Online kalkulator za rješavanje kvadratne nejednakosti. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina
Rješavanje nejednakosti online
Prije rješavanja nejednačina potrebno je dobro razumjeti kako se jednačine rješavaju.
Nije bitno da li je nejednakost stroga () ili nestroga (≤, ≥), prvi korak je rješavanje jednadžbe zamjenom znaka nejednakosti jednakošću (=).
Objasnite šta znači riješiti nejednakost?
Nakon proučavanja jednadžbi, učeniku se u glavi stvara sljedeća slika: potrebno je pronaći takve vrijednosti varijable za koje oba dijela jednačine imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve tačke u kojima vrijedi jednakost. Sve je tačno!
Kada se govori o nejednakostima, misli se na pronalaženje intervala (segmenata) na kojima nejednakost važi. Ako postoje dvije varijable u nejednakosti, tada rješenje više neće biti intervali, već neke oblasti na ravni. Pogodite koje će biti rješenje nejednakosti u tri varijable?
Kako riješiti nejednakosti?
Metoda intervala (poznata i kao metoda intervala) smatra se univerzalnim načinom rješavanja nejednakosti, koji se sastoji u određivanju svih intervala unutar kojih će data nejednakost biti ispunjena.
Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije suština, potrebno je riješiti odgovarajuću jednačinu i odrediti njene korijene, nakon čega slijedi označavanje ovih rješenja na numeričkoj osi.
Koji je ispravan način da se zapiše rješenje nejednačine?
Kada ste odredili intervale za rješavanje nejednakosti, potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?
Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ i nejednakost nije striktna, tada je granica intervala uključena u rješenje nejednačine. Inače, ne.
Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednakosti može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna od njegovih granica zadovoljava nejednakost), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.
Važna tačka
Nemojte misliti da samo intervali, poluintervali i segmenti mogu biti rješenje za nejednakost. Ne, pojedinačne tačke se takođe mogu uključiti u rešenje.
Na primjer, nejednakost |x|≤0 ima samo jedno rješenje - tačku 0.
I nejednakost |x|
Čemu služi kalkulator nejednakosti?
Kalkulator nejednakosti daje tačan konačni odgovor. U ovom slučaju, u većini slučajeva, daje se ilustracija numeričke ose ili ravni. Možete vidjeti da li su granice intervala uključene u rješenje ili ne - tačke se prikazuju ispunjene ili probušene.
Hvala za online kalkulator za nejednakosti, možete provjeriti da li ste pravilno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na brojevnoj osi i provjerili ispunjenje uvjeta nejednakosti na intervalima (i granicama)?
Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati učinjenu grešku.
Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manje (< ) su pozvani strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) su pozvani nestrog. Ikona nije jednako (≠ ) stoji samostalno, ali morate stalno rješavati primjere sa takvom ikonicom. I hoćemo.)
Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...
Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je tačna nejednakost. 5 < 2 je netačno.
Takva priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Vi samo trebate pravilno izvršiti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, što je tipično, zaglavci u ovim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednačina, da... Stoga se ove radnje moraju ponoviti. Ove radnje se zovu ovako:
Identitetske transformacije nejednakosti.
Identitetske transformacije nejednačina su vrlo slične transformacijama identiteta jednačina. Zapravo, ovo je glavni problem. Razlike su klizile mimo glave i ... stigle.) Stoga ću ove razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:
1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) oba dijela nejednačine. Bilo koji. Znak nejednakosti se neće promijeniti.
U praksi se ovo pravilo primjenjuje kao prijenos pojmova s lijeve strane nejednačine na desnu (i obrnuto) sa promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan je isto kao i pravilo za jednačine. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednačinama. Stoga ih ističem crvenom bojom:
2. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimpozitivnobroj. Za bilo kojepozitivno Neće se promijeniti.
3. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimnegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromeniće se u suprotno.
Sjećate se (nadate se...) da se jednačina može pomnožiti/podijeliti sa bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz sa x. Sve dok nije nula. On, jednačina, nije ni vruć ni hladan od ovoga.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.
Dobar primjer za dugo pamćenje. Pišemo nejednakost koja ne izaziva sumnje:
5 > 2
Pomnožite obje strane sa +3, dobijamo:
15 > 6
Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako oba dijela izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobijamo:
15 > -6
A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Zavaravanje naroda! Ali čim se znak nejednakosti obrne, sve dolazi na svoje mjesto:
15 < -6
O lažima i obmanama - ne kunem se samo.) "Zaboravio sam da promenim znak nejednakosti..."- ovo je Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo beznačajno i nekomplicirano pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Ko su zaboravili...) Pa kunem se. Možda se setite...)
Oni koji su posebno pažljivi primijetit će da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom sa x. Poštovanje pažljivo!) A zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza sa x. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja / dijeljenja nejednakosti izrazom sa x) može se zaobići. Ako ti zaista treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.
To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas podsjetim još jednom da oni rade za bilo koji nejednakosti. A sada možete prijeći na određene vrste.
Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.
Linearne nejednačine se nazivaju nejednakosti u kojima je x u prvom stepenu i nema podjele sa x. Vrsta:
x+3 > 5x-5
Kako se rješavaju ove nejednakosti? Veoma ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjeniju linearnu nejednakost pravo na odgovor. To je cijelo rješenje. Istaknut ću glavne tačke rješenja. Da izbjegnemo glupe greške.)
Rješavamo ovu nejednakost:
x+3 > 5x-5
Rješavamo na isti način kao i linearnu jednačinu. sa jedinom razlikom:
Obratite posebnu pažnju na znak nejednakosti!
Prvi korak je najčešći. Sa x - lijevo, bez x - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti znakove prenesenih članova.
Znak nejednakosti je sačuvan:
x-5x > -5-3
Predstavljamo vam slične.
Znak nejednakosti je sačuvan:
4x > -8
Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti oba dijela sa -4.
Podijeli po negativan broj.
Predznak nejednakosti će biti obrnut:
X < 2
Ovo je odgovor.
Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.
Pažnja! Tačka 2 je nacrtana bijelom bojom, tj. neobojen. Prazan unutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva tačka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove punch out point.
Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu neophodni. Strani brojevi koji nisu povezani sa našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo treba zapamtiti da povećanje brojeva ide u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno dvojke i brojevi 1, 0, -1 itd. - nalijevo.
Nejednakost x < 2 - stroga. X je striktno manji od dva. Kada ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakosti i mislimo: "Dva je manje od dva? Naravno da nije!" Upravo. Nejednakost 2 < 2 pogrešno. Dvojka nije dobra za odgovor.
Je li samac dovoljno dobar? Naravno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak i 1,9999 .... Bar malo, ali manje!
Dakle, sve ove brojeve označavamo na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je izlijeganje. Prelazimo mišem preko slike (ili dodirujemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje kuglica x koje odgovaraju x uvjetu zasjenjeno < 2 . To je sve.
Razmotrimo drugu opciju u drugom primjeru:
X ≥ -0,5
Nacrtajte osu, označite broj -0,5. Volim ovo:
Jeste li primijetili razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti... Ova tačka je crna! Prefarbano. To znači da je -0,5 uključeno u odgovor. Evo, usput, provjeravam i zbunjujem nekoga. Zamjenjujemo:
-0,5 ≥ -0,5
Kako to? -0,5 nije ništa više od -0,5! Ima još ikona...
Uredu je. U nestriktnoj nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki fit i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.
Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje da označimo sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam raspon odgovarajućih x vrijednosti okov(od reči arc) umjesto šrafiranja. Zadržite pokazivač miša preko slike i pogledajte ovaj luk.
Nema posebne razlike između šrafure i lukova. Uradi kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte ruke. U složenijim zadacima, šrafiranje je manje očigledno. Možete se zbuniti.
Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Prelazimo na sljedeću singularnost nejednačina.
Napišite odgovor za nejednakosti.
Bilo je dobro u jednadžbama.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x = 3. U nejednakostima postoje dva oblika pisanja odgovora. Jedan - u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:
X< 2.
Ovo je potpuni odgovor.
Ponekad je potrebno napisati istu stvar, ali u drugom obliku, kroz numeričke praznine. Tada unos počinje da izgleda veoma naučno):
x ∈ (-∞; 2)
Ispod ikone ∈ skrivanje riječi "pripada".
Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Dupli X ne može biti, što nam govori riječ "ne uključujući".
Gdje je to u odgovoru "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru. round zagrada odmah iza dvojke. Da je dvojka uključena, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.
Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 kroz intervale:
x ∈ [-0,5; +∞)
Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.
Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga, u takvim unosima, beskonačnost uvijek koegzistira sa zagradama.
Ovaj oblik snimanja je pogodan za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko praznina. Ali - samo za konačne odgovore. U srednjim rezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednakosti. O tome ćemo se baviti u relevantnim temama.
Popularni zadaci sa nejednakostima.
Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Dakle, misliti da je to bilo neophodno. Ovo, ako iz navike, nije baš prijatno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne morate da ih naučite, to je suvišno. I da se ne bojite pri susretu sa sličnim primjerima. Malo razmišljanja - i sve je jednostavno!)
1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednakosti 3x - 3< 0
Ako nije baš jasno šta da radite, zapamtite glavno pravilo matematike:
Ako ne znate šta da radite, uradite šta možete!
X < 1
Pa šta? Ništa posebno. Šta nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koji su rješenje za nejednakost. One. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevi. Zapravo, ovo je neugodno.) Par 0 i 0,5 je pogodan. Par -3 i -8. Da, postoji beskonačan broj ovih parova! Šta je tačan odgovor?!
Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bi bio tačan odgovor. Napišite šta želite. Idemo dalje.
2. Riješite nejednačinu:
4x - 3 ≠ 0
Ovakvi poslovi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene funkcije, one se stalno susreću. Takva linearna nejednakost može se riješiti kao obična linearna jednačina. Samo svuda, osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nije jednako). Dakle, doći ćete do odgovora, sa znakom nejednakosti:
X ≠ 0,75
U više teški primjeri bolje da to uradiš na drugi način. Neka nejednakost bude jednaka. Volim ovo:
4x - 3 = 0
Mirno riješite to kako je naučeno i dobijte odgovor:
x = 0,75
Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujemo konačni odgovor, da ne zaboravimo da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam jednostavno ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnom ikonom:
X ≠ 0,75
Ovaj pristup rezultira manjim brojem grešaka. Oni koji rješavaju jednačine na mašini. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su, zapravo, beskorisne ...) Još jedan primjer popularnog zadatka:
3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednačine:
3(x - 1) < 5x + 9
Prvo, jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, prenosimo, dajemo slične... Dobijamo:
X > - 6
Zar se nije desilo!? Jeste li pratili znakove? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...
Zamislimo se ponovo. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne padne na pamet, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva je veće od minus šest? Naravno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanji mogući! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo slagati brojeve, zar ne?)
Uzimamo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor izvršen, -5 > - 6. Možete li pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5 ... Stani! Rečeno nam je cijeli rješenje! Ne baca -5,5! Šta je sa minus šest? Eee! Nejednakost je stroga, minus 6 nije manje od minus 6!
Dakle, tačan odgovor je -5.
Nadam se da je sve jasno sa izborom vrednosti iz opšteg rešenja. Drugi primjer:
4. Riješite nejednačinu:
7 < 3x+1 < 13
Kako! Takav izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćena notacija sistema nejednakosti. Ali i dalje morate riješiti takve trostruke nejednakosti u nekim zadacima... To se rješava bez ikakvih sistema. Po istim identičnim transformacijama.
Potrebno je pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Šta preneti gde!? Ovo je vrijeme da zapamtite da je pomicanje lijevo-desno skraćeni oblik prva identična transformacija.
A puni obrazac izgleda ovako: Možete dodati/oduzeti bilo koji broj ili izraz oba dijela jednačine (nejednakost).
Ovdje postoje tri dijela. Tako ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!
Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmite jednu od cijelog srednjeg dijela. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Volim ovo:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Već bolje, zar ne?) Ostaje podijeliti sva tri dijela na tri:
2 < X < 4
To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se također piše u intervalima, takvi unosi će biti u kvadratnim nejednačinama. Tamo su najčešća stvar.
Na kraju lekcije ponoviću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednačina zavisi od sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednačina. Ako u isto vreme prati znak nejednakosti, neće biti problema. Šta ti želim. nema problema.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Nakon što dobijemo početne informacije o nejednačinama sa varijablama, prelazimo na pitanje njihovog rješenja. Analizirajmo rješenje linearnih nejednačina sa jednom varijablom i sve metode za njihovo rješavanje uz algoritme i primjere. Razmatrat će se samo linearne jednadžbe s jednom varijablom.
Šta je linearna nejednakost?
Prvo morate definirati linearnu jednačinu i saznati njen standardni oblik i po čemu će se razlikovati od ostalih. Iz školskog predmeta imamo da nejednakosti nemaju suštinsku razliku, pa se mora koristiti nekoliko definicija.
Definicija 1
Linearna nejednakost sa jednom promenljivom x je nejednakost oblika a x + b > 0 kada se umjesto > koristi bilo koji znak nejednakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
Definicija 2
Nejednakosti a x< c или a · x >c , gdje je x varijabla, a a i c neki brojevi, se poziva linearne nejednačine sa jednom promenljivom.
Pošto se ništa ne kaže o tome da li koeficijent može biti jednak 0, onda je stroga nejednakost oblika 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Njihove razlike su:
- notacija a · x + b > 0 u prvom, a a · x > c – u drugom;
- dopuštenost nulte koeficijenta a , a ≠ 0 - u prvom i a = 0 - u drugom.
Smatra se da su nejednakosti a x + b > 0 i a x > c ekvivalentne, jer se dobijaju prenošenjem člana iz jednog dela u drugi. Rješavanje nejednakosti 0 · x + 5 > 0 će dovesti do činjenice da će je trebati riješiti, a slučaj a = 0 neće raditi.
Definicija 3
Smatra se da su linearne nejednakosti u jednoj varijabli x nejednakosti oblika a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 i a x + b ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi. Umjesto x može postojati običan broj.
Na osnovu pravila imamo da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1, 2 nazivaju se linearnim.
Kako riješiti linearnu nejednačinu
Glavni način za rješavanje takvih nejednakosti je korištenje ekvivalentnih transformacija za pronalaženje elementarnih nejednakosti x< p (≤ , >, ≥) , p je neki broj, za a ≠ 0 i oblika a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .
Da biste riješili nejednakost s jednom promjenljivom, možete primijeniti intervalnu metodu ili je predstaviti grafički. Bilo koji od njih se može koristiti izolovano.
Korištenje ekvivalentnih transformacija
Za rješavanje linearne nejednakosti oblika a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , potrebno je primijeniti ekvivalentne transformacije nejednakosti. Koeficijent može ili ne mora biti nula. Razmotrimo oba slučaja. Da pojasnimo, potrebno je pridržavati se sheme koja se sastoji od 3 točke: suština procesa, algoritam, samo rješenje.
Definicija 4
Algoritam za rješavanje linearne nejednačine a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0
- broj b će se prenijeti na desnu stranu nejednačine sa suprotnim predznakom, što će nam omogućiti da dođemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
- oba dijela nejednakosti će biti podijeljena brojem koji nije jednak 0. Štaviše, kada je a pozitivan, predznak ostaje, kada je a negativan, mijenja se u suprotan.
Razmotrimo primjenu ovog algoritma na rješavanje primjera.
Primjer 1
Riješiti nejednačinu oblika 3 · x + 12 ≤ 0 .
Rješenje
Ova linearna nejednakost ima a = 3 i b = 12 . Dakle, koeficijent a od x nije jednak nuli. Primijenimo gornje algoritme i riješimo.
Potrebno je prenijeti član 12 na drugi dio nejednačine sa promjenom predznaka ispred njega. Tada dobijamo nejednakost oblika 3 · x ≤ − 12 . Potrebno je podijeliti oba dijela sa 3. Znak se neće promijeniti jer je 3 pozitivan broj. Dobijamo da (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , što će dati rezultat x ≤ − 4 .
Nejednakost oblika x ≤ − 4 je ekvivalentna. Odnosno, rješenje za 3 x + 12 ≤ 0 je svaki realan broj koji je manji ili jednak 4. Odgovor se piše kao nejednakost x ≤ − 4, ili numerički interval oblika (− ∞, − 4 ] .
Cijeli algoritam opisan gore je napisan na sljedeći način:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
odgovor: x ≤ − 4 ili (− ∞ , − 4 ] .
Primjer 2
Navedite sva raspoloživa rješenja nejednačine − 2 , 7 · z > 0 .
Rješenje
Iz uslova vidimo da je koeficijent a kod z jednak -2, 7, a b eksplicitno odsutan ili jednak nuli. Ne možete koristiti prvi korak algoritma, već odmah prijeđite na drugi.
Oba dijela jednačine dijelimo brojem - 2, 7. Budući da je broj negativan, potrebno je promijeniti predznak nejednakosti u suprotan. To jest, dobijamo da (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Upisujemo ceo algoritam kratke forme:
− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .
odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Primjer 3
Riješite nejednačinu - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .
Rješenje
Prema uslovu vidimo da je potrebno riješiti nejednačinu sa koeficijentom a za varijablu x, koji je jednak - 5, sa koeficijentom b koji odgovara razlomku - 15 22 . Nejednakost je potrebno riješiti po algoritmu, odnosno: prenijeti - 15 22 na drugi dio suprotnog predznaka, oba dijela podijeliti sa - 5, promijeniti predznak nejednakosti:
5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Na zadnjem prijelazu za desnu stranu, pravilo za dijeljenje broja sa različiti znakovi 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , nakon čega vršimo dijeljenje običan razlomak na prirodni broj - 15 22: 5 = - 15 22 1 5 = - 15 1 22 5 = - 3 22.
odgovor: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .
Razmotrimo slučaj kada je a = 0. Linearni izraz oblika a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Sve se zasniva na definiciji rješenja nejednakosti. Za bilo koju vrijednost x dobijamo numeričku nejednakost oblika b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Sve prosudbe razmatramo u obliku algoritma za rješavanje linearnih nejednačina 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Definicija 5
Brojčana nejednakost oblika b< 0 (≤ , >, ≥) je tačno, tada originalna nejednakost ima rješenje za bilo koju vrijednost, a netačno kada izvorna nejednakost nema rješenja.
Primjer 4
Riješite nejednačinu 0 · x + 7 > 0 .
Rješenje
Ova linearna nejednakost 0 · x + 7 > 0 može uzeti bilo koju vrijednost x . Tada dobijamo nejednakost oblika 7 > 0. Posljednja nejednakost se smatra istinitom, pa bilo koji broj može biti njeno rješenje.
Odgovori: interval (− ∞ , + ∞) .
Primjer 5
Pronađite rješenje nejednakosti 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .
Rješenje
Zamjenom varijable x za bilo koji broj, dobijamo da će nejednakost imati oblik − 12 , 7 ≥ 0 . To je netačno. To jest, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nema rješenja.
odgovor: nema rješenja.
Razmotrimo rješenje linearnih nejednačina, gdje su oba koeficijenta jednaka nuli.
Primjer 6
Odrediti nerješivu nejednačinu iz 0 · x + 0 > 0 i 0 · x + 0 ≥ 0 .
Rješenje
Prilikom zamjene bilo kojeg broja umjesto x, dobijamo dvije nejednakosti oblika 0 > 0 i 0 ≥ 0 . Prvi je netačan. To znači da 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima beskonačan broj rješenja, odnosno bilo koji broj.
Odgovori: nejednakost 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima rješenja.
Ova metoda se razmatra u školskom kursu matematike. Intervalna metoda je sposobna za rješavanje različite vrste nejednakosti su takođe linearne.
Intervalna metoda se koristi za linearne nejednakosti kada vrijednost koeficijenta x nije jednaka 0. U suprotnom, morat ćete izračunati koristeći drugu metodu.
Definicija 6
Metoda razmaka je:
- uvođenje funkcije y = a x + b ;
- traženje nula za podjelu domene definicije na intervale;
- određivanje znakova za njihovu koncepciju na intervalima.
Hajde da sastavimo algoritam za rješavanje linearnih jednačina a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 koristeći metodu intervala:
- pronalaženje nula funkcije y = a · x + b za rješavanje jednadžbe oblika a · x + b = 0 . Ako je a ≠ 0, tada će rješenje biti jedini korijen koji će dobiti oznaku x 0;
- konstrukcija koordinatne linije sa slikom tačke sa koordinatom x 0, sa strogom nejednakošću, tačka se označava iskucanom, sa nestrogom nejednakošću je zasjenjena;
- određivanje predznaka funkcije y = a x + b na intervalima, za to je potrebno pronaći vrijednosti funkcije u tačkama na intervalu;
- rješenje nejednakosti sa znakovima > ili ≥ na koordinatnoj liniji, šrafiranje se dodaje iznad pozitivnog razmaka,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja linearne nejednačine primjenom intervalne metode.
Primjer 6
Riješite nejednačinu − 3 · x + 12 > 0 .
Rješenje
Iz algoritma slijedi da prvo morate pronaći korijen jednačine − 3 · x + 12 = 0 . Dobijamo da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je prikazati koordinatnu liniju, gdje označavamo tačku 4. Bit će probijen jer je nejednakost stroga. Razmotrite crtež ispod.
Potrebno je odrediti znakove na intervalima. Da bismo ga odredili na intervalu (− ∞ , 4) , potrebno je izračunati funkciju y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Odavde dobijamo da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Predznak na intervalu je pozitivan.
Određujemo znak iz intervala (4, + ∞), a zatim zamjenjujemo vrijednost x = 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Rješenje nejednačine izvodimo sa predznakom > , a šrafiranje se vrši preko pozitivnog razmaka. Razmotrite crtež ispod.
Iz crteža se vidi da željeno rješenje ima oblik (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Odgovori: (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Da bismo razumjeli kako grafički predstaviti, potrebno je uzeti u obzir 4 linearne nejednačine kao primjer: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihova rješenja će biti x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2 . Da biste to učinili, nacrtajte grafik linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1 ispod.
To je jasno
Definicija 7
- rješenje nejednačine 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- rješenje 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval u kojem je funkcija y = 0 , 5 x − 1 ispod 0 x ili se poklapa;
- rješenjem 0 , 5 x − 1 > 0 se smatra interval, gdje se funkcija nalazi iznad O x;
- rješenje 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval gdje je graf viši od O x ili se poklapa.
Smisao grafičkog rješenja nejednačina je pronalaženje praznina, koje moraju biti prikazane na grafikonu. U ovom slučaju, dobivamo da lijeva strana ima y = a x + b, a desna strana ima y = 0, a poklapa se sa oko x.
Definicija 8Izvodi se crtanje funkcije y = a x + b:
- dok rješavamo nejednačinu a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- pri rješavanju nejednakosti a x + b ≤ 0 određuje se interval gdje se graf prikazuje ispod ose O x ili se poklapa;
- pri rješavanju nejednakosti a x + b > 0 određuje se interval, gdje je graf prikazan iznad O x;
- pri rješavanju nejednakosti a x + b ≥ 0 određuje se interval gdje je graf iznad O x ili se poklapa.
Primjer 7
Riješite nejednačinu - 5 · x - 3 > 0 koristeći graf.
Rješenje
Potrebno je izgraditi graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ova linija se smanjuje jer je koeficijent od x negativan. Da bismo odredili koordinate tačke njenog preseka sa O x - 5 · x - 3 > 0, dobijamo vrednost - 3 5 . Hajde da ga nacrtamo.
Rješenje nejednačine sa predznakom >, tada treba obratiti pažnju na interval iznad O x. Potreban dio aviona označimo crvenom bojom i dobijemo to
Potreban razmak je O x dio crvene boje. Dakle, otvoreni brojevni zrak - ∞ , - 3 5 će biti rješenje nejednačine. Ako bi, po uslovu, imali nestrogu nejednakost, tada bi vrijednost boda - 3 5 također bila rješenje nejednakosti. I poklopilo bi se sa O x.
Odgovori: - ∞ , - 3 5 ili x< - 3 5 .
Grafičko rješenje se koristi kada će lijeva strana odgovarati funkciji y = 0 x + b , odnosno y = b . Tada će prava biti paralelna sa O x ili se podudarati na b = 0. Ovi slučajevi pokazuju da nejednakost možda nema rješenja, ili bilo koji broj može biti rješenje.
Primjer 8
Odrediti iz nejednačina 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Rješenje
Reprezentacija y = 0 x + 7 je y = 7 , tada će biti data koordinatna ravan sa pravom linijom koja je paralelna sa O x i iznad O x. Dakle 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Graf funkcije y = 0 x + 0 smatra se y = 0, odnosno linija se poklapa sa O x. Dakle, nejednakost 0 · x + 0 ≥ 0 ima mnogo rješenja.
Odgovori: druga nejednačina ima rješenje za bilo koju vrijednost x .
Linearne nejednakosti
Rješenje nejednačina se može svesti na rješenje linearne jednadžbe, koje se nazivaju linearne nejednačine.
Ove nejednakosti su razmatrane u školskom predmetu, jer su bile poseban slučaj rješavanja nejednakosti, što je dovelo do otvaranja zagrada i svođenja sličnih pojmova. Na primjer, uzmite u obzir da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .
Gore date nejednačine se uvijek svode na oblik linearne jednačine. Nakon toga se otvaraju zagrade i daju se slični pojmovi, prenose iz različitim dijelovima, mijenjajući znak u suprotan.
Kada nejednakost 5 − 2 x > 0 reduciramo na linearnu, predstavljamo je na način da ima oblik − 2 x + 5 > 0 , a da smanjimo drugu dobijamo da je 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Potrebno je otvoriti zagrade, donijeti slične pojmove, sve pojmove pomjeriti na lijevu stranu i donijeti slične pojmove. izgleda ovako:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
Ovo dovodi do rješenja linearne nejednakosti.
Ove nejednačine se smatraju linearnim, jer imaju isti princip rješenja, nakon čega ih je moguće svesti na elementarne nejednakosti.
Za rješavanje ove vrste nejednakosti ove vrste potrebno je svesti je na linearnu. To bi trebalo uraditi ovako:
Definicija 9
- otvorene zagrade;
- prikupiti varijable na lijevoj strani, a brojeve na desnoj strani;
- donijeti slične uslove;
- podijeliti oba dijela koeficijentom od x .
Primjer 9
Riješite nejednačinu 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .
Rješenje
Proširujemo zagrade, onda dobijamo nejednakost oblika 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Nakon smanjenja sličnih članova, imamo da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Nakon pomjeranja članova s lijeva na desno, dobijamo da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Dakle, ima nejednakost oblika 32 ≤ 0 iz rezultata dobivenog u proračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Može se vidjeti da je nejednakost netačna, što znači da nejednakost data uvjetom nema rješenja.
Odgovori: nema rješenja.
Vrijedi napomenuti da postoje mnoge nejednakosti druge vrste, koje se mogu svesti na linearnu ili na nejednakost gore prikazane. Na primjer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponencijalna jednadžba koja se svodi na linearno rješenje 2 · x − 1 ≥ 0 . Ovi slučajevi će se uzeti u obzir prilikom rješavanja nejednačina ovog tipa.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta "kvadratna nejednakost"? Nije pitanje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednačinu i promijenite predznak u njoj "=" (jednako) bilo kojoj ikoni nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Pa, shvatili ste...)
Ovdje sam svjesno povezao jednačine i nejednakosti. Činjenica je da je to prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga - nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.
Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: lijevo - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje spremni za odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
U članku ćemo razmotriti rješenje nejednačina. Razgovarajmo otvoreno o tome kako izgraditi rješenje za nejednakosti sa jasnim primjerima!
Prije razmatranja rješenja nejednačina na primjerima, pozabavimo se osnovnim pojmovima.
Uvod u nejednakosti
nejednakost naziva se izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i alfabetske.
Nejednakosti sa dva znaka odnosa nazivaju se dvostrukim, sa tri - trostrukim, itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili nisu stroge.
Rješenje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju je ta nejednakost tačna.
"Riješite nejednakost" znači da morate pronaći skup svih njegovih rješenja. Ima ih raznih metode za rješavanje nejednačina. Za rješenja nejednakosti koristite brojevnu pravu koja je beskonačna. Na primjer, rješavanje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u ovaj interval, pa je tačka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga. 
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, pa je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradi. Znak znači "pripadanje".
Razmislite kako riješiti nejednakosti koristeći drugi primjer sa predznakom:
x2
-
+
Vrijednost x=2 je uključena u skup rješenja, pa se uglasta zagrada i tačka na pravoj označavaju popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x )
