HAKKINDA Ve İTİBAREN.

Matematikte, genellikle çok farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.

İzin vermek FAKAT 1 , İÇİNDE 1 ,İTİBAREN 1 - kenarların orta noktaları Güneş,SA ve AV. Üçgenler etrafında çevrelenmiş dairelerin olduğu kanıtlanabilir. AB 1 İTİBAREN, FAKAT 1 Güneş 1 Ve FAKAT 1 İÇİNDE 1 İTİBAREN 1 bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezidir. ABC. Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: orta diklerin üçgenin kenarlarıyla kesişme noktası ABC ve üçgenlerin çevrelenmiş dairelerinin kesişme noktası AB 1 İTİBAREN 1 , FAKAT 1 Güneş Ve FAKAT 1 İÇİNDE 1 İTİBAREN 1 . ancak bu iki noktanın örtüştüğü ortaya çıktı.

Euler'in düz çizgisi.

Bir üçgenin harika noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirleriyle belirli ilişkilerle ilişkili olmasıdır. Örneğin ağırlık merkezi m, diklik merkezi H ve çevrelenmiş dairenin merkezi HAKKINDA düz bir çizgi üzerinde uzanır ve M noktası OH parçasını böler, böylece ilişki ÖM:MN=1:2. Bu teorem, 1765 yılında İsviçreli bilim adamı Leonardo Euler tarafından kanıtlandı.

ortosentrik üçgen.

ortosentrik üçgen(dik üçgen) bir üçgendir ( mnİLE), köşeleri verilen üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan ( ABC). Bu üçgenin birçok ilginç özelliği var. Hadi onlardan birini alalım.

Mülk.

İspat et:

üçgenler AKM, CMN Ve KKNüçgene benzer ABC;

Bir dik üçgenin açıları MNKşunlardır: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π-2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Kanıt:

Sahibiz ABçünkü A, AKçünkü A. Sonuç olarak, AM/AB = AK/AC.

Çünkü üçgenler ABC Ve AKM enjeksiyon FAKAT ortaktır, o zaman benzerdirler, bundan dolayı açının L AKM = L C. Bu yüzden L BKM = L C. o zaman bizde L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 – - - L C, yani SC- açıortay MNK. Böyle, L MNK= π - 2 L C. Kalan eşitlikler benzer şekilde ispatlanır.

Çözüm.

Bu araştırma çalışmasının sonucunda, aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

Üçgenin dikkat çekici noktaları ve çizgileri şunlardır:

diklik merkeziüçgen, yüksekliklerinin kesişme noktasıdır;

merkezüçgen açıortayların kesişme noktasıdır;

ağırlık merkeziüçgen, medyanlarının kesişme noktasıdır;

çevrelenmiş dairenin merkezi dik açıortayların kesişme noktasıdır;

Euler çizgisiüzerinde ağırlık merkezinin, ortomerkezin ve çevrelenmiş dairenin merkezinin bulunduğu düz bir çizgidir.

Bir ortosentrik üçgen, verilen bir üçgeni benzer üç üçgene böler.

Yapmış olan bu iş, Bir üçgenin özellikleri hakkında çok şey öğrendim. Bu çalışma, matematik alanındaki bilgilerimin gelişimi açısından benim için önemliydi. Gelecekte, bu en ilginç konuyu geliştirmeyi planlıyorum.

Bibliyografya.

Kiselev A.P. Temel geometri. – M.: Aydınlanma, 1980.

Kokseter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Planimetrideki problemler. - M.: Nauka, 1986. - Bölüm 1.

Sharygin I.F. Geometrideki problemler: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

Scanavi M.I. Matematik. Çözümlerle ilgili sorunlar. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.

Berger M. Geometri iki ciltte - M: Mir, 1984.

DÖRT BÜYÜK NOKTA

ÜÇGEN

Geometri

8. sınıf

Sakharova Natalya İvanovna

Simferopol'ün 28 numaralı MBOU ortaokulu

• Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası
• Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası
• Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası
• Bir üçgenin orta diklerinin kesişme noktası

Medyan

Medyan (BD)Üçgen, üçgenin tepe noktasını karşı tarafın orta noktasına bağlayan bir doğru parçasıdır.

medyanlarüçgenler kesişir bir noktada (ağırlık merkeziüçgen) ve bu noktayı yukarıdan sayarak 2: 1 oranında bölün.

AÇIORTAY

Bisektör (AD)üçgene üçgenin iç açısının açıortayının doğru parçası denir. ∟ KÖTÜ = ∟CAD.

her nokta bisektörler gelişmemiş bir açının kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Geri: bir açının içinde ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açının üzerinde yer alır. açıortay.

Tüm bisektörlerüçgenler bir noktada kesişir yazılı merkez bir üçgene çevreler.

Dairenin yarıçapı (OM), merkezden (T.O) üçgenin kenarına bırakılan bir diktir.

YÜKSEKLİK

Yükseklik (CD)üçgen, üçgenin tepe noktasından karşı tarafı içeren doğruya bırakılan bir dikin parçası.

yüksekliklerüçgenler (veya uzantıları) kesişir 1 puan.

ORTA DİK

Dik açıortay (DF)üçgenin kenarına dik olan ve onu ikiye bölen doğruya denir.

her nokta orta dik(m) bir segmente bu segmentin uçlarından eşit uzaklıktadır.

Geri: segmentin uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta orta noktada bulunur dik ona.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - anlatılanın merkezi üçgenin yanında çevreler .

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine (OA) olan mesafedir.

Sayfa 177 №675 (çizim)

Ödev

S.173 § 3 tanımlar ve teoremler s.177 No. 675 (bitiş)