Proučavanje funkcije i crtanje grafa sa detaljnim rješenjem. Potpuno ispitivanje funkcije i crtanje grafa

Da biste u potpunosti proučili funkciju i nacrtali njen graf, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1) naći domen definicije funkcije;

2) pronaći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) ispitati funkciju na paritet (neparnost) i periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odredi intervale konveksnosti i prevojne tačke;

7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama i, ako je moguće, neke dodatne tačke koje pojašnjavaju grafik.

Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.

Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.

1. Obim definicije: ;

2. Funkcija trpi diskontinuitet u tačkama
,
;

Ispitujemo funkciju na prisustvo vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Ispitujemo funkciju na prisustvo kosih i horizontalnih asimptota.

Pravo
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Pravo
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je čak jer
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na ordinatnu osu.

5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) ─ opada. Prilikom prolaska kroz tačku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum
.

6. Pronađite intervale konveksnosti i pregibnih tačaka.

Hajde da pronađemo tačke u kojima je 0 ili ne postoji.

nema prave korene.
,
,

Poeni
I
realnu osu podijeliti na tri intervala. Hajde da definišemo znak u svakom intervalu.

Dakle, kriva na intervalima
I
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, pošto je funkcija u tačkama
I
nije utvrđeno.

7. Nađite tačke preseka sa osama.

Sa osovinom
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.

Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcija

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog priraštaja funkcije na relativni prirast varijable at
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti
kada se nezavisna varijabla promijeni za 1%.

Funkcija elastičnosti se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII), elastičnost funkcije je:

Neka je onda x=3
.To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, onda će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cene izgleda kao
, Gdje ─ konstantni koeficijent. Naći vrijednost indikatora elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)

Believing
novčane jedinice, dobijamo
. To znači da po cijeni
novčane jedinice povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da zajedno s nama istražite i izgradite graf funkcije. Nakon što ste pažljivo proučili ovaj članak, nećete se morati dugo znojiti da završite ovu vrstu zadatka. Nije lako proučavati i konstruisati graf funkcije, to je obiman posao koji zahtijeva maksimalnu pažnju i tačnost proračuna. Kako bismo materijal lakše razumjeli, proučavat ćemo istu funkciju korak po korak i objasniti sve naše radnje i proračune. Dobrodošli u neverovatan i fascinantan svet matematike! Idi!

Domain

Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od glavnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava zavisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) tokom promjena. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uslovom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju, varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove zavisnosti, gradi se graf funkcije. Šta je graf funkcije? Ovo je skup tačaka na koordinatnoj ravni, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusni talas itd.

Nemoguće je grafički prikazati funkciju bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i izgraditi graf funkcije. Veoma je važno voditi bilješke tokom studija. To će znatno olakšati rješavanje zadatka. Najpovoljniji plan istraživanja:

  1. Domain.
  2. Kontinuitet.
  3. Parno ili neparno.
  4. Periodičnost.
  5. Asimptote.
  6. Nule.
  7. Konstantnost znaka.
  8. Povećanje i smanjenje.
  9. Ekstremi.
  10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom tačkom. Nađimo domen definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno, domen definicije je jednak R. Ovo se može napisati na sljedeći način: xÎR.

Kontinuitet

Sada ćemo ispitati funkciju diskontinuiteta. U matematici se termin „kontinuitet“ pojavio kao rezultat proučavanja zakona kretanja. Šta je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima kretanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tiganj, termometar, itd.), neprekidna linija (tj. može se crtati bez podizanja sa olovke).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusoida, koju možete vidjeti na slici u ovom dijelu. Funkcija je neprekidna u nekoj tački x0 ako je ispunjen niz uslova:

  • funkcija je definirana u datoj tački;
  • desna i lijeva granica u tački su jednake;
  • granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da funkcija ne uspijeva. A tačke u kojima se funkcija prekida obično se nazivaju tačkama prekida. Primjer funkcije koja će se “pokvariti” kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štaviše, y ne postoji u tački x = 3 (pošto je nemoguće podijeliti sa nulom).

U funkciji koju proučavamo (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Čak i čudno

Sada ispitajte funkciju za paritet. Prvo, malo teorije. Parna funkcija je ona koja zadovoljava uslov f(-x)=f(x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri uključuju:

  • modul x (grafikon izgleda kao žica, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
  • x na kvadrat (parabola);
  • kosinus x (kosinus).

Imajte na umu da su svi ovi grafovi simetrični kada se gledaju u odnosu na y-osu (to jest, y-os).

Šta se onda zove neparna funkcija? Ovo su one funkcije koje zadovoljavaju uslov: f(-x)=-f(x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

  • hiperbola;
  • kubna parabola;
  • sinusoida;
  • tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na tačku (0:0), odnosno ishodište. Na osnovu onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Hajde da ispitamo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara nijednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je kriva koja je što je moguće bliža grafu, odnosno udaljenost od određene tačke teži nuli. Ukupno postoje tri vrste asimptota:

  • vertikalno, odnosno paralelno sa y-osom;
  • horizontalno, odnosno paralelno sa x osom;
  • skloni.

Što se tiče prvog tipa, ove linije treba tražiti u nekim tačkama:

  • jaz;
  • krajevi domena definicije.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domen definicije je jednak R. Posljedično, ne postoje vertikalne asimptote.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći zahtjev: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uslova:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Tada se može pronaći pomoću formule: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcija nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafika funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak vezan za pronalaženje nula funkcije javlja ne samo pri proučavanju i konstruiranju grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak i kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da preciznije nacrtate funkciju. Ako razgovaramo jednostavnim jezikom, tada je nula funkcije vrijednost varijable x pri kojoj je y = 0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda biste trebali obratiti pažnju na tačke u kojima se graf siječe sa x-osom.

Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti sljedeću jednačinu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne proračune, dobijamo sljedeći odgovor:

Konstantnost znaka

Sljedeća faza istraživanja i konstrukcije funkcije (grafa) je pronalaženje intervala konstantnog predznaka. To znači da moramo odrediti u kojim intervalima se funkcija nalazi pozitivna vrijednost, a na nekima - negativno. Nulte funkcije koje se nalaze u posljednjem odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi pravu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje u ispravnom redoslijedu od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:

  • od 1 do 4;
  • od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

  • od minus beskonačnosti do 1;
  • od 4 do 9.

Ovo je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji znak ima odgovor (minus ili plus).

Povećana i opadajuća funkcija

Da bismo istražili i konstruirali funkciju, moramo znati gdje će graf porasti (ići gore duž Oy ose) i gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-ose).

Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A mi promatramo potpuno suprotan fenomen sa opadajućom funkcijom (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

  • domen definicije (već imamo);
  • izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
  • riješiti jednačinu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon proračuna dobijamo rezultat:

Dobijamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Funkcija koja se proučava y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Tačka ekstrema pokazuje maksimum i minimum date funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također mogu pronaći pomoću funkcije derivata. Kada ih pronađete, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo dalje istraživati ​​funkciju y(x). Sada moramo provjeriti ima li konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova su prilično teške za razumjeti, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako nije opadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobijamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačimo desnu stranu sa nulom i riješimo jednačinu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu tačku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnosti u konkavnost ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačnost je konkavna. Takođe je veoma važno napomenuti da tačka pregiba na grafikonu treba da bude glatka i mekana, da nema oštrih uglova.

Definisanje dodatnih tačaka

Naš zadatak je istražiti i konstruirati graf funkcije. Završili smo studiju, konstruisanje grafa funkcije sada nije teško. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravni, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzimamo x=3, rješavamo rezultirajuću jednačinu i nalazimo y=4. Ili x=5, i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno ih je najmanje 3-5.

Iscrtavanje grafa

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake tokom proračuna su napravljene na koordinatnoj ravni. Ostaje samo da se napravi graf, odnosno poveže sve tačke. Povezivanje tačaka treba da bude glatko i tačno, ovo je stvar veštine - malo vežbe i vaš raspored će biti savršen.

Povezane publikacije