Okomite ravni označavaju okomitost dvije ravni. Stereometrija
Definicija. Diedarski ugao je lik formiran od prave a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a, a ne pripada istoj ravni.
Definicija. Mera stepena diedarskog ugla je stepenska mera bilo kog njegovog linearnog ugla.
Definicija. Dvije ravnine koje se seku nazivaju se okomite ako je ugao između njih 90o.
Znak okomitosti dvije ravni.
Svojstva.
- U kvadru, svih šest lica su pravokutnici.
- Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi
- Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije.
Zadaci i testovi na temu "Tema 7. "Dihedralni ugao. Okomitost ravnina."
- Diedarski ugao. Okomitost ravnina
- Okomitost prave i ravni - Okomitost pravih i ravni, ocena 10
Lekcije: 1 Zadaci: 10 Testovi: 1
- Okomito i koso. Ugao između prave i ravni - Okomitost pravih i ravni, ocena 10
Lekcije: 2 Zadaci: 10 Testovi: 1
- Paralelizam ravnina - Paralelnost pravih i ravni, 10
Lekcije: 1 Zadaci: 8 Testovi: 1
- Okomite linije - Osnovne geometrijske informacije 7. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 17 Testovi: 1
Materijal na temu sažima i sistematizira informacije koje znate iz planimetrije o okomitosti pravih linija. Preporučljivo je kombinovati proučavanje teorema o odnosu paralelizma i okomitosti pravih i ravni u prostoru, kao i gradivo o okomitim i nagnutim, sa sistematskim ponavljanjem odgovarajućeg gradiva iz planimetrije.
Rješenja gotovo svih računskih problema svode se na primjenu Pitagorine teoreme i njenih posljedica. U mnogim problemima, mogućnost korištenja Pitagorine teoreme ili njenih posljedica opravdava se teoremom o tri okomice ili svojstvima paralelizma i okomitosti ravnina.
Ova lekcija će pomoći onima koji žele da shvate temu "Znak okomitosti dvije ravni". Na početku ćemo ponoviti definiciju diedarskog i linearnog ugla. Zatim ćemo razmotriti koje se ravnine nazivaju okomite i dokazati znak okomitosti dvije ravni.
Tema: Okomitost pravih i ravni
Lekcija: Znak okomitosti dvije ravni
Definicija. Diedarski ugao je figura koju čine dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravni i njihova zajednička prava linija a (a je ivica).
Rice. 1
Razmotrimo dvije poluravnine α i β (slika 1). Njihova zajednička granica je l. Ova figura se naziva diedarski ugao. Dve ravni koje se seku formiraju četiri dvodelna ugla sa zajedničkom ivicom.
Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom. Biramo proizvoljnu tačku na zajedničkoj ivici l diedralnog ugla. U poluravni α i β, iz ove tačke povučemo okomite a i b na pravu l i dobijemo linearni ugao diedralnog ugla.
Prave a i b formiraju četiri ugla jednaka φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Podsjetimo da je ugao između pravih najmanji od ovih uglova.
Definicija. Ugao između ravnina je najmanji od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. φ je ugao između ravnina α i β, ako
Definicija. Dvije ravnine koje se seku nazivaju se okomite (međusobno okomite) ako je ugao između njih 90°.
Rice. 2
Na rubu l odabrana je proizvoljna tačka M (slika 2). Nacrtajmo dvije okomite prave MA = a i MB = b na ivicu l u α ravni, odnosno u β ravni. Dobili smo ugao AMB. Ugao AMB je linearni ugao diedralnog ugla. Ako je ugao AMB 90°, tada se ravni α i β nazivaju okomiti.
Prava b je po konstrukciji okomita na pravu l. Prava b je okomita na pravu a, jer je ugao između ravnina α i β 90°. Nalazimo da je prava b okomita na dvije prave a i l koje se sijeku iz ravni α. To znači da je prava b okomita na ravan α.
Slično, možemo dokazati da je prava a okomita na ravan β. Prava a je po konstrukciji okomita na pravu l. Prava a je okomita na pravu b, jer je ugao između ravnina α i β 90°. Nalazimo da je prava a okomita na dvije prave b i l koje se seku iz ravni β. To znači da je prava a okomita na ravan β.
Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite.
dokazati:
Rice. 3
dokaz:
Neka se ravni α i β seku duž prave AC (slika 3). Da biste dokazali da su ravnine međusobno okomite, potrebno je konstruirati linearni ugao između njih i pokazati da je taj ugao 90°.
Prava AB je okomita na ravan β, a samim tim i na pravu AC koja leži u ravni β.
Nacrtajmo pravu AD okomitu na pravu AC u β ravni. Tada je BAD linearni ugao diedralnog ugla.
Prava AB je okomita na ravan β, a samim tim i na pravu AD koja leži u ravni β. To znači da je linearni ugao BAD 90°. To znači da su ravni α i β okomite, što je i trebalo dokazati.
Ravan okomita na pravu duž koje se seku dve date ravni je okomita na svaku od ovih ravni (slika 4).
dokazati:
Rice. 4
dokaz:
Prava l je okomita na ravan γ, a ravan α prolazi kroz pravu l. To znači da su, na osnovu okomitosti ravni, ravni α i γ okomite.
Prava l je okomita na ravan γ, a ravan β prolazi kroz pravu l. To znači da su prema okomitosti ravni ravni β i γ okomite.
TEKST TRANSKRIPTA ČASA:
Ideja o ravni u prostoru omogućava nam da dobijemo, na primjer, površinu stola ili zida. Međutim, stol ili zid imaju konačne dimenzije, a ravan se proteže izvan njegovih granica do beskonačnosti.
Razmotrite dvije ravnine koje se ukrštaju. Kada se sijeku, formiraju četiri diedralna ugla sa zajedničkim rubom.
Prisjetimo se šta je diedarski ugao.
U stvarnosti susrećemo objekte koji imaju oblik diedarskog ugla: na primjer, blago otvorena vrata ili poluotvoreni folder.
Kada se dvije ravni alfa i beta seku, dobijamo četiri diedralna ugla. Neka je jedan od uglova diedara jednak (phi), onda je drugi jednak (1800 -), treći, četvrti (1800 -).
Razmotrimo slučaj kada je jedan od uglova diedara 900.
Tada su svi diedralni uglovi u ovom slučaju jednaki 900.
Hajde da uvedemo definiciju okomitih ravni:
Dvije ravni se nazivaju okomite ako je diedarski ugao između njih 90°.
Ugao između sigma i epsilon ravni je 90 stepeni, što znači da su ravni okomite
Navedimo primjere okomitih ravnina.
Zid i plafon.
Bočni zid i ploča stola.
Formulirajmo znak okomitosti dvije ravni:
TEOREM: Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.
Dokažimo ovaj znak.
Pod uslovom je poznato da prava AM leži u ravni α, prava AM je okomita na ravan β,
Dokazati: ravni α i β su okomite.
dokaz:
1) Ravne α i β seku se duž prave AR, dok je AM AR, pošto je AM po uslovu β, odnosno AM je okomita na bilo koju pravu liniju koja leži u β ravni.
2) Nacrtajmo pravu liniju AT okomitu na AP u β ravni.
Dobijamo ugao TAM - linearni ugao diedralnog ugla. Ali ugao TAM = 90°, pošto je MA β. Dakle α β.
Q.E.D.
Iz znaka okomitosti dvije ravni imamo važnu posljedicu:
POSLEDICA: Ravan okomita na pravu duž koje se seku dve ravni je okomita na svaku od ovih ravni.
To jest: ako je α∩β=s i γ s, onda γ α i γ β.
Dokažimo ovu posljedicu: ako je gama ravan okomita na pravu c, onda je, na osnovu paralelizma dvije ravni, gama okomita na alfa. Isto tako, gama je okomita na beta
Preformulirajmo ovaj zaključak za diedarski ugao:
Ravan koja prolazi kroz linearni ugao diedarskog ugla je okomita na ivicu i površine ovog diedarskog ugla. Drugim riječima, ako smo konstruirali linearni ugao diedarskog ugla, tada je ravan koja prolazi kroz njega okomita na ivicu i površine ovog diedralnog ugla.
Dato je: ΔABC, C = 90°, AC leži u α ravni, ugao između ravni α i ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Pronađite: udaljenost od tačke B do ravni α.
1) Konstruirajmo VC α. Tada je KS projekcija sunca na ovu ravan.
2) BC AC (po uslovu), što znači, prema teoremi o tri okomice (TPP), KS AC. Dakle, VSK je linearni ugao diedarskog ugla između ravni α i ravni trougla ABC. To jest, VSK = 60°.
3) Iz ΔBCA prema Pitagorinoj teoremi:
Odgovor VK jednak je 6 korijena od tri cm
Praktična upotreba (primijenjena priroda) okomitosti dvije ravni.
Okomitost u prostoru može imati:
1. Dvije ravne linije
3. Dva aviona
Pogledajmo redom ova tri slučaja: sve definicije i izjave teorema koje se odnose na njih. A onda ćemo raspravljati o vrlo važnoj teoremi o tri okomice.
Okomitost dvije prave.
definicija:
Možete reći: i za mene su otkrili Ameriku! Ali zapamtite da u svemiru sve nije isto kao u avionu.
Na ravni, samo sljedeće prave (seku) mogu biti okomite:
Ali dvije prave mogu biti okomite u prostoru čak i ako se ne sijeku. pogledajte:
prava linija je okomita na pravu, iako se s njom ne seče. Kako to? Prisjetimo se definicije ugla između pravih: da biste pronašli ugao između linija koje se sijeku i, trebate povući pravu liniju kroz proizvoljnu tačku na pravoj a. I tada će ugao između i (po definiciji!) biti jednak kutu između i.
Sjećaš li se? Pa, u našem slučaju, ako se ispostavi da su ravne linije okomite, onda moramo uzeti u obzir ravne i da budu okomite.
Za potpunu jasnoću, pogledajmo primjer. Neka bude kocka. Od vas se traži da pronađete ugao između linija i. Ove prave se ne seku - one se seku. Da bismo pronašli ugao između i, nacrtajmo.
Zbog činjenice da je paralelogram (pa čak i pravougaonik!), ispada da je to. A zbog činjenice da je to kvadrat, ispada da je tako. Pa, to znači.
Okomitost prave i ravni.
definicija:
evo slike:
prava je okomita na ravan ako je okomita na sve, sve prave u ovoj ravni: i, i, i, pa i! I milijardu drugih direktnih!
Da, ali kako onda općenito možete provjeriti okomitost u pravoj liniji iu ravnini? Dakle, život nije dovoljan! Ali, na našu sreću, matematičari su nas spasili od noćne more beskonačnosti tako što su izmislili znak okomitosti prave i ravni.
Hajde da formulišemo:
Ocijenite koliko je super:
ako postoje samo dvije ravne (i) u ravnini na koju je prava okomita, tada će se ta ravna linija odmah pokazati okomitom na ravninu, odnosno na sve prave u ovoj ravnini (uključujući i neke prave linija koja stoji sa strane). Ovo je veoma važna teorema, pa ćemo i njeno značenje nacrtati u obliku dijagrama.
I pogledajmo ponovo primjer.
Neka nam je dat pravilan tetraedar.
Zadatak: dokazati to. Reći ćete: ovo su dvije prave! Kakve veze ima okomitost prave i ravni?!
ali pogledaj:
označimo sredinu ivice i nacrtajmo i. Ovo su medijane u i. Trouglovi su pravilni i...
Evo ga, čudo: ispostavilo se da, pošto i. I dalje, na sve prave u ravni, što znači i. Oni su to dokazali. A najvažnija stvar bila je upravo upotreba znaka okomitosti prave i ravni.
Kada su ravnine okomite
definicija:
Odnosno (za više detalja pogledajte temu “diedarski ugao”) dvije ravni (i) su okomite ako se pokaže da je ugao između dvije okomice (i) na liniju presjeka ovih ravni jednak. I postoji teorema koja povezuje pojam okomitih ravni sa konceptom okomitosti u prostoru prave i ravni.
Ova teorema se zove
Kriterijum za okomitost ravnina.
Hajde da formulišemo:
Kao i uvijek, dekodiranje riječi "tada i samo tada" izgleda ovako:
- Ako, onda prolazi kroz okomitu na.
- Ako prolazi kroz okomicu na, onda.
(naravno, evo nas aviona).
Ova teorema je jedna od najvažnijih u stereometriji, ali, nažalost, i jedna od najtežih za primjenu.
Zato morate biti veoma oprezni!
Dakle, formulacija:
I opet dešifrovanje riječi "tada i samo tada". Teorema kaže dvije stvari odjednom (pogledajte sliku):
hajde da pokušamo da primenimo ovu teoremu da rešimo problem.
Zadatak: data je pravilna heksagonalna piramida. Pronađite ugao između linija i.
Rješenje:
Zbog činjenice da u pravilnoj piramidi vrh, kada se projektuje, pada u centar baze, ispada da je ravna linija projekcija prave linije.
Ali znamo da je u pravilnom šesterokutu. Primjenjujemo teoremu o tri okomice:
I pišemo odgovor: .
PERENDIKULARNOST PRAVIH U PROSTORU. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Okomitost dvije prave.
Dvije prave u prostoru su okomite ako između njih postoji ugao.
Okomitost prave i ravni.
Prava je okomita na ravan ako je okomita na sve prave u toj ravni.
Okomitost ravnina.
Ravnine su okomite ako je diedarski ugao između njih jednak.
Kriterijum za okomitost ravnina.
Dvije ravni su okomite ako i samo ako jedna od njih prolazi kroz okomicu na drugu ravan.
Teorema o tri okomite:
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?
STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.
Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.
Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR
Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravninu, tada su date ravni okomite () (Sl. 28)
α – ravan, V– prava okomita na nju, β – ravan koja prolazi kroz pravu V, And With– prava linija duž koje se sijeku ravni α i β.
Posljedica. Ako je ravan okomita na liniju presjeka dvije date ravni, onda je ona okomita na svaku od ovih ravnina
Problem 1. Dokazati da se kroz bilo koju tačku na pravoj u prostoru mogu povući dvije različite prave okomite na nju.
dokaz:
Prema aksiomu I postoji tačka koja nije na liniji A. Prema teoremi 2.1, kroz tačku IN i direktno A možemo nacrtati ravan α. (Sl. 29) Po teoremi 2.3 kroz tačku A u α ravni možemo povući pravu liniju A. Prema aksiomu C 1, postoji tačka WITH, koji ne pripada α. Po teoremi 15.1 kroz tačku WITH i direktno A možemo nacrtati ravan β. U β ravni, prema teoremi 2.3, kroz tačku a možemo povući pravu liniju sa A. Po konstrukciji, prave b i c imaju samo jednu zajedničku tačku A i obe su okomite
Zadatak 2. Gornji krajevi dva okomito stojeća stuba, razmaknuti na udaljenosti od 3,4 m, povezani su prečkom. Visina jednog stupa je 5,8 m, a drugog 3,9 m. Pronađite dužinu prečke.
AC= 5,8m, VD= 3,9 m, AB- ? (Sl. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Po Pitagorinoj teoremi iz ∆ AEV dobijamo:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Zadaci
Target. Naučite analizirati u najjednostavnijim slučajevima međusobnog dogovora objekata u prostoru, koristiti planimetrijske činjenice i metode pri rješavanju stereometrijskih problema.
1. Dokažite da kroz bilo koju tačku na pravoj u prostoru možete povući pravu okomitu na nju.
2. Prave AB, AC i AD su okomite u parovima. Pronađite segment CD-a ako:
1) AB = 3cm , sunce= 7cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5cm, Ned= 16cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) VD = s, VS = a, AD = d
3. Tačka A je na udaljenosti a iz vrhova jednakostraničnog trougla sa stranicom A. Pronađite udaljenost od tačke A do ravni trougla.
4. Dokažite da ako je prava paralelna ravni, onda su sve njene tačke na istoj udaljenosti od ravni.
5. Telefonska žica dužine 15 m se proteže od telefonskog stuba, gdje je pričvršćena na visini od 8 m od površine zemlje, do kuće, gdje je pričvršćena na visini od 20 m. Nađite udaljenost između kuće i stuba, pod pretpostavkom da žica ne visi.
6. Iz tačke u ravan povučene su dvije nagnute kosine, jednake 10 cm i 17 cm.Razlika u projekcijama ovih kosih je 9 cm.Nađi projekcije kosih.
7. Iz tačke u ravan povučena su dva nagnuta, od kojih je jedna 26 cm veća od druge. Kose projekcije su 12 cm i 40 cm. Pronađite nagnute.
8. Dvije nagnute linije se povlače iz tačke u ravan. Odredite dužine kosih kostiju ako su u omjeru 1:2, a projekcije kosih su 1 cm i 7 cm.
9. Iz tačke u ravan povučene su dvije nagnute kosine jednake 23 cm i 33 cm.
udaljenost od ove tačke do ravni ako su nagnute projekcije u omjeru 2:3.
10. Odrediti rastojanje od sredine segmenta AB do ravni koja ne seče ovaj segment ako su udaljenosti tačaka a i B do ravni: 1) 3,2 cm i 5,3 cm, 7,4 cm i 6,1 cm; 3) a i c.
11. Riješite prethodni zadatak pod uslovom da segment AB siječe ravan.
12. Odsječak dužine 1 m siječe ravan, njegovi krajevi su udaljeni od ravnine na udaljenosti od 0,5 m i 0,3 m. Odrediti dužinu projekcije segmenta na ravan..
13. Iz tačaka A i B okomite se spuštaju na ravan. Nađite rastojanje između tačaka A i B ako su okomite 3 m i 2 m, rastojanje između njihovih osnova je 2,4 m, a odsječak AB ne siječe ravan.
14. Iz tačaka A i B, koje leže u dvije okomite ravni, okomite AC i BD se spuštaju na liniju presjeka ravnina. Odrediti dužinu segmenta AB ako je: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, VD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Iz vrhova A i B jednakostraničnog trougla ABC vraćaju se okomite AA 1 i BB 1 na ravan trougla. Pronađite rastojanje od temena C do sredine segmenta A 1 B 1 ako je AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m i segment A 1 B 1 ne siječe ravan trougla
16. Iz vrhova A i B oštrih uglova pravouglog trougla ABC podignute su okomite AA 1 i BB 1 na ravan trougla. Odredite udaljenost od temena C do sredine segmenta A 1 B 1, ako je A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m i segment A 1 B 1 se ne siječe ravan trougla.
