Apsolutna i relativna greška. Apsolutne i relativne greške
Apsolutna greška proračuna nalazi se po formuli:
Znak modula pokazuje da nas nije briga koja je vrijednost veća, a koja manja. Bitan, koliko daleko približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti u jednom ili drugom smjeru.
Relativna greška proračuna nalazi se po formuli:
, ili ista stvar: 
Relativna greška se pokazuje u kom procentu približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti. Postoji verzija formule bez množenja sa 100%, ali u praksi skoro uvijek vidim gornju verziju sa procentima.
Nakon kratke reference, vratimo se na naš problem u kojem smo izračunali približnu vrijednost funkcije 
korišćenjem diferencijala.
Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
, striktno govoreći, vrijednost je još uvijek približna, ali ćemo je smatrati tačnom. Takvi problemi se dešavaju.
Izračunajmo apsolutnu grešku:
Izračunajmo relativnu grešku:
, dobijene su hiljaditi dio procenta, pa je diferencijal dao samo odličnu aproksimaciju.
Odgovori: , apsolutna greška proračuna, relativna greška proračuna
Sljedeći primjer za nezavisno rješenje:
Primjer 4
u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u datoj tački, procijenite apsolutnu i relativnu grešku proračuna.
Približan uzorak završiti i odgovoriti na kraju lekcije.
Mnogi ljudi su primijetili da se korijeni pojavljuju u svim razmatranim primjerima. To nije slučajno u većini slučajeva, problem koji se razmatra zapravo nudi funkcije s korijenima.
Ali za napaćene čitatelje, iskopao sam mali primjer s arcsin:
Primjer 5
Izračunajte približno vrijednost funkcije koristeći diferencijal 
u tački
Ovaj kratak, ali informativan primjer je također za vas da sami riješite. I malo sam se odmorio kako bih s obnovljenom snagom mogao razmisliti o specijalnom zadatku:
Primjer 6
Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružujući rezultat na dvije decimale.
Rješenje:Šta je novo u zadatku? Uslov zahtijeva zaokruživanje rezultata na dvije decimale. Ali to nije poenta, mislim da vam problem zaokruživanja škole nije težak. Činjenica je da nam je data tangenta sa argumentom, koji se izražava u stepenima. Šta trebate učiniti kada se od vas traži da riješite trigonometrijsku funkciju sa stepenima? Na primjer , itd.
Algoritam rješenja je u osnovi isti, odnosno potrebno je, kao iu prethodnim primjerima, primijeniti formulu
Napišimo očiglednu funkciju
Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pružiće ozbiljnu pomoć tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija . Inače, za one koji to nisu odštampali, preporučujem da to urade, jer ćete tamo morati da gledaju tokom čitavog studija više matematike.
Analizirajući tabelu, primjećujemo "dobru" vrijednost tangente, koja je blizu 47 stepeni:
Dakle: 
Nakon preliminarne analize stepeni se moraju pretvoriti u radijane. Da, i samo ovako!
U ovom primjeru možete saznati direktno iz trigonometrijske tablice da je . Koristeći formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane: 
(formule se mogu naći u istoj tabeli).
Ono što slijedi je formulativno:
Dakle: 
(koristimo vrijednost za proračune). Rezultat, kako to zahtijeva uvjet, zaokružuje se na dvije decimale.
odgovor:
Primjer 7
Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na tri decimale.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Kao što vidite, nema ništa komplicirano, pretvaramo stupnjeve u radijane i pridržavamo se uobičajenog algoritma rješenja.
Približna izračunavanja koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable
Sve će biti vrlo, vrlo slično, pa ako ste došli na ovu stranicu posebno zbog ovog zadatka, onda prvo preporučujem da pogledate barem nekoliko primjera iz prethodnog paragrafa.
Da biste proučili pasus morate biti u stanju pronaći parcijalni derivati drugog reda , gdje bismo bili bez njih? U gornjoj lekciji označio sam funkciju dvije varijable pomoću slova . U odnosu na zadatak koji se razmatra, pogodnije je koristiti ekvivalentnu notaciju.
Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, uvjet problema se može formulirati na različite načine, a ja ću pokušati razmotriti sve formulacije na koje se susrećemo.
Primjer 8
Rješenje: Bez obzira kako je uslov napisan, u samom rješenju za označavanje funkcije, ponavljam, bolje je koristiti ne slovo "zet", već .
A evo radne formule:
Ono što imamo pred sobom je zapravo starija sestra formule iz prethodnog paragrafa. Varijabla se samo povećala. Šta da kažem, sebe algoritam rješenja bit će u osnovi isti!
Prema uslovu, potrebno je pronaći približnu vrijednost funkcije u tački.
Predstavimo broj 3.04 u obliku . Sama lepinja traži da se pojede:
,
Predstavimo broj 3,95 kao . Došao je red na drugu polovinu Koloboka:
,
I ne gledajte sve lisičje trikove, postoji Kolobok - morate ga pojesti.
Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:
Pronalazimo diferencijal funkcije u točki koristeći formulu:
Iz formule slijedi da moramo pronaći parcijalni derivati prvog reda i izračunajte njihove vrijednosti u tački .
Izračunajmo parcijalne izvode prvog reda u tački:
Ukupni diferencijal u tački:
Dakle, prema formuli, približna vrijednost funkcije u tački:
Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije u tački:
Ova vrijednost je apsolutno tačna.
Greške se izračunavaju pomoću standardnih formula, o kojima je već bilo riječi u ovom članku.
Apsolutna greška:
Relativna greška:
Odgovor: , apsolutna greška: , relativna greška:
Primjer 9
Izračunajte približnu vrijednost funkcije 
u tački koristeći ukupni diferencijal, procijenite apsolutnu i relativnu grešku.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ko se detaljnije zadrži na ovom primjeru primijetit će da su se računske greške pokazale vrlo, vrlo uočljive. To se dogodilo iz sljedećeg razloga: u predloženom problemu priraštaji argumenata su prilično veliki: .
Opšti obrazac je ovakav a - što su veća apsolutna vrijednost ovih priraštaja, to je niža tačnost proračuna. Tako, na primjer, za sličnu tačku prirast će biti mali: , a tačnost približnih proračuna bit će vrlo visoka.
Ova karakteristika vrijedi i za slučaj funkcije jedne varijable (prvi dio lekcije).
Primjer 10
Rješenje: Izračunajmo ovaj izraz približno koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:
Razlika od primjera 8-9 je u tome što prvo trebamo konstruirati funkciju dvije varijable: 
. Mislim da svi intuitivno razumiju kako je funkcija sastavljena.
Vrijednost 4,9973 je blizu "pet", dakle: , .
Vrijednost 0,9919 je blizu “jedan”, stoga pretpostavljamo: , .
Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:
Pronalazimo diferencijal u tački koristeći formulu:
Da bismo to učinili, izračunavamo parcijalne izvode prvog reda u tački.
Izvodi ovdje nisu najjednostavniji i treba biti oprezan: 
;
.
Ukupni diferencijal u tački:
Dakle, približna vrijednost ovog izraza je:
Izračunajmo precizniju vrijednost pomoću mikrokalkulatora: 2,998899527
Nađimo relativnu grešku u proračunu:
Odgovor: , 
Samo ilustracija gore navedenog, u razmatranom problemu, inkrementi argumenata su vrlo mali, a greška se pokazala fantastično sićušnom.
Primjer 11
Koristeći potpuni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost ovog izraza. Izračunajte isti izraz pomoću mikrokalkulatora. Procijenite relativnu grešku proračuna kao postotak. 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.
Kao što je već napomenuto, najčešći gost u ovoj vrsti zadatka je neka vrsta korijena. Ali s vremena na vrijeme postoje i druge funkcije. I posljednji jednostavan primjer za opuštanje:
Primjer 12
Koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost funkcije if 
Rješenje je bliže dnu stranice. Još jednom, obratite pažnju na formulacije zadataka lekcije u različitim primjerima u praksi, formulacije mogu biti različite, ali to suštinski ne mijenja suštinu i algoritam rješenja.
Da budem iskren, bio sam malo umoran jer je materijal bio pomalo dosadan. Nije bilo pedagoški reći ovo na početku članka, ali sada je već moguće =) Zaista, problemi u računskoj matematici obično nisu baš složeni, nisu baš zanimljivi, najvažnije je, možda, ne pogriješiti u običnim proračunima.
Neka se ključevi vašeg kalkulatora ne izbrišu!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2:
Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,
ovako: 
odgovor:
Primjer 4:
Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: 
, ,
ovako:
Izračunajmo precizniju vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
Apsolutna greška:
Relativna greška:
odgovor: 
, apsolutna greška proračuna, relativna greška proračuna
Primjer 5:
Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,
Dakle:
odgovor: 
Primjer 7:
Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , , 
Razlika između točne i približne vrijednosti veličine naziva se greška aproksimacije ( označeno sa x),
one. x=x- A- greška aproksimacije
gdje je x= A+ x,
one. prava vrijednost je jednaka zbroju približne vrijednosti i greške aproksimacije.
Modul razlike između točne i približne vrijednosti veličine naziva se apsolutna greška približnu vrijednost broja X.
one. - apsolutna greška aproksimacije.
Napiši x= a h znači da prava vrijednost x leži između granica, tj. a - h X a + h
Primjer 1. Preduzeće ima 1284 radnika i zaposlenih. Kada se ovaj broj zaokruži na 1300, apsolutna greška je 1300 -1284 = 16. Kada se zaokruži na 1280, apsolutna greška je 1284 - 1280 = 4.
Primjer 2. Približne vrijednosti broja x = ; Koja je od ove tri aproksimacije najbolja?
Rješenje:
Mi nalazimo 
; 
Najbolja aproksimacija broja X je
Primjer 3. Dužina dijela x (cm) zatvoren unutar granica od 33 x 34. Naći granicu apsolutne greške mjerenja dijela.
Rješenje: Uzmimo aritmetičku sredinu granica kao približnu vrijednost dužine dijela: a = (33 + 34)/2 = 33,5 (cm).
Tada granica apsolutne greške za približnu vrijednost dužine dijela neće prelaziti 0,5 (cm). Vrijednost se može naći i kao polu-razlika između gornje i donje granice, tj. = (34-33)/2 = 0,5 (cm). Dužina dijela X, pronađen s tačnošću od =0,5 (cm), nalazi se između približnih vrijednosti broja X:
33,5-0,5 x 33,5+0,5;
x=33,5 0,5 (cm).
Omjer apsolutne greške aproksimacije i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti veličine naziva se relativna greška pristup i označava se sa .
Je relativna greška aproksimacije
Primjer 1. Prilikom mjerenja dužine L i dobijeni su prečnik provodnika L=(10,0 0,1) m ,d= (2,5 0,1) mm. Koje od ovih mjerenja je preciznije?
Rješenje: Dužina provodnika je izmerena sa tačnošću od 0,1m=100mm, a prečnik provodnika je meren sa tačnošću od 0,1mm.
Prilikom mjerenja dužine provodnika dozvoljena je apsolutna greška od 100 mm na 10000 mm, pa je stoga dozvoljena apsolutna greška
izmjerena količina.
Prilikom mjerenja prečnika, dozvoljena apsolutna greška je
izmjerena količina. Stoga je mjerenje dužine provodnika preciznije.
Primjer 2. Poznato je da je 0,111 približna vrijednost za Pronađite apsolutnu i relativnu grešku ove aproksimacije.
Rješenje: Ovdje x=, A=0,111. Tada = x- A= 1/9 – 0,111 = 1/9000-a.p.p.,
-o.p.p
Primjer 3.Škola ima 197 učenika. Ovaj broj zaokružujemo na 200. Apsolutna greška je 200-197 = 3. Relativna greška je jednaka ili, zaokruženo, %.
U većini slučajeva nemoguće je znati tačnu vrijednost približnog broja, a samim tim i tačnu veličinu greške. Međutim, gotovo uvijek je moguće utvrditi da greška (apsolutna ili relativna) ne prelazi određeni broj.
Primjer 4.
Prodavac vaga lubenicu na vagi. Najmanja težina u setu je 3600 g. Tačna težina lubenice nije poznata. Ali apsolutna greška ne prelazi 50 g. Relativna greška ne prelazi %.
Kompleksni brojevi.
Grafički prikaz kompleksnih brojeva.
Slika kompleksnih brojeva.
Kompleksni brojevi su napisani u obliku: a+ bi. Evo a I b – realni brojevi, A i – imaginarna jedinica, tj. i 2 = –1.Broj a pozvao apscisa,a b – ordinata kompleksni broj a+ bi. Kompleksni broj 0 +bi pozvao čisto imaginarni broj.Record bi znači isto što i 0 +bi.
Modul kompleksni broj je dužina vektora OP, koji predstavlja kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul
Razmotrimo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem xOy na ravni. Svaki kompleksni broj z = a + bi može biti pridružen tački sa koordinatama (a;b), i obrnuto, svakoj tački sa koordinatama (c;d) može se pridružiti kompleksni broj w = c + di. Tako se uspostavlja korespondencija jedan prema jedan između tačaka ravni i skupa kompleksnih brojeva. Stoga se kompleksni brojevi mogu predstaviti kao tačke na ravni. Ravan na kojoj su prikazani kompleksni brojevi obično se naziva kompleksna ravan.
Primjer. Predstavimo brojeve na kompleksnoj ravni
Z 1 = 2 + i; z 2 = 3i; z 3 = -3 + 2i; z 4 = -1 – i.
|
|
Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim brojevima: mogu se međusobno sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Sabiranje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje slijedi pravilo ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(ovdje se koristi da i 2 = –1). Broj = a – bi pozvao kompleksni konjugat To z = a + bi. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućava da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim kompleksnim brojem (koji nije nula):
Na primjer, 
Problemi koje treba riješiti samostalno
Prilikom mjerenja dužina segmenata i površina figura, pri vaganju tijela i drugim mjerenjima dobijaju se brojevi koji izražavaju ove veličine.
Zbog grešaka u mjerenju, dobijeni brojevi su približne vrijednosti izmjerene vrijednosti.
Svako od vas ima ravnalo i olovku. Pokušajmo izmjeriti dužinu olovke.
Iz slike se vidi da je dužina olovke nešto manja od 10 cm Da nema milimetarskih podjela na ovom ravnalu, onda bismo rekli da je dužina olovke 10 cm potpuno tačno merenje.
Ova nepreciznost se zove greška merenja .
U našem slučaju, ravnalo ima milimetarske podjele, tako da možemo izmjeriti dužinu olovke s većom preciznošću - 9,8 cm.
Približna vrijednost se u ovom slučaju razlikuje od tačne vrijednosti za 0,2 cm Da biste saznali koliko se približna vrijednost razlikuje od tačne vrijednosti, potrebno je oduzeti manji broj od većeg broja, tj. pronaći modul razlike između tačne i približne vrijednosti. Ovaj modul razlike se zove apsolutna greška .
Definicija:
Apsolutna greška približne vrijednosti naziva se modulom razlike između tačne i približne vrijednosti.
Apsolutna vrijednost greške ne može se uvijek pronaći. Ali njegova procjena odozgo je obično poznata - na primjer, kada se mjeri dužina segmenta ravnalom sa centimetarskim podjelama, apsolutna greška mjerenja ne prelazi 1 centimetar, a kada se vaga na vagi s utezima od 100 grama, 200 grama, 500 grama i 1 kilogram, apsolutna greška vaganja ne prelazi sto grama.
Pogledajte, slajd pokazuje segment CD.
Njegova dužina se nalazi između brojeva 7 cm i 8 cm. Jasno je da je 7 cm približnu vrijednost dužine segmenta CD sa nedostatkom , a 8 cm je približnu vrijednost dužine segmenta CD u izobilju .
Ako je prava dužina segmenta označena sa X, tada nalazimo da je dužina segmenta CD zadovoljava nejednakost:
Neka je prava vrijednost mjerene veličine jednaka.
Mjerenje je dalo rezultate.
Onda je razlika apsolutna greška mjerenja.
Brojpozvao granica apsolutna greška mjerenja ako vrijedi nejednakost:
Uobičajeno je pisati
Tačnost približne vrijednosti ovisi o mnogim faktorima. Ako se tokom procesa mjerenja dobije približna vrijednost, tada će, naravno, ovisiti i njena točnost sa uređaja, sa kojim je izvršeno ovo mjerenje.
ovdje, Na primjer , sobni termometar. Podjele na njemu su označene u intervalima od jednog stepena. Ovo omogućava merenje temperature vazduha sa tačnošću od 1 stepen. A na vagi s podjelom vage od 20 g možete vagati s preciznošću do 20 g ili, na primjer, mehanički sat. Cijena jedne podjele, što je 1 minuta. Mogu se koristiti za određivanje vremena sa tačnošću od 1 minute.
Za procjenu kvaliteta mjerenja možete koristiti relativna greška približne vrijednosti .
definicija:
Relativna greška približne vrijednosti naziva se omjer apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti.
Relativna greška se obično izražava u postocima. U slučajevima kada je apsolutna greška približne vrijednosti nepoznata, a poznata je samo njena tačnost, ograničava se na procjenu relativne greške.
Na primjer: Prilikom mjerenja (u centimetrima) dužine police za knjige i debljine CD-a dobijeni su sljedeći rezultati:
Kako manje preciznije.
Rezultati:
Apsolutna greška približna vrijednost se naziva modulom razlike između tačne i približne vrijednosti.
Broj je pozvan granica apsolutne greške mjerenja, ako vrijedi nejednakost:
Relativna greška približna vrijednost je omjer apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti.
Kako manje relativna greška mjerenja, dakle
nastavnik matematike u opštinskoj obrazovnoj ustanovi "Srednja škola Upshinskaya"
Orsha okrug Republike Mari El
(Udžbeniku Yu.A Makarycheva Algebra 8)
APSOLUTNA GREŠKA
Nađimo vrijednost y na x = 1,5 iz grafikona
y=x 2
y ≈2.3
Nađimo vrijednost y na x = 1,5 koristeći formulu
y =1,5 2 = 2,25
Približna vrijednost se razlikuje od tačne vrijednosti za 2,3 – 2,25 = 0,05
APSOLUTNA GREŠKA
Nađimo vrijednost y na x = 1,8 iz grafa
y=x 2
y ≈3.2
Nađimo vrijednost y na x = 1,8 koristeći formulu
y =1.8 2 = 3,24
Približna vrijednost se razlikuje od tačne vrijednosti za 3,24 – 3,2 = 0,04
APSOLUTNA GREŠKA
X
1,5
Tačna vrijednost at
(prema formuli)
1,8
2,25
Aproksimacija at (na rasporedu)
3,24
2,3
3,2
y=x 2
Definicija. Apsolutna greška
y = 2,3 A.P. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05
y = 3,2 A.P. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04
APSOLUTNA GREŠKA
Definicija. Apsolutna greška
Primjer 1 pud je jednako 16,38. Zaokružite ovu vrijednost na cijele brojeve i pronađite apsolutnu grešku približne vrijednosti.
Rješenje. 1 6,38 ≈ 16
16,38 – tačna vrijednost;
16 je približna vrijednost.
A.P. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
APSOLUTNA GREŠKA
Definicija. Apsolutna greška približna vrijednost se naziva modulom razlike između tačne i približne vrijednosti.
Primjer 2 verst je jednako 1067 m Ovu vrijednost zaokružite na desetice i pronađite apsolutnu grešku približne vrijednosti.
Rješenje. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – tačna vrijednost;
1070 je približna vrijednost.
A.P. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
APSOLUTNA GREŠKA
Definicija. Apsolutna greška približna vrijednost se naziva modulom razlike između tačne i približne vrijednosti.
Primjer 3 shvatiti je jednako 2,13 m Ovu vrijednost zaokružite na desetine i pronađite apsolutnu grešku približne vrijednosti.
Rješenje. 2.1 3 ≈ 2.1
2.13 – tačna vrijednost;
2.1 je približna vrijednost.
A.P. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03
APSOLUTNA GREŠKA
Primjer 4. Zamislite razlomak kao beskonačan periodični razlomak. Zaokružite rezultat na stotinke i pronađite apsolutnu grešku približne vrijednosti.
APROKSIMACIJSKA PRECIZNOST
Da li je uvijek moguće pronaći apsolutnu grešku?
AB ≈ 5,3 cm
Odredite dužinu segmenta AB
Ne možemo odrediti tačnu vrijednost dužine segmenta AB, stoga je nemoguće pronaći apsolutnu grešku približne vrijednosti.
U takvim slučajevima greška se označava kao broj iznad kojeg apsolutna greška ne može biti veća.
U našem primjeru, kao takav broj možemo uzeti broj 0,1.
ZAŠTO? Vrijednost podjele ravnala je 0,1 cm i stoga apsolutna greška približne vrijednosti 5,3 nije veća od 0,1.
APROKSIMACIJSKA PRECIZNOST
Kažu da je broj 5,3 približna vrijednost dužine segmenta AB (u centimetrima) sa tačnošću od 0,1
AB ≈ 5,3 cm
t ≈ 28 0 tačno do 1
t ≈ 14 0 sa tačnošću od 2
Odredite tačnost približnih vrijednosti veličina dobijenih mjerenjem instrumentima prikazanim na slikama 1-4
APROKSIMACIJSKA PRECIZNOST
Kažu da je broj 5,3 približna vrijednost dužine segmenta AB (u centimetrima) sa tačnošću od 0,1
AB ≈ 5,3 cm
Ako x ≈ a a apsolutna greška približne vrijednosti ne prelazi određeni broj h , To broj A naziva se približna vrijednost X tačno do h
X ≈ A do h
X = A ± h
APROKSIMACIJSKA PRECIZNOST
AB ≈ 5,3 cm
tačno do 0,1
t ≈ 28 0 tačno do 1
tačno do 2
Definicija. Relativna greška (tačnost) približne vrijednosti je omjer apsolutne greške (tačnosti) i modula približne vrijednosti
Definicije se mogu koristiti za procjenu kvaliteta mjerenja relativna greška I relativna tačnost
l = 100,0 ± 0,1
b = 0,4 ± 0,1
RELATIVNA GREŠKA
Definicija .
Primjer 5. Drevna ruska masovna mjera pud je jednako 16,38. Zaokružite ovu vrijednost na cijele brojeve i pronađite relativnu grešku približne vrijednosti.
Rješenje. 1 6,38 ≈ 16
16,38 – tačna vrijednost;
16 je približna vrijednost.
A.P. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
RELATIVNA GREŠKA
Definicija . Relativna greška približne vrijednosti je omjer apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti
Primjer 6. Drevna ruska mjera dužine verst je jednako 1067 m Ovu vrijednost zaokružite na desetice i pronađite relativnu grešku približne vrijednosti.
Rješenje. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – tačna vrijednost;
1070 je približna vrijednost.
A.P. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
RELATIVNA GREŠKA
Primjer 7. Zamislite razlomak kao beskonačan periodični razlomak. Zaokružite rezultat na stotinke i pronađite relativnu grešku približne vrijednosti.
Veličina naziva se nešto što se može izraziti kao broj u određenim jedinicama. Na primjer, dužina, površina, zapremina su količine. Vrijednost veličine, u čiju istinitost ne sumnjamo, naziva se egzaktna. (dalje x - tačan broj). Ali obično u praksi, kada traže vrijednost količine, dobiju samo njenu približnu vrijednost (dalje a - približan broj ). Na primjer, kada se mjere fizičke veličine pomoću mjernih instrumenata.
Modul razlike između točne i približne vrijednosti veličine naziva se apsolutna greška
aproksimacija Granica apsolutne greške aproksimacije ili granica greške ili apsolutna procjena
greške
pozvani broj 
. Takvih procjena može biti beskonačan broj. Najbolja procjena greške je najmanja procjena.
Kratak snimak tačnog broja:...
Omjer apsolutne greške aproksimacije i apsolutne vrijednosti tačne vrijednosti veličine naziva se relativna greška . U praksi se koristi za maksimalnu relativnu grešku (procjenu relativne greške): . Relativna greška se obično izražava u %.
U daljem tekstu riječ razred pada.
PRIMJER. Odrediti apsolutnu i relativnu grešku aproksimacije a=3.14 Za x=π.
To je poznato 3,14 π .
Iz toga slijedi da, tj.
S obzirom na to 3,14 π onda dobijamo bolju procjenu
Broj u decimalnom zapisu približne vrijednosti količine X pozvao istinito u širem smislu , ako apsolutna greška aproksimacije ne prelazi jedinicu te znamenke r, kojoj pripada ova znamenka (Nula se smatra cifrom jedinice, decimalne cifre se smatraju negativnim znamenkama). Postoji i koncept tačna figura u užem smislu : . U budućnosti ćemo razmatrati ispravne brojeve u širem smislu. Preostale cifre broja se pozivaju sumnjivo . Smisleno Cifre broja napisanih u decimalnom obliku su sve ispravne cifre broja, počevši od prve na lijevoj strani, osim 0. Sve nule na lijevoj strani su beznačajne. Po broju značajnih cifara možete lako procijeniti apsolutnu grešku približnog broja. Da biste procijenili apsolutnu grešku, možete uzeti 0,5 cifara nakon posljednje značajne znamenke. Maksimalna relativna greška može se uzeti da je jednaka razlomku, čiji je brojilac 1, a imenilac je dvostruko veći od cijelog broja, napisanog korištenjem svih značajnih cifara datog broja.
PRIMJER. a=0,065;
ZADATAK 1.1. Volumen prostorije V određena sa maksimalnom relativnom greškom δ Koliko značajnih figura ima u V ?
ZADATAK 1.3. Zaokružite sumnjive cifre približnog broja A δ
Zadatak 1.2.
Zaokružite sumnjive cifre približnog broja A , ako je poznata relativna greška δ
| a=694,6, | |
U teoriji približnih proračuna razmatraju se dvije vrste problema: direktni i inverzni.
Direktan zadatak. Izvršite operacije na približnim brojevima za date aproksimacijske greške. Procijenite grešku dobijenog rezultata.
Inverzni problem. Izvršite operacije na približnim brojevima sa datom greškom rezultata. Odredite kolike bi trebale biti greške početnih aproksimacija.
Pravila za brojanje cifara za direktan problem
1. U algebarskom zbiru približnih vrijednosti u kojem su svi brojevi tačni, treba ostaviti onoliko decimalnih mjesta koliko ima sabir s najmanjim brojem decimalnih mjesta. Pojmove sa velikim brojem decimala prvo treba zaokružiti, ostavljajući jednu decimalu više od označenog pojma.
2,3+4,681=2,3+4,68=6,98≈7,0
2. U proizvodu približnih vrijednosti treba ostaviti onoliko značajnih cifara koliko ima faktor s najmanjim brojem značajnih cifara. Faktore sa velikim brojem značajnih cifara treba prethodno zaokružiti, ostavljajući jednu značajnu cifru više od dodeljenog faktora. Isto tako i za podjelu.
23 ∙ 1,056 ≈ 23 ∙ 1,06 =24,38 ≈ 24; 10,1 ∙ 0,5 ≈ 5
3. Prilikom podizanja približnog broja na stepen ili kod vađenja korijena, rezultat treba ostaviti sa onoliko značajnih cifara koliko ih ima u osnovi potencijskog ili radikalnog broja.
4. Prilikom izvođenja uzastopnog niza radnji na približnim brojevima, međurezultati treba ostaviti sa jednom cifrom više nego što je preporučeno prethodnim pravilima. U konačnom rezultatu, ova brojka se odbacuje prema pravilima zaokruživanja.
Pravilo za brojanje cifara za inverzni problem
Da bi se dobio broj sa kao rezultat niza međuradnji n tačne brojeve, izvorne podatke treba uzeti sa tolikim brojem tačnih brojeva koji, prema prethodnim pravilima, daju n+1 kao rezultat tačan broj. Zaokružite konačni rezultat na n brojevi
Metoda granica argumenata (ABA)
DANO: 
- monotona funkcija;
Približne vrijednosti argumenata i procjene greške.
Kao rezultat, ostavljeni su tačni brojevi plus 1 sumnjiv (u skladu s rezultirajućom greškom).
Metoda granica greške.
Procjena greške rezultata izračunava se kao funkcija grešaka izvornih podataka. Formula je izvedena iz odnosa datih u tabeli.
Tabela 1.1.
Princip jednakog uticaja.
Princip je da procjene grešaka argumenata podjednako utiču na grešku rezultata, tj. smatraju se jednakim.
Bilješke.
1. Pravilo parnih cifara: Ako se pri zaokruživanju prva znamenka odbaci = 5 i ne slijede cifre različite od nule, onda se posljednja znamenka pojačava ako je neparna i ostaje nepromijenjena ako je parna.
2. Približna vrijednost A količine X pozvao nedovoljno , Ako x>a I suvišan , Ako x
3. Nule na desnoj strani bit će značajne ako su valjane cifre.
4. Prilikom proračuna donja granica se može zaokružiti naniže, a gornja granica naviše.
5. Dodatna znamenka se može dodati srednjem rezultatu samo ako su početni podaci uključeni u aritmetičku operaciju.
ZADATAK 1.4.
Stranice pravokutnika Izračunajte dijagonalu pravokutnika koristeći formulu:
2 ) Pravilo za brojanje brojeva
Željeni rezultat mora sadržavati jednu značajnu znamenku, stoga se prilikom izvođenja aritmetičkih operacija mora dobiti broj s dvije značajne znamenke. Posljednji korak je izdvajanje korijena, što znači da vrijednost radikalnog izraza također mora imati dvije značajne figure. U našem slučaju to je dvocifreni broj, tj. rezultat sabiranja ne bi trebao imati decimalna mjesta, a samim tim ni pojmove. Ali termini su kvadrati originalnih podataka. Stoga izvorne podatke treba uzeti bez decimalnih mjesta.
Kada radite s beskonačnim decimalnim razlomcima u proračunima, morate aproksimirati ove brojeve radi praktičnosti, odnosno zaokružiti ih. Približni brojevi se takođe dobijaju iz različitih merenja.
Može biti korisno znati koliko se približna vrijednost nekog broja razlikuje od njegove tačne vrijednosti. Jasno je da što je ta razlika manja, to je bolje, točnije se vrši mjerenje ili proračun.
Da bi se utvrdila tačnost mjerenja (proračuni), koristi se koncept kao npr greška aproksimacije. Zovu to drugačije apsolutna greška. Greška aproksimacije je razlika uzeta po modulu između tačne vrijednosti broja i njegove približne vrijednosti.
Ako je a tačna vrijednost broja, a b njegova približna vrijednost, tada se greška aproksimacije određuje formulom |a – b|.
Pretpostavimo da je kao rezultat mjerenja dobijen broj 1,5. Međutim, kao rezultat izračuna pomoću formule, tačna vrijednost ovog broja je 1,552. U ovom slučaju, greška aproksimacije će biti jednaka |1,552 – 1,5| = 0,052.
U slučaju beskonačnih razlomaka, greška aproksimacije je određena istom formulom. Umjesto tačnog broja upisuje se sam beskonačni razlomak. Na primjer, |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Ovdje se ispostavlja da je greška aproksimacije izražena iracionalnim brojem.
Kao što je poznato, aproksimacija se može izvršiti i manjkom i preko viška. Isti broj π pri aproksimaciji manjkom sa tačnošću od 0,01 jednak je 3,14, a pri aproksimaciji viškom sa tačnošću od 0,01 jednak je 3,15. Razlog zašto izračunavanje koristi svoju aproksimaciju nedostataka je primjena pravila zaokruživanja. Prema ovim pravilima, ako je prva znamenka koja treba odbaciti pet ili veća od pet, onda se vrši prekomjerna aproksimacija. Ako je manje od pet, onda zbog nedostatka. Budući da je treća znamenka iza decimalnog zareza broja π 1, dakle, pri aproksimaciji sa tačnošću od 0,01, to se vrši nedostatkom.
Zaista, ako izračunamo greške aproksimacije na 0,01 broja π prema nedostatku i višku, dobićemo:
|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...
Od 0,00159...
Kada se govori o grešci aproksimacije, kao iu slučaju same aproksimacije (viškom ili manjkom), ukazuje se na njenu tačnost. Dakle, u gornjem primjeru sa brojem π, treba reći da je jednak broju 3,14 sa tačnošću od 0,01. Uostalom, modul razlike između samog broja i njegove približne vrijednosti ne prelazi 0,01 (0,00159... ≤ 0,01).
Slično, π je jednako 3,15 sa tačnošću od 0,01, budući da je 0,0084... ≤ 0,01. Međutim, ako govorimo o većoj tačnosti, na primjer do 0,005, onda možemo reći da je π jednako 3,14 sa tačnošću od 0,005 (od 0,00159... ≤ 0,005). Ne možemo to reći u odnosu na aproksimaciju od 3,15 (od 0,0084... > 0,005).
Apsolutna i relativna greška brojeva.
Kao karakteristike tačnosti približnih veličina bilo kog porekla uvode se koncepti apsolutne i relativne greške ovih veličina.
Označimo sa a aproksimaciju tačnom broju A.
Definiraj. Vrijednost se naziva greškom približnog broja.
Definicija.
Apsolutna greška 
približni broj a naziva se količina 
.
Praktično tačan broj A je obično nepoznat, ali uvijek možemo naznačiti granice u kojima apsolutna greška varira.
Definicija.
Maksimalna apsolutna greška 
približni broj a naziva se najmanja od gornjih granica za količinu 
, koji se može naći ovom metodom dobivanja broja.
U praksi, kao 
odaberite jednu od gornjih granica za 
, prilično blizu najmanjem.
Zbog 
, To 
. Ponekad pišu: 
.
Apsolutna greška je razlika između rezultata mjerenja
i pravu (stvarnu) vrijednost izmjerena količina.
Apsolutna greška i maksimalna apsolutna greška nisu dovoljne da okarakterišu tačnost merenja ili proračuna. Kvalitativno, veličina relativne greške je značajnija.
Definicija.
Relativna greška 
Približan broj nazivamo količinom:
Definicija.
Maksimalna relativna greška 
približan broj a nazovimo količinu
Jer 
.
Dakle, relativna greška zapravo određuje veličinu apsolutne greške po jedinici izmjerenog ili izračunatog približnog broja a.
Primjer. Zaokružujući tačne brojeve A na tri značajne brojke, odredite
apsolutne D i relativne δ greške dobijene aproksimate
Dato:
Pronađite:
∆-apsolutna greška
δ – relativna greška
Rješenje:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a 
0
*100%=0.203%
odgovor:=0,027; δ=0,203%
2. Decimalni zapis približnog broja. Značajna cifra. Tačne cifre brojeva (definicija tačnih i značajnih cifara, primjeri; teorija odnosa između relativne greške i broja tačnih cifara).
Ispravni znakovi brojeva.
Definicija. Značajna znamenka približnog broja a je svaka cifra osim nule, a nula ako se nalazi između značajnih cifara ili je predstavnik pohranjenog decimalnog mjesta.
Na primjer, u broju 0,00507 = 
imamo 3 značajne cifre, au broju 0,005070= 
značajne figure, tj. nula na desnoj strani, uz očuvanje decimalnog mjesta, je značajna.
Od sada se dogovorimo da pišemo nule na desnoj strani samo ako su značajne. Tada, drugim riječima,
Sve cifre a su značajne, osim nula na lijevoj strani.
U decimalnom brojevnom sistemu, bilo koji broj a može se predstaviti kao konačan ili beskonačan zbir (decimalni razlomak):
Gdje 
,
- prva značajna znamenka, m - cijeli broj koji se naziva najznačajnije decimalno mjesto broja a.
Na primjer, 518,3 =, m=2.
Koristeći notaciju, uvodimo koncept tačnih decimalnih mjesta (u značajnim ciframa) otprilike -
prvog dana.
Definicija.
Kažu da je u približnom broju a oblik n - prvih značajnih cifara 
,
gdje su i= m, m-1,..., m-n+1 tačni ako apsolutna greška ovog broja ne prelazi pola jedinice znamenke izražene n-tom značajnom znamenkom:
Inače zadnja cifra 
naziva sumnjivim.
Prilikom pisanja približnog broja bez naznake njegove greške, potrebno je da svi napisani brojevi
bili vjerni. Ovaj zahtjev je zadovoljen u svim matematičkim tabelama.
Izraz „n tačnih cifara” karakteriše samo stepen tačnosti približnog broja i ne treba ga shvatiti kao da se prvih n značajnih cifara približnog broja a poklapa sa odgovarajućim ciframa tačnog broja A. Na primer, za brojevi A = 10, a = 9,997, sve značajne cifre su različite, ali broj a ima 3 važeće značajne cifre. Zaista, ovdje je m=0 i n=3 (nalazimo ga odabirom).
