Riješite nejednačine metodom intervala na mreži sa rješenjem. Linearne nejednakosti

Oblik ax 2 + bx + 0 0, gdje (umjesto znaka > može, naravno, biti bilo koji drugi znak nejednakosti). Imamo sve teorijske činjenice potrebne za rješavanje takvih nejednakosti, koje ćemo sada provjeriti.

Primjer 1. Riješite nejednačinu:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
rješenje,

a) Razmotrite parabolu y = x 2 - 2x - 3 prikazanu na sl. 117.

Riješiti nejednakost x 2 - 2x - 3 > 0 - to znači odgovoriti na pitanje za koje su vrijednosti x ordinate tačaka parabole pozitivne.

Primjećujemo da je y > 0, tj. da se graf funkcije nalazi iznad x-ose, na x< -1 или при х > 3.

Dakle, rješenja nejednakosti su sve tačke otvorenog tipa greda(- 00 , - 1), kao i sve tačke otvorenog snopa (3, +00).

Koristeći znak U (znak unije skupova), odgovor se može napisati na sljedeći način: (-00 , - 1) U (3, +00). Međutim, odgovor se može napisati i ovako:< - 1; х > 3.

b) Nejednakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: raspored nalazi se ispod x-ose ako je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nejednakost x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje se od nejednakosti x 2 - 2x - 3 > 0 po tome što odgovor mora uključivati ​​i korijene jednačine x 2 - 2x - 3 = 0, tj. tačke x = - 1

i x \u003d 3. Dakle, rješenja ove nestroge nejednakosti su sve tačke grede (-00, - 1], kao i sve tačke grede.

Praktični matematičari obično kažu ovo: zašto mi, rješavajući nejednakost ax 2 + bx + c > 0, pažljivo gradimo graf parabole kvadratne funkcije

y \u003d ax 2 + bx + c (kao što je urađeno u primjeru 1)? Dovoljno je napraviti shematsku skicu grafa, za koju samo trebate pronaći korijenje kvadratni trinom (tačka presjeka parabole sa x-osom) i odredi gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje. Ova shematska skica će dati vizualnu interpretaciju rješenja nejednačine.

Primjer 2 Riješite nejednačinu - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Rješenje.

1) Pronađite korijene kvadratnog trinoma - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, koja služi kao graf funkcije y \u003d -2x 2 + Zx + 9, siječe x-osu u tačkama 3 i - 1,5, a grane parabole su usmjerene prema dolje, budući da je stariji koeficijent- negativan broj - 2. Na sl. 118 je skica grafa.

3) Koristeći sl. 118, zaključujemo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3 Riješite nejednačinu 4x 2 - 4x + 1< 0.
Rješenje.

1) Iz jednačine 4x 2 - 4x + 1 = 0 nalazimo.

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; to znači da parabola koja služi kao graf kvadratnog trinoma ne siječe x-osu, već je dodiruje u tački. Grane parabole su usmjerene prema gore (sl. 119.)

3) Koristeći geometrijski model prikazan na sl. 119, utvrđujemo da je navedena nejednakost zadovoljena samo u tački, jer su za sve ostale vrijednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Vjerovatno ste primijetili da je u primjerima 1, 2, 3, zapravo, dobro definirano algoritam rješavajući kvadratne nejednačine, to ćemo formalizirati.

Algoritam za rješavanje kvadratne nejednačine ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak ovog algoritma je pronalaženje korijena kvadratnog trinoma. Ali korijeni možda ne postoje, pa šta učiniti? Tada je algoritam neprimjenjiv, što znači da je potrebno drugačije rezonovati. Ključ za ove argumente daju sljedeće teoreme.

Drugim riječima, ako D< 0, а >0, onda je nejednakost ax 2 + bx + c > 0 zadovoljena za sve x; naprotiv, nejednakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. raspored funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola čije su grane usmjerene prema gore (budući da je a > 0) i koja ne siječe x os, budući da kvadratni trinom nema korijen po uvjetu. Grafikon je prikazan na sl. 120. Vidimo da se za sve x graf nalazi iznad x ose, što znači da je za sve x zadovoljena nejednakost ax 2 + bx + c > 0, što je i trebalo dokazati.

Drugim riječima, ako D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje (pošto je a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primjer 4. Riješite nejednačinu:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Stariji koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

Dakle, prema teoremi 1, za sve x, nejednakost 2x 2 - x + 4 > 0 je zadovoljena, tj. rješenje date nejednakosti je cjelina (-00, + 00).

b) Pronađite diskriminant kvadratnog trinoma - x 2 + Zx - 8. Imamo D = Z2 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) nema rješenja.

U sljedećem primjeru upoznaćemo se sa drugim načinom zaključivanja koji se koristi u rješavanju kvadratnih nejednačina.

Primjer 5 Riješite nejednačinu 3x 2 - 10x + 3< 0.
Rješenje. Razložimo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3. Korijeni trinoma su brojevi 3 i, stoga, koristeći ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), dobijamo Zx 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Na brojevnoj pravoj bilježimo korijene trinoma: 3 i (slika 122).

Neka je x > 3; tada je x-3>0 i x->0, pa je proizvod 3(x - 3)(x - ) pozitivan. Sledeće, neka< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Dakle, proizvod 3(x-3)(x-) je negativan. Konačno, neka x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Sumirajući obrazloženje, dolazimo do zaključka: predznaci kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3 se mijenjaju kao što je prikazano na sl. 122. Zanima nas za koliko x kvadratni trinom poprima negativne vrijednosti. Od sl. 122 zaključujemo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 uzima negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3), ili< х < 3.

Komentar. Metoda zaključivanja koju smo primijenili u primjeru 5 obično se naziva metodom intervala (ili metodom intervala). Aktivno se koristi u matematici za rješavanje racionalno nejednakosti. U 9. razredu ćemo detaljnije proučavati intervalnu metodu.

Primjer 6. Na kojim vrijednostima parametra p je kvadratna jednadžba x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) ima dva različita korijena;

b) ima jedan korijen;

c) nema -korijena?

Rješenje. Broj korijena kvadratne jednadžbe ovisi o predznaku njenog diskriminanta D. U ovom slučaju nalazimo D = 25 - 4p 2.

a) Kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, ako je D> 0, onda se problem svodi na rješavanje nejednakosti 25 - 4p 2 > 0. Oba dijela ove nejednakosti množimo sa -1 (sjetimo se da promijenimo predznak nejednakosti). Dobijamo ekvivalentnu nejednakost 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaci izraza 4(p - 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Zaključujemo da je nejednakost 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna jednačina ima jedan korijen ako je D 0.
Kao što smo već rekli, D = 0 na p = 2,5 ili p = -2,5.

Za ove vrijednosti parametra p ova kvadratna jednadžba ima samo jedan korijen.

c) Kvadratna jednadžba nema korijena ako je D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobijamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, odakle (vidi sliku 123) p< -2,5; р >2.5. Za ove vrijednosti parametra p, ova kvadratna jednadžba nema korijen.

Odgovor: a) na p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ili p = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. Ocena 8: Proc. za opšte obrazovanje institucije - 3. izd., završeno. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomozite učeniku onlajn, Matematika za preuzimanje za 8. razred, kalendarsko-tematsko planiranje

Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manje (< ) su pozvani strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) su pozvani nestrog. Ikona nije jednako (≠ ) stoji samostalno, ali morate stalno rješavati primjere sa takvom ikonicom. I hoćemo.)

Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je tačna nejednakost. pet < 2 je netačno.

Takva priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Vi samo trebate pravilno izvršiti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, što je tipično, zaglavci u ovim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednačina, da... Stoga se ove radnje moraju ponoviti. Ove radnje se zovu ovako:

Identitetske transformacije nejednakosti.

Identitetske transformacije nejednačina su vrlo slične transformacijama identiteta jednačina. Zapravo, ovo je glavni problem. Razlike su klizile mimo glave i ... stigle.) Stoga ću ove razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) oba dijela nejednačine. Bilo koji. Znak nejednakosti se neće promijeniti.

U praksi se ovo pravilo primjenjuje kao prijenos pojmova s ​​lijeve strane nejednačine na desnu (i obrnuto) sa promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan je isto kao i pravilo za jednačine. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednačinama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimpozitivnobroj. Za bilo kojepozitivno Neće se promijeniti.

3. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimnegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogaće se promijeniti u suprotno.

Sjećate se (nadate se...) da se jednačina može pomnožiti/podijeliti sa bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz sa x. Sve dok nije nula. On, jednačina, od ovoga nije ni vruć ni hladan.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Dobar primjer za dugo pamćenje. Pišemo nejednakost koja ne izaziva sumnje:

5 > 2

Pomnožite obje strane sa +3, dobijamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako oba dijela izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobijamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Zavaravanje naroda! Ali čim se znak nejednakosti obrne, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

O lažima i obmanama - ne kunem se samo.) "Zaboravio sam da promenim znak nejednakosti..."- ovo Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo beznačajno i nekomplicirano pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Ko su zaboravili...) Pa kunem se. Možda se setite...)

Oni koji su posebno pažljivi primijetit će da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom sa x. Poštovanje pažljivo!) A zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza sa x. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja / dijeljenja nejednakosti izrazom sa x) može se zaobići. Ako ti zaista treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas podsjetim još jednom da oni rade za bilo koji nejednakosti. A sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednačine se nazivaju nejednakosti u kojima je x u prvom stepenu i nema podjele sa x. Vrsta:

x+3 > 5x-5

Kako se rješavaju ove nejednakosti? Vrlo su laki za rješavanje! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjeniju linearnu nejednakost pravo na odgovor. To je cijelo rješenje. Istaknut ću glavne tačke rješenja. Da izbjegnemo glupe greške.)

Rješavamo ovu nejednakost:

x+3 > 5x-5

Rješavamo na isti način kao i linearnu jednačinu. sa jedinom razlikom:

Obratite posebnu pažnju na znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. Sa x - lijevo, bez x - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti znakove prenesenih članova.

Znak nejednakosti je sačuvan:

x-5x > -5-3

Predstavljamo vam slične.

Znak nejednakosti je sačuvan:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti oba dijela sa -4.

Podijeli po negativan broj.

Predznak nejednakosti će biti obrnut:

X < 2

Ovo je odgovor.

Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.

Pažnja! Tačka 2 je nacrtana bijelom bojom, tj. neobojen. Prazan unutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva tačka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove punch out point.

Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu neophodni. Strani brojevi koji nisu povezani sa našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo treba zapamtiti da povećanje brojeva ide u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno dvojke i brojevi 1, 0, -1 itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - stroga. X je striktno manji od dva. Kada ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakosti i mislimo: "Dva je manje od dva? Naravno da nije!" Upravo. Nejednakost 2 < 2 pogrešno. Dvojka nije dobra za odgovor.

Je li samac dovoljno dobar? Svakako. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak i 1,9999 .... Bar malo, ali manje!

Dakle, sve ove brojeve označavamo na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je valjenje. Prelazimo mišem preko slike (ili dodirujemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje kuglica x koje odgovaraju x uvjetu zasjenjeno < 2 . To je sve.

Razmotrimo drugu opciju u drugom primjeru:

X ≥ -0,5

Nacrtajte osu, označite broj -0,5. Volim ovo:

Jeste li primijetili razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti... Ova tačka je crna! Prefarbano. To znači da je -0,5 uključeno u odgovor. Evo, usput, provjeravam i zbunjujem nekoga. Zamjenjujemo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije ništa više od -0,5! Postoji još ikona...

Uredu je. U nestriktnoj nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki fit i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje da označimo sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam raspon odgovarajućih vrijednosti x okov(od riječi arc) umjesto šrafiranja. Zadržite pokazivač miša preko slike i pogledajte ovaj luk.

Ne postoji posebna razlika između šrafure i lukova. Uradi kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte ruke. U složenijim zadacima, šrafiranje je manje očigledno. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Prelazimo na sljedeću singularnost nejednačina.

Napišite odgovor za nejednakosti.

Bilo je dobro u jednadžbama.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x = 3. U nejednakostima postoje dva oblika pisanja odgovora. Jedan - u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

X< 2.

Ovo je potpuni odgovor.

Ponekad je potrebno napisati istu stvar, ali u drugom obliku, kroz numeričke praznine. Tada unos počinje da izgleda veoma naučno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ skrivanje riječi "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Dupli X ne može biti, što nam govori riječ "ne uključujući".

Gdje je to u odgovoru "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru. round zagrada odmah iza dvojke. Da je dvojka uključena, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 kroz intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga, u takvim unosima, beskonačnost uvijek koegzistira sa zagradama.

Ovaj oblik snimanja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko praznina. Ali - samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednakosti. O tome ćemo se baviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci sa nejednakostima.

Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Dakle, misliti da je to bilo neophodno. Ovo, ako iz navike, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne morate da ih naučite, to je suvišno. I da se ne bojite pri susretu sa sličnim primjerima. Malo razmišljanja - i sve je jednostavno!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednakosti 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno šta da radite, zapamtite glavno pravilo matematike:

Ako ne znate šta da radite, uradite ono što možete!

X < 1

Pa šta? Ništa posebno. Šta nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koji su rješenje za nejednakost. One. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevi. Zapravo, ovo je neugodno.) Par 0 i 0,5 je pogodan. Par -3 i -8. Da, postoji beskonačan broj ovih parova! Šta je tačan odgovor?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bi bio tačan odgovor. Napiši šta želiš. Idemo dalje.

2. Riješite nejednačinu:

4x - 3 ≠ 0

Ovakvi poslovi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene funkcije, one se stalno susreću. Takva linearna nejednakost može se riješiti kao obična linearna jednačina. Samo svuda, osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nije jednako). Dakle, doći ćete do odgovora, sa znakom nejednakosti:

X ≠ 0,75

U više teški primjeri bolje da to uradiš na drugi način. Neka nejednakost bude jednaka. Volim ovo:

4x - 3 = 0

Mirno riješi to kako je naučeno i dobij odgovor:

x = 0,75

Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujemo konačan odgovor, da ne zaboravimo da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam jednostavno ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnom ikonom:

X ≠ 0,75

Ovaj pristup rezultira manjim brojem grešaka. Oni koji rješavaju jednačine na mašini. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su, zapravo, beskorisne ...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednačine:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo, jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, prenosimo, dajemo slične... Dobijamo:

X > - 6

Zar se nije desilo!? Jeste li pratili znakove? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Zamislimo se ponovo. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne padne na pamet, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva je veće od minus šest? Svakako! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanji mogući! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo slagati brojeve, zar ne?)

Uzimamo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor izvršen, -5 > - 6. Možete li pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5 ... Stani! Rečeno nam je cijeli rješenje! Ne valja -5,5! Šta je sa minus šest? Eee! Nejednakost je stroga, minus 6 nije manje od minus 6!

Dakle, tačan odgovor je -5.

Nadam se da je sve jasno sa izborom vrijednosti iz generalnog rješenja. Drugi primjer:

4. Riješite nejednačinu:

7 < 3x+1 < 13

Kako! Takav izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćena notacija sistema nejednakosti. Ali i dalje morate riješiti takve trostruke nejednakosti u nekim zadacima... To se rješava bez ikakvih sistema. Po istim identičnim transformacijama.

Potrebno je pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Šta preneti gde!? Ovdje je vrijeme da zapamtite da je pomicanje lijevo-desno skraćeni oblik prva identična transformacija.

ALI duga forma zvuči ovako: Možete dodati/oduzeti bilo koji broj ili izraz oba dijela jednačine (nejednakost).

Ovdje postoje tri dijela. Tako ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmite jedan od cijelog srednjeg dijela. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Volim ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Već bolje, zar ne?) Ostaje podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < X < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se također piše u intervalima, takvi unosi će biti u kvadratnim nejednačinama. Tu su oni najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponoviću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednačina zavisi od sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednačina. Ako u isto vrijeme prati znak nejednakosti, neće biti problema. Šta ti želim. nema problema.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Danas, prijatelji, neće biti šmrkanja i sentimenta. Umjesto toga, poslaću vas u bitku sa jednim od najstrašnijih protivnika u kursu algebre od 8. do 9. razreda bez dodatnih pitanja.

Da, sve ste ispravno shvatili: govorimo o nejednakostima sa modulom. Pogledat ćemo četiri osnovne tehnike pomoću kojih ćete naučiti riješiti oko 90% ovih problema. Šta je sa ostalih 10%? Pa, o njima ćemo u posebnoj lekciji. :)

Međutim, prije nego što analiziram bilo kakve trikove, želio bih podsjetiti na dvije činjenice koje već morate znati. U suprotnom, rizikujete da uopšte ne razumete materijal današnje lekcije.

Ono što već trebate znati

Kapetan Evidence, takoreći, nagoveštava da da biste rešili nejednakosti sa modulom, morate znati dve stvari:

1. Kako se rješavaju nejednakosti?
2. Šta je modul.

Počnimo s drugom tačkom.

Definicija modula

Ovdje je sve jednostavno. Postoje dvije definicije: algebarska i grafička. Počnimo sa algebrom:

Definicija. Modul broja $x$ je ili sam broj, ako nije negativan, ili broj nasuprot njemu, ako je originalni $x$ i dalje negativan.

Napisano je ovako:

\[\lijevo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

razgovor običan jezik, modul je "broj bez minusa". I upravo u toj dvojnosti (negdje ne morate ništa raditi s originalnim brojem, ali negdje morate ukloniti neki minus) i leži sva poteškoća za studente početnike.

Postoji i geometrijska definicija. Korisno je i to znati, ali ćemo se na njega pozivati ​​samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup pogodniji od algebarskog (spojler: ne danas).

Definicija. Neka je tačka $a$ označena na realnoj pravoj. Zatim modul $\left| x-a \right|$ je rastojanje od tačke $x$ do tačke $a$ na ovoj pravoj.

Ako nacrtate sliku, dobićete nešto ovako:

Definicija grafičkog modula

Na ovaj ili onaj način, njegovo ključno svojstvo odmah slijedi iz definicije modula: modul broja je uvijek nenegativna vrijednost. Ova činjenica će biti crvena nit kroz našu današnju priču.

Rješenje nejednačina. Metoda razmaka

Sada se pozabavimo nejednakostima. Ima ih jako puno, ali sada nam je zadatak da riješimo barem najjednostavniji od njih. One koje se svode na linearne nejednakosti, kao i na metodu intervala.

Imam dva velika tutorijala na ovu temu (usput, vrlo, JAKO korisna - preporučujem proučavanje):

1. Intervalna metoda za nejednakosti (posebno pogledajte video);
2. Frakcijsko-racionalne nejednakosti je vrlo obimna lekcija, ali nakon nje više nećete imati pitanja.

Ako sve ovo znate, ako vas fraza "pređimo s nejednakosti na jednačinu" ne tjera na maglovitu želju da se ubijete o zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)

1. Nejednakosti oblika "Modul manji od funkcije"

Ovo je jedan od najčešćih zadataka sa modulima. Potrebno je riješiti nejednakost oblika:

\[\lijevo| f\right| \ltg\]

Bilo šta može djelovati kao funkcije $f$ i $g$, ali obično su to polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(poravnati)\]

Svi su riješeni doslovno u jednom redu prema shemi:

\[\lijevo| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \desno.\desno)\]

Lako je vidjeti da smo se riješili modula, ali umjesto toga dobijamo dvostruku nejednakost (ili, što je ista stvar, sistem dvije nejednakosti). Ali ova tranzicija uzima u obzir apsolutno sve moguće probleme: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, i dalje radi; pa čak i sa najneadekvatnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.

Naravno, postavlja se pitanje: nije li lakše? Nažalost, ne možete. Ovo je cijela poenta modula.

Ali dosta filozofiranja. Rešimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Rješenje. Dakle, imamo klasičnu nejednakost oblika "modul je manji od" - čak nema ništa za transformaciju. Radimo po algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica desno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\kraj (poravnati)\]

Nemojte žuriti da otvarate zagrade kojima prethodi „minus”: sasvim je moguće da ćete zbog žurbe napraviti uvredljivu grešku.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problem je sveden na dvije elementarne nejednakosti. Zabilježimo njihova rješenja na paralelnim realnim pravima:

Raskrsnica mnogih

Presjek ovih skupova će biti odgovor.

Odgovor: $x\in \levo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Rješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Za početak, izoliramo modul pomicanjem drugog člana udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očigledno, opet imamo nejednakost oblika „modul je manji“, pa se rješavamo modula prema već poznatom algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Pažnja: neko će reći da sam ja pomalo perverznjak sa svim ovim zagradama. Ali još jednom vas podsjećam da je naš ključni cilj tačno riješiti nejednačinu i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete se izopačiti kako hoćete: otvarajte zagrade, dodajte minuse itd.

I za početak, samo se riješimo dvostrukog minusa s lijeve strane:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]

Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednakosti:

Pređimo na dvostruku nejednakost. Ovoga puta kalkulacije će biti ozbiljnije:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Obje nejednakosti su kvadratne i rješavaju se intervalnom metodom (zato kažem: ako ne znate šta je, bolje je da još ne preuzimate module). Prelazimo na jednačinu u prvoj nejednakosti:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, ispostavilo se da je izlaz nepotpuna kvadratna jednadžba, koja se rješava elementarno. Sada se pozabavimo drugom nejednakošću sistema. Tu morate primijeniti Vietinu teoremu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(poravnati)\]

Dobijene brojeve označavamo na dvije paralelne prave (odvojeno za prvu nejednačinu i odvojeno za drugu):

Opet, pošto rješavamo sistem nejednačina, zanima nas presjek osenčenih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \levo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:

1. Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih pojmova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobijamo nejednakost oblika $\left| f\right| \ltg$.
2. Riješite ovu nejednakost tako što ćete se riješiti modula kao što je gore opisano. U jednom trenutku biće potrebno preći sa dvostruke nejednakosti na sistem dva nezavisna izraza, od kojih se svaki već može posebno rešavati.
3. Konačno, ostaje samo da ukrstimo rješenja ova dva nezavisna izraza - i to je to, dobićemo konačan odgovor.

Sličan algoritam postoji i za nejednakosti sljedećeg tipa, kada je modul veći od funkcije. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o ovim „ali“.

2. Nejednakosti oblika "Modul je veći od funkcije"

izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\right| \gt g\]

Slično prethodnom? Izgleda kao. Ipak, takvi se zadaci rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:

\[\lijevo| f\right| \gt g\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(poravnati) \desno.\]

Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:

1. Prvo, jednostavno ignoriramo modul - rješavamo uobičajenu nejednakost;
2. Tada, zapravo, otvaramo modul sa predznakom minus, a zatim oba dijela nejednakosti množimo sa −1, sa predznakom.

U ovom slučaju, opcije se kombiniraju uglastom zagradom, tj. Imamo kombinaciju dva zahtjeva.

Obratite pažnju još jednom: pred nama nije sistem, već agregat, dakle u odgovoru, skupovi se kombinuju, a ne seku. Ovo je suštinska razlika u odnosu na prethodni paragraf!

Općenito, mnogi studenti imaju dosta zabune sa sindikatima i raskrsnicama, pa hajde da jednom za svagda pogledamo ovo pitanje:

• "∪" je znak spajanja. U stvari, ovo je stilizovano slovo "U", iz koje nam je došlo na engleskom i skraćenica je za "Union", tj. "Udruženja".
• "∩" je znak raskrsnice. Ovo sranje nije došlo niotkuda, već se samo pojavilo kao opozicija "∪".

Da biste još lakše zapamtili, samo dodajte noge ovim znakovima da napravite naočale (samo me nemojte optuživati ​​da sada promoviram ovisnost o drogama i alkoholizmu: ako ozbiljno proučavate ovu lekciju, onda ste već narkoman):

Razlika između presjeka i unije skupova

Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (kolekcija) uključuje elemente iz oba skupa, dakle, ništa manje od svakog od njih; ali raskrsnica (sistem) uključuje samo one elemente koji se nalaze i u prvom i u drugom skupu. Stoga, presjek skupova nikada nije veći od izvornih skupova.

Pa je postalo jasnije? To je sjajno. Pređimo na praksu.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Rješenje. Djelujemo prema shemi:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \levo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\levo(5-4x \desno) \\\end(poravnati) \ tačno.\]

Svaku populacijsku nejednakost rješavamo:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Svaki rezultirajući skup označavamo na brojevnoj liniji, a zatim ih kombiniramo:

Unija skupova

Očigledno je odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Rješenje. Pa? Ne, sve je isto. Od nejednakosti sa modulom prelazimo na skup od dvije nejednakosti:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Svaku nejednakost rješavamo. Nažalost, korijeni tamo neće biti dobri:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(poravnati)\]

U drugoj nejednakosti ima i malo igre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(poravnati)\]

Sada trebamo ove brojeve označiti na dvije ose - jednu os za svaku nejednakost. Međutim, morate označiti tačke ispravnim redoslijedom: što je veći broj, to se tačka dalje pomiče udesno.

I ovdje čekamo postavljanje. Ako je sve jasno sa brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojiocu prvog razlomak su manji od članova u brojiocu drugog, pa je i zbir manji), sa brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj je očito negativniji), ali sa zadnjim parom sve nije tako jednostavno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raspored tačaka na brojevnim pravima i, zapravo, odgovor će zavisiti od odgovora na ovo pitanje.

Pa da uporedimo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednakosti, tako da imamo pravo kvadrirati obje strane:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, tako da $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačno će tačke na osi biti raspoređene ovako:

Slučaj ružnih korijena

Da vas podsjetim da rješavamo skup, tako da će odgovor biti unija, a ne sjecište osenčenih skupova.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kao što vidite, naša shema odlično funkcionira i za jednostavne i za vrlo teške zadatke. Jedina “slaba tačka” u ovom pristupu je ta što morate ispravno uporediti iracionalne brojeve (i vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna lekcija) biće posvećena pitanjima poređenja. I idemo dalje.

3. Nejednakosti sa nenegativnim "repovima"

Tako smo došli do najzanimljivijeg. Ovo su nejednakosti oblika:

\[\lijevo| f\right| \gt\lijevo| g\desno|\]

Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti vrijedi samo za modul. Radi u svim nejednačinama gdje postoje zagarantovani nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:

Šta raditi s ovim zadacima? Samo se sjeti:

U nejednačinama s nenegativnim repovima, obje strane se mogu podići na bilo koju prirodnu snagu. Neće biti dodatnih ograničenja.

Prije svega, zanimat će nas kvadratura - spaljuje module i korijene:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\end(poravnati)\]

Samo nemojte ovo brkati sa uzimanjem korijena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Napravljene su bezbrojne greške kada je student zaboravio instalirati modul! Ali ovo je sasvim druga priča (ovo su, takoreći, iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada ulaziti u to. Bolje da riješimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]

Rješenje. Odmah primjećujemo dvije stvari:

1. Ovo je nestriktna nejednakost. Tačke na brojevnoj liniji će biti izbušene.
2. Obje strane nejednakosti su očigledno nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednakosti da bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu metodu intervala:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

U poslednjem koraku sam se malo prevario: promenio sam redosled članova, koristeći paritet modula (u stvari, pomnožio sam izraz $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rješavamo metodom intervala. Pređimo sa nejednačine na jednačinu:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

Pronađene korijene označavamo na brojevnoj pravoj. Još jednom: sve tačke su zasjenjene jer izvorna nejednakost nije stroga!

Uklanjanje znaka modula

Za posebno tvrdoglave da podsjetim: predznake uzimamo iz posljednje nejednačine, koja je zapisana prije prelaska na jednadžbu. I farbamo preko potrebnih površina u istoj nejednakosti. U našem slučaju, ovo je $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Pa to je sve. Problem riješen.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Rješenje. Sve radimo isto. Neću komentarisati - samo pogledajte redoslijed radnji.

Hajde da ga kvadriramo:

\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda razmaka:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varnothing . \\\end(poravnati)\]

Na brojevnoj pravoj postoji samo jedan korijen:

Odgovor je čitav niz

Odgovor: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan od mojih učenika tačno primetio, oba izraza podmodula u ovoj nejednakosti su očigledno pozitivna, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ali ovo je već potpuno drugačiji nivo razmišljanja i drugačiji pristup - to se može uvjetno nazvati metodom posljedica. O njemu - u posebnoj lekciji. A sada pređimo na završni dio današnje lekcije i razmotrimo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi dosadašnji pristupi bili nemoćni. :)

4. Metoda nabrajanja opcija

Šta ako svi ovi trikovi ne uspiju? Ako se nejednakost ne svodi na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako uopće bol-tuga-čežnja?

Tada na scenu stupa "teška artiljerija" sve matematike - metoda prebrojavanja. Što se tiče nejednakosti sa modulom, to izgleda ovako:

1. Napišite sve izraze podmodula i izjednačite ih sa nulom;
2. Riješite rezultirajuće jednačine i na jednoj brojevnoj pravoj označite pronađene korijene;
3. Prava linija će biti podijeljena na nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni znak i stoga se nedvosmisleno širi;
4. Riješite nejednakost na svakom takvom odsječku (možete zasebno razmotriti granične korijene dobivene u paragrafu 2 - radi pouzdanosti). Kombinujte rezultate - ovo će biti odgovor. :)

Pa, kako? Slabo? Lako! Samo na duže vreme. Da vidimo u praksi:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Rješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ ili $\left| f\right| \lt\lijevo| g \right|$, pa idemo naprijed.

Zapisujemo izraze podmodula, izjednačavamo ih sa nulom i pronalazimo korijene:

\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \\ & x-1=0\Strelica desno x=1. \\\end(poravnati)\]

Ukupno imamo dva korijena koji dijele brojevnu pravu na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva na jedinstven način:

Dijeljenje brojevne prave nulama submodularnih funkcija

Razmotrimo svaki odjeljak posebno.

1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba izraza podmodula negativna, a originalna nejednakost se prepisuje na sljedeći način:

\[\begin(poravnati) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(poravnati)\]

Dobili smo prilično jednostavno ograničenje. Presijecimo ga s originalnom pretpostavkom da je $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očigledno, varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2, ali veća od 1,5. U ovoj oblasti nema rješenja.

1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u originalnu nejednakost i provjerimo: vrijedi li?

\[\begin(poravnati) & ((\levo. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varnothing . \\\end(poravnati)\]

Očigledno nas je lanac proračuna doveo do pogrešne nejednakosti. Prema tome, originalna nejednakost je također netačna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.

2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti sa "plusom", ali je desni i dalje sa "minusom". Imamo:

\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(poravnati)\]

Opet se ukrštamo s originalnim zahtjevom:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I opet, prazan skup rješenja, jer nema brojeva koji su i manji od −2,5 i veći od −2.

2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u originalnu nejednakost:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varnothing . \\\end(poravnati)\]

Slično kao u prethodnom "posebnom slučaju", broj $x=1$ očigledno nije uključen u odgovor.

3. Posljednji dio reda: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli prošireni znakom plus:

\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]

I opet siječemo pronađeni skup s originalnim ograničenjem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \desno)\]

Konačno! Našli smo interval, koji će biti odgovor.

Odgovor: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na kraju, jedna napomena koja vas može spasiti od glupih grešaka pri rješavanju stvarnih problema:

Rješenja nejednačina sa modulima su obično neprekidni skupovi na brojevnoj pravoj - intervali i segmenti. Izolovane tačke su mnogo rjeđe. I još rjeđe se dešava da se granice rješenja (kraj segmenta) poklapaju sa granicom raspona koji se razmatra.

Shodno tome, ako granice (ti isti „posebni slučajevi“) nisu uključene u odgovor, tada gotovo sigurno neće biti uključena ni područja lijevo-desno od ovih granica. I obrnuto: granica unesena kao odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.

Imajte to na umu kada provjeravate svoja rješenja.

Zdravo! Dragi moji studenti, u ovom članku ćemo naučiti kako riješiti eksponencijalne nejednakosti .

Koliko god vam se eksponencijalna nejednakost činila komplikovanom, nakon nekih transformacija (o njima ćemo malo kasnije), sve nejednakosti svode se na rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina:

a x > b, sjekira< b I a x ≥ b, a x ≤ b.

Pokušajmo shvatiti kako se takve nejednakosti rješavaju.

Razmotrićemo rešenje stroge nejednakosti. Jedina razlika u rješavanju nestrogih nejednačina je u tome što su dobijeni odgovarajući korijeni uključeni u odgovor.

Neka je potrebno riješiti nejednakost oblika i f(x) > b, gdje a>1 I b>0.

Pogledajte šemu za rješavanje takvih nejednakosti (slika 1):

Pogledajmo sada konkretan primjer. Riješite nejednačinu: 5 x - 1 > 125.

Pošto je 5 > 1 i 125 > 0, onda
x - 1 > log 5 125, tj
x - 1 > 3,
x > 4.

odgovor: (4; +∞) .

Koje je rješenje ove nejednakosti? i f(x) >b, ako 0 I b>0?

Dakle, dijagram na slici 2

primjer: Riješite nejednakost (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Primjenom pravila (slika 2) dobijamo
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

odgovor: (–∞; 0] .

Razmotrimo ponovo istu nejednakost i f(x) > b, ako a>0 I b<0 .

Dakle, dijagram na slici 3:

Primjer rješavanja nejednakosti (1/3) x + 2 > -9. Kao što primjećujemo, bez obzira koji broj zamijenimo za x, (1/3) x + 2 je uvijek veći od nule.

odgovor: (–∞; +∞) .

Kako se rješavaju nejednakosti oblika? a f(x)< b , gdje a>1 I b>0?

Dijagram na slici 4:

I sljedeći primjer: 3 3 – x ≥ 8.
Pošto je 3 > 1 i 8 > 0, onda
3 - x\u003e log 3 8, tj
-x > log 3 8 - 3,
X< 3 – log 3 8.

odgovor: (0; 3–log 3 8) .

Kako promijeniti rješenje nejednakosti a f(x)< b , at 0 I b>0?

Dijagram na slici 5:

I sljedeći primjer: Riješite nejednačinu 0,6 2x - 3< 0,36 .

Prateći dijagram na slici 5, dobijamo
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2.5

odgovor: (2,5; +∞) .

Razmotrimo posljednju shemu za rješavanje nejednakosti oblika a f(x)< b , at a>0 I b<0 prikazano na slici 6:

Na primjer, riješimo nejednakost:

Uočavamo da bez obzira kojim brojem zamijenimo x, lijeva strana nejednakosti je uvijek veća od nule, au našem slučaju ovaj izraz je manji od -8, tj. a nula znači da nema rješenja.

odgovor: nema rješenja.

Znajući kako se rješavaju najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti, možemo nastaviti na rješavanje eksponencijalnih nejednačina.

Primjer 1

Odredite najveću cjelobrojnu vrijednost x koja zadovoljava nejednakost

Pošto je 6 x veće od nule (za nijedan x nazivnik ide na nulu), pomnožimo obje strane nejednakosti sa 6 x, dobićemo:

440 - 2 6 2x > 8, onda
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Riješite nejednakost 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x sa y, dobijamo nejednakost y 2 - 3y + 2 ≤ 0, rješavamo ovu kvadratnu nejednačinu.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 i y 2 = 2.

Grane parabole su usmjerene prema gore, nacrtajmo graf:

Tada će rješenje nejednakosti biti nejednakost 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

odgovor: (0; 1) .

Primjer 3. Riješite nejednakost 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Sakupi izraze sa istim osnovama u jednom dijelu nejednačine

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Izvadimo nejednakost na lijevoj strani zagrada 5 x , a na desnoj strani nejednakosti 3 x i dobijemo nejednakost

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Oba dijela nejednakosti podijelimo izrazom 3 3 x, predznak nejednakosti se neće promijeniti, pošto je 3 3 x pozitivan broj, dobijamo nejednakost:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

odgovor: (–∞; 2) .

Ako imate pitanja o rješavanju eksponencijalnih nejednačina ili želite vježbati rješavanje sličnih primjera, prijavite se na moje lekcije. Tutor Valentina Galinevskaya.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

rješenje nejednakosti u modu online rješenje skoro svaku datu nejednakost online. Matematički nejednakosti na mreži riješiti matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u modu online. Stranica www.site vam omogućava da pronađete rješenje skoro svaki dan algebarski, trigonometrijski ili transcendentna nejednakost na mreži. Kada proučavate gotovo bilo koji dio matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti na mreži. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala www.site riješite nejednakost na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih nejednakosti na mreži- je brzina i tačnost datog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske nejednakosti na mreži, trigonometrijske nejednakosti na mreži, transcendentalne nejednakosti na mreži, kao i nejednakosti sa nepoznatim parametrima u modu online. nejednakosti služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični zadaci. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. nepoznate količine nejednakosti može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi nejednakosti I riješiti primljeni zadatak u režimu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska nejednakost, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno lako vam nudi odlučiti online i dobijte pravi odgovor. Izučavajući prirodne nauke, neminovno se susreće sa potrebom rješenje nejednačina. U tom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora biti primljen odmah u modu online. Stoga, za rješavanje matematičkih nejednakosti na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti na mreži, kao i transcendentalne nejednakosti na mreži ili nejednakosti sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja intravolskih rješenja raznih matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti na mreži sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Nejednakost je potrebno pravilno zapisati i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo uporediti odgovor sa svojim rješenjem nejednakosti. Provjera odgovora neće potrajati više od minute, dovoljno riješite nejednakost na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje nejednakosti na mreži da li algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili nejednakost sa nepoznatim parametrima.