ما هو الحد الأقصى لتعريف الوظيفة. نهاية الدالة – ​​التعاريف والنظريات والخصائص

الحدود تسبب الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل حد ما، يتعين عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من طرق الحل، وهو ما يناسب مثالًا معينًا.

في هذا المقال لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم، ولكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف نفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ الفهم يأتي مع الخبرة، لذلك سنقدم في نفس الوقت عدة أمثلة تفصيلية لحل النهايات مع الشرح.

مفهوم الحد في الرياضيات

السؤال الأول هو: ما هذا الحد وحدود ماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود التسلسلات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم نهاية الدالة، لأن هذا هو ما يواجهه الطلاب في أغلب الأحيان. لكن أولاً، التعريف الأكثر عمومية للحد:

لنفترض أن هناك بعض القيمة المتغيرة. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير تقترب بشكل غير محدود من رقم معين أ ، الذي - التي أ – حد هذه القيمة.

لوظيفة محددة في فترة زمنية معينة و(س)=ص ويسمى هذا الرقم الحد أ ، والتي تميل إليها الوظيفة متى X ، تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفاصل الزمني الذي تم تعريف الوظيفة عليه.

يبدو الأمر مرهقًا، لكنه مكتوب بكل بساطة:

ليم- من الانجليزية حد- حد.

هناك أيضًا تفسير هندسي لتحديد الحد، لكننا هنا لن نخوض في النظرية، لأننا نهتم بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للمسألة. عندما نقول ذلك X يميل إلى قيمة ما، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم، بل يقترب منه إلى ما لا نهاية.

دعونا نعطي مثالا محددا. المهمة هي العثور على الحد.

لحل هذا المثال، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحن نحصل:

بالمناسبة، إذا كنت مهتما بالعمليات الأساسية على المصفوفات، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.

في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:

بشكل بديهي، كلما زاد الرقم الموجود في المقام، كلما كانت القيمة التي ستأخذها الدالة أصغر. لذلك، مع نمو غير محدود X معنى 1/س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.

كما ترون، لحل النهاية، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى للحصول عليها في الدالة X . ومع ذلك، هذه هي أبسط حالة. في كثير من الأحيان العثور على الحد ليس واضحا جدا. داخل الحدود هناك شكوك من هذا النوع 0/0 أو اللانهاية/اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ اللجوء إلى الحيل!

عدم اليقين في الداخل

عدم اليقين من شكل اللانهاية / اللانهاية

وليكن هناك حد:

إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة، فسنحصل على ما لا نهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام، تجدر الإشارة إلى أن هناك عنصرًا فنيًا معينًا في حل مثل هذه الشكوك: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل الوظيفة بطريقة تختفي حالة عدم اليقين. في حالتنا، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟

من المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل للحد هو:

لحل الشكوك النوعية اللانهاية/اللانهايةقسمة البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

نوع آخر من عدم اليقين: 0/0

كما هو الحال دائمًا، استبدال القيم في الدالة س=-1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر عن كثب وستلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية في البسط. دعونا نجد الجذور ونكتب:

دعونا نقلل ونحصل على:

لذا، إذا كنت تواجه نوعًا من عدم اليقين 0/0 - عامل البسط والمقام.

ولتسهيل عليك حل الأمثلة، نقدم جدولا بحدود بعض الدوال:

حكم L'Hopital في الداخل

طريقة أخرى قوية للقضاء على كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟

إذا كان هناك عدم يقين في النهاية، خذ مشتقة البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.

تبدو قاعدة L'Hopital كما يلي:

نقطة مهمة : النهاية التي يجب أن تكون فيها مشتقات البسط والمقام بدلا من البسط والمقام موجودة.

والآن - مثال حقيقي:

هناك حالة من عدم اليقين النموذجي 0/0 . لنأخذ مشتقات البسط والمقام:

Voila، يتم حل حالة عدم اليقين بسرعة وبشكل أنيق.

نأمل أن تتمكن من تطبيق هذه المعلومات بشكل مفيد في الممارسة العملية والعثور على إجابة السؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الدالة عند نقطة ما، ولا يوجد وقت على الإطلاق لهذا العمل، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.

خذ بعين الاعتبار الدالة %%f(x)%% المعرفة على الأقل في بعض الأحياء المثقوبة %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% من النقطة %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% خط الأعداد الممتد.

مفهوم حد كوشي

يتم استدعاء الرقم %%A \in \mathbb(R)%% حد الوظيفة%%f(x)%% عند النقطة %%a \in \mathbb(R)%% (أو عند %%x%% تميل إلى %%a \in \mathbb(R)%%)، إذا، ماذا مهما كان الرقم الموجب %%\varepsilon%%، هناك رقم موجب %%\delta%% بحيث بالنسبة لجميع النقاط في الحي %%\delta%% المثقوب للنقطة %%a%% تكون قيم الدالة ​​تنتمي إلى %%\varepsilon %%-جوار النقطة %%A%%، أو

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

يُسمى هذا التعريف بتعريف %%\varepsilon%% و%%\delta%%، الذي اقترحه عالم الرياضيات الفرنسي أوغسطين كوشي ويستخدم منذ بداية القرن التاسع عشر حتى يومنا هذا لأنه يتمتع بالدقة والدقة الرياضية اللازمة.

دمج الأحياء المختلفة للنقطة %%a%% من النموذج %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ text(U) _\delta (-\infty)، \text(U)_\delta (+\infty)، \text(U)_\delta^+ (a)، \text(U)_\delta^ - (أ) %% مع المناطق المحيطة %%\text(U)_\varepsilon (A)، \text(U)_\varepsilon (\infty)، \text(U)_\varepsilon (+\infty)، \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%، نحصل على 24 تعريفًا لحد كوشي.

معنى هندسي

المعنى الهندسي لحد الدالة

دعونا نعرف ما هو المعنى الهندسي لنهاية الدالة عند نقطة ما. لنقم بإنشاء رسم بياني للدالة %%y = f(x)%% ونضع علامة على النقطتين %%x = a%% و%%y = A%% عليه.

حد الدالة %%y = f(x)%% عند النقطة %%x \to a%% موجود ويساوي A إذا كان لأي %%\varepsilon%% حي للنقطة %%A%% يمكن للمرء تحديد مثل هذا الحي %%\ delta%% من النقطة %%a%%، بحيث تكون القيمة %%f(x)% لأي %%x%% من هذا الحي %%\delta%%-%%f(x)% % سيكون في %%\varepsilon%%-نقاط الحي %%A%%.

لاحظ أنه من خلال تعريف نهاية الدالة وفقًا لكوشي، لوجود نهاية عند %%x \to a%%، لا يهم القيمة التي تأخذها الدالة عند النقطة %%a%%. يمكن إعطاء أمثلة عندما لا يتم تعريف الدالة عندما يكون %%x = a%% أو يأخذ قيمة أخرى غير %%A%%. ومع ذلك، قد يكون الحد %%A%%.

تحديد حد هاين

يُطلق على العنصر %%A \in \overline(\mathbb(R))%% حد الدالة %%f(x)%% عند %% x \to a، a \in \overline(\mathbb( R))%% ، إذا كان لأي تسلسل %%\(x_n\) \إلى %% من مجال التعريف، فإن تسلسل القيم المقابلة %%\big\(f(x_n)\big\)% % يميل إلى %%A%%.

يعد تعريف النهاية وفقًا لـ Heine مناسبًا للاستخدام عندما تنشأ شكوك حول وجود نهاية للدالة عند نقطة معينة. إذا كان من الممكن إنشاء تسلسل واحد على الأقل %%\(x_n\)%% بحد عند النقطة %%a%% بحيث يكون التسلسل %%\big\(f(x_n)\big\)%% ليس لها حد، فيمكننا أن نستنتج أن الدالة %%f(x)%% ليس لها حد عند هذه النقطة. إذا لاثنين متنوعالتسلسلات %%\(x"_n\)%% و%%\(x""_n\)%% لها نفسالحد %%a%%، والتسلسلات %%\big\(f(x"_n)\big\)%% و%%\big\(f(x""_n)\big\)%% لها متنوعالحدود، ففي هذه الحالة أيضًا لا يوجد حد للدالة %%f(x)%%.

مثال

اجعل %%f(x) = \sin(1/x)%%. دعونا نتحقق مما إذا كانت نهاية هذه الدالة موجودة عند النقطة %%a = 0%%.

دعونا أولاً نختار تسلسلاً $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) متقاربًا إلى هذه النقطة. $$

من الواضح أن %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% و %%\lim (x_n) = 0%%. ثم %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% و %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

ثم خذ تسلسلًا متقاربًا إلى نفس النقطة $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

حيث %%\lim(x"_n) = +0%%، %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% و %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. وبالمثل بالنسبة للتسلسل $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \right\)، $$

تتقارب أيضًا إلى النقطة %%x = 0%%، %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

جميع التسلسلات الثلاثة أعطت نتائج مختلفة، وهو ما يتعارض مع شرط تعريف هاين، أي. هذه الدالة ليس لها حد عند النقطة %%x = 0%%.

نظرية

تعريفات كوشي وهاين للحدود متكافئة.

يتم إعطاء صياغة النظريات الرئيسية وخصائص نهاية الوظيفة. تم تقديم تعريفات النهايات المحدودة واللانهائية عند النقاط المحدودة واللانهاية (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) وفقًا لكوشي وهاين. يتم أخذ الخصائص الحسابية بعين الاعتبار؛ النظريات المتعلقة بعدم المساواة؛ معيار التقارب كوشي. حد وظيفة معقدة. خصائص الدوال المتناهية الصغر والكبيرة بلا حدود والرتيبة. يتم إعطاء تعريف الوظيفة.

محتوى

التعريف الثاني حسب كوشي

نهاية الدالة (حسب كوشي) حيث يميل وسيطها x إلى x 0 هو عدد منتهٍ أو نقطة عند اللانهاية a والتي تتحقق لها الشروط التالية:
1) يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0 ، حيث تكون الدالة f (خ)عازم؛
2) بالنسبة لأي حي من النقطة التي تنتمي إليها، يوجد حي مثقوب للنقطة x 0 ، حيث تنتمي قيم الوظيفة إلى الحي المحدد للنقطة أ:
في .

هنا أ وx 0 يمكن أيضًا أن تكون إما أعدادًا محدودة أو نقاطًا عند اللانهاية. وباستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:
.

إذا أخذنا الحي الأيسر أو الأيمن لنقطة النهاية كمجموعة، فسنحصل على تعريف نهاية كوشي على اليسار أو اليمين.

نظرية
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة متكافئة.
دليل

الأحياء القابلة للتطبيق من النقاط

إذن، في الواقع، تعريف كوشي يعني ما يلي.
بالنسبة لأي أرقام موجبة، هناك أرقام، بحيث لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب للنقطة:، تنتمي قيم الدالة إلى جوار النقطة a:،
أين ، .

هذا التعريف ليس مناسبًا جدًا للعمل به، حيث يتم تعريف الأحياء باستخدام أربعة أرقام. ولكن يمكن تبسيطها من خلال إدخال أحياء ذات نهايات متساوية البعد. أي أنه يمكنك وضع . ثم سنحصل على تعريف أسهل في الاستخدام عند إثبات النظريات. علاوة على ذلك، فهو يعادل التعريف الذي تستخدم فيه الأحياء العشوائية. ويرد الدليل على هذه الحقيقة في قسم "تكافؤ تعريفات كوشي لحد الدالة".

ومن ثم يمكننا إعطاء تعريف موحد لنهاية الدالة عند نقاط محدودة وبعيدة بشكل لا نهائي:
.
هنا لنقاط النهاية
; ;
.
يتم ثقب أي حي من النقاط عند اللانهاية:
; ; .

الحدود المحدودة للوظيفة عند نقاط النهاية

الرقم a يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة x 0 ، لو
1) يتم تعريف الوظيفة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة النهاية؛
2) لأي شيء يوجد يعتمد على ، بحيث يكون عدم المساواة ثابتًا بالنسبة لجميع x
.

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف نهاية الدالة على النحو التالي:
.

حدود من جانب واحد.
الحد الأيسر عند نقطة ما (الحد الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة ما (الحد الأيمن):
.
غالبًا ما يُشار إلى الحدود اليسرى واليمنى على النحو التالي:
; .

الحدود المحدودة للدالة عند نقاط اللانهاية

يتم تحديد الحدود عند نقاط اللانهاية بطريقة مماثلة.
.
.
.

حدود الوظيفة اللانهائية

يمكنك أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و :
.
.

خصائص ونظريات نهاية الوظيفة

ونفترض أيضًا أن الوظائف قيد النظر محددة في الحي المثقوب المقابل للنقطة، وهو عدد محدود أو أحد الرموز: . ويمكن أيضًا أن تكون نقطة حد أحادية الجانب، أي أن يكون لها النموذج أو . والمجاورة ذات طرفين لحد من جانبين، وجانب واحد لحد من جانب واحد.

الخصائص الأساسية

إذا كانت قيم الدالة f (خ)تغيير (أو جعل غير محدد) عدد محدود من النقاط x 1، × 2، × 3، ... × نفإن هذا التغيير لن يؤثر على وجود وقيمة نهاية الدالة عند نقطة عشوائية x 0 .

إذا كان هناك نهاية منتهية، فهناك حي مثقوب للنقطة x 0 ، حيث تكون الدالة f (خ)محدود:
.

دع الدالة تكون عند النقطة x 0 الحد المحدود غير الصفري:
.
ثم، بالنسبة لأي رقم c من الفاصل الزمني، يوجد حي مثقوب للنقطة x 0 ، لأي غرض ،
، لو ؛
، لو .

إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.

إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x 0
,
الذي - التي .

إذا , وعلى بعض أحياء هذه النقطة
,
الذي - التي .
على وجه الخصوص، إذا كان في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما
,
ثم إذا، ثم و؛
إذا ، ثم و .

إذا كان على بعض الحي المثقوب للنقطة x 0 :
,
وهناك حدود متساوية محدودة (أو لا نهائية لعلامة معينة):
، الذي - التي
.

يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية على الصفحة
"الخصائص الأساسية لحد الدالة."

دع الوظائف يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة من النقطة. وليكن هناك حدود محدودة:
و .
وليكن C ثابتًا، أي رقمًا محددًا. ثم
;
;
;
، لو .

اذا ثم.

يتم تقديم البراهين على الخصائص الحسابية على الصفحة
“الخصائص الحسابية لنهاية الدالة”.

معيار كوشي لوجود نهاية الدالة

نظرية
من أجل تحديد دالة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة محدودة أو عند نقطة اللانهاية x 0 ، كان لها حد محدود في هذه المرحلة، فمن الضروري والكافي لأي ε > 0 كان هناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0 ، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي، فإن التباين التالي يحمل:
.

حدود وظيفة معقدة

نظرية نهاية دالة معقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين حي مثقوب لنقطة ما على حي مثقوب لنقطة ما. ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
وهنا النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: . يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
.

يتم تطبيق نظرية النهاية لدالة معقدة عندما لا تكون الدالة معرفة عند نقطة ما أو تكون لها قيمة مختلفة عن النهاية. لتطبيق هذه النظرية يجب أن يكون هناك حي مثقوب للنقطة التي لا تحتوي فيها مجموعة قيم الدالة على النقطة:
.

إذا كانت الدالة متصلة عند النقطة، فيمكن تطبيق علامة النهاية على وسيطة الدالة المستمرة:
.
وفيما يلي نظرية المقابلة لهذه الحالة.

نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة
يجب أن يكون هناك حد للدالة g (خ)مثل س → س 0 ، وهو يساوي t 0 :
.
هنا النقطة x 0 يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: .
ودع الدالة f (ر)مستمر عند النقطة t 0 .
ثم هناك حد للوظيفة المعقدة f (ز (خ))، وهو يساوي f (ر 0):
.

يتم تقديم البراهين على النظريات على الصفحة
“الحد واستمرارية وظيفة معقدة”.

وظائف متناهية الصغر وكبيرة بلا حدود

وظائف متناهية الصغر

تعريف
يقال أن الدالة متناهية الصغر إذا
.

المجموع والفرق والمنتجمن عدد محدود من الوظائف متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في .

منتج دالة محدودةعلى بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في.

لكي يكون للدالة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن يكون ذلك
,
أين هي وظيفة متناهية الصغر في .

“خصائص الوظائف متناهية الصغر”.

وظائف كبيرة بلا حدود

تعريف
يقال أن الدالة كبيرة بلا حدود إذا
.

مجموع أو اختلاف دالة محدودة، في بعض الأحياء المثقوبة للنقطة، ووظيفة كبيرة بلا حدود عند هي دالة كبيرة بلا حدود عند .

إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي وكانت الدالة محصورة في منطقة مثقوبة من النقطة، إذن
.

إذا كانت الدالة، في بعض المناطق المثقوبة من النقطة، ترضي عدم المساواة:
,
والدالة متناهية الصغر في:
، و (على بعض الحي المثقوب من النقطة)، إذن
.

يتم عرض الأدلة على الخصائص في القسم
“خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود”.

العلاقة بين الوظائف الكبيرة والمتناهية الصغر

من الخاصيتين السابقتين يتبع العلاقة بين الدوال الكبيرة والمتناهية الصغر.

إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند , فإن الدالة تكون متناهية الصغر عند .

إذا كانت الدالة متناهية الصغر بالنسبة لـ و، فإن الدالة تكون كبيرة بلا حدود بالنسبة لـ .

يمكن التعبير عن العلاقة بين الدالة المتناهية الصغر والدالة الكبيرة بشكل رمزي:
, .

إذا كانت دالة متناهية الصغر لها إشارة معينة عند، أي أنها موجبة (أو سالبة) على بعض المناطق المثقوبة للنقطة، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبنفس الطريقة، إذا كانت دالة كبيرة بشكل لا نهائي لها إشارة معينة عند، فإنهم يكتبون:
.

ومن ثم يمكن استكمال العلاقة الرمزية بين الوظائف الصغيرة والكبيرة بشكل لا نهائي بالعلاقات التالية:
, ,
, .

يمكن العثور على صيغ إضافية تتعلق برموز اللانهاية على الصفحة
"النقاط إلى اللانهاية وخصائصها."

حدود الوظائف الرتيبة

تعريف
يتم استدعاء دالة محددة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X زيادة صارمة، إذا كان للجميع أن عدم المساواة التالية تحمل:
.
وفقا لذلك، ل يتناقص بشدةوظيفة تحمل عدم المساواة التالية:
.
ل غير متناقصة:
.
ل غير متزايدة:
.

ويترتب على ذلك أن الدالة المتزايدة بشكل صارم هي أيضًا غير متناقصة. الدالة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير متزايدة.

يتم استدعاء الدالة رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.

نظرية
دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث .
وإذا كان محدداً من الأعلى بالرقم M: فإن هناك حداً منتهياً. إذا لم يقتصر على ما سبق، ثم.
وإذا كان محدوداً من الأسفل بالرقم م: فهناك حد منتهٍ. إذا لم يقتصر من الأسفل، ثم .

إذا كانت النقطتان a وb عند اللانهاية، فإن علامات النهاية في التعبيرات تعني ذلك.
يمكن صياغة هذه النظرية بشكل أكثر إحكاما.

دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث . ثم هناك حدود أحادية الجانب عند النقطتين أ و ب:
;
.

نظرية مماثلة لوظيفة غير متزايدة.

دع الدالة لا تزيد على الفاصل الزمني حيث . ثم هناك حدود من جانب واحد:
;
.

يتم تقديم إثبات النظرية على الصفحة
“حدود الوظائف الرتيبة”.

تعريف الوظيفة

وظيفةص = و (خ)هو قانون (قاعدة) بموجبه يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y.

العنصر س ∈ سمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
العنصر ذ ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.

تسمى المجموعة X مجال الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، التي تحتوي على صور أولية في المجموعة X، تسمى منطقة أو مجموعة من قيم الوظيفة.

يتم استدعاء الوظيفة الفعلية محدود من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M بحيث ينطبق عدم المساواة على الجميع:
.
يتم استدعاء وظيفة الرقم محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.

الحافة العلويةأو الحد الأعلى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية أصغر رقم يحد نطاق قيمه من الأعلى. وهذا يعني أن هذا رقم s، بالنسبة للجميع ولأي شخص، هناك وسيطة تتجاوز قيمة دالتها s′: .
يمكن الإشارة إلى الحد الأعلى للدالة على النحو التالي:
.

على التوالى الحافة السفليةأو الحد الأدنى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية بالرقم الأكبر الذي يحد نطاق قيمه من الأسفل. وهذا يعني أن هذا هو الرقم i الذي يوجد له وسيطة لكل شخص ولأي شخص تكون قيمة دالته أقل من i': .
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.

مراجع:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.

أنظر أيضا:

في هذه المقالة سوف نخبرك ما هو الحد الأقصى للدالة. أولا، دعونا نوضح النقاط العامة التي تعتبر في غاية الأهمية لفهم جوهر هذه الظاهرة.

مفهوم الحد

في الرياضيات، يعد مفهوم اللانهاية، الذي يُشار إليه بالرمز ∞، مهمًا بشكل أساسي. يجب أن يُفهم على أنه رقم كبير لا نهائي + ∞ أو رقم متناهي الصغر - ∞. عندما نتحدث عن اللانهاية، فإننا غالبًا ما نعني هذين المعنىين في وقت واحد، لكن تدوين الصيغة + ∞ أو - ∞ لا ينبغي استبداله ببساطة بـ ∞.

نهاية الدالة مكتوبة بالشكل lim x → x 0 f (x) . في الأسفل نكتب الوسيطة الرئيسية x، وبمساعدة السهم نشير إلى القيمة x0 التي ستتجه إليها. إذا كانت القيمة x 0 عبارة عن رقم حقيقي ملموس، فإننا نتعامل مع نهاية الدالة عند نقطة ما. إذا كانت القيمة x 0 تتجه إلى ما لا نهاية (لا يهم ما إذا كانت ∞ أو + ∞ أو - ∞)، فيجب أن نتحدث عن نهاية الدالة عند ما لا نهاية.

يمكن أن يكون الحد محدودًا أو لا نهائيًا. إذا كان يساوي عددا حقيقيا محددا، أي. lim x → x 0 f (x) = A، يطلق عليه حد منتهٍ، ولكن إذا lim x → x 0 f (x) = ∞، lim x → x 0 f (x) = + ∞ أو lim x → x 0 f (x) = - ∞ , ثم لانهائي.

إذا لم نتمكن من تحديد قيمة محدودة أو لا نهاية لها، فهذا يعني أن مثل هذا الحد غير موجود. مثال على هذه الحالة هو حد الجيب عند اللانهاية.

سنشرح في هذه الفقرة كيفية إيجاد قيمة نهاية الدالة عند نقطة وعند ما لا نهاية. للقيام بذلك، نحتاج إلى إدخال تعريفات أساسية وتذكر ماهية التسلسلات الرقمية، بالإضافة إلى تقاربها وتباعدها.

التعريف 1

الرقم A هو نهاية الدالة f (x) كـ x → ∞ إذا تقارب تسلسل قيمها مع A لأي تسلسل كبير بلا حدود من الوسائط (سلبية أو موجبة).

تبدو كتابة نهاية الدالة كما يلي: lim x → ∞ f (x) = A.

التعريف 2

مثل x → ∞، يكون حد الدالة f(x) لا نهائيًا إذا كان تسلسل القيم لأي تسلسل كبير بلا حدود من الوسائط كبيرًا بلا حدود أيضًا (إيجابيًا أو سالبًا).

يبدو الإدخال مثل lim x → ∞ f (x) = ∞ .

مثال 1

أثبت حد المساواة x → ∞ 1 x 2 = 0 باستخدام التعريف الأساسي للحد x → ∞.

حل

لنبدأ بكتابة تسلسل قيم الدالة 1 × 2 لتسلسل إيجابي كبير بلا حدود لقيم الوسيطة x = 1, 2, 3, . . . ، ن ، . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 ن 2 > . . .

ونرى أن القيم ستنخفض تدريجيا، وتميل إلى 0. انظر في الصورة:

س = - 1 , - 2 , - 3 , . . . ، - ن ، . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - ن 2 > . . .

وهنا أيضاً يمكننا أن نرى انخفاضاً رتيباً نحو الصفر، مما يؤكد صحة ذلك في شرط المساواة:

إجابة:وتأكد صحة ذلك في شرط المساواة.

مثال 2

احسب الحد الأقصى x → ∞ e 1 10 x .

حل

لنبدأ، كما في السابق، بكتابة تسلسلات من القيم f (x) = e 1 10 x لتسلسل إيجابي كبير بلا حدود من الوسائط. على سبيل المثال، س = 1، 4، 9، 16، 25، . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

ه 1 10 ؛ ه 4 10 ؛ ه 9 10 ؛ ه 16 10 ؛ ه 25 10 ؛ . . . ; ه 100 10 ؛ . . . = = 1، 10؛ 1، 49؛ 2، 45؛ 4، 95؛ 12، 18؛ . . . ; 22026، 46؛ . . .

نرى أن هذا التسلسل موجب لا نهائي، مما يعني f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

لننتقل إلى كتابة قيم تسلسل سلبي كبير بلا حدود، على سبيل المثال، x = - 1، - 4، - 9، - 16، - 25، . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

ه - 1 10 ; ه - 4 10 ; ه - 9 10 ; ه - 16 10 ; ه - 25 10 ; . . . ; ه - 100 10 ; . . . = = 0، 90؛ 0، 67؛ 0، 40؛ 0، 20؛ 0، 08؛ . . . ; 0.000045; . . . س = 1، 4، 9، 16، 25، . . . , 10 2 , . . . → ∞

نظرًا لأنه يميل أيضًا إلى الصفر، إذن f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

يظهر حل المشكلة بوضوح في الرسم التوضيحي. تشير النقاط الزرقاء إلى سلسلة من القيم الإيجابية، وتشير النقاط الخضراء إلى سلسلة من القيم السالبة.

إجابة: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr و x → + ∞ 0 , pr و x → - ∞ .

دعنا ننتقل إلى طريقة حساب نهاية الدالة عند نقطة ما. للقيام بذلك، علينا أن نعرف كيفية تعريف النهاية من جانب واحد بشكل صحيح. سيكون هذا مفيدًا أيضًا للعثور على الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني للدالة.

التعريف 3

الرقم B هو حد الدالة f (x) على اليسار كـ x → a في الحالة التي يتقارب فيها تسلسل قيمها مع رقم معين لأي تسلسل من وسائط الدالة x n تتقارب مع a، إذا وتبقى قيمها أقل من (x n< a).

يُشار إلى هذا الحد كتابيًا بالرمز lim x → a - 0 f (x) = B.

والآن دعونا نحدد قيمة نهاية الدالة الموجودة على اليمين.

التعريف 4

الرقم B هو حد الدالة f (x) على اليمين مثل x → a في الحالة التي يتقارب فيها تسلسل قيمها مع رقم معين لأي تسلسل من وسائط الدالة x n تتقارب مع a، إذا وتبقى قيمها أكبر من a (x n > a) .

نكتب هذه النهاية بالشكل lim x → a + 0 f (x) = B .

يمكننا إيجاد نهاية الدالة f (x) عند نقطة معينة عندما تكون لها حدود متساوية على الجانبين الأيسر والأيمن، أي. ليم x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . إذا كانت كلا النهايتين لا نهائيتين، فإن نهاية الدالة عند نقطة البداية ستكون أيضًا لا نهائية.

والآن سنقوم بتوضيح هذه التعريفات من خلال كتابة الحل لمشكلة معينة.

مثال 3

أثبت أن هناك نهاية منتهية للدالة f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 عند النقطة x 0 = 2 واحسب قيمتها.

حل

لحل هذه المسألة، علينا أن نتذكر تعريف نهاية الدالة عند نقطة ما. أولاً، دعونا نثبت أن الدالة الأصلية لها نهاية على اليسار. لنكتب سلسلة من قيم الدالة التي ستتقارب إلى x 0 = 2 إذا كانت x n< 2:

و(-2); و (0) ؛ و (1) ؛ و 1 1 2 ؛ و 1 3 4 ؛ و 1 7 8 ؛ و 1 15 16 ؛ . . . ; ص 1 1023 1024 ؛ . . . = = 8,667؛ 2، 667؛ 0، 167؛ - 0,958; - 1489؛ - 1747؛ - 1874؛ . . . ; - 1998؛ . . . → - 2

بما أن التسلسل أعلاه يقلل إلى -2، فيمكننا كتابة lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

ستبدو قيم الدالة في هذا التسلسل كما يلي:

و (6) ؛ و (4) ؛ و (3)؛ و 2 1 2 ; و 2 3 4 ؛ و 2 7 8 ؛ و 2 15 16 ؛ . . . ; ص 2 1023 1024 ؛ . . . = = - 7,333؛ - 5333؛ - 3833؛ - 2958؛ - 2489؛ - 2247؛ - 2، 124؛ . . . , - 2,001 , . . . → - 2

يتقارب هذا التسلسل أيضًا إلى - 2، وهو ما يعني lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

وجدنا أن النهايات على الجانبين الأيمن والأيسر لهذه الدالة ستكون متساوية، مما يعني أن نهاية الدالة f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 عند النقطة x 0 = 2 موجودة، و ليم x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

يمكنك رؤية تقدم الحل في الرسم التوضيحي (النقاط الخضراء هي سلسلة من القيم المتقاربة إلى x n< 2 , синие – к x n > 2).

إجابة:الحدود على الجانبين الأيمن والأيسر لهذه الدالة ستكون متساوية، مما يعني أن نهاية الدالة موجودة، و lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

ولدراسة نظرية النهايات بشكل أعمق، ننصحك بقراءة المقال الخاص باستمرارية دالة عند نقطة ما والأنواع الرئيسية لنقاط الانقطاع.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يتم إعطاء تعريف الحد المحدود للتسلسل. وتناقش الخصائص ذات الصلة والتعريف المعادل. يتم إعطاء تعريف أن النقطة a ليست نهاية التسلسل. يتم أخذ الأمثلة التي يثبت فيها وجود النهاية باستخدام التعريف.

محتوى

أنظر أيضا: حد التسلسل – النظريات والخصائص الأساسية
الأنواع الرئيسية من عدم المساواة وخصائصها

هنا سوف ننظر في تعريف الحد المحدود للتسلسل. تمت مناقشة حالة المتوالية المتقاربة إلى اللانهاية في صفحة "تعريف المتوالية الكبيرة اللانهائية".

نهاية التسلسل هي الرقم a if لأي رقم موجب ε > 0 هناك عدد طبيعي N ε اعتمادًا على ε بحيث يكون لجميع الأعداد الطبيعية n > N ε عدم المساواة
| س ن - أ|< ε .
هنا x n هو عنصر التسلسل بالرقم n. حد التسلسليشار إليها على النحو التالي:
.
او عند .

دعونا نحول عدم المساواة:
;
;
.

ε - جوار النقطة a - عبارة عن فترة مفتوحة (a - ε، a + ε). المتتابعة المتقاربة هي متتابعة لها نهاية. ويقال أيضا أن التسلسل يتقاربإلى أ. المتتابعة المتباعدة هي متوالية ليس لها نهاية.

يترتب على التعريف أنه إذا كان للتسلسل حد a، فبغض النظر عن محيط النقطة a الذي نختاره، خارج حدوده يمكن أن يكون هناك عدد محدود فقط من عناصر التسلسل، أو لا شيء على الإطلاق (عدد فارغ تعيين). وأي حي ε يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. في الواقع، بعد أن أعطينا عددًا معينًا ε، أصبح لدينا الرقم . لذا فإن جميع عناصر التسلسل مع الأرقام، حسب التعريف، تقع في الحي ε للنقطة a. يمكن تحديد موقع العناصر الأولى في أي مكان. أي أنه خارج الحي ε لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عناصر، أي عدد منتهٍ.

ونلاحظ أيضًا أن الفرق ليس من الضروري أن يميل بشكل رتيب إلى الصفر، أي أن يتناقص طوال الوقت. يمكن أن يميل إلى الصفر بشكل غير رتيب: يمكن أن يزيد أو ينقص، مع وجود حد أقصى محلي. ومع ذلك، فإن هذه الحدود القصوى، مع زيادة n، يجب أن تميل إلى الصفر (ربما ليس بشكل رتيب أيضًا).

وباستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية يمكن كتابة تعريف النهاية على النحو التالي:
(1) .

تحديد أن a ليس حدًا

الآن فكر في العبارة العكسية بأن الرقم a ليس نهاية التسلسل.

رقم أ ليس الحد من التسلسل، إذا كان هناك مثل هذا العدد الطبيعي n يوجد مثل هذا الطبيعي m > ن، ماذا
.

لنكتب هذه العبارة باستخدام الرموز المنطقية.
(2) .

بيان ذلك الرقم أ ليس نهاية التسلسل، يعني أن
يمكنك اختيار منطقة ε - بجوار النقطة a، والتي سيكون خارجها عدد لا حصر له من عناصر التسلسل.

لنلقي نظرة على مثال. دع يتم إعطاء تسلسل مع عنصر مشترك
(3)
أي جوار لنقطة ما يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. ومع ذلك، فإن هذه النقطة ليست نهاية التسلسل، حيث أن أي جوار للنقطة يحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من العناصر. لنأخذ ε - جوار نقطة مع ε = 1 . سيكون هذا هو الفاصل الزمني (-1, +1) . جميع العناصر، باستثناء العنصر الأول الذي يحتوي على n، تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني. لكن جميع العناصر ذات n الفردية تقع خارج هذه الفترة، لأنها تحقق المتراجحة x n > 2 . وبما أن عدد العناصر الفردية لا نهائي، فسيكون هناك عدد لا نهائي من العناصر خارج الحي المختار. ولذلك، فإن النقطة ليست نهاية التسلسل.

والآن سنبين ذلك مع الالتزام بالبيان (٢). النقطة ليست نهاية للمتتابعة (3)، نظرًا لوجود بحيث أنه بالنسبة لأي n طبيعي، هناك حد فردي تنطبق عليه المتباينة
.

ويمكن أيضًا إثبات أن أي نقطة a لا يمكن أن تكون نهاية لهذا التسلسل. يمكننا دائمًا اختيار حي ε للنقطة a التي لا تحتوي على النقطة 0 أو النقطة 2. وبعد ذلك سيكون هناك عدد لا حصر له من عناصر التسلسل خارج الحي المختار.

تعريف مكافئ لحد التسلسل

يمكننا إعطاء تعريف مكافئ لحد التسلسل إذا قمنا بتوسيع مفهوم الحي ε. سوف نحصل على تعريف مكافئ إذا كان، بدلاً من حي ε، يحتوي على أي حي للنقطة أ. جوار نقطة ما هو أي فترة مفتوحة تحتوي على تلك النقطة. رياضيا جوار نقطةيتم تعريفه على النحو التالي: ، حيث ε 1 و ε 2 - أرقام إيجابية تعسفية.

ثم التعريف المكافئ للحد هو كما يلي.

حد التسلسل هو الرقم a إذا كان لأي حي منه رقم طبيعي N بحيث تنتمي جميع عناصر التسلسل ذات الأرقام إلى هذا الحي.

ويمكن أيضًا تقديم هذا التعريف بشكل موسع.

نهاية التسلسل هي الرقم a if لأي أرقام موجبة ويوجد عدد طبيعي N اعتمادًا على ذلك بحيث تنطبق المتباينات على جميع الأعداد الطبيعية
.

إثبات تكافؤ التعريفات

دعونا نثبت أن التعريفين لحدود التسلسل الموضح أعلاه متساويان.

وليكن الرقم a هو حد المتتابعة حسب التعريف الأول. هذا يعني أن هناك دالة، بحيث يتم استيفاء المتباينات التالية لأي رقم موجب ε:
(4) في .

دعونا نبين أن الرقم a هو نهاية التسلسل بالتعريف الثاني. وهذا يعني أننا بحاجة إلى إظهار أن هناك مثل هذه الوظيفة بحيث تكون لأي أرقام موجبة ε 1 و ε 2 يتم استيفاء عدم المساواة التالية:
(5) في .

دعونا نحصل على رقمين موجبين: ε 1 و ε 2 . وليكن ε أصغرهم : . ثم ؛ ; . لنستخدم هذا في (5):
.
ولكن عدم المساواة راضية عن . ثم يتم أيضًا استيفاء المتباينات (5) لـ .

أي أننا وجدنا دالة تكون فيها المتباينات (5) محققة لأي أرقام موجبة ε 1 و ε 2 .
وقد ثبت الجزء الأول.

والآن ليكن الرقم a هو نهاية المتتابعة حسب التعريف الثاني. هذا يعني أن هناك دالة لأي أرقام موجبة ε 1 و ε 2 يتم استيفاء عدم المساواة التالية:
(5) في .

دعونا نبين أن الرقم a هو نهاية التسلسل بالتعريف الأول. للقيام بذلك تحتاج إلى وضع . ثم عندما تعقد عدم المساواة التالية:
.
وهذا يتوافق مع التعريف الأول مع .
وقد ثبت تكافؤ التعريفين.

أمثلة

مثال 1

اثبت ذلك .

(1) .
في حالتنا هذه ؛
.

.
دعونا نستخدم خصائص عدم المساواة. ثم إذا و، ثم
.

.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل المعطى:
.

مثال 2

باستخدام تعريف نهاية المتتابعة، أثبت ذلك
.

دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1) .
في حالتنا هذه ، ؛
.

أدخل أرقامًا موجبة و:
.
دعونا نستخدم خصائص عدم المساواة. ثم إذا و، ثم
.

أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
.

مثال 3

.

نقدم التدوين ، .
دعونا نحول الفرق:
.
للطبيعي ن = 1, 2, 3, ... لدينا:
.

دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1) .
أدخل أرقامًا موجبة و:
.
ثم إذا و، ثم
.

أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
حيث
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل:
.

مثال 4

باستخدام تعريف نهاية المتتابعة، أثبت ذلك
.

دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1) .
في حالتنا هذه ، ؛
.

أدخل أرقامًا موجبة و:
.
ثم إذا و، ثم
.

أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل:
.

مراجع:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.

أنظر أيضا: