Teorijski materijal. §6 Parcijalni izvod kompleksnih funkcija nekoliko varijabli Izračunajte izvode kompleksnih funkcija nekoliko varijabli
Neka je funkcija z - /(x, y) definirana u nekom domenu D na ravni xOy. Uzmimo unutrašnju tačku (x, y) iz područja D i damo x prirast Ax takav da je tačka (x + Ax, y) 6 D (slika 9). Nazovimo veličinu parcijalni prirast funkcije z u odnosu na x. Napravimo relaciju Za datu tačku (x, y), ova relacija je funkcija definicije. Ako za Ax -* 0 relacija ^ ima konačnu granicu, tada se ova granica naziva parcijalni izvod funkcije z = /(x, y) u odnosu na nezavisnu varijablu x u tački (x, y) i iznosi označeno simbolom jfc (ili /i(x, jj), ili z"x(x, Na isti način, po definiciji, ili, što je ista stvar, Slično, ako je u funkcija n nezavisnih varijabli, tada primjećujući da se Arz izračunava sa konstantnom vrijednošću varijable y, a Atz - sa konstantnom vrijednošću varijable x, definicije parcijalnih izvoda mogu se formulisati na sljedeći način: Parcijalne derivacije Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable Diferencijabilnost funkcije više varijabli Neophodni uslovi za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više varijabli Ukupni diferencijal Parcijalni diferencijali Derivati kompleksne funkcije parcijalnog izvoda s obzirom na x funkcije z = /(x , y ) je običan izvod ove funkcije u odnosu na x, izračunat pod pretpostavkom da je y konstanta; parcijalni izvod u odnosu na y funkcije z - /(x, y) je njen izvod s obzirom na y , izračunato pod pretpostavkom da je x konstantan. Iz toga slijedi da se pravila za izračunavanje parcijalnih izvoda poklapaju sa pravilima dokazanim za funkciju jedne varijable. Primjer. Naći parcijalne izvode funkcije 4 Imamo zamjene*. Postojanje funkcije r = f(x, y) u datoj tački parcijalnih izvoda u odnosu na sve argumente ne implicira kontinuitet funkcije u ovoj tački. Dakle, funkcija nije kontinuirana u tački 0(0,0). Međutim, u ovom trenutku navedena funkcija ima parcijalne izvode u odnosu na x i y. Ovo proizilazi iz činjenice da je /(x, 0) = 0 i /(0, y) = 0 i prema tome Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable Neka je površina S u trodimenzionalnom prostoru definirana kao jednadžba gdje je f(x, y) funkcija kontinuirana u nekom domenu D i ima parcijalne izvode u odnosu na x i y. Saznajmo geometrijsko značenje ovih izvoda u tački Mo(xo,yo) 6 D, koja odgovara tački f(x0)yo) na površini z = f(x)y). Prilikom pronalaženja parcijalnog izvoda tačke M0, pretpostavljamo da je z samo funkcija argumenta x, dok argument y zadržava konstantnu vrijednost y = y0, tj. Funkcija fi(x) je geometrijski predstavljena krivuljom L duž kojoj je površina S presječena ravninom y = na o. Zbog geometrijskog značenja derivacije funkcije jedne varijable, f\(xo) = tan a, gdje je a ugao koji formira tangenta na pravu L u tački JV0 sa osom Ox (slika 10) . Dakle, parcijalni izvod ($|) jednak je tangenti ugla a između ose Ox i tangente u tački N0 na krivulju dobijenu u preseku površine z = /(x, y) pomoću y ravni. Slično, dobijamo da je §6. Diferencijabilnost funkcije nekoliko varijabli Neka je funkcija z = /(x, y) definirana u nekom domenu D na ravni xOy. Uzmimo tačku (x, y) € D i damo odabranim vrijednostima x i y bilo koji prirast Ax i Dy, ali takav da je tačka. Definicija. Funkcija r = /(x, y) naziva se diferencijabilna * tačka (x, y) € 2E ako se kompletan prirast ove funkcije, koji odgovara prirastu argumenata Dx, Dy, može predstaviti u obliku gdje A i B ne zavise od Dx i Dy (ali generalno zavise od x i y), a a(Dx, Dy) i /?(Dx, Dy) teže nuli kao što Dx i Dy teže nuli. . Ako je funkcija z = /(x, y) diferencijabilna u tački (x, y), tada se dio A Dx 4- VDy prirasta funkcije, linearan u odnosu na Dx i Dy, naziva totalni diferencijal ove funkcije u tački (x, y) i označava se simbolom dz: Na ovaj način, Primjer. Neka je r = x2 + y2. U bilo kojoj tački (r,y) i za bilo koje Dx i Du imamo Ovdje. sada kada a i /3 teže nuli dok Dx i Dy teže nuli. Prema definiciji, ova funkcija je diferencibilna u bilo kojoj tački u ravni xOy. Istovremeno, napominjemo da u našem obrazloženju nismo formalno isključili slučaj kada su priraštaji Dx, Du odvojeno ili čak oba jednaka nuli odjednom. Formula (1) se može zapisati kompaktnije ako uvedemo izraz (udaljenost između tačaka (Koristeći ga možemo napisati Označavajući izraz u zagradi sa e, imamo gdje c zavisi od J, Du i teži nuli ako je J 0 i DN 0, ili, ukratko, ako je p 0. Formula (1), koja izražava uslov diferencijabilnosti funkcije z = f(xt y) u tački (x, y), sada se može zapisati u obliku Dakle, u gornjem primjeru 6.1. Neophodni uvjeti differentiable™ funkcije Teorema 4. Ako je funkcija r = f(x, y) diferencijabilna u nekoj tački, tada je u toj tački kontinuirana.4 Ako je u tački (x, y) ) funkcija r = f(x, y) je diferencijabilna, tada se kompletan prirast funkcije i u ovoj tački, koji odgovara prirastima J i Dy argumenata, može predstaviti u obliku (veličine A, B za datu tačku su konstantne; , iz čega slijedi da ovo posljednje znači da je u tački (x, y) funkcija r /(x, y) neprekidna Teorem! b. Ako je funkcija r = /(x, y) je diferencijabilna u datoj tački, mo o s. je u ovoj tački parcijalni izvod $§ u. Neka je funkcija z = /(x, y) diferencijabilna u tački (x, y). Tada se inkrement Dg ove funkcije, koji odgovara inkrementima Dx, Ay argumenata, može predstaviti u obliku (1). Uzimajući u jednakost (1) Dx Φ 0, Dy = 0, dobijamo odakle na desnoj strani posljednje jednakosti vrijednost A ne zavisi od, To znači da u tački (x, y) postoji parcijalni izvod funkcije r = /(x, y) u x, a sličnim rezoniranjem smo uvjereni (x, postoji parcijalni izvod funkcije zy, a iz teoreme slijedi da Naglašavamo da teorema 5 navodi postojanje parcijalnih izvoda samo u tački (x, y), ali ništa ne govori o njihovom kontinuitetu u ovoj tački, kao ni o njihovom ponašanju u okolini tačke (x, y). izvod /"(x) u tački x0. U slučaju kada funkcija ovisi o više varijabli, situacija je mnogo složenija: ne postoje potrebni i dovoljni uvjeti za diferencijabilnost za funkciju z = /(x, y) dvije nezavisne varijable x, y; postoje samo odvojeno neophodni uslovi (vidi gore) i odvojeno - dovoljno. Ovi dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija nekoliko varijabli izraženi su sljedećom teoremom. Teorema c. Ako funkcija ima parcijalne izvode /ε i f"v u nekom susjedstvu tankog (xo, V0) i ako su ovi izvodi kontinuirani u tački (xo, V0), tada je funkcija z = f(x, y) diferencijabilna u tački (x- Primjer: Razmotrimo funkciju Parcijalni izvod Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable Diferencijalnost funkcije više varijabli Neophodni uslovi za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više varijabli Ukupni diferencijal Parcijalni diferencijali Derivati kompleksne funkcije Definisana je svuda Na osnovu definicije parcijalnih izvoda, imamo ™ ove funkcije u tački 0(0,0) koju nalazimo i prirast ove tačke Za diferencijabilnost funkcije /( x,y) = u tački 0(0,0) potrebno je da funkcija e(Dx, Dy) bude potpuno mala na Dx 0 i Du 0. Postavimo D0. Tada ćemo iz formule (1) imati Dakle, funkcija /(x,y) = nije diferencibilna u tački 0(0,0), iako u ovoj tački ima fa i f"r. Dobiveni rezultat se objašnjava činjenicom da su derivacije f"z i f "t su diskontinuirani u tački §7. Puni diferencijal. Parcijalni diferencijali Ako je funkcija z - f(z> y) diferencijabilna, tada je njen ukupni diferencijal dz jednak Uz napomenu da je A = B = u, pišemo formulu (1) u sljedećem obliku. Proširujemo koncept diferencijala funkcije na nezavisne varijable, postavljajući diferencijale nezavisnih varijabli jednakim njihovim prirastima: Nakon toga, formula za ukupni diferencijal funkcije se uzima kao primjer. Neka je i - 1l(x + y2). Zatim Slično, ako je u =) diferencijabilna funkcija od n nezavisnih varijabli, tada se izraz naziva postdiferencijalom funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu x; izraz se naziva parcijalni diferencijal funkcije z = /(x, y) varijable y. Iz formula (3), (4) i (5) slijedi da je ukupni diferencijal funkcije zbir njenih parcijalnih diferencijala: Imajte na umu da je ukupni prirast Az funkcije z = /(x, y), općenito govoreći , nije jednako zbroju parcijalnih prirasta. Ako je u tački (i, y) funkcija z = /(x, y) diferencijabilna i diferencijal dz Φ 0 u ovoj tački, tada se njen ukupni prirast od linearnog dijela razlikuje samo za zbir posljednjih članova aAx 4 - /?DE, koji su kod Ax 0 i Au -» O infinitezimali višeg reda od članova linearnog dijela. Stoga, kada je dz F 0, linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije naziva se glavnim dijelom prirasta funkcije i koristi se približna formula, koja će biti točnija, što su priraštaji od apsolutne vrijednosti manji. argumenti su. §8. Derivati kompleksne funkcije 1. Neka je funkcija definirana u nekoj domeni D na ravni xOy, a svaka od varijabli x, y je zauzvrat funkcija argumenta t: Pretpostavit ćemo da kada se t promijeni u intervalu ( odgovarajuće tačke (x, y) ne izlaze izvan regiona D. Ako zamenimo vrednosti u funkciju z = / (x, y), dobijamo kompleksnu funkciju jedne varijable t. i za odgovarajuće vrednosti funkcija / (x, y) je diferencibilna, tada kompleksna funkcija u tački t ima izvod i M Dajemo t inkrement Dt. Tada će x i y dobiti neke priraštaje Ax i Dy. Kao rezultat toga, za ( J)2 + (Dy)2 F 0, funkcija z će također dobiti neki prirast Dt, koji se zbog diferencijabilnosti funkcije z = /(x , y) u tački (x, y) može predstaviti u oblik u kojem a) teže nuli jer Ax i Du teže nuli. Definirajmo a i /3 za Ax = Ay = 0 postavljanjem a Tada će a(biti kontinuirano za J = Dn = 0. Razmotrimo relaciju koju imamo U svakom pojmu^ u desnoj strani (2) oba faktora imaju granice u stvari, parcijalni izvod i ^ za datu su konstantni, pod uslovom postoje granice postojanja izvoda ^ i u tački £ funkcije x = y(t) i y = su neprekidne u ovoj tački; dakle, kao U 0, i J i Dy teže nuli, što zauzvrat povlači težnju ka nuli a(Dx, Dy) i P(Ax, Ay). Dakle, desna strana jednakosti (2) na 0 ima granica jednaka Dakle, na At 0 postoji i granica lijeve strane (2), tj. e. postoji jednaka. Prelazeći u jednakosti (2) do granice kao At -» 0, dobijamo traženu formulu. U posebnom slučaju, kada je, dakle, z kompleksna funkcija od x, dobijamo u formuli (5) postoji parcijalni izvod funadiig = /(x, y) po x, pri izračunavanju kojeg se u izrazu /(x, y) argument y uzima kao konstanta. I postoji potpuna derivacija funkcije z u odnosu na nezavisnu varijablu x, kada se izračuna koji y u izrazu /(x, y) se više ne uzima kao konstanta, već se zauzvrat smatra funkcijom od x: y = tp(x)t i stoga se zavisnost z od u potpunosti uzima u obzir. Primjer. Pronađite i jg ako je 2. Razmotrimo sada diferencijaciju kompleksne funkcije nekoliko varijabli. Neka je gdje redom tako da Pretpostavimo da u tački (() postoje neprekidne parcijalne derivacije u, 3? iu odgovarajućoj tački (x, y), gdje je funkcija f(x, y) diferencijabilna. Pokažimo da pod ovim uslovima kompleksna funkcija z = z(() y) u tački t7) ima izvode i π, i naći ćemo izraze za te izvode. Imajte na umu da se ovaj slučaj ne razlikuje značajno od onog koji je već proučavan. Zaista, kada se diferencira z u odnosu na £, druga nezavisna varijabla rj se uzima kao konstanta, zbog čega x i y u ovoj operaciji postaju funkcije jedne varijable x" = c), y = c) i pitanje derivacije ζ rješava se na potpuno isti način kao i pitanje izvoda pri izvođenju formule (3). Koristeći formulu (3) i formalno zamjenjujući izvode § i ^ u njoj izvode u, odnosno, dobijamo Slično, pronađite Primjer: Pronađite parcijalne izvode ^ i ^ funkcije r = x2 y - husli x - y = Ako je kompleksna funkcija " data formulama tako da tada, kada su ispunjeni odgovarajući uvjeti, imamo U posebnom slučaju kada I = gdje Parcijalni izvod Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable Diferencijalnost funkcije više varijabli Neophodni uslovi za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više varijabli Ukupni diferencijal Parcijalni diferencijali Izvodi kompleksa funkcija koju imamo Ovdje je m ukupni parcijalni izvod funkcije i u odnosu na nezavisnu varijablu x, uzimajući u obzir potpunu ovisnost i od x, uključujući kroz z = z(x,y),a ^ -djelomični izvod od funkcija u = /(r, y, d) po x, kada se računa k
1°. Slučaj jedne nezavisne varijable. Ako je z=f(x,y) diferencijabilna funkcija argumenata x i y, koji su zauzvrat diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t: , zatim izvod kompleksne funkcije 
može se izračunati pomoću formule
Primjer. Pronađite ako, gdje.
Rješenje. Prema formuli (1) imamo:
Primjer. Naći parcijalni izvod i ukupni izvod ako 
.
Rješenje. .
Na osnovu formule (2) dobijamo 
.
2°. Slučaj nekoliko nezavisnih varijabli.
Neka z =f (x ;y) - funkcija dvije varijable X I y, od kojih je svaka funkcija nezavisne varijable t : x =x (t ), y =y (t). U ovom slučaju funkcija z =f (x (t);y (t)) je kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su srednje varijable.
Teorema. Ako z == f(x ; y) - diferencibilan u jednoj tački M(x;y)D funkcija i x =x (t) I at =y (t) - diferencibilne funkcije nezavisne varijable t, zatim derivacija kompleksne funkcije z (t) == f(x (t);y (t)) izračunato po formuli
|
|
poseban slučaj:z = f (x ; y), gdje je y = y(x), one. z = f (x ;y (x )) - kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable X. Ovaj slučaj se svodi na prethodni i ulogu varijable t igra X. Prema formuli (3) imamo:
.
Posljednja formula se zove formule ukupnih derivata.
Opšti slučaj:z = f (x ;y ), Gdje x =x (u ;v ),y =y (u ;v). Tada je z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - kompleksna funkcija nezavisnih varijabli I I v. Njegovi parcijalni derivati se mogu naći pomoću formule (3) kako slijedi. Popravio sam v, zamjenjujemo u njemu , odgovarajuće parcijalne izvode
Dakle, derivacija kompleksne funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (I I v) jednak je zbroju proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije (z) u odnosu na njene međuvarijable (x i y) na njihove derivate u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).
U svim razmatranim slučajevima formula je važeća
(svojstvo invarijantnosti totalnog diferencijala).
Primjer. Pronađite i ako je z = f(x,y), gdje je x =uv, .
Rješenje. Primjenom formula (4) i (5) dobijamo:
Primjer. Pokažite da funkcija zadovoljava jednadžbu 
.
Rješenje. Funkcija ovisi o x i y kroz srednji argument, dakle
Zamjenom parcijalnih izvoda u lijevu stranu jednačine, imamo:
To jest, funkcija z zadovoljava ovu jednačinu.
Derivat u datom smjeru i gradijentu funkcije
1°. Derivat funkcije u datom smjeru. Derivat funkcije z= f(x,y) u ovom pravcu pozvao 
, gdje su i vrijednosti funkcije u tačkama i . Ako je funkcija z diferencijabilna, formula je važeća
gdje su uglovi između pravaca l i odgovarajuće koordinatne ose. Izvod u datom smjeru karakterizira brzinu promjene funkcije u tom smjeru.
Primjer. Naći izvod funkcije z = 2x 2 - 3 2 u tački P (1; 0) u pravcu koji sa OX osom čini ugao od 120°.
Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački P.
Teorema.Neka u = f (x, y) je dat u domeni D i neka x = x(t) I y = y(t) identifikovan u tom području , i kada , tada x i y pripadaju regionu D . Neka je funkcija u diferencijabilna u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0), i funkcije x(t) i at(t) diferencibilan u odgovarajućoj tački t 0 , tada je kompleksna funkcija u = f [x(t), y(t)]=F (t) diferencibilan u tački t 0 i vrijedi jednakost:
.
Dokaz. Pošto je u diferencibilan uslovom u tački ( x 0 , y 0), tada je njegov ukupni prirast predstavljen kao
Dijelimo ovaj omjer sa , dobivamo:
Idemo do granice na i dobijemo formulu
.
Napomena 1. Ako u= u(x, y) I x= x, y= y(x), zatim ukupni izvod funkcije u po varijabli X
ili 
.
Posljednja jednakost se može koristiti za dokazivanje pravila za diferenciranje funkcije jedne varijable, dato implicitno u obliku F(x, y) = 0, gdje y= y(x) (vidi temu br. 3 i primjer 14).
Imamo: 
. Odavde 
.
(6.1)
Vratimo se na primjer 14 teme br. 3:
;
.
Kao što vidite, odgovori su se poklopili.
Napomena 2. Neka u = f (x, y), Gdje X= X(t ,v), at= at(t ,v). Tada je u konačno kompleksna funkcija dvije varijable t I v . Ako je sada funkcija u diferencijabilna u točki M 0 (x 0 , y 0) i funkcije X I at su diferencibilne u odgovarajućoj tački ( t 0 , v 0), onda možemo govoriti o parcijalnim derivatima u odnosu na t I v iz kompleksne funkcije u tački ( t 0 , v 0). Ali ako govorimo o parcijalnom izvodu u odnosu na t u određenoj tački, onda se druga varijabla v smatra konstantnom i jednakom v 0 . Prema tome, govorimo samo o izvodu kompleksne funkcije u odnosu na t i stoga možemo koristiti izvedenu formulu. Dakle, dobijamo:
I 
.
Primjer 13. Pronađite potpuni izvod funkcije u = x y, Gdje x = grijeh t, y = cos t .
41. Ekstremi funkcije više varijabli.
Ekstremum funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma
Definicija 7. Tačka se naziva minimalnom (maksimalnom) tačkom funkcije ako postoji susjedstvo tačke takvo da nejednakost () vrijedi za sve tačke u ovoj okolini.
Minimalne i maksimalne točke funkcije nazivaju se točke ekstrema, a vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremi funkcije (minimum i maksimum).
Imajte na umu da su minimum i maksimum funkcije lokalne prirode, jer se vrijednost funkcije u nekoj tački uspoređuje s njenim vrijednostima u tačkama koje su dovoljno blizu.
Teorema 1 (neophodni uslovi za ekstrem). Ako je tačka ekstrema diferencijabilne funkcije, tada su njeni parcijalni derivati u ovoj tački jednaki nuli: .
Tačke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli nazivaju se kritične ili stacionarne. U kritičnim tačkama, funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem.
Teorema 2 (dovoljan uslov za ekstrem). Neka je funkcija: a) definirana u nekom susjedstvu kritične tačke, u kojoj i; b) ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda. Tada, ako, onda funkcija u tački ima ekstrem: maksimum, ako je A<0; минимум, если А>0; ako, onda funkcija nema ekstrem. U ovom slučaju, pitanje prisutnosti ekstremuma ostaje otvoreno.
Prilikom proučavanja funkcije dvije varijable za ekstrem, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:
1. Pronađite parcijalne izvode prvog reda: i.
2. Riješiti sistem jednačina i pronaći kritične tačke funkcije.
3. Pronađite parcijalne izvode drugog reda: , .
4. Izračunajte vrijednosti parcijalnih izvoda drugog reda u svakoj kritičnoj tački i, koristeći dovoljne uslove, izvedite zaključak o prisustvu ekstremuma.
5. Pronađite ekstreme funkcije.
Primjer 6. Pronađite ekstreme funkcije.
Rješenje. 1. Pronađite parcijalne izvode i:
2. Da bismo odredili kritične tačke, rešavamo sistem jednačina
Iz prve jednadžbe sistema nalazimo: . Zamjenom pronađene vrijednosti y u drugu jednačinu dobijamo
Pronađite y vrijednosti koje odgovaraju vrijednostima. Zamjenom vrijednosti u jednadžbu dobijamo: .
Dakle, imamo dvije kritične tačke: i.
3. Pronađite parcijalne izvode drugog reda:
4. Izračunavamo vrijednosti parcijalnih izvoda drugog reda u svakoj kritičnoj tački. Za poen imamo:
tada nema ekstremuma u tački.
i zbog toga
To znači da, zbog dovoljnog uslova za ekstrem, funkcija ima minimum u jednoj tački, budući da u ovoj tački i.
§ 5. Parcijalni izvod kompleksnih funkcija. diferencijali složenih funkcija
1. Parcijalni izvod kompleksne funkcije.
Neka je funkcija dvije varijable čiji argumenti 
I 
, su same funkcije dvije ili više varijabli. Na primjer, neka 
, 
.
Onda 
će složena funkcija
nezavisne varijable 
I 
, varijable će biti za nju međuvarijable.
U ovom slučaju, kako pronaći parcijalne izvode funkcije u odnosu na 
i ?
Možete to, naravno, izraziti direktno u terminima i:
i tražiti parcijalne izvode rezultujuće funkcije. Ali izraz može biti vrlo složen i može pronaći parcijalne derivate 
, 
tada će biti potrebno mnogo truda.
Ako funkcije 
, 
, 
su diferencibilne, a zatim pronađite 
a moguće je i bez pribjegavanja direktnom izražavanju kroz i . U ovom slučaju, formule će biti važeće
(5.1)
Zaista, hajde da iznesemo argument 
prirast 
, 
– konst. Zatim funkcije 
I 
će dobiti inkremente
i funkcija će se povećati
Gdje 
, 
– beskonačno malo pri 
, 
. Podijelimo sve pojmove posljednje jednakosti sa . Dobijamo:
Pošto su po uslovu funkcije i diferencibilne, one su kontinuirane. Stoga, ako 
, zatim i . To znači da prelaskom na granicu u posljednjoj jednakosti dobijamo:
(od , su beskonačno male za , ).
Druga jednakost iz (5.1) dokazuje se na sličan način.
PRIMJER. Neka 
, Gdje 
, 
. Tada je kompleksna funkcija nezavisnih varijabli i . Za pronalaženje njegovih parcijalnih izvoda koristimo formulu (5.1). Imamo
Zamjenom u (5.1) dobijamo
,
Formule (5.1) su prirodno generalizovane na slučaj funkcije sa većim brojem nezavisnih i međuargumenata. Naime, ako
………………………
i sve funkcije koje se razmatraju su diferencibilne, onda za bilo koju 
postoji jednakost
Također je moguće da su argumenti funkcije funkcije samo jedne varijable, tj.
, 
.
Tada će to biti složena funkcija samo jedne varijable 
i možemo postaviti pitanje nalaženja derivacije 
. Ako funkcije 
, 
su diferencibilne, onda se može naći po formuli 
(5.2)
PRIMJER. Neka 
, Gdje 
, 
. Ovdje je složena funkcija jedne nezavisne varijable. Koristeći formulu (5.2) dobijamo
.
I konačno, moguće je da ulogu nezavisne varijable igra , tj. ,
Gdje 
.
Iz formule (5.2) tada dobijamo
(5.3)
(jer 
). Derivat 
, koji stoji u formuli (5.3) desno je parcijalni izvod funkcije u odnosu na . Izračunava se sa fiksnom vrijednošću. Derivat 
na lijevoj strani formule (5.3) se zove potpuni izvod funkcije 
. Prilikom izračunavanja uzeto je u obzir da zavisi na dva načina: direktno i preko drugog argumenta.
PRIMJER. Pronađite i za funkciju 
, Gdje 
.
Imamo 
.
Za pronalaženje koristimo formulu (5.3). Dobijamo
.
I na kraju ovog paragrafa, napominjemo da je formule (5.2) i (5.3) lako generalizirati na slučaj funkcija s velikim brojem međuargumenata.
2. Diferencijal kompleksne funkcije.
Podsjetimo da ako 
je diferencijabilna funkcija dvije nezavisne varijable, tada po definiciji
, (5.4)
ili u drugom obliku 
. (5.5)
Prednost formule (5.5) je da ostaje istinita čak i kada je složena funkcija.
Doista, neka , gdje , . Pretpostavimo da su funkcije , , diferencijabilne. Tada će i kompleksna funkcija biti diferencijabilna i njen ukupni diferencijal prema formuli (5.5) će biti jednak
.
Primjenom formule (5.1) za izračunavanje parcijalnih izvoda kompleksne funkcije, dobijamo
Budući da su potpuni diferencijali funkcija i u zagradi, konačno imamo
Dakle, uvjereni smo da i u slučaju kada su i nezavisne varijable, iu slučaju kada su i zavisne varijable, diferencijal funkcije može biti zapisan u obliku (5.5). S tim u vezi, ovaj oblik snimanja ukupnog diferencijala se naziva invarijantna
. Oblik pisanja diferencijala predložen u (5.4) neće biti invarijantan, može se koristiti samo u slučaju kada su i nezavisne varijable. Ni oblik pisanja diferencijala neće biti nepromjenjiv 
-th red. Podsjetimo da smo ranije pokazali da je diferencijal reda 
funkcija dvije varijable može se naći po formuli
. (4.12)
Ali ako nisu nezavisne varijable, onda formula (4.12) za 
prestaje da bude istinito.
Očigledno je da se sva razmišljanja izvedena u ovom dijelu za funkciju dvije varijable mogu ponoviti u slučaju funkcije s većim brojem argumenata. Stoga se za funkciju diferencijal može napisati u dva oblika:
a drugi oblik notacije će biti invarijantan, tj. pošteno čak iu slučaju kada 
nisu nezavisne varijable, već srednji argumenti.
§ 6. Diferencijacija implicitnih funkcija
Govoreći o načinima definiranja funkcije jedne ili više varijabli, primijetili smo da analitička definicija funkcije može biti eksplicitna ili implicitna. U prvom slučaju, vrijednost funkcije se nalazi iz poznatih vrijednosti argumenata; u drugom, vrijednost funkcije i njeni argumenti su povezani nekom jednačinom. Međutim, nismo precizirali kada su jednačine
I
definiraju implicitno specificirane funkcije i respektivno. Dovoljni uslovi za postojanje implicitne funkcije laki za upotrebu 
varijable ( 
) sadržani su u sljedećoj teoremi.
TEOREMA6.1
. (postojanje implicitne funkcije) Neka funkcija 
i njegove parcijalne derivate 
su definirane i kontinuirane u nekom susjedstvu tačke. Ako 
I 
, onda postoji takvo susjedstvo 
tačka u kojoj je jednačina
definira kontinuiranu funkciju i
1) Razmotrite jednačinu 
. Uslovi teoreme su, na primjer, zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke 
. Dakle, u nekom susjedstvu tačke 
ova jednadžba definira kao implicitnu funkciju dvije varijable i . Eksplicitni izraz ove funkcije može se lako dobiti rješavanjem jednadžbe za:
2) Razmotrite jednačinu 
. Definira dvije funkcije dvije varijable i . Zaista, uslovi teoreme su zadovoljeni, na primjer, u bilo kojoj okolini tačke 
, u kojoj data jednadžba definira kontinuiranu funkciju koja poprima vrijednost 
.
S druge strane, uslovi teoreme su zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke 
. Prema tome, u određenom susjedstvu tačke jednačina definira kontinuiranu funkciju koja uzima vrijednost u tački 
.
Budući da funkcija ne može poprimiti dvije vrijednosti u jednoj tački, to znači da govorimo o dvije različite funkcije 
i shodno tome. Hajde da pronađemo njihove eksplicitne izraze. Da bismo to učinili, riješimo originalnu jednačinu za . Dobijamo
3) Razmotrite jednačinu 
. Očigledno je da su uslovi teoreme zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke 
. Prema tome, postoji takvo susjedstvo tačke 
, u kojem je jednadžba definirana kao implicitna funkcija varijable . Nemoguće je dobiti eksplicitan izraz za ovu funkciju, jer se jednadžba ne može riješiti u odnosu na .
4) Jednačina 
ne definira nikakvu implicitnu funkciju, jer ne postoje parovi realnih brojeva i koji je zadovoljavaju.
Funkcija 
, dato jednačinom 
, prema teoremi 6.1, ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na sve argumente u susjedstvu tačke. Hajde da saznamo kako ih pronaći bez eksplicitnog navođenja funkcije.
Neka funkcija 
zadovoljava uslove teoreme 6.1. Zatim jednačina 
kontinuirana funkcija 
. Razmotrite složenu funkciju 
, Gdje . Funkcija je složena funkcija jedne varijable, i if 
, To
(6.1)
S druge strane, prema formuli (5.3) izračunati ukupni derivat 
(6.2)
Iz (6.1) i (6.2) dobijamo da ako , onda
(6.3)
Komentar. Podijeli po 
moguće, jer prema teoremi 6.1 
bilo gdje u blizini.
PRIMJER. Nađite izvod implicitne funkcije date jednadžbom i izračunajte njenu vrijednost na 
.
, 
.
Zamjenom parcijalnih izvoda u formulu (6.3) dobijamo
.
Zatim, zamjenom u originalnu jednačinu, nalazimo dvije vrijednosti: 
I 
.
Prema tome, u susjedstvu tačke jednačina definira dvije funkcije: 
I 
, Gdje 
, 
. Njihovi derivati će biti jednaki
I 
.
Neka sada jednačina 
definira u nekom susjedstvu tačke 
funkcija Hajde da ga nađemo. Podsjetimo se da je to u stvari običan izvod funkcije koja se smatra funkcijom varijable pri konstantnoj vrijednosti. Stoga možemo primijeniti formulu (6.3) da bismo je pronašli, smatrajući je funkcijom, argumentom, konstantom. Dobijamo
. (6.4)
Slično, uzimajući u obzir funkciju, argument, konstantu, koristeći formulu (6.3) nalazimo
. (6.5)
PRIMJER. Naći parcijalne izvode funkcije zadane jednadžbom 
.
, 
, 
.
Koristeći formule (6.4) i (6.5), dobijamo
, 
.
Konačno, razmotrimo opšti slučaj kada je jednačina
definira funkciju varijabli u određenom susjedstvu točke. Ponavljajući argumente izvedene za implicitno datu funkciju dvije varijable, dobijamo
, 
, …, 
.
§ 7. Smjerni izvod
1. Smjerni derivat.
Neka je funkcija dvije varijable definirana u nekom domenu 
avion 
, – tačka regiona, 
–vektor bilo kojeg smjera. Hajdemo sa tačke 
do tačke u pravcu vektora. Funkcija će dobiti povećanje
Podijelimo inkrement funkcije 
po dužini ofset segmenta 
. Rezultirajući omjer 
daje prosječnu brzinu promjene funkcije u području 
. Tada je granica ovog omjera na 
(ako postoji i konačan je) bit će brzina promjene funkcije u tački 
u pravcu vektora. On je zvao izvod funkcije u tački u smjeru vektora
i označiti 
ili 
.
Osim brzine promjene funkcije, također vam omogućava da odredite prirodu promjene funkcije u tački u smjeru vektora 
(povećanje ili smanjenje):
Ovi iskazi se dokazuju na isti način kao i slični za funkciju jedne varijable.
Imajte na umu da su parcijalni izvod funkcije poseban slučaj usmjerenog izvoda. Naime, 
ovo je derivacija funkcije u smjeru vektora 
(smjer osi 
), je derivacija funkcije u smjeru vektora 
(smjer osi 
).
Pretpostavimo da je funkcija diferencibilna u tački. Onda
Gdje 
– beskonačno malo pri 
.
Određivanje
|
kroz 
, imamo
, dobijamo, u tački u tačkiDat je dokaz formule za izvod kompleksne funkcije. Detaljno se razmatraju slučajevi kada složena funkcija zavisi od jedne ili dve varijable. Generalizacija se vrši na slučaj proizvoljnog broja varijabli.
SadržajVidi također: Primjeri korištenja formule za izvod kompleksne funkcije
Osnovne formule
Ovdje pružamo izvođenje sljedećih formula za izvod kompleksne funkcije.
Ako onda
.
Ako onda
.
Ako onda
.
Derivat kompleksne funkcije iz jedne varijable
Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija u sljedećem obliku:
,
gdje postoje neke funkcije. Funkcija je diferencibilna za neku vrijednost varijable x. Funkcija je diferencibilna po vrijednosti varijable.
Tada je kompleksna (kompozitna) funkcija diferencibilna u tački x i njen izvod je određen formulom:
(1)
.
Formula (1) se takođe može napisati na sledeći način:
;
.
Dokaz
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju.
;
.
Ovdje postoji funkcija varijabli i , Tu je funkcija varijabli i . Ali ćemo izostaviti argumente ovih funkcija kako ne bismo zatrpali proračune.
Budući da su funkcije i diferencijabilne u točkama x i , respektivno, tada u tim točkama postoje derivacije ovih funkcija, koje su sljedeće granice:
;
.
Razmotrite sljedeću funkciju:
.
Za fiksnu vrijednost varijable u, je funkcija od . Očigledno je da
.
Onda
.
Pošto je funkcija diferencijabilna funkcija u tački, ona je u toj tački kontinuirana. Zbog toga
.
Onda
.
Sada nalazimo derivat.
.
Formula je dokazana.
Posljedica
Ako se funkcija varijable x može predstaviti kao kompleksna funkcija kompleksne funkcije
,
tada je njegov izvod određen formulom
.
Ovdje i postoje neke diferencibilne funkcije.
Da bismo dokazali ovu formulu, sekvencijalno izračunavamo derivaciju koristeći pravilo za diferenciranje kompleksne funkcije.
Razmotrite složenu funkciju
.
Njegov derivat
.
Razmotrite originalnu funkciju
.
Njegov derivat
.
Derivat kompleksne funkcije iz dvije varijable
Sada neka kompleksna funkcija zavisi od nekoliko varijabli. Prvo da pogledamo slučaj kompleksne funkcije dvije varijable.
Neka funkcija koja zavisi od varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija dvije varijable u sljedećem obliku:
,
Gdje
i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- funkcija dvije varijable, diferencibilne u točki , . Tada je kompleksna funkcija definirana u određenom susjedstvu tačke i ima derivaciju, koja je određena formulom:
(2)
.
Dokaz
Budući da su funkcije i diferencijabilne u tački, one su definirane u određenom susjedstvu ove točke, kontinuirane su u tački, a njihovi derivati postoje u tački, a to su sljedeće granice:
;
.
Evo
;
.
Zbog kontinuiteta ovih funkcija u jednoj tački, imamo:
;
.
Budući da je funkcija diferencijabilna u tački, ona je definirana u određenom susjedstvu ove tačke, kontinuirana je u ovoj tački, a njen prirast se može napisati u sljedećem obliku:
(3)
.
Evo
- povećanje funkcije kada se njeni argumenti povećaju za vrijednosti i ;
;
- parcijalni derivati funkcije u odnosu na varijable i .
Za fiksne vrijednosti i , i su funkcije varijabli i . Oni teže nuli na i:
;
.
Od i , tada
;
.
Povećanje funkcije:
.
:
.
Zamijenimo (3):
.
Formula je dokazana.
Derivat kompleksne funkcije iz nekoliko varijabli
Gornji zaključak se lako može generalizirati na slučaj kada je broj varijabli kompleksne funkcije veći od dvije.
Na primjer, ako je f funkcija tri varijable, To
,
Gdje
, i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija tri varijable u točki , , .
Tada, iz definicije diferencijabilnosti funkcije, imamo:
(4)
.
Jer, zbog kontinuiteta,
;
;
,
To
;
;
.
Dijelimo (4) sa i prelazimo na granicu, dobijamo:
.
I na kraju, razmotrimo najopštiji slučaj.
Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija od n varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija n varijabli u tački
,
,
... , .
Onda
.
