Polynômes - Manuel méthodologique. Problèmes à résoudre de manière autonome

Définition 3.3. Monôme est une expression qui est un produit de nombres, de variables et de puissances avec un exposant naturel.

Par exemple, chacune des expressions,
,
est un monôme.

On dit que le monôme a vue générale , s'il ne contient en premier lieu qu'un seul facteur numérique et que chaque produit de variables identiques y est représenté par un degré. Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme . Par le pouvoir du monôme est appelée la somme des exposants de toutes ses variables.

Définition 3.4. Polynôme appelé la somme des monômes. Les monômes à partir desquels un polynôme est composé sont appelésmembres du polynôme .

Des termes similaires - monômes dans un polynôme - sont appelés termes similaires du polynôme .

Définition 3.5. Polynôme de forme standard appelé polynôme dans lequel tous les termes sont écrits sous forme standard et des termes similaires sont donnés.Degré d'un polynôme de forme standard est appelé la plus grande des puissances des monômes qui y sont inclus.

Par exemple, est un polynôme de forme standard du quatrième degré.

Actions sur les monômes et les polynômes

La somme et la différence des polynômes peuvent être converties en un polynôme de forme standard. Lors de l'addition de deux polynômes, tous leurs termes sont écrits et des termes similaires sont donnés. Lors de la soustraction, les signes de tous les termes du polynôme soustrait sont inversés.

Par exemple:

Les termes d’un polynôme peuvent être divisés en groupes et mis entre parenthèses. Puisqu’il s’agit d’une transformation identique inverse à l’ouverture des parenthèses, on établit ce qui suit règle de parenthèse: si un signe plus est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec leurs signes ; Si un signe moins est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Par exemple,

Règle pour multiplier un polynôme par un polynôme: Pour multiplier un polynôme par un polynôme, il suffit de multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et d'additionner les produits résultants.

Par exemple,

Définition 3.6. Polynôme à une variable degrés appelé une expression de la forme

Où
- tous les numéros appelés coefficients polynomiaux , et
,– entier non négatif.

Si
, alors le coefficient appelé coefficient dominant du polynôme
, monôme
- son Membre Senior , coefficient – Membre gratuit .

Si au lieu d'une variable à un polynôme
remplacer un nombre réel , alors le résultat sera un nombre réel
qui est appelée la valeur du polynôme
à
.

Définition 3.7. Nombre appeléracine du polynôme
, Si
.

Envisagez de diviser un polynôme par un polynôme, où
Et - des entiers. La division est possible si le degré du dividende polynomial est
pas moins que le degré du polynôme diviseur
, c'est
.

Diviser un polynôme
à un polynôme
,
, signifie trouver deux de ces polynômes
Et
, à

Dans ce cas, le polynôme
degrés
appelé quotient polynomial ,
– le reste ,
.

Remarque 3.2. Si le diviseur
–n'est pas un polynôme nul, alors la division
sur
,
, est toujours réalisable, et le quotient et le reste sont déterminés de manière unique.

Remarque 3.3. Au cas où
Devant tout le monde , c'est

ils disent que c'est un polynôme
complètement divisé(ou des actions)à un polynôme
.

La division des polynômes s'effectue de la même manière que la division des nombres à plusieurs chiffres : d'abord, le terme principal du polynôme dividende est divisé par le terme principal du polynôme diviseur, puis le quotient de la division de ces termes, qui sera le terme principal du polynôme quotient est multiplié par le polynôme diviseur et le produit résultant est soustrait du polynôme dividende. En conséquence, un polynôme est obtenu - le premier reste, qui est divisé de la même manière par le polynôme diviseur, et le deuxième terme du polynôme quotient est trouvé. Ce processus se poursuit jusqu'à ce qu'un reste nul soit obtenu ou que le degré du polynôme reste soit inférieur au degré du polynôme diviseur.

Lorsque vous divisez un polynôme par un binôme, vous pouvez utiliser le schéma de Horner.

Schéma Horner

Supposons que nous voulions diviser un polynôme

par binôme
. Notons le quotient de division comme un polynôme

et le reste - . Signification , coefficients polynomiaux
,
et le reste Écrivons-le sous la forme suivante :

Dans ce schéma, chacun des coefficients
,
,
, …,obtenu à partir du nombre précédent dans la ligne du bas en multipliant par le nombre et ajouter au résultat résultant le nombre correspondant dans la ligne supérieure au-dessus du coefficient souhaité. Si un diplôme est absent dans le polynôme, alors le coefficient correspondant est nul. Après avoir déterminé les coefficients selon le schéma donné, nous écrivons le quotient

et le résultat de la division si
,

ou ,

Si
,

Théorème 3.1. Pour qu'une fraction irréductible (

,

)était la racine du polynôme
à coefficients entiers, il faut que le nombre était un diviseur du terme libre , et le numéro - diviseur du coefficient dominant .

Théorème 3.2. (Théorème de Bezout ) Reste de la division d'un polynôme
par binôme
égal à la valeur du polynôme
à
, c'est
.

Lors de la division d'un polynôme
par binôme
nous avons l'égalité

Cela est particulièrement vrai lorsque
, c'est
.

Exemple 3.2. Diviser par
.

Solution. Appliquons le schéma de Horner :

Ainsi,

Exemple 3.3. Diviser par
.

Solution. Appliquons le schéma de Horner :

Ainsi,

,

Exemple 3.4. Diviser par
.

Solution.

En conséquence nous obtenons

Exemple 3.5. Diviser
sur
.

Solution. Divisons les polynômes par colonne :

Ensuite, nous obtenons

.

Parfois, il est utile de représenter un polynôme comme un produit égal de deux ou plusieurs polynômes. Une telle transformation identitaire s’appelle factoriser un polynôme . Considérons les principales méthodes d'une telle décomposition.

Sortir le facteur commun des parenthèses. Afin de factoriser un polynôme en sortant le facteur commun entre parenthèses, il faut :

1) trouver le facteur commun. Pour ce faire, si tous les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, le plus grand diviseur commun modulo de tous les coefficients du polynôme est considéré comme le coefficient du facteur commun, et chaque variable incluse dans tous les termes du polynôme est prise avec le plus grand exposant qu'il a dans ce polynôme ;

2) trouver le quotient de division d'un polynôme donné par un facteur commun ;

3) écrire le produit du facteur général et le quotient résultant.

Regroupement de membres. Lors de la factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement, ses termes sont divisés en deux groupes ou plus afin que chacun d'eux puisse être converti en produit et que les produits résultants aient un facteur commun. Après cela, la méthode consistant à mettre entre parenthèses le facteur commun des termes nouvellement transformés est utilisée.

Application de formules de multiplication abrégées. Dans les cas où le polynôme à développer en facteurs, a la forme du membre droit de toute formule de multiplication abrégée ; sa factorisation est obtenue en utilisant la formule correspondante écrite dans un ordre différent.

Laisser

, alors ce qui suit est vrai formules de multiplication abrégées :

Pour :
Si impair ( ):
Binôme de Newton : Où – nombre de combinaisons de Par .

Introduction de nouveaux membres auxiliaires. Cette méthode consiste à remplacer un polynôme par un autre polynôme qui lui est identiquement égal, mais contenant un nombre de termes différent, en introduisant deux termes opposés ou en remplaçant n'importe quel terme par une somme identiquement égale de monômes similaires. Le remplacement est effectué de telle manière que la méthode de regroupement des termes puisse être appliquée au polynôme résultant.

Exemple 3.6..

Solution. Tous les termes d'un polynôme contiennent un facteur commun
. Ainsi,.

Répondre: .

Exemple 3.7.

Solution. On regroupe séparément les termes contenant le coefficient , et les termes contenant . En sortant les facteurs communs des groupes entre parenthèses, on obtient :

.

Répondre:
.

Exemple 3.8. Factoriser un polynôme
.

Solution. En utilisant la formule de multiplication abrégée appropriée, nous obtenons :

Répondre: .

Exemple 3.9. Factoriser un polynôme
.

Solution. En utilisant la méthode de regroupement et la formule de multiplication abrégée correspondante, on obtient :

.

Répondre: .

Exemple 3.10. Factoriser un polynôme
.

Solution. Nous remplacerons sur
, regroupez les termes, appliquez les formules de multiplication abrégées :

.

Répondre:
.

Exemple 3.11. Factoriser un polynôme

Solution. Parce que ,
,
, Que

Sujet de la leçon :

Polynômes dans une variable.

11e année

Professeur de mathématiques

Kazantseva M.V.

MBOU "Lycée N°110"

Regardons les polynômes :

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Ces polynômes sont écrits sous forme standard.

Un polynôme de forme standard ne contient pas de termes similaires et s'écrit par ordre décroissant des degrés de ses termes.

P(x)= une P. X P. +un n-1 X n-1 +un n-2 X n-2 +

+… + un 2 X 2 + un 1 x+a 0

Où UN 0 , UN 1 , UN 2 …. UN P. – quelques chiffres, et UN P.  0,p 

UN P. X P. – le terme principal du polynôme

UN P. – coefficient à senior

membre

P. – degré de polynôme

UN 0 – terme libre du polynôme

P(x)= une P. X P. +un n-1 X n-1 +un n-2 X n-2 +

+… + un 2 X 2 + un 1 x+a 0

Si

UN P. =1 ,

alors le polynôme P (x) - réduit

Exemple: x+3 ; X 5 +3x 2 -4

UN P. ≠1 ,

alors le polynôme P (x) - non réduit

Exemple: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Théorème 1 :

Deux polynômes ( modèle standard) sont identiquement égaux si leurs puissances sont égales et que les coefficients pour les mêmes puissances de x sont égaux.

Tâche n°1

Trouver les nombres a et b si le polynôme X 3 +6x 2 + ah + b égal au cube du binôme x + 2

Opérations sur les polynômes :

1. Addition et soustraction.

Lorsque vous ajoutez (soustrayez) deux polynômes de degrés différents, vous obtenez un polynôme dont le degré est égal au plus grand des degrés disponibles.

Tâche n°2

Trouver la somme des polynômes

x+3 et -0,5x 5 +3x 2 -4

Opérations sur les polynômes :

1. Addition et soustraction.

Lorsque vous ajoutez (soustrayez) deux polynômes du même degré, vous obtenez un polynôme du même degré ou moins.

Tâche n°3

Trouver la somme et la différence polynômes

2x 3 +3x 2 -x et -2x 3 +3x-4

Opérations sur les polynômes :

2. Travaillez.

Si le polynôme p(x) a le degré m le plus élevé et que le polynôme s(x) a le degré n le plus élevé, alors leur produit р(х)∙ s(x) a un degré m+n.

Tâche n°4

Trouver une pièce polynômes

x+3 et -0,5x 5 +3x 2 -4

Opérations sur les polynômes :

3. Exponentiation.

Si un polynôme p(x) de degré m est élevé à la puissance n, alors on obtient un polynôme de degré mn.

Problème n°5

Construire un polynôme

-0,5x 5 +3x 2 -4 au carré

Opérations sur les polynômes :

4. Diviser un polynôme est un polynôme.

Si un polynôme p(x) est divisible par un polynôme non nul s(x), s'il existe un polynôme q(x) tel que l'identité est vraie :

p(x) = s(x)q(x)

p(x) – divisible (ou multiple)

s(x) – diviseur

q(x) – quotient

Méthode de division des coins

Diviser un polynôme 8x 2 +10х–3 à un polynôme 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10х–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Problème n°6

Diviser un polynôme 6x 3 +7x 2 – 6x +1 à un polynôme 3x –1

Problème n°7

Diviser un polynôme X 3 – 3x 2 + 5x – 15 à un polynôme x-3

Problème n°8

Diviser un polynôme X 4 + 4 à un polynôme X 2 +2x +2

Leçon sur le thème : "Le concept et la définition d'un polynôme. Forme standard d'un polynôme"

Matériaux additionnels
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits. Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.

Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 7e année
Manuel électronique basé sur le manuel de Yu.N. Makarycheva
Manuel électronique basé sur le manuel de Sh.A. Alimova

Les gars, vous avez déjà étudié les monômes dans le sujet : Forme standard d'un monôme. Définitions. Exemples. Passons en revue les définitions de base.

Monôme– une expression constituée d'un produit de nombres et de variables. Les variables peuvent être élevées à des puissances naturelles. Un monôme ne contient aucune opération autre que la multiplication.

Forme standard du monôme- ce type lorsque le coefficient (facteur numérique) vient en premier, suivi des degrés de diverses variables.

Monômes similaires– ce sont soit des monômes identiques, soit des monômes qui diffèrent les uns des autres par un coefficient.

Le concept de polynôme

Un polynôme, comme un monôme, est un nom généralisé pour des expressions mathématiques d'un certain type. Nous avons déjà rencontré de telles généralisations. Par exemple, « somme », « produit », « exponentiation ». Lorsque nous entendons « différence numérique », l’idée de multiplication ou de division ne nous vient même pas à l’esprit. De plus, un polynôme est une expression d'un type strictement défini.

Définition d'un polynôme

Polynôme est la somme des monômes.

Les monômes qui composent un polynôme sont appelés membres du polynôme. S'il y a deux termes, alors on a affaire à un binôme, s'il y en a trois, alors à un trinôme. S’il y a plus de termes, c’est un polynôme.

Exemples de polynômes.

1) 2ab + 4сd (binôme) ;

2) 4ab + 3cd + 4x (trinôme) ;

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3c 7 j 8 - 2b 6 c 2 j + 7xy - 5xy 2.

Regardons attentivement la dernière expression. Par définition, un polynôme est la somme de monômes, mais dans le dernier exemple, non seulement nous ajoutons, mais nous soustrayons également des monômes.
Pour clarifier, regardons un petit exemple.

Écrivons l'expression a + b - c(convenons que a ≥ 0, b ≥ 0 et c ≥0) et répondez à la question : est-ce la somme ou la différence ? Dur à dire.
En effet, si l’on réécrit l’expression comme a + b + (-c), on obtient la somme de deux termes positifs et un terme négatif.
Si vous regardez notre exemple, nous avons affaire spécifiquement à la somme de monômes à coefficients : 3, - 2, 7, -5. En mathématiques, il existe un terme « somme algébrique ». Ainsi, dans la définition d’un polynôme, nous entendons une « somme algébrique ».

Mais une notation de la forme 3a : b + 7c n'est pas un polynôme car 3a : b n'est pas un monôme.
La notation de la forme 3b + 2a * (c 2 + d) n'est pas non plus un polynôme, puisque 2a * (c 2 + d) n'est pas un monôme. Si vous ouvrez les parenthèses, l’expression résultante sera un polynôme.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Degré polynomial est le degré le plus élevé de ses membres.
Le polynôme a 3 b 2 + a 4 a le cinquième degré, puisque le degré du monôme a 3 b 2 est 2 + 3= 5, et le degré du monôme a 4 est 4.

Forme standard de polynôme

Un polynôme qui n'a pas de termes similaires et qui s'écrit par ordre décroissant des puissances des termes du polynôme est un polynôme de forme standard.

Le polynôme est ramené à une forme standard afin de supprimer l'écriture fastidieuse inutile et de simplifier les actions ultérieures.

En effet, pourquoi, par exemple, écrire l'expression longue 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, alors qu'elle peut s'écrire plus courte que 9b 2 + 3a 2 + 8.

Pour amener un polynôme sous forme standard, vous devez :
1. amener tous ses membres à un formulaire standard,
2. ajouter des termes similaires (identiques ou avec des coefficients numériques différents). Cette procédure est souvent appelée apportant des choses similaires.

Exemple.
Réduisez le polynôme aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 à la forme standard.

Solution.

une 2 b + 2 x 5 oui 2 + x 5 oui 2 + 10une 2 b + 14= 11une 2 b + 3 x 5 oui 2 + 14.

Déterminons les puissances des monômes inclus dans l'expression et classons-les par ordre décroissant.
11a 2 b a le troisième degré, 3 x 5 y 2 a le septième degré, 14 a le degré zéro.
Cela signifie que nous mettrons 3 x 5 y 2 (7e degré) en première place, 12a 2 b (3e degré) en deuxième place et 14 (zéro degré) en troisième place.
En conséquence, nous obtenons un polynôme de forme standard 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Exemples d'auto-solution

Réduisez les polynômes à la forme standard.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6) ;

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5) ;

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a) ;

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

École par correspondance 7e année. Tâche n°2.

Manuel méthodologique n°2.

Thèmes :

Polynômes. Somme, différence et produit de polynômes ;

Résoudre des équations et des problèmes ;

Factorisation de polynômes ;

Formules de multiplication abrégées ;

Problèmes pour une solution indépendante.

Polynômes. Somme, différence et produit de polynômes.

Définition. Polynôme s'appelle la somme des monômes.

Définition. Les monômes à partir desquels un polynôme est composé sont appelés membres du polynôme.

Multiplier un monôme par un polynôme .

Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chaque terme du polynôme et additionner les produits résultants.

Multiplier un polynôme par un polynôme .

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et additionner les produits résultants.

Exemples de résolution de problèmes :

Simplifiez l'expression :

Solution.

Solution:

Puisque, par condition, le coefficient à doit être égal à zéro, alors

Répondre: -1.

Résoudre des équations et des problèmes.

Définition . Une égalité contenant une variable est appelée équation à une variable ou équation à une inconnue.

Définition . Racine d'une équation (solution d'une équation) est la valeur de la variable à laquelle l'équation devient vraie.

Résoudre une équation signifie trouver plusieurs racines.

Définition. Équation de la forme
, Où X variable, un Et b – certains nombres sont appelés équations linéaires à une variable.

Définition.

Un tas de les racines d’une équation linéaire peuvent :

Exemples de résolution de problèmes:

Le nombre 7 donné est-il la racine de l'équation :

Solution:

Ainsi, x=7 est la racine de l’équation.

Répondre: Oui.

Résolvez les équations :

Solution:
Réponse : -12		Réponse : -0,4

Un bateau partait du quai vers la ville à une vitesse de 12 km/h, et une demi-heure plus tard un bateau à vapeur partait dans cette direction à une vitesse de 20 km/h. Quelle est la distance entre l'embarcadère et la ville si le bateau à vapeur arrive en ville 1h30 avant le bateau ?

Solution:

Notons x la distance de la jetée à la ville.

	Vitesse (km/h)	Temps (h)	Chemin (km)
Bateau
bateau à vapeur

Selon les conditions du problème, le bateau a passé 2 heures de plus que le bateau à vapeur (puisque le navire a quitté le quai une demi-heure plus tard et est arrivé en ville 1h30 avant le bateau).

Créons et résolvons l'équation :

60 km – distance de la jetée à la ville.

Réponse : 60 km.

La longueur du rectangle a été réduite de 4 cm et un carré a été obtenu dont l'aire était inférieure de 12 cm² à l'aire du rectangle. Trouvez l'aire du rectangle.

Solution:

Soit x le côté du rectangle.

	Longueur	Largeur	Carré
Rectangle			x(x-4)
Carré			(x-4)(x-4)

Selon les conditions du problème, l'aire d'un carré est inférieure de 12 cm² à l'aire d'un rectangle.

Créons et résolvons l'équation :

7 cm est la longueur du rectangle.

(cm²) – aire du rectangle.

Réponse : 21 cm².

Les touristes ont parcouru le parcours prévu en trois jours. Le premier jour, ils ont parcouru 35 % du parcours prévu, le deuxième - 3 km de plus que le premier et le troisième - les 21 km restants. Quelle est la longueur du parcours ?

Solution:

Soit x la longueur de l'itinéraire entier.

	Un jour	Jour 2	Jour 3
Longueur du trajet		0,35x+3
La longueur totale du chemin était de x km.

Ainsi, nous créons et résolvons l'équation :

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km de longueur sur tout le parcours.

Réponse : 70 km.

Factorisation de polynômes.

Définition . Représenter un polynôme comme un produit de deux ou plusieurs polynômes est appelé factorisation.

Sortir le facteur commun des parenthèses .

Exemple :

Méthode de regroupement .

Le regroupement doit être fait de manière à ce que chaque groupe ait un facteur commun ; de plus, après avoir retiré le facteur commun entre parenthèses dans chaque groupe, les expressions résultantes doivent également avoir un facteur commun.

Exemple :

Formules de multiplication abrégées.

Le produit de la différence de deux expressions et de leur somme est égal à la différence des carrés de ces expressions.

Le carré de la somme de deux expressions est égal au carré de la première expression plus le double du produit de la première et de la deuxième expressions, plus le carré de la deuxième expression. solutions. 1. Trouvez le reste de la division polynôme x6 – 4x4 + x3 ... n'a pas solutions, UN les décisions la seconde est constituée des paires (1 ; 2) et (2 ; 1). Réponse : (1 ; 2) , (2 ; 1). Tâches Pour indépendant solutions. Résolvez le système...

• Programme approximatif d'algèbre et d'analyse élémentaire pour les classes 10-11 (niveau profil) Note explicative

  Programme

  Chaque paragraphe donne le montant requis Tâches Pour indépendant solutions par ordre de difficulté croissante. ...algorithme de décomposition polynôme par puissances de binôme ; polynômes avec des coefficients complexes ; polynômes avec valide...

• Cours au choix « Résoudre des problèmes non standard. 9e année" Réalisé par un professeur de mathématiques

  Cours au choix

  L'équation est équivalente à l'équation P(x) = Q(X), où P(x) et Q(x) sont des polynômes avec une variable X. Transférer Q(x) vers le côté gauche... = . RÉPONSE : x1=2, x2=-3, xs=, x4=. TÂCHES POUR INDÉPENDANT SOLUTIONS. Résolvez les équations suivantes : x4 – 8x...

• Programme au choix en mathématiques pour la 8e année

  Programme

  Théorème d'algèbre, théorème de Vieta Pour trinôme quadratique et Pour polynôme degré arbitraire, théorème sur le matériel rationnel. Ce n'est pas juste une liste Tâches Pour indépendant solutions, mais aussi la tâche d'élaborer un modèle de développement...