Formes géométriques qui ne sont pas des polygones. Polygone régulier

Au cours de la géométrie, nous étudions les propriétés des figures géométriques et avons déjà examiné les plus simples d'entre elles : les triangles et leurs environs. Dans le même temps, nous avons également discuté de cas particuliers spécifiques de ces figures, tels que le tri-coal-ni-ki rectangulaire, égal et droit. Le moment est maintenant venu de parler de chiffres plus généraux et plus complexes - beaucoup de charbon.

Avec un cas privé beaucoup de charbon nous le savons déjà - c'est un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1.Triangle

Dans le nom même, il est déjà indiqué qu'il s'agit d'un fi-gu-ra, qui a trois coins. Ensuite, dans beaucoup de charbon il peut y en avoir plusieurs, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, dessinez un pentagone (voir Fig. 2), c'est-à-dire fi-gu-ru avec cinq coins-la-mi.

Riz. 2. Penta-coin. Polygone encombrant

Définition.Polygone- chiffre, composé de plusieurs points (plus de deux) et correspondant au nombre de points des kov, qui les suivent ensemble. Ces points sont appelés top-elle-sur-mi beaucoup de charbon, mais de la coupe - cent-ro-na-mi. Dans ce cas, aucun côté adjacent ne se trouve sur la même ligne droite et aucun côté non adjacent ne se coupe.

Définition.Polygone droit- c'est un polygone convexe dont tous les côtés et tous les angles sont égaux.

N'importe lequel polygone divise le plan en deux zones : interne et externe. La zone interne est également de beaucoup de charbon.

En d'autres termes, par exemple, lorsqu'ils parlent du pentagone, ils désignent à la fois toute sa région interne et ses limites. Et tous les points qui se trouvent à l'intérieur d'une grande quantité de charbon sont liés à la région intérieure, c'est-à-dire le point va également de-no-sit-xia au cinq-charbon-ni-ku (voir Fig. 2).

Une grande partie du charbon est parfois appelée n-charbon pour souligner qu'il s'agit souvent d'un nombre inconnu d'angles (n morceaux).

Définition. Périmètre de plusieurs-charbon-no-ka- la somme des longueurs des côtés d'un lot de charbon.

Nous devons maintenant nous familiariser avec les vues de nombreux charbons. Ils sont divisés en tu pètes Et pets. Par exemple, le polygone montré sur la Fig. 2, vous semblez péter, et sur la Fig. 3 pas péter.

Riz. 3. Polygone Nevy-bosselé

2. Polygones convexes et non convexes

Définition 1. Polygone na-za-va-et-sya tu pètes, si, en passant directement par l'un de ses côtés, l'ensemble polygone ne se trouve que d'un côté de cette ligne droite. Neva-puk-ly-mi tout le monde apparaît beaucoup de charbon.

Il est facile d’imaginer qu’en prolongeant n’importe quel côté des cinq coins de la Fig. 2, tout cela se trouvera d’un côté à l’écart de cette ligne droite, c’est-à-dire il est sale. Mais en passant directement par les quatre charbons de la Fig. 3, nous voyons déjà qu'elle le divise en deux parties, c'est-à-dire ce n'est pas un gros pet.

Mais il existe une autre définition de la quantité de charbon dont vous disposez.

Définition 2. Polygone na-za-va-et-sya tu pètes, si lorsque vous sélectionnez deux de ses points internes et que vous les connectez à partir d'une coupe, tous les points de la coupe sont également internes - pas exactement beaucoup de charbon.

Une démonstration de l’utilisation de cette définition peut être vue dans l’exemple de construction de seuils sur la Fig. 2 et 3.

Définition. Dia-go-na-lew une grande quantité de charbon est appelée toute coupe qui en relie deux sommets non adjacents.

3. Théorème sur la somme des angles intérieurs d'un n-gone convexe

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théorèmes importants concernant leurs angles : theo-re-ma sur la somme des angles internes de nombreux angles Et theo-re-ma sur la somme des angles externes de beaucoup d'angles. Regardons-les.

Théorème. A propos de la somme des angles internes, vous avez beaucoup d'angles (n-charbon-pas-ka).

Où est le nombre de ses angles (côtés).

Preuve 1. Illustration de la Fig. 4 n-gon saillants.

Riz. 4. Espèce de n-gon cahoteux

Du haut nous ferons tous les dia-gos possibles. Ils divisent n-gon-nik en tri-gon-nik, parce que. Chacune des faces forme beaucoup de charbon, à l'exception des faces situées vers le haut. Il est facile de voir sur la figure que la somme des angles de tous ces triangles sera exactement égale à la somme des angles internes du n-coin. Puisque la somme des angles de tout triangle est , alors la somme des angles internes d'un n-angle :

Raison 2. Il est possible qu’il y ait une autre raison à ce théorème. Illustration d'un n-gon analogue sur la Fig. 5 et reliez n’importe lequel de ses points internes à tous les sommets.

Nous avons divisé le n-charbon en n triangles (combien de côtés, autant de triangles)). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles internes du polygone et à la somme des angles au point interne, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Fais-ka-za-mais.

D'après la théorie précédente, il est clair que la somme des angles n-charbon ne dépend pas du nombre de ses côtés (de n). Par exemple, dans un triangle, la somme des angles est . Dans wh-reh-coal-no-ke, et la somme des angles - etc.

4. Théorème sur la somme des angles externes d'un n-gone convexe

Théorème. A propos de la somme des angles externes d'une grande quantité de charbon (n-charbon-pas-ka).

Où est le nombre de ses angles (côtés), et , ..., sont les angles externes.

Preuve. L’image d’un n-gon convexe sur la Fig. 6 et désigner ses angles internes et externes.

Riz. 6. N-gon convexe avec coins externes désignés

Parce que l'angle externe est connecté à l'angle interne comme adjacent, alors et pareil pour les autres coins extérieurs. Alors:

Lors du pré-développement, nous avons déjà utilisé le théorème sur la somme des angles internes n-coal-nika.

Fais-ka-za-mais.

Du théorème précédent, il résulte un fait intéressant que la somme des angles externes du n-charbon convexe est égale à sur le nombre de ses angles (côtés). D'ailleurs, en fonction de la somme des angles internes.

Ensuite, nous travaillerons plus en détail avec le cas particulier d'une grande quantité de charbon - pourquoi-vous-re-re-charbon-no-mi. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons à connaître une figure telle que par-ral-le-lo-gram et discuterons de ses propriétés.

SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Matière, âge de l'élève : géométrie, 9e année

Objectif de la leçon : étudier les types de polygones.

Tâche pédagogique : mettre à jour, élargir et généraliser les connaissances des élèves sur les polygones ; se faire une idée des « parties constitutives » d'un polygone ; mener une étude du nombre d'éléments constitutifs des polygones réguliers (du triangle au n-gon) ;

Tâche de développement : développer la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions, de développer des compétences informatiques, l'expression mathématique orale et écrite, la mémoire, ainsi que l'indépendance dans les activités de réflexion et d'apprentissage, la capacité de travailler en binôme et en groupe ; développer des activités de recherche et d'enseignement ;

Tâche pédagogique : cultiver l'indépendance, l'activité, la responsabilité du travail assigné, la persévérance dans la réalisation de l'objectif.

Pendant les cours : citation écrite au tableau

"La nature parle le langage des mathématiques, les lettres de ce langage... les figures mathématiques." G. Galliley

Au début du cours, la classe est divisée en groupes de travail (dans notre cas, divisés en groupes de 4 personnes chacun - le nombre de membres du groupe est égal au nombre de groupes de questions).

1. Étape d'appel-

Objectifs:

a) mettre à jour les connaissances des étudiants sur le sujet ;

b) éveiller l'intérêt pour le sujet étudié, motiver chaque élève pour des activités pédagogiques.

Technique : Jeu « Crois-tu que… », organisation du travail avec texte.

Formes de travail : frontal, groupe.

"Croyez-vous que..."

1. ... le mot « polygone » indique que toutes les figures de cette famille ont « plusieurs angles » ?

2. ... un triangle appartient-il à une grande famille de polygones, se distinguant parmi de nombreuses formes géométriques différentes sur un plan ?

3. ... un carré est-il un octogone régulier (quatre côtés + quatre coins) ?

Aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des polygones. On apprend que ce chiffre est limité par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones peuvent être plats, réguliers ou convexes. L'un des polygones plats est un triangle que vous connaissez depuis longtemps (vous pouvez montrer aux élèves des affiches représentant des polygones, une ligne brisée, leur montrer différentes sortes, vous pouvez également utiliser TSO).

2. Étape de conception

Objectif : obtenir nouvelle information, sa compréhension, sa sélection.

Technique : zigzag.

Formes de travail : individuel->paire->groupe.

Chaque membre du groupe reçoit un texte sur le sujet de la leçon, et le texte est rédigé de manière à inclure à la fois des informations déjà connues des élèves et des informations complètement nouvelles. Parallèlement au texte, les élèves reçoivent des questions dont les réponses doivent être trouvées dans ce texte.

Polygones. Types de polygones.

Qui n'a pas entendu parler du mystérieux Triangle des Bermudes, dans lequel navires et avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle, qui nous est familier depuis l'enfance, regorge de choses intéressantes et mystérieuses.

Outre les types de triangles déjà connus, divisés par des côtés (scalène, isocèle, équilatéral) et des angles (aigus, obtus, rectangulaires), le triangle appartient à une grande famille de polygones, se distinguant parmi de nombreuses formes géométriques différentes sur le avion.

Le mot « polygone » indique que toutes les figures de cette famille ont « de nombreux angles ». Mais cela ne suffit pas à caractériser le chiffre.

Une ligne brisée A 1 A 2 ...A n est une figure composée des points A 1, A 2, ...A n et des segments qui les relient A 1 A 2, A 2 A 3,.... Les points sont appelés sommets de la polyligne et les segments sont appelés liens de la polyligne. (Fig. 1)

Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2, 3).

Une polyligne est dite fermée si ses extrémités coïncident. La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses maillons (Fig. 4).

Une simple ligne brisée fermée est appelée polygone si ses liens voisins ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5).

Remplacez la partie « plusieurs » par un nombre spécifique, par exemple 3, dans le mot « polygone ». Vous obtiendrez un triangle. Ou 5. Alors - un pentagone. Notez que, autant qu’il y a d’angles, il y a autant de côtés, donc ces figures pourraient bien être appelées polylatérales.

Les sommets de la ligne brisée sont appelés sommets du polygone, et les liens de la ligne brisée sont appelés côtés du polygone.

Le polygone divise le plan en deux zones : interne et externe (Fig. 6).

Un polygone plan ou zone polygonale est la partie finie d'un plan délimitée par un polygone.

Deux sommets d'un polygone qui sont les extrémités d'un côté sont dits adjacents. Les sommets qui ne sont pas les extrémités d’un côté ne sont pas voisins.

Un polygone avec n sommets, et donc n côtés, est appelé un n-gone.

Bien que le plus petit nombre de côtés d'un polygone soit 3. Mais les triangles, lorsqu'ils sont connectés les uns aux autres, peuvent former d'autres figures, qui à leur tour sont également des polygones.

Les segments reliant les sommets non adjacents d'un polygone sont appelés diagonales.

Un polygone est dit convexe s’il se situe dans le même demi-plan par rapport à toute droite contenant son côté. Dans ce cas, la droite elle-même est considérée comme appartenant au demi-plan.

L'angle d'un polygone convexe en un sommet donné est l'angle formé par ses côtés convergeant en ce sommet.

Démontrons le théorème (sur la somme des angles d'un n-gon convexe) : La somme des angles d'un n-gon convexe est égale à 180 0 *(n - 2).

Preuve. Dans le cas n=3 le théorème est valide. Soit A 1 A 2 ...A n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet). Le polygone étant convexe, ces diagonales le divisent en n – 2 triangles. La somme des angles d'un polygone est la somme des angles de tous ces triangles. La somme des angles de chaque triangle est égale à 180 0, et le nombre de ces triangles n est 2. Par conséquent, la somme des angles d'un n-gon convexe A 1 A 2 ... A n est égal à 180 0 * (n-2). Le théorème a été prouvé.

L'angle extérieur d'un polygone convexe en un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone en ce sommet.

Un polygone convexe est dit régulier si tous ses côtés sont égaux et tous ses angles sont égaux.

Le carré peut donc être appelé différemment : un quadrilatère régulier. Les triangles équilatéraux sont également réguliers. De telles figures intéressent depuis longtemps les artisans qui décoraient les bâtiments. Ils ont réalisé de beaux motifs, par exemple sur du parquet. Mais tous les polygones réguliers ne peuvent pas être utilisés pour fabriquer du parquet. Le parquet ne peut pas être fabriqué à partir d'octogones réguliers. Le fait est que chaque angle est égal à 135 0. Et si un point est le sommet de deux de ces octogones, alors ils représenteront 270 0, et il n'y a pas de place pour le troisième octogone : 360 0 - 270 0 = 90 0. Mais pour un carré cela suffit. Par conséquent, vous pouvez réaliser du parquet à partir d'octogones et de carrés réguliers.

Les étoiles sont également correctes. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière. Et si vous faites pivoter le carré autour du centre de 45 0, vous obtenez une étoile octogonale régulière.

1 groupe

Qu'est-ce qu'une ligne brisée ? Expliquez ce que sont les sommets et les liens d'une polyligne.

Quelle ligne brisée est dite simple ?

Quelle ligne brisée est dite fermée ?

Comment s’appelle un polygone ? Comment appelle-t-on les sommets d’un polygone ? Comment appelle-t-on les côtés d’un polygone ?

2ème groupe

Quel polygone est dit plat ? Donnez des exemples de polygones.

Qu’est-ce que n – carré ?

Expliquez quels sommets d'un polygone sont adjacents et lesquels ne le sont pas.

Quelle est la diagonale d'un polygone ?

3 groupe

Quel polygone est dit convexe ?

Expliquez quels angles d'un polygone sont externes et lesquels sont internes ?

Quel polygone est dit régulier ? Donnez des exemples de polygones réguliers.

4 groupe

Quelle est la somme des angles d’un n-gone convexe ? Prouve le.

Les étudiants travaillent avec le texte, recherchent des réponses aux questions posées, après quoi des groupes d'experts sont constitués, dans lesquels des travaux sont menés sur les mêmes problématiques : les étudiants soulignent les points principaux, rédigent une synthèse à l'appui et présentent les informations dans l'un des les formes graphiques. Une fois le travail terminé, les étudiants retournent dans leurs groupes de travail.

3. Étape de réflexion -

a) évaluation de ses connaissances, défi pour l’étape suivante de la connaissance ;

b) compréhension et appropriation des informations reçues.

Accueil : travaux de recherche.

Formes de travail : individuel->paire->groupe.

Les groupes de travail comprennent des spécialistes pour répondre à chaque section des questions proposées.

De retour au groupe de travail, l'expert présente les réponses à ses questions aux autres membres du groupe. Le groupe échange des informations entre tous les membres du groupe de travail. Ainsi, dans chaque groupe de travail, grâce au travail d'experts, se forme une compréhension générale du sujet étudié.

Travaux de recherche des étudiants - remplissage du tableau.

Polygones réguliers	Dessin	Nombre de côtés	Nombre de sommets	Somme de tous les angles intérieurs	Mesure de degré interne angle	Mesure en degrés de l'angle externe	Nombre de diagonales
Un triangle
B) quadrilatère
B) cinq barres
D) hexagone
D) n-gon

Résoudre des problèmes intéressants sur le sujet de la leçon.

• Dans un quadrilatère, tracez une ligne droite qui le divise en trois triangles.
• Combien de côtés possède un polygone régulier, chacun de ses angles intérieurs mesurant 135 0 ?
• Dans un certain polygone, tous les angles intérieurs sont égaux les uns aux autres. La somme des angles intérieurs de ce polygone peut-elle être égale à : 360 0, 380 0 ?

Résumer la leçon. Enregistrement des devoirs.

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Dans cette leçon, nous commencerons un nouveau sujet et nous présenterons un nouveau concept : « polygone ». Nous examinerons les concepts de base associés aux polygones : côtés, angles des sommets, convexité et non-convexité. Nous prouverons alors les faits les plus importants, comme le théorème sur la somme des angles internes d'un polygone, le théorème sur la somme des angles externes d'un polygone. En conséquence, nous serons sur le point d'étudier des cas particuliers de polygones, qui seront abordés dans les leçons ultérieures.

Sujet : Quadrilatères

Leçon : Polygones

Dans le cours de géométrie, nous étudions les propriétés des figures géométriques et avons déjà examiné les plus simples d'entre elles : les triangles et les cercles. Dans le même temps, nous avons également discuté de cas particuliers spécifiques de ces figures, tels que les triangles rectangles, isocèles et réguliers. Il est maintenant temps de parler de chiffres plus généraux et plus complexes - polygones.

Avec un cas particulier polygones nous le savons déjà - il s'agit d'un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1.Triangle

Le nom lui-même souligne déjà qu’il s’agit d’une figure à trois angles. Par conséquent, dans polygone il peut y en avoir plusieurs, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, dessinons un pentagone (voir Fig. 2), c'est-à-dire figure à cinq coins.

Riz. 2. Pentagone. Polygone convexe

Définition.Polygone- une figure composée de plusieurs points (plus de deux) et d'un nombre correspondant de segments qui les relient séquentiellement. Ces points sont appelés pics polygone, et les segments sont des soirées. Dans ce cas, aucun côté adjacent ne se trouve sur la même ligne droite et aucun côté non adjacent ne se coupe.

Définition.Polygone régulier est un polygone convexe dans lequel tous les côtés et angles sont égaux.

N'importe lequel polygone divise le plan en deux zones : interne et externe. La zone interne est également appelée polygone.

En d’autres termes, lorsqu’ils parlent par exemple d’un pentagone, ils désignent à la fois toute sa région interne et sa frontière. Et la région interne comprend tous les points qui se trouvent à l'intérieur du polygone, c'est-à-dire le point fait également référence au pentagone (voir Fig. 2).

Les polygones sont aussi parfois appelés n-gones pour souligner que le cas général de la présence d'un nombre inconnu d'angles (n pièces) est considéré.

Définition. Périmètre du polygone- la somme des longueurs des côtés du polygone.

Nous devons maintenant nous familiariser avec les types de polygones. Ils sont divisés en convexe Et non convexe. Par exemple, le polygone montré sur la Fig. 2 est convexe, et sur la Fig. 3 non convexes.

Riz. 3. Polygone non convexe

Définition 1. Polygone appelé convexe, si en traçant une ligne droite passant par l'un de ses côtés, l'ensemble polygone ne se trouve que d’un côté de cette ligne droite. Non convexe sont tous les autres polygones.

Il est facile d’imaginer qu’en prolongeant n’importe quel côté du pentagone de la Fig. 2, tout sera d'un côté de cette ligne droite, c'est-à-dire il est convexe. Mais lorsque l’on trace une ligne droite passant par un quadrilatère sur la Fig. 3, nous voyons déjà qu'il le divise en deux parties, c'est-à-dire il n'est pas convexe.

Mais il existe une autre définition de la convexité d'un polygone.

Définition 2. Polygone appelé convexe, si lors du choix de deux de ses points intérieurs et de leur connexion avec un segment, tous les points du segment sont également des points intérieurs du polygone.

Une démonstration de l’utilisation de cette définition peut être vue dans l’exemple de construction de segments sur la Fig. 2 et 3.

Définition. Diagonale d'un polygone est tout segment reliant deux sommets non adjacents.

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théorèmes les plus importants concernant leurs angles : théorème sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe Et théorème sur la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe. Regardons-les.

Théorème. Sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés).

Preuve 1. Représentons sur la Fig. 4 n-gones convexes.

Riz. 4. N-gon convexe

A partir du sommet, nous dessinons toutes les diagonales possibles. Ils divisent le n-gon en triangles, car chacun des côtés du polygone forme un triangle, à l'exception des côtés adjacents au sommet. Il est facile de voir sur la figure que la somme des angles de tous ces triangles sera exactement égale à la somme des angles internes du n-gone. Puisque la somme des angles de tout triangle est , alors la somme des angles internes d'un n-gone est :

Q.E.D.

Preuve 2. Une autre preuve de ce théorème est possible. Dessinons un n-gon similaire sur la Fig. 5 et reliez n’importe lequel de ses points intérieurs à tous les sommets.

Riz. 5.

Nous avons obtenu une partition du n-gon en n triangles (autant de côtés qu'il y a de triangles). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles intérieurs du polygone et à la somme des angles au point intérieur, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Éprouvé.

D'après le théorème éprouvé, il est clair que la somme des angles d'un n-gone dépend du nombre de ses côtés (sur n). Par exemple, dans un triangle, la somme des angles est . Dans un quadrilatère, et la somme des angles est, etc.

Théorème. Sur la somme des angles externes d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés), et , …, sont les angles externes.

Preuve. Représentons un n-gon convexe sur la Fig. 6 et désigner ses angles internes et externes.

Riz. 6. N-gon convexe avec angles externes désignés

Parce que Le coin extérieur est relié au coin intérieur comme adjacent, puis et de même pour les coins extérieurs restants. Alors:

Lors des transformations, nous avons utilisé le théorème déjà prouvé sur la somme des angles internes d'un n-gone.

Éprouvé.

Du théorème prouvé il découle fait intéressant, que la somme des angles externes d'un n-gone convexe est égale à sur le nombre de ses angles (côtés). D'ailleurs, contrairement à la somme des angles internes.

Bibliographie

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2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Géométrie, 8e année. - M. : Éducation, 2011.
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1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Devoirs

La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée est appelée un polygone.

Les segments de cette ligne brisée sont appelés des soirées polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) sont les côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d’un polygone s’appelle son périmètre.

Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, s'étendant indéfiniment au-delà des deux sommets.

Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, puisqu'il est situé sur plus d'un côté de la droite KR.

Nous ne considérerons que les polygones convexes.

Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins, et leurs sommets sont sommets du polygone.

Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d’un polygone est appelé la diagonale du polygone.

AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).

Les angles adjacents aux angles intérieurs d'un polygone sont appelés angles extérieurs du polygone (Fig. 3).

Selon le nombre d'angles (côtés), le polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.

Deux polygones sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement.

Polygones inscrits et circonscrits

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone s'appelle inscrit en cercle, et le cercle - décrit près du polygone (fig).

Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour d'un cercle, et le cercle s'appelle inscrit en un polygone (Fig.).

Similitude des polygones

Deux polygones du même nom sont dits similaires si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre et que les côtés similaires des polygones sont proportionnels.

Les polygones ayant le même nombre de côtés (angles) sont appelés polygones du même nom.

Les côtés de polygones similaires reliant les sommets d'angles respectivement égaux sont appelés similaires (Fig).

Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapport des périmètres de polygones similaires

Considérons d’abord la propriété d’une série de rapports égaux. Disons par exemple les rapports suivants : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Trouvons la somme des termes précédents de ces relations, puis la somme de leurs termes suivants et trouvons le rapport des sommes résultantes, on obtient :

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

On obtient la même chose si l'on prend une série d'autres relations, par exemple : 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Trouvons la somme des termes précédents de ces relations et la somme des suivantes, puis trouver le rapport de ces sommes, on obtient :

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales se rapporte à la somme des membres ultérieurs de la même série, tout comme le membre précédent de l'une de ces relations se rapporte au suivant.

Nous avons dérivé cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Il peut être dérivé de manière stricte et sous une forme générale.

Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.

Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A’B’C’D’E’ (Fig).

De la similitude de ces polygones il résulte que

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

En nous basant sur la propriété que nous avons dérivée pour une série de rapports égaux, nous pouvons écrire :

La somme des termes précédents des relations que nous avons prises représente le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations représente le périmètre du deuxième polygone (P'), ce qui signifie P / P ' = AB / A'B'.

Ainsi, Les périmètres de polygones similaires sont liés à leurs côtés similaires.

Rapport des superficies de polygones similaires

Soit ABCDE et A’B’C’D’E’ des polygones similaires (Fig).

On sait que ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.

En plus,

;

Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similitude des polygones, alors

En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :

Ou

où S et S’ sont les aires de ces polygones similaires.

Ainsi, Les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.

La formule résultante peut être convertie sous cette forme : S / S’ = (AB / A’B’) 2

Aire d'un polygone arbitraire

Supposons qu'il soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABC (Fig.).

Dessinons-y une diagonale, par exemple AD. On obtient deux triangles ABD et ACD dont on peut calculer les aires. On trouve ensuite la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire de ce quadrilatère.

Si vous devez calculer l'aire d'un pentagone, alors nous faisons la même chose : nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. Cela signifie que nous pouvons trouver l’aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de l'aire de n'importe quel polygone.

Aire projetée d'un polygone

Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).

Théorème. L'aire de la projection orthogonale d'un polygone sur un plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.

Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Il suffit donc de prouver le théorème du triangle.

Soit ΔАВС projeté sur l'avion R.. Considérons deux cas :

a) l'un des côtés ΔABC est parallèle au plan R.;

b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle R..

Considérons premier cas: soit [AB] || R..

Traçons un plan passant par (AB) R. 1 || R. et projeter orthogonalement ΔАВС sur R. 1 et plus R.(riz.); nous obtenons ΔАВС 1 et ΔА'В'С'.

Par la propriété de projection on a ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', et donc

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ est la valeur de l'angle entre le plan ΔABC et le plan R. 1 . C'est pourquoi

SΔ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

et donc S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Passons à l'examen deuxième cas. Dessinons un avion R. 1 || R. passant par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle jusqu'au plan R. le plus petit (que ce soit le sommet A).

Projetons ΔАВС dans l'avion R. 1 et R.(riz.); que ses projections soient respectivement ΔАВ 1 С 1 et ΔА'В'С'.

Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

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