Matematik materyali "akorlar, tanjantlar ve sekantların oluşturduğu açılarla ilgili teoremler". İki paralel doğrunun oluşturduğu açılarla ilgili teoremler
§ 1 Ters teoremi
Bu dersimizde hangi teoremlere ters denildiğini öğreneceğiz, ters teoremlere örnekler vereceğiz, iki paralel doğrunun ve bir sekantın oluşturduğu açılar hakkında teoremler formüle edeceğiz ve çelişkiyle ispat yöntemini öğreneceğiz.
Çeşitli okurken geometrik şekiller tanımlar genellikle formüle edilir, teoremler kanıtlanır ve teoremlerin sonuçları dikkate alınır. Her teoremin iki bölümü vardır: bir koşul ve bir sonuç.
Bir teoremin koşulu verilen şeydir ve sonuç kanıtlanması gereken şeydir. Çoğu zaman bir teoremin koşulu "eğer" kelimesiyle başlar ve sonuç "o zaman" kelimesiyle başlar. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin teorem şu şekilde formüle edilebilir: "Üçgen ikizkenarsa, tabanındaki açılar eşittir." “Üçgen ikizkenar ise” teoreminin ilk kısmı teoremin koşuludur, teoremin ikinci kısmı “o zaman tabanındaki açılar eşittir” teoremin sonucudur.
Koşul ve sonucun yer değiştirdiği bir teorem, ters teorem olarak adlandırılır. Bir ikizkenar üçgenin özellikleriyle ilgili teoremin tersi teorem şöyle olacaktır: "Bir üçgendeki iki açı eşitse, böyle bir üçgen ikizkenardır."
Her birini kısaca yazalım:
Koşul ve sonucun tersine döndüğünü görüyoruz.
Bu ifadelerin her biri doğrudur.
Soru ortaya çıkıyor: ifade her zaman doğru mu, yer yer sonuçla birlikte koşul değişiyor mu?
Bir örnek düşünün.
Açılar dikey ise, eşittir. Bu doğru bir sözdür, kanıtı vardır. Ters ifadeyi formüle ediyoruz: açılar eşitse, dikeydir. Bu ifade yanlıştır, çürüten bir örnek vererek bunu doğrulamak kolaydır: iki dik açı alalım (şekle bakın), bunlar eşittir, ancak dikey değillerdir.
Bu nedenle, zaten kanıtlanmış iddialara (teoremlere) göre ters iddialar (teoremler) her zaman kanıt gerektirir.
§ 2 İki paralel doğru ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler
Şimdi ispatlanmış ifadeleri - iki doğrunun paralellik işaretlerini ifade eden teoremleri hatırlayalım, teoremleri ters olarak formüle edelim ve ispatlarını vererek geçerliliklerinden emin olalım.
Paralel çizgilerin ilk işareti.
İki çizginin bir enine kesişiminde, yatma açıları eşitse, çizgiler paraleldir.
Ters teoremi:
İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, karşılıklı açılar eşittir.
Bu ifadeyi kanıtlayalım.
Verilen: a ve b paralel doğruları AB sekantıyla kesişir.
1 ve 2 çapraz açılarının eşit olduğunu kanıtlayın. (resme bakın.)
Kanıt:
1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım.
AB kirişinden CAB açısını 2 açısına eşit olarak ayıralım, böylece CAB açısı ve 2 açısı, AB sekantı tarafından CA ve b doğrularının kesişiminde çaprazlamasına yatan açılardır.
Yapı gereği, bu çapraz açılar eşittir, bu nedenle CA çizgisi b çizgisine paraleldir.
İki a ve CA çizgisinin A noktasından geçtiğini ve b çizgisine paralel olduğunu elde ettik. Bu, paralel doğrular aksiyomuyla çelişir: belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen, verilen doğruya sadece bir paralel doğru vardır.
Yani varsayımımız yanlış, 1. ve 2. açılar eşit.
Teorem kanıtlanmıştır.
§ 3 Çelişki yoluyla ispat yöntemi
Bu teoremi ispatlarken, çelişki yoluyla ispat yöntemi adı verilen bir akıl yürütme yöntemi kullandık. Kanıta başlarken, kanıtlanması gerekenin tam tersini varsaydık. Bu varsayımın doğru olduğunu düşünerek, akıl yürüterek paralel doğrular aksiyomuyla bir çelişkiye düştük. Bundan, varsayımımızın doğru olmadığı, ancak teoremin iddiasının doğru olduğu sonucuna vardık. Bu ispat yöntemi genellikle matematikte kullanılır.
Kanıtlanmış teoremin bir sonucunu düşünün.
Sonuçlar:
Bir doğru iki paralelden birine dik ise diğerine de diktir.
a doğrusu b doğrusuna paralel olsun, c doğrusu a doğrusuna dik olsun, yani. açı 1 = 90º.
c doğrusu a doğrusuyla, c doğrusu b doğrusuyla da kesişir.
Paralel çizgiler bir kesenle kesiştiğinde, yatma açıları eşittir, bu da açı 1 \u003d açı 2 anlamına gelir.
Açı 1 = 90º olduğundan, açı 2 = 90º olduğundan, c çizgisi b çizgisine diktir.
Sonuç kanıtlanmıştır.
Doğruların paralelliğinin ikinci işareti için ters teorem:
İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, karşılık gelen açılar eşittir.
Doğruların paralelliğinin üçüncü işareti için ters teorem:
İki paralel doğru bir kesenle kesiliyorsa, tek kenarlı açıların toplamı 180º'dir.
İşte bu dersimizde, hangi teoremlerin ters denildiğini, iki paralel doğrunun ve bir sekantın oluşturduğu açılar hakkında formüle edilmiş ve düşünülmüş teoremleri öğrendik ve ayrıca çelişkiyle ispat yöntemi hakkında bilgi sahibi olduk.
Kullanılan literatür listesi:
- Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Eğitim, 2013. - 383 s.: hasta.
- Gavrilova N.F. 7. Sınıf geometride Pourochnye gelişimi. - M.: "WAKO", 2004, 288'ler. - (Okul öğretmenine yardım etmek için).
- Belitskaya O.V. Geometri. 7. sınıf. Bölüm 1. Testler. - Saratov: Lise, 2014. - 64 s.
Rybalko Pavel
Bu sunum şunları içerir: Kanıtları olan 3 teorem ve çalışılan materyali aşağıdakilerle birleştirmek için 3 görev detaylı çözüm. Sunum, çok zaman kazandıracağı için sınıfta öğretmene faydalı olabilir. Ayrıca, öğretim yılının sonunda genel bir inceleme olarak da kullanılabilir.
İndirmek:
Ön izleme:
Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
İki paralel doğru ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler. Oyuncu: öğrenci 7 "A" sınıfı Rybalko Pavel Mytishchi, 2012
Teorem: İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, çapraz yatma açıları eşittir. ve A B'de 1 2 1 = 2 c
İspat: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel ve MN onların kesenleri olsun. 1 ve 2 çapraz açılarının birbirine eşit olduğunu ispatlayalım. 1 ve 2'nin eşit olmadığını varsayın. O noktasından bir K F çizgisi çizelim. O zaman O noktasında KON 'u çizebiliriz, 2'ye eşit ve KON = 2 ise, o zaman K F çizgisi CD'ye paralel olacaktır. İki AB ve K F doğrusunun O noktasından, CD doğrusuna paralel olarak çizildiğini elde ettik. Ama bu olamaz. Bir çelişkiye ulaştık çünkü 1 ve 2'nin eşit olmadığını varsaydık. Bu nedenle varsayımımız yanlıştır ve 1 2'ye eşit olmalıdır, yani çapraz açılar eşittir. F
Teorem: İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, karşılık gelen açılar eşittir. ve A B'de 1 2 1 = 2
Kanıt: AB'de 2 a B 3 1 Paralel doğrular a ve b AB sekantıyla kesişsin, o zaman 1 ve 3 çaprazlama eşit olacaktır. 2 ve 3 dikey olarak eşittir. 1 = 3 ve 2 = 3 eşitliklerinden 1 = 2 olduğu sonucu çıkar. Teorem kanıtlanmıştır.
Teorem: İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, tek kenarlı açıların toplamı 180°'dir. ve A B'de 3 1 1 + 3 = 180°
Kanıt: a ve b paralel çizgileri AB sekantıyla kesişsin, o zaman karşılık gelen 1 ve 2 eşit olacaktır, 2 ve 3 bitişiktir, bu nedenle 2 + 3 = 180 °. 1 = 2 ve 2 + 3 = 180° eşitliklerinden 1 + 3 = 180° çıkar. Teorem kanıtlanmıştır. 2 bir c AB 3 1
Çözüm: 1. Х 2 olsun, o halde 1 = (Х+70°), çünkü komşu olmaları nedeniyle 1 ve 2 açılarının toplamı = 180°. Denklemi yapalım: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Açı 2) ile. onlar dikey. 3 = 5, çünkü karşıya yatarlar. 125° 5 = 7, çünkü onlar dikey. 2 = 4, çünkü onlar dikey. 4 = 6, çünkü karşıya yatarlar. 55° 6 = 8, çünkü onlar dikey. Problem 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Durum: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B'nin bir C sekantıyla kesişmesiyle oluşan tüm açıları bulun.
Çözüm: 1. Çünkü 4 = 45°, sonra 2 = 45°, çünkü 2 = 4 (karşılık gelen şekilde) 2. 3, 4'e bitişiktir, yani 3+ 4=180° ve bundan 3= 180° - 45°= 135°. 3. 1 = 3, çünkü karşıya yatarlar. 1 = 135°. Cevap: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Görev No. 2: A B 1 Koşul: şekilde, düz çizgiler A II B ve C II D, 4=45°. 1, 2, 3 açılarını bulun 3 2 4
Çözüm: 1. 1= 2, çünkü dikeydirler, yani 2= 45°. 2. 3, 2'ye bitişiktir, yani 3+ 2=180° ve 3= 180° - 45°= 135° olur. 3. 4 + 3=180°, çünkü tek taraflıdırlar. 4 = 45°. Cevap: 4=45°; 3=135°. Görev №3: A B 2 Koşul: A ve B iki paralel çizgisi bir C sekantıyla kesişiyor. 1=45° ise, 4 ve 3'ün neye eşit olacağını bulun. 3 4 1
Oluşan açılarla ilgili teoremler
Geometri, Bölüm III, 7. Sınıf
L.S. Atanasyan'ın ders kitabına
en yüksek kategorideki matematik öğretmeni
MOU "Upshinsky temel kapsamlı okul"
Mari El Cumhuriyeti'nin Orsha bölgesi
Teorem bunun tersi
teorem: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir .
teorem: Üçgen ikizkenar ise, tabandaki açılar eşittir .
Teorem koşulu (Verilen): üçgen - ikizkenar
Teoremin sonucu (İspatlayın): taban açıları eşittir
teorem koşulu : taban açıları eşittir
Teoremin sonucu : üçgen - ikizkenar
YENİ BİLDİRİM
Ters
teorem
Bir üçgenin iki açısı varsa
eşittir, o zaman ikizkenardır .
Teorem bunun tersi
Tersi her zaman doğru mudur?
teorem
ters teoremi
iki açının toplamı 180 ise 0 , o zaman açılar bitişiktir
Bitişik açıların toplamı
180'e eşittir 0 .
açıları eşit ise
o zaman dikey
Dikey açılar eşittir
Bir üçgende kenarlarından birine çizilen ortay aynı zamanda bu tarafa çizilen ortanca ise, bu üçgen ikizkenardır.
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen açıortay medyan ve yüksekliktir.
Bir üçgende kenarlarından birine çizilen ortay aynı zamanda bu tarafa çizilen yükseklik ise, bu üçgen ikizkenardır.
E Üçgen ikizkenar ise, açıortay tabana çizilir. , hem medyan hem de yüksekliktir
İki paralel ve bir enine doğrunun oluşturduğu açılar
Tersi her zaman doğru mudur?
teorem
ters teoremi
Eğer 2 paralel çizgiler bir sekant tarafından geçti, sonra çapraz açılar eşittir
çapraz köşeler eşit sonra çizgiler paralel .
Ama bu çelişiyor aksiyom paralel yani varsayımımız yanlış.
YÖNTEMDEN
edepsiz
Kanıtlamamız gerekenin tam tersi bir varsayımda bulunuyoruz
Akıl yürüterek, iyi bilinen aksiyom veya teorem ile bir çelişkiye ulaşırız.
Varsayımımızın yanlış olduğu ve teoremin iddiasının doğru olduğu sonucuna varıyoruz.
Ama bu çelişiyor aksiyom paralel
Bu nedenle varsayımımız yanlıştır.
İki paralel doğru bir kesen tarafından kesiliyorsa, kesişen açılar eşittir.
TEOREMDEN SONUÇ
Bir doğru iki paralelden birine dik ise diğerine de diktir.
oluşan köşeler
iki paralel çizgi ve bir sekant
teorem
ters teoremi
Bir sekantın iki çizgisinin kesiştiği yerde ise karşılık gelen açılar eşittir , sonra çizgiler paralel .
Eğer 2 paralel çizgiler bir sekant tarafından geçti, sonra karşılık gelen açılar eşittir
oluşan köşeler
iki paralel çizgi ve bir sekant
teorem
ters teoremi
Bir sekantın iki çizgisinin kesiştiği yerde ise 0 , sonra çizgiler paralel .
Eğer 2 paralel çizgiler bir sekant tarafından geçti, sonra tek kenarlı açıların toplamı 180 0
a ve b doğruları paraleldir.
2. köşeyi bulun.
a ve b doğruları paraleldir.
Bilinmeyen köşeleri bul
a ve b doğruları paraleldir.
Bilinmeyen köşeleri bul
Bilinmeyen köşeleri bul
Bilinmeyen köşeleri bul
Bilinmeyen köşeleri bul
a ve b doğruları paraleldir. İki köşegen açının toplamı 100 ise bilinmeyen açıları bulun 0 .
a ve b doğruları paraleldir. Karşılık gelen iki açının toplamı 260 ise bilinmeyen açıları bulun 0 .
a ve b doğruları paraleldir. Tek taraflı iki açının farkı 50 ise bilinmeyen açıları bulun 0 .
İki paralel doğru arasındaki açılar ve sekantları ile ilgili teoremler hakkındaki video dersi, teoremin yapısının özelliklerini, ters teoremlerin oluşum örneklerini ve ispatını ve bunlardan çıkan sonuçları içeren materyali içerir. Bu video dersinin görevi, bir teorem kavramını derinleştirmek, onu bileşenlerine ayırmak, bir ters teorem kavramını göz önünde bulundurarak, bir teorem oluşturma yeteneğini oluşturmak, bunun tersini, teoremin sonuçlarını, ifadeleri kanıtlama yeteneğini oluşturur.
Video dersinin formu, materyali gösterirken aksanları başarılı bir şekilde yerleştirmenize izin vererek materyali anlamayı ve ezberlemeyi kolaylaştırır. Bu video dersinin konusu karmaşık ve önemlidir, bu nedenle görsel bir yardımın kullanılması sadece tavsiye edilmekle kalmaz, aynı zamanda arzu edilir. Eğitimin kalitesini artırmak için bir fırsat sağlar. Animasyonlu efektler, eğitim materyalinin sunumunu iyileştirir, öğrenme sürecini geleneksel olana yaklaştırır ve video kullanımı, öğretmenin bireysel çalışmalarını derinleştirmesini sağlar.
Video eğitimi, konusunun duyurulmasıyla başlar. Dersin başında, yapısını ve daha fazla araştırma için fırsatları daha iyi anlamak için teoremin bileşenlere ayrıştırılmasını ele alıyoruz. Ekranda, teoremin koşulları ve sonuçlarından oluştuğunu gösteren bir diyagram gösterilir. Koşul ve sonuç kavramı, paralel çizgilerin işareti örneğiyle açıklanır, ifadenin bu kısmının teoremin koşulu olduğuna ve sonucun sonuç olduğuna dikkat çeker.
Teoremin yapısı hakkında kazanılan bilgiler derinleştirilerek, öğrencilere verilen teoremin tersi bir teorem kavramı verilir. Değiştirmenin bir sonucu olarak oluşur - koşul sonuç, sonuç - koşul olur. Öğrencilerin verilere ters teoremler oluşturma yeteneğini oluşturmak, bunları kanıtlama yeteneği, paralel çizgilerin işaretleri üzerinde 25. derste tartışılanların tersi olan teoremler dikkate alınır.
Ekran, teoremi çizgilere paralel özelliği tanımlayan ilk teoremin tersini görüntüler. Koşul ve sonucu değiştirerek, herhangi bir paralel doğru bir kesenle kesişirse, aynı anda oluşan yatay açıların eşit olacağı ifadesini elde ederiz. Kanıtı a, b doğruları ve bu doğruların M ve N noktalarından geçen keseni gösteren şekilde gösterilmiştir. Geçiş açıları ∠1 ve ∠2 görüntü üzerinde işaretlenmiştir. Eşitliklerini kanıtlamak gerekir. İlk olarak, ispat sırasında bu açıların eşit olmadığı varsayımı yapılır. Bunu yapmak için, M noktasından belirli bir P çizgisi çizilir. MN'ye göre ∠2 açısı ile çaprazlamasına uzanan bir `∠PMN açısı oluşturulur. `∠PMN ve ∠2 açıları yapı itibariyle eşittir, dolayısıyla MP║b. Sonuç - noktadan b'ye paralel iki düz çizgi çizilir. Ancak bu imkansızdır, çünkü paralel çizgiler aksiyomuna karşılık gelmez. Yapılan varsayımın hatalı olduğu ortaya çıktı ve orijinal ifadenin geçerliliğini kanıtladı. Teorem kanıtlanmıştır.
Daha sonra öğrencilerin dikkati, akıl yürütme sürecinde kullanılan ispat yöntemine çekilir. İspatlanan iddianın yanlış olduğu kabul edilen bir ispata geometride çelişkili ispat denir. Bu yöntem genellikle çeşitli geometrik ifadeleri kanıtlamak için kullanılır. Bu durumda, kesişen açıların eşitsizliği varsayılarak, muhakeme sırasında böyle bir çelişkinin geçerliliğini reddeden bir çelişki ortaya çıktı.
Benzer bir yöntemin daha önce ispatlarda kullanıldığı öğrencilere hatırlatılır. Buna bir örnek, 12. dersteki üçüncüye dik olan iki doğrunun kesişmediği teoreminin ispatı ve paralel doğrular aksiyomunun 28. dersindeki sonuçların ispatıdır.
Bir başka kanıtlanabilir sonuç, bir çizginin paralel çizgilerden birine dik olması durumunda her iki paralel çizgiye de dik olduğunu belirtir. Şekil, a ve b çizgilerini ve bunlara dik olan bir c çizgisini göstermektedir. c çizgisinin a'ya dik olması, onunla oluşan açının 90 ° olduğu anlamına gelir. a ve b'nin paralelliği, c çizgisiyle kesişmeleri, c çizgisinin b ile kesiştiği anlamına gelir. b doğrusu ile oluşturulan ∠2 açısı, ∠1 açısının karşısındadır. Doğrular paralel olduğu için verilen açılar eşittir. Buna göre ∠2 açısının değeri de 90°'ye eşit olacaktır. Bu, c çizgisinin b çizgisine dik olduğu anlamına gelir. Ele alınan teorem kanıtlanmıştır.
Ardından, paralel çizgiler için ikinci kriterin tersini teoremi kanıtlıyoruz. Ters teorem, iki doğru paralel ise oluşan açıların eşit olacağını belirtir. İspat, c sekantının, a ve b doğrularının birbirine paralel inşasıyla başlar. Bu şekilde oluşturulan köşeler şekilde işaretlenmiştir. ∠1 ve ∠2 olarak adlandırılan bir çift karşılık gelen açı vardır ve ∠1 açısı boyunca uzanan ∠3 açısı olarak da etiketlenir. a ve b'nin paralelliği, çapraz olarak ∠3=∠1 eşitliğini ifade eder. ∠3, ∠2 dikey olduğu için onlar da eşittir. Bu tür eşitliklerin bir sonucu, ∠1=∠2 olduğu iddiasıdır. Ele alınan teorem kanıtlanmıştır.
Bu derste ispatlanacak son teorem, paralel doğrular için son kriterin tersidir. Metni, paralel doğrulardan geçen bir kesen durumunda, bu durumda oluşan tek taraflı açıların toplamının 180 ° 'ye eşit olduğunu söylüyor. İspatın ilerleyişi, c sekantıyla kesişen a ve b doğrularını gösteren şekilde gösterilmiştir. Tek kenarlı açıların toplamının değerinin 180°, yani ∠4+∠1 = 180° olacağını kanıtlamak gerekir. a ve b çizgilerinin paralelliği, karşılık gelen ∠1 ve ∠2 açılarının eşitliğini ifade eder. ∠4, ∠2 açılarının bitişikliği, toplamlarının 180° olduğu anlamına gelir. Bu durumda ∠1= ∠2 açıları yani ∠1 ile ∠4 açısı toplamı 180° olacaktır. Teorem kanıtlanmıştır.
Ters teoremlerin nasıl oluşturulduğu ve kanıtlandığı hakkında daha derin bir anlayış için, bir teorem kanıtlanmış ve doğruysa, bunun tersi teoremin de doğru olacağı anlamına gelmediği ayrıca not edilir. Bunu anlamak için basit bir örnek verilmiştir. Tüm dikey açıların eşit olduğu bir teorem vardır. Ters teorem, tüm eşit açılar dikey gibi geliyor, bu doğru değil. Sonuçta, dikey olmayacak iki eşit açı oluşturabilirsiniz. Bu, gösterilen şekilde görülebilir.
"İki paralel çizgi ve bir sekant tarafından oluşturulan açılarla ilgili teoremler" video dersi, bir öğretmen tarafından geometri dersinde kullanılabilecek ve ayrıca ters teoremler ve sonuçlar hakkında başarılı bir fikir oluşturabilecek görsel bir yardımdır. , materyalin kendi kendine çalışmasındaki kanıtlarının yanı sıra, uzaktan öğrenmede faydalı olabilir.
