Konstruišite 4 divne tačke trougla. Istraživački rad „Izvanredne tačke trougla

Prve dvije teoreme su vam dobro poznate, druge dvije ćemo dokazati.

Teorema 1

Tri simetrale trougla seku u jednoj tački, što je centar upisane kružnice.

Dokaz

zasnovano na činjenici da je simetrala ugla geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla.

Teorema 2

Tri okomite simetrale na stranice trougla seku se u jednoj tački, koja je centar opisane kružnice.

Dokaz

na osnovu činjenice da je simetrala okomitog segmenta geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od krajeva ovog segmenta.

Teorema 3

Tri visine ili tri ravne, na kojem se nalaze visine trougla, seku se u jednoj tački. Ova tačka se zove ortocentar trougao.

Dokaz

Kroz vrhove trougla `ABC` povlačimo prave linije paralelne sa suprotnim stranama.

Na raskrsnici se formira trokut `A_1 B_1 C_1`.

Po konstrukciji, `ABA_1C` je paralelogram, tako da je `BA_1 = AC`. Slično, utvrđeno je da je `C_1B = AC`, dakle `C_1B = AC`, tačka `B` je sredina segmenta `C_1A_1`.
Na potpuno isti način je prikazano da je `C` sredina `B_1A_1`, a `A` sredina `B_1 C_1`.
Neka je `BN` visina trougla `ABC`, tada je za segment `A_1 C_1` prava `BN` simetrala okomita. Odatle slijedi da su tri prave na kojima leže visine trougla `ABC` okomite simetrale triju stranica trokuta `A_1B_1C_1`; a takve se okomite seku u jednoj tački (teorema 2).
Ako je trokut oštar, onda je svaka od visina segment koji povezuje vrh i neku tačku na suprotnoj strani. U ovom slučaju, tačke `B` i `N` leže u različitim poluravninama koje formira prava `AM`, što znači da segment `BN` seče liniju `AM`, tačka preseka leži na visini `BN` , tj. leži unutar trougla .
U pravouglom trouglu, tačka preseka visina je vrh pravog ugla.

Teorema 4

Tri medijane trougla seku se u jednoj tački i dijele se sa presječnom točkom u omjeru `2:1`, računajući od vrha. Ova tačka se naziva težište (ili centar mase) trougla.
Postoje različiti dokazi ove teoreme. Predstavimo jedan koji se zasniva na Talesovoj teoremi.

Dokaz

Neka su `E`, `D` i `F` sredine stranica `AB`, `BC` i `AC` trougla `ABC`.

Povučemo medijan `AD` kroz tačke `E` i `F` paralelno ima prave linije `EK` i `FL`. Po Talesovoj teoremi `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) i `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Ali `BD = DC = a//2`, dakle `BK = KD = DL = LC = a//4`. Po istom teoremu `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , dakle `BM = 2MF`.

To znači da je medijan `BF` u tački `M` ukrštanja sa medijanom `AD` podijeljen u omjeru `2:1` računajući od temena.

Dokažimo da je medijan `AD` u tački `M` podijeljen u istom omjeru. Obrazloženje je slično.

Ako uzmemo u obzir medijane `BF` i `CE`, takođe možemo pokazati da se oni sijeku u tački u kojoj je medijana `BF` podijeljena u omjeru `2:1`, odnosno u istoj tački `M`. I do ove tačke medijan `CE` će također biti podijeljen u omjeru `2:1`, računajući od vrha.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009. Geometrija, 8. razred TROUGAO ČETIRI Izvanredne tačke

Tačka preseka medijana trougla Presečna tačka simetrala trougla Tačka preseka visina trougla Tačka preseka simetrala okomice trougla

Medijan (BD) trougla je segment koji povezuje vrh trougla sa središtem suprotne strane. A B C D Medijan

Medijani trougla se sijeku u jednoj tački (težište trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Simetrala (A D) trougla je simetrala unutrašnjeg ugla trougla.

Svaka tačka simetrale nerazvijenog ugla jednako je udaljena od njegovih stranica. Obrnuto: svaka tačka koja leži unutar ugla i jednako udaljena od strana ugla leži na njegovoj simetrali. A M B C

Sve simetrale trougla seku se u jednoj tački - centru kružnice upisane u trokut. C B 1 M A V A 1 C 1 O Poluprečnik kružnice (OM) je okomica spuštena iz centra (TO) na stranu trougla

VISINA Visina (C D) trougla je okomit segment povučen od vrha trougla do prave linije koja sadrži suprotnu stranu. A B C D

Visine trougla (ili njihovih produžetaka) seku se u jednoj tački. A A 1 B B 1 C C 1

SREDNJI PERENDIKULAR Simetrala okomice (DF) je prava okomita na stranicu trougla i koja ga dijeli na pola. A D F B C

A M B m O Svaka tačka simetrale (m) na segment jednako je udaljena od krajeva ovog segmenta. Obrnuto: svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na nju.

Sve okomite simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački - centru kružnice opisane oko trougla. A B C O Polumjer opisane kružnice je udaljenost od centra kružnice do bilo kojeg vrha trougla (OA). m n str

Zadaci za učenike Konstruisati kružnicu upisanu u tupougao trougao koristeći šestar i lenjir. Da biste to učinili: Konstruirajte simetrale u tupouglom trokutu koristeći šestar i ravnalo. Tačka presjeka simetrala je centar kružnice. Konstruirajte polumjer kružnice: okomitu od središta kruga do stranice trokuta. Konstruirajte kružnicu upisanu u trokut.

2. Koristeći šestar i ravnalo, konstruirajte krug koji opisuje tupokutni trokut. Da biste to učinili: Konstruirajte okomite simetrale na stranice tupougla. Tačka presjeka ovih okomica je centar opisane kružnice. Polumjer kružnice je udaljenost od centra do bilo kojeg vrha trokuta. Konstruirajte krug oko trougla.

Ministarstvo opšteg i stručnog obrazovanja Sverdlovske oblasti.

Opštinska obrazovna ustanova u Jekaterinburgu.

Obrazovna ustanova – MOUSOSH br. 212 „Ekaterinburški kulturni licej”

Obrazovna oblast – matematika.

Predmet - geometrija.

Izvanredne tačke trougla

Referent: učenik 8. razreda

Selicki Dmitrij Konstantinovič.

naučni savjetnik:

Rabkanov Sergej Petrovič.

Jekaterinburg, 2001

Uvod 3

Opisni dio:

    Ortocentar 4

    Icentar 5

    Težište 7

    Circumcenter 8

    Ojlerova linija 9

Praktični dio:

    Ortocentrični trougao 10

    Zaključak 11

    Reference 11

Uvod.

Geometrija počinje trouglom. Dva i po milenijuma trougao je bio simbol geometrije. Njegova nova svojstva se stalno otkrivaju. Za razgovor o svim poznatim svojstvima trougla trebat će mnogo vremena. Zanimalo me je tzv. Divne tačke trougao." Primjer takvih tačaka je presjek simetrala. Izvanredna stvar je da ako uzmete tri proizvoljne tačke u prostoru, konstruišete trougao od njih i nacrtate simetrale, onda će se one (simetrale) preseći u jednoj tački! Čini se da to nije moguće, jer smo uzimali proizvoljne bodove, ali ovo pravilo uvijek vrijedi. Druge „izvanredne tačke“ imaju slična svojstva.

Nakon što sam pročitao literaturu na ovu temu, utvrdio sam za sebe definicije i svojstva pet divnih tačaka i trougla. Ali moj rad se tu nije završio; želeo sam da sam istražim ove tačke.

Zbog toga cilj Ovaj rad je studija nekih izvanrednih svojstava trougla i studija ortocentričnog trougla. U procesu postizanja ovog cilja mogu se razlikovati sljedeće faze:

    Izbor literature, uz pomoć nastavnika

    Proučavanje osnovnih svojstava izuzetnih tačaka i linija trougla

    Generalizacija ovih svojstava

    Sastavljanje i rješavanje zadatka koji uključuje ortocentrični trokut

Predstavio sam rezultate dobijene u ovom istraživačkom radu. Sve crteže sam napravio koristeći kompjutersku grafiku (vektorski grafički editor CorelDRAW).

Orthocenter. (tačka preseka visina)

Dokažimo da se visine sijeku u jednoj tački. Hajde da te vodimo kroz vrhove A, IN I WITH trougao ABC prave linije paralelne sa suprotnim stranama. Ove linije formiraju trougao A 1 IN 1 WITH 1 . visina trougla ABC su simetrale okomite na stranice trokuta A 1 IN 1 WITH 1 . dakle, seku se u jednoj tački - centru opisane kružnice trougla A 1 IN 1 WITH 1 . Tačka presjeka visina trougla naziva se ortocentar ( H).

Icentar je centar upisane kružnice.

(tačka presjeka simetrala)

Dokažimo da su simetrale uglova trougla ABC seku u jednoj tački. Razmotrite poentu O presjeci simetrala uglova A I IN. sve tačke simetrale ugla A jednako su udaljene od pravih AB I AC, i bilo koje točke simetrale ugla IN jednako udaljen od pravih linija AB I Ned, pa poenta O jednako udaljen od pravih linija AC I Ned, tj. leži na simetrali ugla WITH. dot O jednako udaljena od pravih linija AB, Ned I SA, što znači da postoji krug sa centrom O, tangente na ove prave, a tačke dodira leže na samim stranicama, a ne na njihovim produžecima. U stvari, uglovi na vrhovima A I IN trougao AOB oštra dakle tačka projekcije O direktno AB leži unutar segmenta AB.

Za zabave Ned I SA dokaz je sličan.

Centar ima tri nekretnine:

    Ako je nastavak simetrale ugla WITH seče opisanu kružnicu trougla ABC u tački M, To MA=MV=MO.

    Ako AB- osnova jednakokračnog trougla ABC, zatim kružnica tangenta na strane kuta DIA u tačkama A I IN, prolazi kroz tačku O.

    Ako prava prolazi kroz tačku O paralelno sa stranicom AB, prelazi strane Ned I SA u tačkama A 1 I IN 1 , To A 1 IN 1 =A 1 IN+AB 1 .

Centar gravitacije. (tačka presjeka medijana)

Dokažimo da se medijane trougla seku u jednoj tački. Za ovo razmotrite poentu M, na kojoj se medijane seku aa 1 I BB 1 . nacrtajmo trougao BB 1 WITH srednja linija A 1 A 2 , paralelno BB 1 . Onda A 1 M:AM=IN 1 A 2 :AB 1 =IN 1 A 2 :IN 1 WITH=VA 1 :SUN=1:2, tj. srednja tačka preseka BB 1 I aa 1 dijeli medijanu aa 1 u omjeru 1:2. Slično, tačka preseka medijana SS 1 I aa 1 dijeli medijanu aa 1 u omjeru 1:2. Dakle, presečna tačka medijana aa 1 I BB 1 poklapa se sa točkom preseka medijana aa 1 I SS 1 .

Ako je presečna tačka medijana trougla spojena sa vrhovima, tada će se trouglovi podeliti na tri trougla jednake površine. Zaista, dovoljno je dokazati da ako R– bilo koja tačka medijane aa 1 u trouglu ABC, zatim površine trouglova AVR I ACP su jednaki. Na kraju krajeva, medijane aa 1 I RA 1 u trouglovima ABC I RVS izrežite ih na trouglove jednake površine.

Obrnuta izjava je također tačna: ako za neku tačku R, koji leži unutar trougla ABC, površina trouglova AVR, U SRIJEDU I SAR su onda jednaki R– tačka preseka medijana.

Točka presjeka ima još jedno svojstvo: ako iz bilo kojeg materijala izrežete trokut, nacrtate medijane na njemu, pričvrstite šipku na točku presjeka medijana i pričvrstite ovjes na stativ, tada će model (trokut) biti u stanje ravnoteže, dakle, tačka preseka nije ništa drugo do težište trougla.

Centar opisanog kruga.

Dokažimo da postoji tačka jednako udaljena od vrhova trougla, ili, drugim rečima, da postoji kružnica koja prolazi kroz tri vrha trougla. Lokus tačaka jednako udaljenih od tačaka A I IN, je okomito na segment AB, prolazeći kroz njegovu sredinu (okomita simetrala na segment AB). Razmotrite poentu O, u kojem se simetrale okomica na segmente sijeku AB I Ned. Dot O jednako udaljena od tačaka A I IN, kao i iz bodova IN I WITH. stoga je jednako udaljena od tačaka A I WITH, tj. također leži na okomitoj simetrali na segment AC.

Centar O opisana kružnica leži unutar trougla samo ako je trokut oštar. Ako je trougao pravougao, onda je tačka O poklapa se sa sredinom hipotenuze, a ako je ugao na vrhu WITH tupo pa pravo AB razdvaja tačke O I WITH.

U matematici se često dešava da se objekti definisani na potpuno različite načine ispostavi da su isti. Pokažimo to na primjeru.

Neka A 1 , IN 1 ,WITH 1 – sredine stranica Ned,SA i AB. Može se dokazati da su opisani krugovi trouglova AB 1 WITH, A 1 Ned 1 I A 1 IN 1 WITH 1 seku se u jednoj tački, a ova tačka je centar opisanog trougla ABC. Dakle, imamo dvije naizgled potpuno različite točke: točku presjeka simetrala okomite na stranice trokuta ABC i tačka preseka opisanih kružnica trouglova AB 1 WITH 1 , A 1 Ned I A 1 IN 1 WITH 1 . ali ispada da se ove dvije tačke poklapaju.

Ojlerova prava linija.

Najčudesnije svojstvo izuzetnih tačaka trougla je da su neke od njih međusobno povezane određenim odnosima. Na primjer, centar gravitacije M, ortocentar N i centar opisane kružnice O leže na istoj pravoj liniji, a tačka M dijeli segment OH tako da je relacija važeća OM:MN=1:2. Ovu teoremu je 1765. godine dokazao švicarski naučnik Leonardo Euler.

Ortocentrični trougao.

Ortocentrični trougao(ortotrougao) je trokut ( MNTO), čiji su vrhovi osnove visina ovog trokuta ( ABC). Ovaj trokut ima mnogo zanimljivih svojstava. Dajmo jednu od njih.

Nekretnina.

dokazati:

Trouglovi AKM, CMN I BKN slično trokutu ABC;

Uglovi ortotrougla MNK su: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

dokaz:

Imamo AB cos A, A.K. cos A. dakle, A.M./AB = A.K./A.C..

Jer kod trouglova ABC I AKM ugao A– zajednički, onda su slični, iz čega zaključujemo da je ugao L AKM = L C. Zbog toga L BKM = L C. Sledeće imamo L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, tj. SK– simetrala ugla MNK. dakle, L MNK= π – 2 L C. Preostale jednakosti se dokazuju na sličan način.

Zaključak.

Na kraju ovog istraživačkog rada mogu se izvući sljedeći zaključci:

    Značajne tačke i linije trougla su:

    ortocentar trougla je tačka preseka njegovih visina;

    andcentre trougao je tačka presjeka simetrala;

    centar gravitacije trougla je tačka preseka njegovih medijana;

    circumcenter– je tačka preseka simetrala okomita;

    Ojlerova prava linija- ovo je prava linija na kojoj leže centar gravitacije, ortocentar i centar opisane kružnice.

    Ortocentrični trokut dijeli dati trokut na tri slična.

Učinivši ovo djelo, naučio sam mnogo o svojstvima trougla. Ovaj rad je za mene bio relevantan sa stanovišta razvoja mog znanja iz oblasti matematike. U budućnosti namjeravam razvijati ovu zanimljivu temu.

Bibliografija.

    Kiselyov A.P. Elementarna geometrija. – M.: Obrazovanje, 1980.

    Coxeter G.S., Greitzer S.L. Novi susreti sa geometrijom. – M.: Nauka, 1978.

    Prasolov V.V. Problemi u planimetriji. – M.: Nauka, 1986. – 1. dio.

    Sharygin I.F. Geometrijski problemi: Planimetrija. – M.: Nauka, 1986.

    Scanavi M.I. Matematika. Problemi sa rešenjima. – Rostov na Donu: Feniks, 1998.

    Berger M. Geometrija u dva toma - M: Mir, 1984.

ČETIRI ZNAČAJNE TOČKE

TROUGAO

Geometrija

8. razred

Saharova Natalia Ivanovna

MBOU Srednja škola br. 28 u Simferopolju


  • Točka preseka medijana trougla
  • Točka presjeka simetrala trougla
  • Tačka presjeka visina trougla
  • Tačka presjeka okomitih medijana trougla

Medijan

medijana (BD) trougla je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane.


Medijani trouglovi seku u jednom trenutku (centar gravitacije trougao) i podijeljeni su ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha.


BISEKTOR

simetrala (AD) trougla je simetrala unutrašnjeg ugla trougla. ∟ BAD = ∟CAD.


Svaki poen simetrale nerazvijenog ugla jednako je udaljena od njegovih stranica.

Natrag: svaka tačka koja leži unutar ugla i jednako udaljena od strana ugla leži na njegovoj simetrala.


Sve simetrale trokuti se seku u jednoj tački - centar upisanog u trougao krugovima.

Polumjer kružnice (OM) je okomita koja se spušta iz centra (TO) na stranu trokuta


VISINA

visina (CD) trougla je okomit segment povučen iz vrha trougla na pravu koja sadrži suprotnu stranu.


Visine trokuti (ili njihovi produžeci) se sijeku jedan tačka.


SREDNJA PERPENDIKULARNA

Okomita simetrala (DF) naziva se prava prava okomita na stranu trougla i koja ga dijeli na pola.


Svaki poen okomita simetrala(m) da je segment jednako udaljen od krajeva ovog segmenta.

Natrag: svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na sredini okomito za njega.


Sve okomite simetrale stranica trokuta seku se u jednoj tački - centar opisanog blizu trougla krug .

Polumjer opisane kružnice je udaljenost od centra kružnice do bilo kojeg vrha trokuta (OA).


Stranica 177 br. 675 (crtež)


Zadaća

173 § 3 definicije i teoreme str 177 br. 675 (završetak)

Povezane publikacije