Les diplômes sont les mêmes, mais les bases sont différentes. Règle de partage des pouvoirs

Chaque opération arithmétique devient parfois trop lourde à écrire et on essaie de la simplifier. C'était autrefois le cas avec l'opération d'addition. Les gens devaient effectuer des additions répétées du même type, par exemple pour calculer le coût de cent tapis persans, dont le coût est de 3 pièces d'or chacun. 3+3+3+…+3 = 300. En raison de sa lourdeur, il a été décidé de raccourcir la notation à 3 * 100 = 300. En fait, la notation « trois fois cent » signifie qu'il faut prendre un cent trois et additionnez-les. La multiplication s'est répandue et a gagné en popularité. Mais le monde ne reste pas immobile et au Moyen Âge, le besoin s'est fait sentir de procéder à des multiplications répétées du même type. Je me souviens d'une vieille énigme indienne sur un sage qui demandait des grains de blé dans les quantités suivantes en récompense du travail accompli : pour la première case de l'échiquier, il demandait un grain, pour le deuxième - deux, pour le troisième - quatre, pour le cinquième - huit, et ainsi de suite. C'est ainsi qu'apparut la première multiplication de puissances, car le nombre de grains était égal à deux à la puissance du nombre de cellule. Par exemple, sur la dernière cellule, il y aurait 2*2*2*...*2 = 2^63 grains, ce qui équivaut à un nombre de 18 caractères, ce qui est en fait le sens de l'énigme.

L'opération d'exponentiation s'est répandue assez rapidement, et la nécessité de procéder à des additions, soustractions, divisions et multiplications de puissances s'est également rapidement fait sentir. Ce dernier mérite d’être examiné plus en détail. Les formules pour ajouter des puissances sont simples et faciles à retenir. De plus, il est très facile de comprendre d'où ils viennent si l'opération de puissance est remplacée par la multiplication. Mais vous devez d’abord comprendre une terminologie de base. L'expression a^b (lire « a à la puissance b ») signifie que le nombre a doit être multiplié par lui-même b fois, « a » étant appelé la base de la puissance et « b » l'exposant de la puissance. Si les bases des diplômes sont les mêmes, alors les formules sont dérivées tout simplement. Exemple spécifique : recherchez la valeur de l'expression 2^3 * 2^4. Pour savoir ce qui doit se passer, vous devez rechercher la réponse sur l'ordinateur avant de lancer la solution. En saisissant cette expression dans n'importe quelle calculatrice en ligne, moteur de recherche, en tapant « multiplier les puissances avec des bases différentes et identiques » ou un logiciel mathématique, le résultat sera 128. Écrivons maintenant cette expression : 2^3 = 2*2*2, et 2^4 = 2 *2*2*2. Il s'avère que 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Il s'avère que le produit des puissances de même base est égal à la base élevée à une puissance égale à la somme des deux puissances précédentes.

On pourrait penser qu’il s’agit d’un accident, mais non : tout autre exemple ne peut que confirmer cette règle. Ainsi, en général, la formule ressemble à ceci : a^n * a^m = a^(n+m) . Il existe également une règle selon laquelle tout nombre à la puissance zéro est égal à un. Ici, nous devons rappeler la règle des puissances négatives : a^(-n) = 1 / a^n. Autrement dit, si 2^3 = 8, alors 2^(-3) = 1/8. En utilisant cette règle, vous pouvez prouver la validité de l'égalité a^0 = 1 : a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) peut être réduit et il en reste un. De là découle la règle selon laquelle le quotient des puissances ayant les mêmes bases est égal à cette base dans un degré égal au quotient du dividende et du diviseur : a^n : a^m = a^(n-m) . Exemple : simplifiez l'expression 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 : 2^(-2) . La multiplication est une opération commutative, vous devez donc d'abord additionner les exposants de multiplication : 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ensuite, vous devez gérer la division par une puissance négative. Il faut soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende : 2^1 : 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Il s'avère que l'opération de division par un degré négatif est identique à l'opération de multiplication par un exposant positif similaire. La réponse finale est donc 8.

Il existe des exemples où une multiplication non canonique des pouvoirs a lieu. Multiplier des pouvoirs avec des bases différentes est souvent beaucoup plus difficile, voire parfois impossible. Quelques exemples de différentes techniques possibles doivent être donnés. Exemple : simplifiez l'expression 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Évidemment, il y a une multiplication de puissances avec des bases différentes. Mais il convient de noter que toutes les bases sont des puissances de trois différentes. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. En utilisant la règle (a^n) ^m = a^(n*m) , vous devez réécrire l'expression sous une forme plus pratique : 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Réponse : 3^11. Dans les cas où il existe des bases différentes, la règle a^n * b^n = (a*b) ^n fonctionne pour des indicateurs égaux. Par exemple, 3^3 * 7^3 = 21^3. Sinon, lorsque les bases et les exposants sont différents, une multiplication complète ne peut pas être effectuée. Parfois, vous pouvez simplifier partiellement ou recourir à l'aide de la technologie informatique.

Comment multiplier les pouvoirs ? Quels pouvoirs peuvent être multipliés et lesquels ne le peuvent pas ? Comment multiplier un nombre par une puissance ?

En algèbre, on peut trouver un produit de puissances dans deux cas :

1) si les diplômes ont les mêmes bases ;

2) si les diplômes ont les mêmes indicateurs.

Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base doit rester la même et les exposants doivent être ajoutés :

En multipliant les degrés avec les mêmes indicateurs, l'indicateur global peut être retiré entre parenthèses :

Voyons comment multiplier les puissances à l'aide d'exemples spécifiques.

L'unité ne s'écrit pas en exposant, mais lors de la multiplication des puissances, elles prennent en compte :

Lors d’une multiplication, il peut y avoir n’importe quel nombre de puissances. Rappelons qu’il n’est pas nécessaire d’écrire le signe de multiplication devant la lettre :

Dans les expressions, l'exponentiation se fait en premier.

Si vous devez multiplier un nombre par une puissance, vous devez d'abord effectuer l'exponentiation, puis seulement la multiplication :

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Addition, soustraction, multiplication et division des puissances

Addition et soustraction de puissances

Il est évident que les nombres avec puissances peuvent s’additionner comme les autres quantités , en les ajoutant les uns après les autres avec leurs signes.

Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances puissances égales de variables identiques peuvent être ajoutés ou soustraits.

Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est égale à 5a 2.

Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.

Mais les diplômes diverses variables Et divers diplômes variables identiques, doivent être composés en les ajoutant avec leurs signes.

Ainsi, la somme de 2 et de 3 est la somme de 2 + 3.

Il est évident que le carré de a et le cube de a ne sont pas égaux au double du carré de a, mais au double du cube de a.

La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.

Soustraction les puissances s'effectuent de la même manière que l'addition, sauf que les signes des sous-tranches doivent être modifiés en conséquence.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(une - h) 6 - 2(une - h) 6 = 3(une - h) 6

Des pouvoirs multiplicateurs

Les nombres avec puissances peuvent être multipliés, comme les autres quantités, en les écrivant les uns après les autres, avec ou sans signe de multiplication entre eux.

Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ une m = une m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
une 2 b 3 oui 2 ⋅ une 3 b 2 oui = une 2 b 3 oui 2 une 3 b 2 oui

Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant des variables identiques.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.

En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, alors le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à montant degrés de termes.

Donc, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, qui est égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.

Donc, a n .a m = a m+n .

Pour a n , a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n ;

Et a m est pris comme facteur autant de fois que le degré m est égal ;

C'est pourquoi, les puissances avec les mêmes bases peuvent être multipliées en ajoutant les exposants des puissances.

Donc, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Et x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 oui 3 ⋅ b 4 oui = b 6 oui 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliez (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multipliez (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont négatif.

1. Donc, a -2 .a -3 = a -5 . Cela peut s'écrire (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Si a + b sont multipliés par a - b, le résultat sera a 2 - b 2 : c'est-à-dire

Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.

Si vous multipliez la somme et la différence de deux nombres pour obtenir carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans quatrième degrés.

Donc, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(une 2 - oui 2)⋅(une 2 + oui 2) = une 4 - oui 4.
(une 4 - oui 4)⋅(une 4 + oui 4) = une 8 - oui 8.

Division des diplômes

Les nombres dotés de puissances peuvent être divisés comme les autres nombres, en soustrayant du dividende ou en les plaçant sous forme de fraction.

Ainsi, a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à a 3.

Écrire un 5 divisé par un 3 ressemble à $\frac $. Mais cela équivaut à un 2 . Dans une série de chiffres
une +4 , une +3 , une +2 , une +1 , une 0 , une -1 , une -2 , une -3 , une -4 .
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence indicateurs de nombres divisibles.

Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont soustraits..

Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. Autrement dit, $\frac = y$.

Et a n+1:a = a n+1-1 = a n . Autrement dit, $\frac = a^n$.

Ou:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La règle est également vraie pour les nombres avec négatif valeurs des degrés.
Le résultat de la division d’un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $\frac : \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2 :\frac = h^2.\frac = h^3$

Il faut très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, puisque de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.

Exemples de résolution d'exemples avec des fractions contenant des nombres avec des puissances

1. Diminuez les exposants de $\frac $ Réponse : $\frac $.

2. Diminuez les exposants de $\frac$. Réponse : $\frac$ ou 2x.

3. Réduisez les exposants a 2 /a 3 et a -3 /a -4 et ramènez-les à un dénominateur commun.
a 2 .a -4 est a -2 le premier numérateur.
a 3 .a -3 est a 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est a -1 , le numérateur commun.
Après simplification : a -2 /a -1 et 1/a -1 .

4. Réduisez les exposants 2a 4 /5a 3 et 2 /a 4 et ramenez-les à un dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 /5a 7 et 5a 5 /5a 7 ou 2a 3 /5a 2 et 5/5a 2.

5. Multipliez (a 3 + b)/b 4 par (a - b)/3.

6. Multipliez (a 5 + 1)/x 2 par (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliez b 4 /a -2 par h -3 /x et a n /y -3 .

8. Divisez un 4 /y 3 par un 3 /y 2 . Réponse : a/o.

Propriétés du diplôme

Nous vous rappelons que dans cette leçon nous comprendrons propriétés des diplômes avec des indicateurs naturels et zéro. Les puissances avec des exposants rationnels et leurs propriétés seront abordées dans les cours de 8e année.

Une puissance avec un exposant naturel possède plusieurs propriétés importantes qui nous permettent de simplifier les calculs dans les exemples avec puissances.

Propriété n°1
Produit de pouvoirs

Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et les exposants des puissances sont ajoutés.

a m · a n = a m + n, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.

Cette propriété des puissances s'applique également au produit de trois puissances ou plus.

Simplifiez l'expression.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Présentez-le comme un diplôme.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Présentez-le comme un diplôme.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Attention, dans la propriété spécifiée, nous parlions uniquement de multiplication de puissances avec les mêmes bases. Cela ne s'applique pas à leur ajout.

Vous ne pouvez pas remplacer la somme (3 3 + 3 2) par 3 5. Ceci est compréhensible si
calculer (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 et 3 5 = 243

Propriété n°2
Diplômes partiels

Lors de la division de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.

Écrivez le quotient sous forme de puissance
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calculer.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemple. Résous l'équation. Nous utilisons la propriété des quotients de puissance.
3 8 : t = 3 4

Réponse : t = 3 4 = 81

Grâce aux propriétés n°1 et n°2, vous pouvez facilement simplifier les expressions et effectuer des calculs.

Exemple. Simplifiez l'expression.
4 5m + 6 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemple. Trouvez la valeur d'une expression en utilisant les propriétés des exposants.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Attention, dans la Propriété 2, nous parlions uniquement de partage de pouvoirs avec les mêmes bases.

Vous ne pouvez pas remplacer la différence (4 3 −4 2) par 4 1. Ceci est compréhensible si vous calculez (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 et 4 1 = 4

Propriété n°3
Élever un diplôme à un pouvoir

Lorsqu'on élève un degré à une puissance, la base du degré reste inchangée et les exposants sont multipliés.

(a n) m = a n · m, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.

Veuillez noter que la propriété n°4, comme les autres propriétés des diplômes, s'applique également dans l'ordre inverse.

(une · b n)= (une · b) n

Autrement dit, pour multiplier des puissances avec les mêmes exposants, vous pouvez multiplier les bases, mais laisser l'exposant inchangé.

Exemple. Calculer.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Exemple. Calculer.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Dans des exemples plus complexes, il peut y avoir des cas où la multiplication et la division doivent être effectuées sur des puissances ayant des bases et des exposants différents. Dans ce cas, nous vous conseillons de procéder comme suit.

Par exemple, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemple d'élévation d'une décimale à une puissance.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Propriétés 5
Puissance d'un quotient (fraction)

Pour élever un quotient à une puissance, vous pouvez élever séparément le dividende et le diviseur à cette puissance, et diviser le premier résultat par le second.

(a : b) n = a n : b n, où « a », « b » sont des nombres rationnels, b ≠ 0, n - n'importe quel nombre naturel.

Exemple. Présentez l’expression comme un quotient de puissances.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Nous vous rappelons qu'un quotient peut être représenté comme une fraction. Par conséquent, nous nous attarderons plus en détail sur le sujet de l'élévation d'une fraction à une puissance à la page suivante.

Pouvoirs et racines

Opérations avec pouvoirs et racines. Diplôme avec négatif ,

zéro et fractionnaire indicateur. Des expressions qui n’ont aucun sens.

Opérations avec diplômes.

1. Lors de la multiplication de puissances avec la même base, leurs exposants sont ajoutés :

suis · une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont déduits .

3. Le degré du produit de deux ou plusieurs facteurs est égal au produit des degrés de ces facteurs.

4. Le degré d'un rapport (fraction) est égal au rapport des degrés du dividende (numérateur) et du diviseur (dénominateur) :

(un B) n = une n / b n .

5. Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, leurs exposants sont multipliés :

Toutes les formules ci-dessus sont lues et exécutées dans les deux sens de gauche à droite et vice versa.

EXEMPLE (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Opérations avec racines. Dans toutes les formules ci-dessous, le symbole signifie racine arithmétique(l'expression radicale est positive).

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un ratio est égale au rapport des racines du dividende et du diviseur :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance nombre radical :

4. Si vous augmentez le degré de la racine de m fois et en même temps augmentez le nombre radical à la puissance m, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de la racine de m fois et extrayez simultanément la mième racine du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Élargir la notion de diplôme. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les degrés à exposants naturels ; mais les opérations avec des pouvoirs et des racines peuvent aussi conduire à négatif, zéro Et fractionnaire indicateurs. Tous ces exposants nécessitent une définition supplémentaire.

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant négatif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant négatif :

Maintenant la formule suis : un = un m - n peut être utilisé non seulement pour m, plus que n, mais aussi avec m, moins que n .

EXEMPLE un 4: un 7 =un 4 — 7 =un — 3 .

Si nous voulons la formule suis : un = suis — nétait juste quand m = n, nous avons besoin d’une définition du degré zéro.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est 1.

EXEMPLES. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Afin d'élever un nombre réel a à la puissance m/n, il faut extraire la nième racine de la mième puissance de ce nombre a :

Des expressions qui n’ont aucun sens. Il existe plusieurs expressions de ce type.

Où un ≠ 0 , n'existe pas.

En fait, si l'on suppose que X est un certain nombre, alors conformément à la définition de l'opération de division on a : un = 0· X, c'est à dire. un= 0, ce qui contredit la condition : un ≠ 0

— n'importe quel chiffre.

En fait, si l’on suppose que cette expression est égale à un certain nombre X, alors d'après la définition de l'opération de division on a : 0 = 0 · X. Mais cette égalité se produit lorsque n'importe quel nombre x, c'était ce qui devait être prouvé.

0 0 — n'importe quel chiffre.

Solution Considérons trois cas principaux :

1) X = 0 – cette valeur ne satisfait pas cette équation

2) quand X> 0 on obtient : x/x= 1, c'est-à-dire 1 = 1, ce qui signifie

Quoi X- n'importe quel chiffre; mais en tenant compte du fait que dans

dans notre cas X> 0, la réponse est X > 0 ;

Règles de multiplication des pouvoirs avec des bases différentes

DIPLÔME AVEC INDICATEUR RATIONNEL,

FONCTION DE PUISSANCE IV

§ 69. Multiplication et division des pouvoirs avec les mêmes bases

Théorème 1. Pour multiplier des puissances de mêmes bases, il suffit d'ajouter les exposants et de laisser la base la même, c'est-à-dire

Preuve. Par définition du diplôme

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Nous avons examiné le produit de deux puissances. En fait, la propriété prouvée est vraie pour tout nombre de puissances ayant les mêmes bases.

Théorème 2. Pour diviser des puissances avec les mêmes bases, lorsque l'indice du dividende est supérieur à l'indice du diviseur, il suffit de soustraire l'indice du diviseur à l'indice du dividende, et de laisser la base la même, c'est-à-dire à t > p

(un =/= 0)

Preuve. Rappelons que le quotient de la division d'un nombre par un autre est le nombre qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende. Démontrez donc la formule où un =/= 0, c'est la même chose que prouver la formule

Si t > p , puis le numéro t-p sera naturel; donc, d'après le théorème 1

Le théorème 2 est prouvé.

Il convient de noter que la formule

nous l'avons prouvé seulement sous l'hypothèse que t > p . Par conséquent, de ce qui a été prouvé, il n’est pas encore possible de tirer, par exemple, les conclusions suivantes :

De plus, nous n’avons pas encore considéré les degrés à exposant négatif et nous ne savons pas encore quel sens peut-on donner à l’expression 3 - 2 .

Théorème 3. Pour élever un degré à une puissance, il suffit de multiplier les exposants en laissant la même base du degré, c'est

Preuve. En utilisant la définition du degré et le théorème 1 de cette section, on obtient :

Q.E.D.

Par exemple, (2 3) 2 = 2 6 = 64 ;

518 (Oral) Déterminer X à partir des équations :

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Numéro de jeu) Simplifier :

520. (Numéro de jeu) Simplifier :

521. Présentez ces expressions sous forme de diplômes avec les mêmes bases :

1) 32 et 64 ; 3) 8 5 et 16 3 ; 5) 4 100 et 32 ​​50 ;

2) -1000 et 100 ; 4) -27 et -243 ; 6) 81 75 8 200 et 3 600 4 150.

Nous vous rappelons que dans cette leçon nous comprendrons propriétés des diplômes avec des indicateurs naturels et zéro. Les puissances avec des exposants rationnels et leurs propriétés seront abordées dans les cours de 8e année.

Une puissance avec un exposant naturel possède plusieurs propriétés importantes qui nous permettent de simplifier les calculs dans les exemples avec puissances.

Propriété n°1
Produit de pouvoirs

Souviens-toi!

Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et les exposants des puissances sont ajoutés.

a m · a n = a m + n, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.

Cette propriété des puissances s'applique également au produit de trois puissances ou plus.

• Simplifiez l'expression.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Présentez-le comme un diplôme.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Présentez-le comme un diplôme.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Important!

Attention, dans la propriété indiquée, nous parlions uniquement de multiplication de puissances avec pour les mêmes raisons . Cela ne s'applique pas à leur ajout.

Vous ne pouvez pas remplacer la somme (3 3 + 3 2) par 3 5. Ceci est compréhensible si
calculer (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 et 3 5 = 243

Propriété n°2
Diplômes partiels

Souviens-toi!

Lors de la division de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Exemple. Résous l'équation. Nous utilisons la propriété des quotients de puissance.
3 8 : t = 3 4

T = 3 8 − 4

Réponse : t = 3 4 = 81

Grâce aux propriétés n°1 et n°2, vous pouvez facilement simplifier les expressions et effectuer des calculs.

• Exemple. Simplifiez l'expression.
  4 5m + 6 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Exemple. Trouvez la valeur d'une expression en utilisant les propriétés des exposants.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Important!

  Attention, dans la Propriété 2, nous parlions uniquement de partage de pouvoirs avec les mêmes bases.

  Vous ne pouvez pas remplacer la différence (4 3 −4 2) par 4 1. C'est compréhensible si l'on compte (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , et 4 1 = 4

  Sois prudent!

  Propriété n°3
  Élever un diplôme à un pouvoir

  Souviens-toi!

  Lorsqu'on élève un degré à une puissance, la base du degré reste inchangée et les exposants sont multipliés.

  (a n) m = a n · m, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.

  
  

  Propriétés 4
  Puissance du produit

  Souviens-toi!

  Lorsqu'on élève un produit à une puissance, chacun des facteurs est élevé à une puissance. Les résultats obtenus sont ensuite multipliés.

  (a b) n = a n b n, où « a », « b » sont des nombres rationnels ; "n" est n'importe quel nombre naturel.

  • Exemple 1.
    (6 une 2 b 3 c) 2 = 6 2 une 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 une 4 b 6 c 2
    
  • Exemple 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Important!

  Veuillez noter que la propriété n°4, comme les autres propriétés des diplômes, s'applique également dans l'ordre inverse.

  (une · b n)= (une · b) n

  Autrement dit, pour multiplier des puissances avec les mêmes exposants, vous pouvez multiplier les bases, mais laisser l'exposant inchangé.

  • Exemple. Calculer.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Exemple. Calculer.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Dans des exemples plus complexes, il peut y avoir des cas où la multiplication et la division doivent être effectuées sur des puissances ayant des bases et des exposants différents. Dans ce cas, nous vous conseillons de procéder comme suit.

  Par exemple, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Un exemple d'élévation d'une décimale à une puissance.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Propriétés 5
  Puissance d'un quotient (fraction)

  Souviens-toi!

  Pour élever un quotient à une puissance, vous pouvez élever séparément le dividende et le diviseur à cette puissance, et diviser le premier résultat par le second.

  (a : b) n = a n : b n, où « a », « b » sont des nombres rationnels, b ≠ 0, n est n'importe quel nombre naturel.

  • Exemple. Présentez l’expression comme un quotient de puissances.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Nous vous rappelons qu'un quotient peut être représenté comme une fraction. Par conséquent, nous nous attarderons plus en détail sur le sujet de l'élévation d'une fraction à une puissance à la page suivante.

Dans la dernière leçon vidéo, nous avons appris que le degré d'une certaine base est une expression qui représente le produit de la base par elle-même, pris en quantité égale à l'exposant. Étudions maintenant quelques-unes des propriétés et opérations les plus importantes des puissances.

Par exemple, multiplions deux puissances différentes avec la même base :

Présentons ce travail dans son intégralité :

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Après avoir calculé la valeur de cette expression, nous obtenons le nombre 32. Par contre, comme le montre le même exemple, 32 peut être représenté comme le produit de la même base (deux), prise 5 fois. Et en effet, si vous le comptez, alors :

Ainsi, nous pouvons conclure avec certitude que :

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Cette règle fonctionne avec succès pour tous les indicateurs et pour toutes les raisons. Cette propriété de multiplication de puissance découle de la règle selon laquelle le sens des expressions est préservé lors des transformations dans un produit. Pour toute base a, le produit de deux expressions (a)x et (a)y est égal à a(x + y). En d’autres termes, lorsque des expressions avec la même base sont produites, le monôme résultant a un degré total formé en additionnant les degrés de la première et de la deuxième expressions.

La règle présentée fonctionne également très bien lors de la multiplication de plusieurs expressions. La condition principale est que tout le monde ait les mêmes bases. Par exemple:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Il est impossible d’additionner des degrés, et même de mener des actions conjointes de pouvoir avec deux éléments d’une expression si leurs bases sont différentes.
Comme le montre notre vidéo, en raison de la similitude des processus de multiplication et de division, les règles d'ajout de puissances dans un produit sont parfaitement transférées à la procédure de division. Considérez cet exemple :

Transformons l'expression terme par terme dans sa forme complète et réduisons les mêmes éléments dans le dividende et le diviseur :

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Le résultat final de cet exemple n’est pas si intéressant, car déjà en train de le résoudre, il est clair que la valeur de l’expression est égale au carré de deux. Et c’est deux qu’on obtient en soustrayant le degré de la deuxième expression du degré de la première.

Pour déterminer le degré du quotient, il faut soustraire le degré du diviseur du degré du dividende. La règle fonctionne sur la même base pour toutes ses valeurs et pour toutes les puissances naturelles. Sous forme d'abstraction nous avons :

(a) x / (a) y = (a) x - y

De la règle de division de bases identiques par degrés, découle la définition du degré zéro. Évidemment, l’expression suivante ressemble à :

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

En revanche, si on fait la division de manière plus visuelle, on obtient :

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Lors de la réduction de tous les éléments visibles d'une fraction, l'expression 1/1 est toujours obtenue, c'est-à-dire un. Par conséquent, il est généralement admis que toute base élevée à la puissance zéro est égale à un :

Quelle que soit la valeur de a.

Cependant, il serait absurde que 0 (qui donne toujours 0 pour toute multiplication) soit d'une manière ou d'une autre égal à un, donc une expression de la forme (0) 0 (zéro à la puissance zéro) n'a tout simplement pas de sens, et la formule ( a) 0 = 1 ajouter une condition : « si a n'est pas égal à 0. »

Résolvons l'exercice. Trouvons la valeur de l'expression :

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Puisque la base est la même partout et égale à 34, la valeur finale aura la même base avec un degré (selon les règles ci-dessus) :

Autrement dit:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Réponse : l'expression est égale à un.

Si deux puissances sont multipliées (ou divisées), qui ont des bases différentes, mais les mêmes exposants, alors leurs bases peuvent être multipliées (ou divisées), et l'exposant du résultat peut rester le même que celui des facteurs (ou dividende et diviseur).

De manière générale, en langage mathématique, ces règles s’écrivent ainsi :
une m × b m = (ab) m
une m ÷ b m = (une/b) m

Lors de la division, b ne peut pas être égal à 0, c'est-à-dire que la deuxième règle doit être complétée par la condition b ≠ 0.

Exemples:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Maintenant, en utilisant ces exemples spécifiques, nous allons prouver que les règles-propriétés des degrés avec les mêmes exposants sont correctes. Résolvons ces exemples comme si nous ne connaissions pas les propriétés des diplômes :
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Comme nous pouvons le constater, les réponses coïncident avec celles obtenues lors de l’utilisation des règles. Connaître ces règles permet de simplifier les calculs.

Notez que l’expression 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 peut s’écrire comme suit :
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Cette expression, à son tour, est autre chose que (2 × 3) 3, c'est-à-dire 6 3.

Les propriétés considérées des diplômes avec les mêmes indicateurs peuvent être utilisées dans le sens opposé. Par exemple, qu'est-ce que 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Les propriétés des puissances sont également utilisées lors de la résolution d'exemples :
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664