Kütle merkezi: kavram, hesaplama ve temel ilkeler. Sistem ağırlığı

Aynı maddi noktalar sistemini yeniden ele alalım. Yarıçap vektörünü aşağıdaki kurala göre oluşturalım:

sistemin o maddi noktasının yarıçap vektörü nerede ve kütlesidir.

Yarıçap vektörü uzaydaki konumu belirler eylemsizlik merkezi (kütle merkezi) sistemler.

Sistemin kütle merkezinde maddi bir noktanın bulunması hiç de gerekli değildir.

Örnek. Ağırlıksız bir çubukla birbirine bağlanan iki küçük toptan - malzeme noktalarından - oluşan bir sistemin kütle merkezini bulalım (Şekil 3.29). Bu vücut sistemine dambıl denir.

Pirinç. 3.29. Dambıl kütle merkezi

Şek. bu açık

Bu eşitliklerin yerine kütle merkezinin yarıçap vektörünün ifadesi konulursa

Buradan kütle merkezinin topların merkezlerinden geçen düz bir çizgi üzerinde olduğu sonucu çıkar. Mesafeler ben 1 ve ben 2 top ile kütle merkezi arası sırasıyla eşittir

Orandan da görülebileceği gibi kütle merkezi, kütlesi daha büyük olan topa daha yakındır:

Sistemin eylemsizlik merkezinin hangi hızda hareket ettiğini belirleyelim. Her iki parçayı da zamana göre ayırıyoruz:

Ortaya çıkan ifadenin sağ taraftaki payı, tüm noktaların impulslarının toplamını, yani sistemin impulsunu içerir. Payda sistemin toplam kütlesidir

Atalet merkezinin hızının, sistemin momentumu ve toplam kütlesi ile maddi bir nokta için geçerli olan aynı oranda ilişkili olduğunu bulduk:

Video 3.11. Bir yay ile birbirine bağlanan iki özdeş arabanın kütle merkezinin hareketi.

Kapalı bir sistemin kütle merkezi her zaman sabit bir hızla hareket eder, çünkü böyle bir sistemin momentumu korunur.

Şimdi sistemin momentum ifadesinin zamana göre türevini alırsak ve sistemin momentumunun türevinin dış kuvvetlerin sonucu olduğunu hesaba katarsak, şunu elde ederiz: sistemin kütle merkezinin hareket denklemi Genel olarak:

Açık ki

Sistemin kütle merkezi, sistemdeki tüm parçacıkların kütlesine eşit kütleye sahip bir maddi noktanın, sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin vektör toplamının etkisi altında hareket etmesiyle tamamen aynı şekilde hareket eder.

İç konumu ve hareketi bizi ilgilendirmeyen bir maddi noktalar sistemi varsa, onu atalet merkezinin yarıçap vektörünün koordinatlarına ve toplamına eşit bir kütleye sahip maddi bir nokta olarak değerlendirme hakkımız vardır. sistemin maddi noktalarının kütleleri.

Bir referans sistemini, maddi noktalardan (parçacıklardan) oluşan kapalı bir sistemin kütle merkeziyle ilişkilendirirsek (buna denir) kütle merkezi sistemi), o zaman böyle bir sistemdeki tüm parçacıkların toplam momentumu sıfıra eşit olacaktır. Böylece kütle merkezi sisteminde parçacıklardan oluşan kapalı bir sistem oluşur. bir bütün olarak hareketsizdir ve parçacıkların yalnızca kütle merkezine göre hareketi vardır. Dolayısıyla kapalı bir sistemde meydana gelen iç süreçlerin özellikleri açıkça ortaya çıkar.

Sistemin sürekli kütle dağılımına sahip bir cisim olması durumunda, kütle merkezinin tanımı esasen aynı kalır. Vücudumuzda rastgele bir noktayı küçük bir hacimle çevreliyoruz. Bu hacmin içerdiği kütle, hacmi boyunca sabit olmayabilen cismin maddesinin yoğunluğuna eşittir. Bu tür temel kütlelerin toplamı artık cismin tüm hacminin integraliyle değiştirilir, böylece cismin kütle merkezinin konumu için şu ifadeyi elde ederiz:

Cismin maddesi homojen ise yoğunluğu sabittir ve integral işaretinin altından çıkarılabilir, böylece pay ve paydada sadeleşir. Daha sonra cismin kütle merkezinin yarıçap vektörünün ifadesi şu şekli alır:

vücudun hacmi nerede.

Ve kütlelerin sürekli dağılımı durumunda şu ifade doğrudur:

Katı bir cismin kütle merkezi, cismin kütlesine eşit kütleye sahip bir maddi noktanın, cisme uygulanan tüm dış kuvvetlerin vektör toplamının etkisi altında hareket etmesiyle aynı şekilde hareket eder.

Örnek. Bir mermi parabolik yörüngesinin belirli bir noktasında patlarsa, parçalar çeşitli yörüngeler boyunca uçar, ancak kütle merkezi parabol boyunca hareket etmeye devam eder.

Bir parçacık sistemiyle uğraştığımızda, bu sistemin bir bütün olarak konumunu ve hareketini karakterize edecek bir nokta (kütle merkezi) bulmak uygundur. İki özdeş parçacıktan oluşan bir sistemde böyle bir C noktası açıkça ikisinin ortasında yer alır (Şekil 110a). Bu, simetri düşüncelerinden açıktır: homojen ve izotropik bir uzayda, bu nokta diğerlerinden ayırt edilir, çünkü parçacıklardan birine daha yakın konumlanmış herhangi bir A noktası için, ona daha yakın konumlanmış, ona simetrik bir B noktası vardır. ikinci parçacık.

Pirinç. 110. İki özdeş parçacığın kütle merkezi yarıçap vektörlü C noktasındadır; farklı kütlelere sahip iki parçacığın kütle merkezi, parçacıkların kütleleriyle ters orantılı bir oranda aralarındaki segmenti böler (b)

Açıkçası, C noktasının yarıçap vektörü, özdeş parçacıkların yarıçap vektörlerinin toplamının yarısına eşittir (Şekil 110a): Başka bir deyişle, vektörlerin olağan ortalama değeridir.

Kütle merkezinin belirlenmesi. Bu tanım farklı kütlelere sahip iki parçacık durumuna nasıl genelleştirilir? Yarıçap vektörü hala toplamın yarısına eşit olan sistemin geometrik merkezinin yanı sıra bir noktanın belirli bir rol oynaması beklenebilir. konumu dağıtımla belirlenir

Toplu yemek yiyorum. Bunu, her parçacığın katkısı kütlesiyle orantılı olacak şekilde tanımlamak doğaldır:

Formül (1) ile belirlenen kütle merkezinin yarıçap vektörü, parçacıkların yarıçap vektörlerinin ağırlıklı ortalama değeridir; bu, (1)'i formda yeniden yazarsak açıkça görülür.

Her parçacığın yarıçap vektörü, kütlesiyle orantılı bir ağırlıkla girer. Formül (1) ile belirlenen C kütle merkezinin, parçacıkları birbirine bağlayan düz çizgi parçası üzerinde yer aldığını ve onu parçacıkların kütleleriyle ters orantılı bir oranda böldüğünü görmek kolaydır: (Şekil 110b).

Burada verilen kütle merkezi tanımının bildiğiniz kaldıracın denge durumuyla ilgili olduğunu lütfen unutmayın. Düzgün bir çekim alanının etkisine maruz kalan nokta kütlelerin ihmal edilebilir kütleli bir çubukla bağlandığını hayal edelim. Böyle bir kaldıraç, dayanak noktası C kütle merkezine yerleştirilirse dengede olacaktır.

Formül (1)'in kütleli maddi noktalardan ve yarıçap vektörlerinden oluşan bir sistem durumuna doğal bir genellemesi eşitliktir

sistemin kütle merkezinin (veya eylemsizlik merkezinin) yarıçap vektörünün bir tanımı olarak hizmet eder.

Kütle merkezinin hızı. Kütle merkezi sadece konumu değil aynı zamanda parçacık sisteminin bir bütün olarak hareketini de karakterize eder. (2)’deki eşitlikle belirlenen kütle merkezinin hızı, sistemi oluşturan parçacıkların hızları cinsinden şu şekilde ifade edilir:

Bu ifadenin sağ tarafındaki pay, bir önceki paragraftaki formül (6)'dan takip edildiği gibi, P sisteminin toplam momentumunu içerir, payda ise toplam M kütlesidir. Dolayısıyla parçacık sisteminin momentumu eşittir. tüm M sisteminin kütlesinin ve kütle merkezinin hızının çarpımına

Formül (4), tek bir parçacığın momentumunun parçacığın hızıyla ilişkili olduğu gibi, bir sistemin momentumunun da kütle merkezinin hızıyla ilişkili olduğunu gösterir. Kütle merkezinin hareketi bu anlamda bir bütün olarak sistemin hareketini karakterize eder.

Kütle merkezinin hareket kanunu.Önceki paragrafın (9) formülüyle ifade edilen bir parçacık sisteminin momentumundaki değişim yasası, esasen kütle merkezinin hareket yasasıdır. Aslında (4)'ten sistemin sabit toplam kütlesi M ile elimizdeki

bu da sistemin momentum değişim hızının kütlesinin ve kütle merkezinin ivmesinin çarpımına eşit olduğu anlamına gelir. (5)'i formül (6) § 29 ile karşılaştırarak şunu elde ederiz:

(6)'ya göre, sistemin kütle merkezi, M kütleli bir maddi noktanın, sisteme giren parçacıklara etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamına eşit bir kuvvetin etkisi altında hareket edeceği şekilde hareket eder. Özellikle, dış kuvvetlerden etkilenmeyen kapalı bir fiziksel sistemin kütle merkezi, eylemsiz referans çerçevesinde düzgün ve doğrusal olarak hareket eder veya hareketsizdir.

Bazı durumlarda kütle merkezi fikri, bazı soruların cevaplarını doğrudan momentumun korunumu yasasını kullanmaktan çok daha kolay bir şekilde elde etmeyi mümkün kılar. Aşağıdaki örneği düşünün.

Geminin dışında bir astronot. Motoru kapalıyken kütle uzay aracına göre hareketsiz duran bir kütle kozmonotu, hafif bir güvenlik kordonu kullanarak kendisini gemiye doğru çekmeye başlar. Aralarındaki ilk mesafe şu kadarsa, astronot ve uzay aracı buluşmadan önce ne kadar mesafe kat edecekler?

Geminin ve astronotun kütle merkezi, onları birbirine bağlayan düz çizgi üzerinde yer almaktadır ve buna karşılık gelen mesafeler, kütlelerle ters orantılıdır.

hemen anlıyoruz

Hiçbir dış kuvvetin bulunmadığı derin uzayda bu kapalı sistemin kütle merkezi ya hareketsizdir ya da sabit hızla hareket etmektedir. Astronot ve gemi, dinlenme halinde olduğu referans çerçevesinde buluşmadan önce formül (7) ile verilen mesafeleri kat edeceklerdir.

Böyle bir akıl yürütmenin geçerliliği için, eylemsiz bir referans çerçevesinin kullanılması temel olarak önemlidir. Burada referans sistemini dikkatsizce uzay gemisine bağlamış olsaydık, astronot yukarı çekildiğinde sistemin kütle merkezinin dış kuvvetlerin yokluğunda hareket etmeye başladığı sonucuna varırdık: gemiye yaklaşır. Kütle merkezi hızını yalnızca eylemsiz referans çerçevesine göre korur.

Bir parçacık sisteminin kütle merkezinin ivmesini belirleyen denklem (6), ona etki eden iç kuvvetleri içermez. Bu, iç kuvvetlerin kütle merkezinin hareketi üzerinde hiçbir etkisinin olmadığı anlamına mı geliyor? Dış kuvvetlerin yokluğunda veya bu kuvvetlerin sabit olduğu durumlarda durum aslında budur. Örneğin, düzgün bir yerçekimi alanında, uçuş sırasında patlayan bir merminin kütle merkezi, parçalardan hiçbiri yere düşmeyene kadar aynı parabol boyunca hareket etmeye devam eder.

İç güçlerin rolü. Dış güçlerin değişebileceği durumlarda durum biraz daha karmaşıktır. Dış kuvvetler kütle merkezine değil, sistemin bireysel parçacıklarına etki eder. Bu kuvvetler parçacıkların konumuna bağlı olabilir ve her parçacığın hareketi sırasındaki konumu, hem dış hem de ona etki eden tüm kuvvetler tarafından belirlenir.

Bunu, iç kuvvetlerin etkisi altında uçarken küçük parçalara ayrılan bir merminin aynı basit örneğini kullanarak açıklayalım. Tüm parçalar uçuş halindeyken, daha önce de belirtildiği gibi kütle merkezi aynı parabol boyunca hareket etmeye devam ediyor. Bununla birlikte, parçalardan en az biri yere temas ettiğinde ve hareketi durduğunda, yeni bir dış kuvvet eklenecektir - düşen parçaya etki eden dünya yüzeyinin tepki kuvveti. Sonuç olarak kütle merkezinin ivmesi değişecek ve artık aynı parabol boyunca hareket etmeyecektir. Bu reaksiyon kuvvetinin ortaya çıkışı, mermiyi patlatan iç kuvvetlerin hareketinin bir sonucudur. Dolayısıyla, merminin kırıldığı andaki iç kuvvetlerin etkisi, kütle merkezinin daha sonraki zamanlarda hareket edeceği ivmede bir değişikliğe ve dolayısıyla yörüngesinde bir değişikliğe yol açabilir.

İç kuvvetlerin kütle merkezinin hareketi üzerindeki etkisine dair daha çarpıcı bir örnek verelim. Dünyanın uydusu olduğunu düşünelim.

Etrafında dairesel bir yörüngede dönen, iç kuvvetlerin etkisi altında iki yarıya bölünür. Yarımlardan biri durur ve Dünya'ya dikey olarak düşmeye başlar. Momentumun korunumu yasasına göre, ikinci yarının şu anda daireye teğetsel olarak hızını iki katına çıkarması gerekiyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, bu yarı böyle bir hızla Dünya'dan sonsuz büyük bir mesafeye uçacak. Sonuç olarak uydunun kütle merkezi, yani iki yarısı da Dünya'dan sonsuz derecede uzak bir mesafeye hareket edecektir. Bunun nedeni ise uydu iki parçaya bölündüğünde iç kuvvetlerin etkisidir, aksi halde bölünmemiş uydu dairesel bir yörüngede hareket etmeye devam edecektir.

Jet tahriki. Kapalı bir sistemin momentumunun korunumu yasası reaktif hareket ilkesini açıklamayı kolaylaştırır. Yakıt yakıldığında, yanma odasında sıcaklık yükselir ve yüksek basınç oluşur, bunun sonucunda ortaya çıkan gazlar roket motoru memesinden yüksek hızda kaçar. Dış alanların yokluğunda roketin toplam momentumu ve memeden kaçan gazlar değişmeden kalır. Bu nedenle gazlar dışarı aktığında roket ters yönde hız kazanır.

Meshchersky denklemi. Roketin hareketini açıklayan bir denklem elde ediyoruz. Roketin belirli bir anda belirli bir eylemsiz referans çerçevesinde bir hızı olsun. Roketin belirli bir anda hareketsiz olduğu başka bir eylemsiz referans çerçevesini tanıtalım. Böyle bir referans sistemine geçiş diyelim. Çalışan bir roket motoru belirli bir süre boyunca rokete göre bir hızda kütle gazları fırlatırsa, bir süre sonra roketin bu eşlik eden sistemdeki hızı sıfırdan farklı ve eşit olacaktır.

Momentumun korunumu yasasını söz konusu kapalı fiziksel sisteme (bir roket artı gazlar) uygulayalım. Başlangıç ​​anında, eşlik eden referans çerçevesinde roket ve gazlar hareketsizdir, dolayısıyla toplam momentum sıfırdır. Bir süre sonra roketin momentumu, fırlatılan gazların momentumuna eşit olur.

Roket sisteminin toplam kütlesi artı gazlar korunur, dolayısıyla fırlatılan gazların kütlesi roket kütlesinin kaybına eşittir:

Şimdi denklem (8) bir süreye bölündükten sonra şu şekilde yeniden yazılır:

Sınıra doğru hareket ederek, değişken kütleli bir cismin (roket) dış kuvvetlerin yokluğunda hareket denklemini elde ederiz:

Denklem (9), eğer sağ tarafı reaktif kuvvet, yani ondan kaçan gazların rokete etki ettiği kuvvet olarak kabul edilirse, Newton'un ikinci yasası biçimindedir. Buradaki roketin kütlesi sabit olmayıp zamanla madde kaybından yani reaktif kuvvetten dolayı azalmaktadır; rokete göre ağızlıktan kaçan gazların hızının tersi yönde yönlendirilir. Bu kuvvetin daha büyük olduğu, gaz akış hızının daha yüksek olduğu ve birim zaman başına yakıt tüketiminin de daha yüksek olduğu görülebilir.

Denklem (9) belirli bir eylemsiz referans sisteminde (eşlik eden sistem) elde edildi. Görelilik ilkesi nedeniyle bu durum diğer eylemsiz referans çerçeveleri için de geçerlidir. Reaktif kuvvete ek olarak, yerçekimi ve hava direnci gibi başka dış kuvvetler de rokete etki ediyorsa, bunlar denklemin (9) sağ tarafına eklenmelidir:

Bu denklem ilk olarak Meshchersky tarafından elde edilmiş olup onun adını taşımaktadır. Belirli bir motor çalışma modu için, kütle zamanın bilinen belirli bir fonksiyonu olduğunda, Meshchersky denklemi roketin hızını istediğiniz zaman hesaplamanıza olanak tanır.

Kütle merkezinin formül (1) kullanılarak belirlenmesinin uygunluğunu gösteren fiziksel faktörler nelerdir?

Kütle merkezi hangi anlamda parçacıklardan oluşan bir sistemin bir bütün olarak hareketini karakterize eder?

Etkileşen cisimlerden oluşan bir sistemin kütle merkezinin hareket yasası ne diyor? İç kuvvetler kütle merkezinin ivmesini etkiler mi?

İç kuvvetler sistemin kütle merkezinin yörüngesini etkileyebilir mi?

Önceki paragrafta ele alınan merminin patlaması probleminde, kütle merkezinin hareket kanunu, eğer başlangıç ​​hızı yatay ise, ikinci parçanın uçuş menzilini hemen bulmamızı sağlar. Nasıl yapılır? Başlangıç ​​hızının dikey bir bileşene sahip olduğu durumda bu düşünceler neden geçerli değildir?

Bir roketin hızlanması sırasında motoru sabit modda çalışır, böylece gaz akışının bağıl hızı ve birim zaman başına yakıt tüketimi sabit olur. Roketin ivmesi sabit mi olacak?

Meshchersky denklemini, birlikte hareket eden bir referans çerçevesi yerine, roketin zaten hıza sahip olduğu bir eylemsizlik çerçevesi kullanarak türetin

Tsiolkovsky'nin formülü. Roketin hiçbir dış kuvvetin etki etmediği boş uzayda hızlandığını varsayalım. Yakıt tüketildikçe roketin kütlesi azalır. Tüketilen yakıt kütlesi ile roketin kazandığı hız arasındaki ilişkiyi bulalım.

Motoru çalıştırdıktan sonra, sabit roket düz bir çizgide hareket ederek hızlanmaya başlar. Vektör denklemini (9) roketin hareket yönüne yansıtarak şunu elde ederiz:

Denklem (11)'de roketin kütlesini, roketin kazandığı hızın bir fonksiyonu olarak ele alacağız.Daha sonra kütlenin zaman içindeki değişim oranı aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Kütle merkezi

Atalet merkezi, konumu bir cisim veya mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını karakterize eden geometrik bir nokta. Merkezi kütlenin koordinatları formüllerle belirlenir.

,

Nerede m ila - sistemi oluşturan maddi noktaların kütleleri, x k, y k, z k - Bu noktaların koordinatları, M= Σ m ila - sistemin kütlesi, ρ - yoğunluk, V- hacim. Ağırlık merkezi kavramı, ağırlık merkezi kavramından farklıdır (bkz. Ağırlık Merkezi), ikincisi yalnızca düzgün bir ağırlık alanında yer alan katı bir cisim için anlamlıdır; Mekanik sistem kavramı herhangi bir kuvvet alanıyla ilişkili değildir ve her mekanik sistem için anlamlıdır. Katı bir cisim için ağırlık merkezi ile ağırlık merkezinin konumları çakışır.

Mekanik bir sistem hareket ettiğinde, merkezi kütlesi, sistemin kütlesine eşit bir kütleye sahipse ve sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin etkisi altındaysa, maddi bir noktanın hareket edeceği şekilde hareket eder. Ek olarak, mekanik bir sistemin (gövdenin) hareket merkezinden kaynaklanan ve hareket merkezi ile birlikte ötelemeli olarak hareket eden eksenlere göre bazı hareket denklemleri, eylemsiz referans sistemine göre hareketle aynı formu korur (Bkz. Ataletsel referans sistemi). Bu özellikler göz önüne alındığında, merkezi hareket kavramı bir sistemin ve katı bir cismin dinamiğinde önemli bir rol oynar.

S. M. Targ.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Kütle merkezinin” ne olduğuna bakın:

- (atalet merkezi) bir cismin (maddi noktalar sistemi), konumu bir cisim veya mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını karakterize eden bir nokta. Bir cisim hareket ettiğinde, kütle merkezi, tüm cismin kütlesine eşit kütleye sahip maddi bir nokta olarak hareket eder. ansiklopedik sözlük

- (atalet merkezi) bir cismin (maddi noktalar sistemi) bir cisim veya mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını karakterize eden bir nokta. Bir cisim hareket ettiğinde, kütle merkezi, tüm vücudun kütlesine eşit bir kütleye sahip maddi bir nokta olarak hareket eder. Büyük Ansiklopedik Sözlük

kütle merkezi- mekanik sistem; kütle merkezi; endüstri Atalet merkezi Bir mekanik sistemi oluşturan tüm maddi noktaların kütleleri ile bu noktadan çizilen yarıçap vektörlerinin çarpımlarının toplamının sıfıra eşit olduğu geometrik nokta. Politeknik terminolojik açıklayıcı sözlük

Atalet merkezi ile aynı. Fiziksel ansiklopedik sözlük. M.: Sovyet Ansiklopedisi. Genel yayın yönetmeni A. M. Prokhorov. 1983. KÜTLE MERKEZİ... Fiziksel ansiklopedi

Bu terimin başka anlamları da vardır; bkz. Ağırlık Merkezi (anlamlar). Kütle merkezi, eylemsizlik merkezi, ağırlık merkezi (diğer Yunancadan: βαρύς ağır + κέντρον merkez) (mekanikte) bir cismin veya parçacık sisteminin hareketini ... ... Wikipedia olarak karakterize eden geometrik bir nokta

kütle merkezi- 3.1 Kütle merkezi: Bir fiziksel cisimle ilişkili olan ve bu fiziksel cismin kütlesine eşit bir kütleye sahip hayali bir nokta nesnesinin bu noktaya yerleştirilmesi durumunda, ona göre aynı atalet momentine sahip olacağı bir özelliğe sahip olan bir nokta. keyfi... ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Atalet merkezi, C noktası, mekanikteki kütlelerin dağılımını karakterize eder. sistem. Malzeme noktalarından oluşan bir sistemin merkezi kütlesinin yarıçap vektörü; burada mi ve ri, i'inci noktanın kütlesi ve yarıçap vektörüdür ve M, tüm sistemin kütlesidir. Sistem hareket ettiğinde merkez parça da hareket eder... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

- Bir cismin (eylemsizlik merkezi) (maddi noktalar sistemi), nokta, sürünün konumu, kütlelerin cisimdeki veya mekanik dağılımını karakterize eder. sistem. Bir cisim hareket ettiğinde, merkez kütlesi, tüm cismin kütlesine eşit kütleye sahip maddi bir nokta gibi, bir sürüye doğru hareket eder... ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Kütle merkezi- (atalet merkezi) konumu bir vücut veya mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını karakterize eden geometrik bir nokta... Fiziksel Antropoloji. Resimli açıklayıcı sözlük.

Bir cisim veya mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını karakterize eden bir nokta. Bir cisim (sistem) hareket ettiğinde, merkezi kütlesi, bu cisme etki eden tüm kuvvetlerin uygulandığı, tüm cismin kütlesine eşit kütleye sahip maddi bir nokta olarak hareket eder... Astronomik Sözlük

Kitabın

• , Weber Alfred. Alfred Weber, sosyal tarihin ve siyasi eğilimlerin doğası ve yönünün son derece farkında olan bir Alman sosyolog, kültür bilimci ve tarihçidir. Avrupa'daki iki felaketin şok tanığı...
• Favoriler. Avrupa Kültürünün Krizi, Weber A.. Alfred Weber (1868-1958) - Alman sosyolog, kültür bilimci, tarihçi, toplumsal tarihin ve siyasi eğilimlerin doğası ve yönünün son derece farkında. İki felaketin şok tanığı...

Ağırlık merkezi(veya kütle merkezi Belirli bir cismin )'i, cisim bu noktadan asılırsa konumunu koruyacak özelliğe sahip bir noktadır.

Aşağıda, çeşitli kütle merkezlerinin araştırılmasıyla ilgili iki boyutlu ve üç boyutlu problemleri esas olarak hesaplamalı geometri açısından ele alıyoruz.

Aşağıda tartışılan çözümlerde iki ana çözüm ayırt edilebilir: hakikat. Birincisi, maddi noktalar sisteminin kütle merkezinin, kütleleriyle orantılı katsayılarla alınan koordinatlarının ortalamasına eşit olmasıdır. İkinci gerçek şu ki, eğer kesişmeyen iki şeklin kütle merkezlerini biliyorsak, o zaman bunların birleşimlerinin kütle merkezi bu iki merkezi birleştiren doğru parçası üzerinde olacak ve onu cismin kütlesiyle aynı oranda bölecektir. ikinci rakam birincinin kütlesiyle ilgilidir.

İki boyutlu durum: çokgenler

Aslında iki boyutlu bir şeklin kütle merkezinden bahsederken aşağıdaki üç noktadan birini kastedebiliriz: görevler:

• Nokta sisteminin kütle merkezi - yani. tüm kütle yalnızca çokgenin köşelerinde yoğunlaşmıştır.
• Çerçevenin kütle merkezi - yani. Bir çokgenin kütlesi çevresi üzerinde yoğunlaşmıştır.
• Katı bir figürün kütle merkezi - yani. Çokgenin kütlesi tüm alanına dağılmıştır.

Bu sorunların her birinin bağımsız bir çözümü vardır ve aşağıda ayrı ayrı ele alınacaktır.

Nokta sisteminin kütle merkezi

Bu, üç problemin en basitidir ve çözümü, maddi noktalar sisteminin kütle merkezi için iyi bilinen fiziksel formüldür:

noktaların kütleleri nerededir, yarıçap vektörleridir (kökene göre konumlarını belirtir) ve kütle merkezinin istenen yarıçap vektörüdür.

Özellikle, eğer tüm noktalar aynı kütleye sahipse, o zaman kütle merkezinin koordinatları ortalama noktaların koordinatları. İçin üçgen bu noktaya denir merkez ve medyanların kesişme noktasıyla çakışıyor:

İçin kanıt Bu formüller, dengenin tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamının sıfıra eşit olduğu bir noktada elde edildiğini hatırlamak için yeterlidir. Bu durumda bu, noktaya göre tüm noktaların yarıçap vektörlerinin toplamının karşılık gelen noktaların kütleleriyle çarpımının sıfıra eşit olması durumuna dönüşür:

ve buradan ifade ederek gerekli formülü elde ederiz.

Çerçevenin kütle merkezi

Ancak daha sonra çokgenin her bir tarafı bir nokta ile değiştirilebilir - bu bölümün ortası (homojen bir bölümün kütle merkezi bu bölümün ortası olduğu için), bu bölümün uzunluğuna eşit bir kütle ile.

Şimdi maddi noktalar sistemiyle ilgili bir sorunumuz var ve önceki paragraftaki çözümü buna uyguladığımızda şunu buluyoruz:

çokgenin i'inci tarafının orta noktası nerede, i'inci tarafın uzunluğu, çevre, yani. kenar uzunluklarının toplamı.

İçin üçgen aşağıdaki ifade gösterilebilir: bu nokta açıortay kesişme noktası orijinal üçgenin kenarlarının orta noktalarının oluşturduğu bir üçgen. (bunu göstermek için yukarıdaki formülü kullanmanız ve ardından ortaya çıkan üçgenin kenarlarını, bu kenarların kütle merkezleriyle aynı oranlarda böldüğüne dikkat etmeniz gerekir).

Katı bir figürün kütle merkezi

Kütlenin şekil üzerinde eşit olarak dağıldığına inanıyoruz, yani. şeklin her noktasındaki yoğunluk aynı sayıya eşittir.

Üçgen durumda

Bir üçgen için cevabın aynı olacağı öne sürülüyor merkez yani köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasının oluşturduğu nokta:

Üçgen durumu: kanıt

Burada integral teorisini kullanmayan temel bir kanıt vereceğiz.

Arşimet bu kadar saf geometrik bir kanıt sunan ilk kişiydi, ancak çok sayıda geometrik yapıdan oluşan çok karmaşıktı. Burada verilen kanıt, Apostol, Mnatsakanian'ın "Merkezleri Kolay Yoldan Bulmak" başlıklı makalesinden alınmıştır.

Kanıt, üçgenin kütle merkezinin kenar kenarlardan birinin üzerinde yer aldığını göstermekten ibarettir; Bu işlemi iki kez daha tekrarlayarak, kütle merkezinin medyanların kesişme noktasında, yani ağırlık merkezinde bulunduğunu göstereceğiz.

Bu üçgeni şekildeki gibi kenarlarının orta noktalarını birleştirerek dörde bölelim:

Ortaya çıkan dört üçgen katsayılı üçgene benzer.

1 ve 2 numaralı üçgenler birlikte, kütle merkezi köşegenlerinin kesişme noktasında bulunan bir paralelkenar oluşturur (çünkü bu, her iki köşegene göre simetrik bir şekildir ve dolayısıyla merkezidir). kütle her iki köşegen üzerinde bulunmalıdır). Nokta, 1 ve 2 numaralı üçgenlerin ortak tarafının ortasında bulunur ve ayrıca üçgenin medyanında yer alır:

Şimdi vektör, 1 numaralı üçgenin tepe noktasından kütle merkezine çizilen vektör olsun ve vektör, (hatırlayın, üzerinde bulunduğu kenarın ortası olan) noktaya kadar çizilen vektör olsun. :

Amacımız ve vektörlerinin doğrusal olduğunu göstermektir.

3 ve 4 numaralı üçgenlerin kütle merkezleri olan noktaları ve ile gösterelim. O zaman, açıkçası, bu iki üçgen kümesinin kütle merkezi, doğru parçasının ortasındaki nokta olacaktır. Üstelik noktadan noktaya vektör, vektörle çakışır.

Üçgenin istenen kütle merkezi, noktaları birleştiren parçanın ortasında yer alır ve (üçgeni eşit alanlara sahip iki parçaya böldüğümüz için: No. 1-No. 2 ve No. 3-No. 4):

Böylece tepe noktasından merkez noktasına kadar olan vektör . Öte yandan, çünkü 1 numaralı üçgen katsayılı bir üçgene benzer, o zaman aynı vektör eşittir . Buradan denklemi elde ederiz:

nerede buluyoruz:

Böylece, ve vektörlerinin eşdoğrusal olduğunu kanıtladık; bu, istenen ağırlık merkezinin tepe noktasından çıkan medyan üzerinde olduğu anlamına gelir.

Dahası, yol boyunca ağırlık merkezinin her medyanı tepe noktasından sayarak orana böldüğünü kanıtladık.

Poligon durumu

Şimdi genel duruma geçelim; bu vesileyle çokgen. Ona göre, böyle bir akıl yürütme artık uygulanamaz, bu yüzden sorunu üçgen bir probleme indirgeriz: yani, çokgeni üçgenlere böleriz (yani üçgenleştiririz), her üçgenin kütle merkezini buluruz ve sonra üçgenin merkezini buluruz. üçgenlerin ortaya çıkan kütle merkezlerinin kütlesi.

Nihai formül aşağıdaki gibidir:

belirli bir çokgenin üçgenlemesindeki inci üçgenin ağırlık merkezi nerede, üçgenlemenin inci üçgeninin alanı, tüm çokgenin alanıdır.

Dışbükey bir çokgenin üçgenlenmesi önemsiz bir iştir: bunun için örneğin üçgenleri alabilirsiniz, burada .

Çokgen durumu: alternatif yol

Öte yandan yukarıdaki formülün kullanımı pek uygun değildir. dışbükey olmayan çokgenlerçünkü onları üçgenlemek başlı başına kolay bir iş değil. Ancak bu tür çokgenler için daha basit bir yaklaşım bulabilirsiniz. Yani, isteğe bağlı bir çokgenin alanını nasıl arayabileceğinize dair bir benzetme yapalım: isteğe bağlı bir nokta seçilir ve ardından bu noktanın oluşturduğu üçgenlerin işaret alanları ile çokgenin noktaları toplanır: . Kütle merkezini bulmak için benzer bir teknik kullanılabilir: ancak şimdi üçgenlerin kütle merkezlerini alanlarıyla orantılı katsayılarla toplayacağız, yani. Kütle merkezinin son formülü:

keyfi bir nokta nerede, çokgenin noktaları, üçgenin ağırlık merkezi, bu üçgenin işaretli alanı, tüm çokgenin işaretli alanı (yani).

Üç boyutlu durum: çokyüzlüler

İki boyutlu duruma benzer şekilde, 3 boyutlu olarak problemin dört olası formülasyonundan hemen bahsedebiliriz:

• Nokta sisteminin kütle merkezi çokyüzlünün köşeleridir.
• Çerçevenin kütle merkezi çokyüzlünün kenarlarıdır.
• Yüzeyin kütle merkezi - yani. kütle polihedronun yüzey alanına dağıtılır.
• Katı bir çokyüzlünün kütle merkezi - yani. kütle polihedron boyunca dağılmıştır.

Nokta sisteminin kütle merkezi

İki boyutlu durumda olduğu gibi fiziksel formülü uygulayıp aynı sonucu elde edebiliriz:

eşit kütleler durumunda tüm noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasına dönüşür.

Çokyüzlü çerçevenin kütle merkezi

İki boyutlu duruma benzer şekilde, çokyüzlünün her kenarını, bu kenarın ortasında yer alan maddi bir noktayla ve bu kenarın uzunluğuna eşit bir kütleyle değiştiriyoruz. Maddi noktalar problemini ele aldığımızda, çözümünü bu noktaların koordinatlarının ağırlıklı toplamı olarak kolaylıkla bulabiliriz.

Çok yüzlü yüzeyin kütle merkezi

Bir çokyüzlünün yüzeyinin her yüzü, kütle merkezini arayabileceğimiz iki boyutlu bir şekildir. Bu kütle merkezlerini bulduktan ve her yüzü kendi kütle merkeziyle değiştirdikten sonra, maddi noktalarla ilgili çözülmesi zaten kolay olan bir sorunla karşılaşıyoruz.

Katı bir çokyüzlünün kütle merkezi

Tetrahedron durumu

İki boyutlu durumda olduğu gibi, önce en basit problemi, tetrahedron problemini çözelim.

Bir tetrahedronun kütle merkezinin medyanlarının kesişme noktasıyla çakıştığı belirtilmektedir (bir tetrahedronun ortancası, tepe noktasından karşı yüzün kütle merkezine çizilen bir bölümdür; dolayısıyla bir tetrahedronun ortancası) tepe noktasından ve üçgen bir yüzün kenarortaylarının kesişme noktasından geçer).

Bu neden böyle? Burada, iki boyutlu duruma benzer bir mantık doğrudur: Eğer bir tetrahedronu, tetrahedronun tepe noktasından geçen bir düzlemi ve karşı yüzün ortancasını kullanarak iki tetrahedraya bölersek, o zaman ortaya çıkan her iki tetrahedra da aynı hacme sahip olacaktır (çünkü) üçgen yüz ortanca tarafından eşit alanlı iki üçgene bölünecek ve iki tetrahedranın yüksekliği değişmeyecektir). Bu argümanları birkaç kez tekrarladığımızda, kütle merkezinin tetrahedron kenarortaylarının kesişme noktasında bulunduğunu görüyoruz.

Bu noktaya - tetrahedronun kenarortaylarının kesişme noktası - denir. merkez. Aslında tetrahedron köşelerinin koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit koordinatlara sahip olduğu gösterilebilir:

(bu, ağırlık merkezinin medyanları orana göre bölmesi gerçeğinden çıkarılabilir)

Bu nedenle, bir tetrahedron ve bir üçgenin durumları arasında temel bir fark yoktur: Sorunun iki formülasyonunda köşe noktalarının aritmetik ortalamasına eşit olan nokta, kütle merkezidir: her ikisinde de kütleler yalnızca köşelerde yer aldığında, ve kütleler tüm alan/hacim üzerine dağıtıldığında. Aslında bu sonuç keyfi bir boyuta genelleniyor: keyfi bir nesnenin kütle merkezi. basit(simplex), köşelerinin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Rastgele bir çokyüzlü durumu

Şimdi genel duruma geçelim; keyfi bir çokyüzlü durumuna.

Yine, iki boyutlu durumda olduğu gibi, bu sorunu zaten çözülmüş bir soruna indirgeriz: çokyüzlüyü dörtyüzlülere böleriz (yani dörtyüzlüleştiririz), her birinin kütle merkezini buluruz ve son cevabı elde ederiz. bulunan merkezlerin ağırlıklandırılmış toplamı şeklinde problem.

Mekanik sistem

Mekanik bir sistem bir dizi maddi noktadır:- klasik mekaniğin kanunlarına göre hareket etmek; ve - birbirleriyle ve bu gruba dahil olmayan organlarla etkileşimde bulunmak.

Ağırlık

Kütle doğada çeşitli şekillerde kendini gösterir.

Pasif yerçekimi kütlesi vücudun dış yerçekimi alanlarıyla hangi kuvvetle etkileşime girdiğini gösterir - aslında bu kütle, modern metrolojide kütleyi tartarak ölçmenin temelidir.

Aktif yerçekimi kütlesi bu bedenin kendisinin ne tür bir çekim alanı yarattığını gösterir - evrensel çekim yasasında yerçekimi kütleleri ortaya çıkar.

Hareketsiz kütle cisimlerin eylemsizliğini karakterize eder ve Newton'un ikinci yasasının formülasyonlarından birinde yer alır. Eğer dikey referans çerçevesindeki keyfi bir kuvvet, başlangıçta hareketsiz olan farklı cisimleri eşit şekilde hızlandırıyorsa, bu cisimlere aynı eylemsizlik kütlesi atanır.

Yerçekimi ve eylemsizlik kütleleri birbirine eşittir (yüksek bir doğrulukla - yaklaşık 10 −13 - deneysel olarak ve çoğu fiziksel teoride, deneysel olarak onaylananların tümü dahil - tam olarak), bu nedenle, hakkında konuşmadığımız durumda " yeni fizik” derken hangisini kastettiklerini belirtmeden sadece kütleden bahsediyorlar.

Klasik mekanikte cisimler sisteminin kütlesi eşittir kendisini oluşturan organların kütlelerinin toplamı. Göreli mekanikte kütle, toplamsal bir fiziksel miktar değildir, yani genel durumda bir sistemin kütlesi, bileşenlerin kütlelerinin toplamına eşit değildir, ancak bağlanma enerjisini içerir ve sistemin hareketinin doğasına bağlıdır. parçacıklar birbirine göre

Kütle merkezi - ( mekanikte) bir cismin veya parçacık sisteminin bir bütün olarak hareketini karakterize eden geometrik bir nokta. Ağırlık merkezi kavramıyla aynı değildir (çoğunlukla örtüşmesine rağmen).

Klasik mekanikte bir maddi noktalar sisteminin kütle merkezinin (atalet merkezi) konumu aşağıdaki şekilde belirlenir:

kütle merkezinin yarıçap vektörü nerede, yarıçap vektörüdür Ben sistemin inci noktası, - kütle Ben bu nokta.

Sürekli kütle dağılımı durumunda:

sistemin toplam kütlesi nerede, hacim ve yoğunluk. Kütle merkezi böylece kütlenin bir cisim veya parçacık sistemi üzerindeki dağılımını karakterize eder.

Eğer bir sistem maddi noktalardan değil de kütleli uzatılmış cisimlerden oluşuyorsa, böyle bir sistemin kütle merkezinin yarıçap vektörünün cisimlerin kütle merkezlerinin yarıçap vektörleriyle şu şekilde ilişkili olduğu gösterilebilir: ilişki:

Başka bir deyişle, uzatılmış cisimler durumunda formül geçerlidir, yapısı maddi noktalar için kullanılanla örtüşmektedir.

Mekanikte!!!

Kütle merkezi kavramı mekanik ve fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır.

Katı bir cismin hareketi, kütle merkezinin hareketi ile cismin kütle merkezi etrafındaki dönme hareketinin üst üste binmesi olarak düşünülebilir. Bu durumda kütle merkezi aynı kütleye sahip bir cisim gibi hareket eder, ancak sonsuz küçük boyutlar (madde noktası) hareket eder. İkincisi, özellikle tüm Newton yasalarının bu hareketi tanımlamak için geçerli olduğu anlamına gelir. Çoğu durumda, bir cismin boyutunu ve şeklini tamamen göz ardı edebilir ve yalnızca kütle merkezinin hareketini dikkate alabilirsiniz.

Kapalı bir sistemin hareketini kütle merkeziyle ilişkili bir referans çerçevesinde düşünmek genellikle uygundur. Böyle bir referans sistemine kütle merkezi sistemi (C-sistemi) veya eylemsizlik merkezi sistemi denir. İçinde kapalı bir sistemin toplam momentumu her zaman sıfıra eşit kalır, bu da hareket denklemlerini basitleştirmeyi mümkün kılar.

Homojen figürlerin kütle merkezleri

Segmentin bir ortası var.

Çokgenler için (hem katı düz şekiller hem de çerçeveler):

Paralelkenarın köşegenlerinin kesişme noktası vardır.

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası vardır ( merkez).

Düzenli bir çokgenin dönme simetrisinin bir merkezi vardır.

Yarım daire, dik yarıçapı dairenin merkezinden 4:3π oranında bölen bir noktaya sahiptir.

Momentum = itme

Sistemin hareket miktarı (sistem darbesi).

Hareket miktarı (vücut impulsu)– bir cismin kütlesinin ve hızının çarpımına eşit vektör fiziksel miktarı:

Dürtü (hareket miktarı), bir cismin veya cisimler sisteminin hareketinin en temel özelliklerinden biridir.

Newton'un II yasasını ivmeyi hesaba katarak farklı bir biçimde yazalım.

Bir kuvvetin ürünü ve etki süresinin çarpımı, cismin momentumundaki artışa eşittir (Şekil 1):

Kuvvetin sonucunun sadece değerine değil, aynı zamanda eyleminin süresine de bağlı olduğunu gösteren kuvvet dürtüsü nerede?

Şekil 1

Sistemin hareket miktarı (impuls), sistemin tüm noktalarının hareket (impuls) miktarlarının geometrik toplamına (temel vektör) eşit bir vektör miktarı olarak adlandırılacaktır.(İncir. 2):

Sistemin noktalarının hız değerleri ne olursa olsun (bu hızlar paralel olmadığı sürece), vektörün herhangi bir değeri alabileceği ve hatta sıfıra eşit olabileceği çizimden açıktır. vektörlerden oluşturulan çokgen kapanır. Sonuç olarak, sistemin hareketinin doğası, büyüklüğüne göre tam olarak değerlendirilemez.

İncir. 2

Hem değeri hesaplamayı hem de anlamını anlamayı kolaylaştıracak bir formül bulalım.

Eşitlikten

bunu takip ediyor

Her iki tarafın zamana göre türevini alarak şunu elde ederiz:

Buradan bunu buluyoruz

sistemin hareket miktarı (momentum) tüm sistemin kütlesinin ve kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir . Bu sonuç özellikle katı cisimlerin hareket miktarlarının hesaplanmasında kullanışlıdır.

Formülden, eğer bir cisim (veya sistem) kütle merkezi hareketsiz kalacak şekilde hareket ediyorsa, o zaman cismin momentumunun sıfır olacağı açıktır. Örneğin, kütle merkezinden geçen sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin momentumu sıfır olacaktır.

Vücudun hareketi karmaşıksa, bu değer, hareketin kütle merkezi etrafındaki dönme kısmını karakterize etmeyecektir. Örneğin, yuvarlanan bir tekerlek için, tekerlek kütle merkezi etrafında nasıl dönerse dönsün İLE.

Böylece, momentum sistemin yalnızca öteleme hareketini karakterize eder. Karmaşık harekette miktar, kütle merkeziyle birlikte sistemin hareketinin yalnızca öteleme kısmını karakterize eder.

Önemli olan miktardır stv dv sistemin emisyonu (dürtü).

Belirli bir merkeze göre bir sistemin temel momentumu (veya kinetik momenti) HAKKINDA sistemin tüm noktalarının bu merkeze göre hareket miktarlarının momentlerinin geometrik toplamına eşit olan miktara denir.

Sistemin hareket niceliklerinin koordinat eksenlerine göre momentleri benzer şekilde belirlenir:

Bu durumda, eş zamanlı olarak vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini temsil ederler.

Tıpkı bir sistemin momentumunun öteleme hareketinin bir özelliği olması gibi, Sistemin ana momentum momenti sistemin dönme hareketinin bir özelliğidir.

Şekil 6

Miktarın mekanik anlamını anlamak L 0 ve problemleri çözmek için gerekli formüllere sahip olduğumuzda, sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin açısal momentumunu hesaplarız (Şekil 6).Ayrıca, her zamanki gibi, vektörün tanımı projeksiyonlarını belirlemekten geçiyor.

Öncelikle uygulamalar için miktarı belirleyen en önemli formülü bulalım. L z, yani Dönen bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti.

Vücudun dönme ekseninden belirli bir mesafede bulunan herhangi bir noktası için hız . Bu nedenle bu nokta için. Daha sonra tüm vücut için, ω ortak faktörünü parantezlerden çıkararak şunu elde ederiz:

Parantez içindeki değer, gövdenin eksene göre atalet momentini temsil eder z. Sonunda bulduk

Böylece, Dönen bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti, cismin bu eksene göre atalet momenti ile cismin açısal hızının çarpımına eşittir.

Eğer sistem aynı eksen etrafında dönen birden fazla cisimden oluşuyorsa, o zaman elbette

Aşağıdaki formüller arasındaki analojiyi görmek kolaydır: Hareket miktarı kütle (öteleme hareketi sırasında bir cismin eylemsizliğini karakterize eden bir miktar) ile hızın çarpımına eşittir; kinetik moment, atalet momentinin (dönme hareketi sırasında bir cismin ataletini karakterize eden bir değer) ve açısal hızın çarpımına eşittir.