Angle droit en géométrie. Le concept et les types d'angles Trois angles développés

Les élèves sont initiés au concept d'angle à l'école primaire. Mais en tant que figure géométrique avec certaines propriétés, ils commencent à l'étudier à partir de la 7e année de géométrie. Semble, forme assez simple ce qu'on peut dire d'elle. Mais, acquérant de nouvelles connaissances, les écoliers comprennent de plus en plus que vous pouvez apprendre des faits assez intéressants à son sujet.

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Quand sont étudiés

Le cours de géométrie scolaire est divisé en deux sections : planimétrie et géométrie du solide. Chacun d'eux a beaucoup d'attention. donné aux coins:

• En planimétrie, leur concept de base est donné, la connaissance de leurs types de taille a lieu. Les propriétés de chaque type de triangles sont étudiées plus en détail. De nouvelles définitions pour les étudiants apparaissent - ce sont des formes géométriques formées à l'intersection de deux lignes entre elles et à l'intersection de plusieurs lignes d'une sécante.
• En stéréométrie, les angles spatiaux sont étudiés - dièdres et trièdres.

Attention! Cet article traite de tous les types et propriétés des angles en planimétrie.

Définition et mesure

Commencer à étudier, déterminer d'abord, qu'est-ce qu'un angle en planimétrie.

Si nous prenons un certain point sur le plan et en tirons deux rayons arbitraires, nous obtenons une figure géométrique - un angle, composé des éléments suivants:

• le sommet - le point à partir duquel les rayons ont été tirés, est indiqué par une lettre majuscule de l'alphabet latin;
• les côtés sont en demi-ligne tracée à partir du haut.

Tous les éléments qui forment la figure que nous considérons divisent le plan en deux parties:

• interne - en planimétrie ne dépasse pas 180 degrés;
• externe.

Le principe de mesure des angles en planimétrie expliqué intuitivement. Dans un premier temps, les élèves sont initiés au concept d'angle développé.

Important! Un angle est dit développé si les demi-droites issues de son sommet forment une droite. Un angle déplié est tous les autres cas.

S'il est divisé en 180 parties égales, il est d'usage de considérer la mesure d'une partie égale à 10. Dans ce cas, ils disent que la mesure est faite en degrés et que la mesure en degrés d'un tel chiffre est de 180 degrés.

Types principaux

Les types d'angles sont subdivisés selon des critères tels que la mesure du degré, la nature de leur formation et les catégories ci-dessous.

Par taille

Compte tenu de la magnitude, les angles sont divisés en:

• déployé ;
• droit;
• émoussé;
• épicé.

Quel angle est appelé déployé a été présenté ci-dessus. Définissons le concept de ligne droite.

Il peut être obtenu en divisant le déployé en deux parties égales. Dans ce cas, il est facile de répondre à la question : un angle droit, ça fait combien de degrés ?

Divisez 180 degrés par 2 pour obtenir l'angle droit est de 90 degrés. C'est une figure merveilleuse, car de nombreux faits de géométrie y sont associés.

Il a aussi ses propres caractéristiques dans l'appellation. Pour montrer un angle droit sur la figure, il n'est pas indiqué par un arc, mais par un carré.

Les angles obtenus en divisant un rayon arbitraire d'une droite sont appelés aigus. Selon la logique des choses, il s'ensuit qu'un angle aigu est inférieur à un angle droit, mais sa mesure est différente de 0 degré. C'est-à-dire qu'il a une valeur de 0 à 90 degrés.

Un angle obtus est supérieur à un angle droit, mais inférieur à un angle droit. Sa mesure en degrés varie de 90 à 180 degrés.

Cet élément peut être divisé en différents types de chiffres considérés, à l'exclusion de celui développé.

Indépendamment de la façon dont l'angle non tourné est brisé, l'axiome de base de la planimétrie est toujours utilisé - «la propriété principale de la mesure».

À diviser l'angle avec un faisceau ou plusieurs, la mesure en degrés d'une figure donnée est égale à la somme des mesures des angles en lesquels elle est divisée.

Au niveau de la 7e année, les types d'angles dans leur ampleur s'arrêtent là. Mais pour augmenter l'érudition, on peut ajouter qu'il existe d'autres variétés qui ont une mesure de degré supérieure à 180 degrés et qu'on appelle convexes.

Chiffres à l'intersection des lignes

Les prochains types d'angles auxquels les élèves sont initiés sont les éléments formés lorsque deux lignes se croisent. Les figures placées l'une en face de l'autre sont appelées verticales. Leur particularité est qu'ils sont égaux.

Les éléments adjacents à la même ligne sont appelés adjacents. Le théorème cartographiant leur propriété dit que Les angles adjacents totalisent 180 degrés.

Éléments dans un triangle

Si nous considérons la figure comme un élément d'un triangle, les angles sont divisés en interne et externe. Le triangle est délimité par trois segments et se compose de trois sommets. Les angles situés à l'intérieur du triangle à chaque sommet, appelé interne.

Si nous prenons n'importe quel élément interne à n'importe quel sommet et prolongeons n'importe quel côté, alors l'angle formé et adjacent à l'interne est appelé externe. Cette paire d'éléments a la propriété suivante : leur somme est de 180 degrés.

Intersection de deux droites

Intersection de lignes

Lorsque deux droites se croisent, des angles se forment également, qui sont généralement distribués par paires. Chaque paire d'éléments a son propre nom. Il ressemble à ceci :

• croisement interne : ∟4 et ∟6, ∟3 et ∟5 ;
• unilatéral interne : ∟4 et ∟5, ∟3 et ∟6 ;
• correspondant : ∟1 et ∟5, ∟2 et ∟6, ∟4 et ∟8, ∟3 et ∟7.

Dans le cas où la sécante coupe deux droites, toutes ces paires d'angles ont certaines propriétés :

1. Les chiffres croisés internes et correspondants sont égaux les uns aux autres.
2. Les éléments internes à un côté ajoutent jusqu'à 180 degrés.

Nous étudions les angles en géométrie, leurs propriétés

Types d'angles en mathématiques

Conclusion

Cet article présente tous les principaux types d'angles que l'on retrouve en planimétrie et qui sont étudiés en classe de septième. Dans tous les cours suivants, les propriétés relatives à tous les éléments considérés constituent la base d'un approfondissement de la géométrie. Par exemple, en étudiant, il faudra rappeler toutes les propriétés des angles formés à l'intersection de deux droites parallèles d'une sécante. Lors de l'étude des caractéristiques des triangles, il est nécessaire de se rappeler quels sont les angles adjacents. Passées à la stéréométrie, toutes les figures tridimensionnelles seront étudiées et construites à partir de figures planimétriques.

Cet article examinera l'une des principales formes géométriques - l'angle. Après une introduction générale à ce concept, nous nous intéresserons à un type particulier d'une telle figure. L'angle droit est un concept important en géométrie et sera au centre de cet article.

Introduction au concept d'angle géométrique

En géométrie, il existe un certain nombre d'objets qui forment la base de toute science. L'angle se réfère simplement à eux et est déterminé à l'aide du concept de rayon, alors commençons par celui-ci.

De plus, avant de procéder à la définition de l'angle lui-même, vous devez vous rappeler plusieurs objets tout aussi importants en géométrie - il s'agit d'un point, d'une ligne droite sur un plan et du plan lui-même. Une ligne droite est la figure géométrique la plus simple, qui n'a ni début ni fin. Un plan est une surface qui a deux dimensions. Eh bien, un rayon (ou une demi-droite) en géométrie est une partie d'une ligne droite qui a un début, mais pas de fin.

En utilisant ces concepts, nous pouvons affirmer qu'un angle est une figure géométrique qui se trouve complètement dans un certain plan et se compose de deux rayons incompatibles avec une origine commune. Ces rayons sont appelés les côtés de l'angle, et le début commun des côtés est son sommet.

Types d'angles et géométrie

Nous savons que les angles peuvent être très différents. Et donc, une petite classification sera donnée ci-dessous, qui aidera à mieux comprendre les types d'angles et leurs principales caractéristiques. Il existe donc plusieurs types d'angles en géométrie :

1. Angle droit. Il se caractérise par une valeur de 90 degrés, ce qui signifie que ses côtés sont toujours perpendiculaires l'un à l'autre.
2. Angle vif. Ces angles comprennent tous leurs représentants, ayant une taille inférieure à 90 degrés.
3. Angle obtus. Tous les angles avec une valeur de 90 à 180 degrés peuvent également être ici.
4. Coin agrandi. Il a une taille strictement de 180 degrés et extérieurement ses côtés forment une ligne droite.

Le concept d'angle droit

Examinons maintenant l'angle développé plus en détail. C'est le cas lorsque les deux côtés se trouvent sur la même ligne droite, ce qui est clairement visible sur la figure ci-dessous. Cela signifie que nous pouvons dire avec certitude que l'un de ses côtés est, en fait, une continuation de l'autre.

Il convient de rappeler qu'un tel angle peut toujours être divisé à l'aide d'un rayon sortant de son sommet. En conséquence, nous obtenons deux angles, qui en géométrie sont appelés adjacents.

De plus, l'angle développé présente plusieurs caractéristiques. Pour parler du premier d'entre eux, vous devez vous rappeler le concept de "bissectrice d'angle". Rappelez-vous qu'il s'agit d'un rayon qui divise tout angle strictement en deux. Quant à l'angle droit, sa bissectrice le divise de manière à former deux angles droits de 90 degrés. Ceci est très facile à calculer mathématiquement : 180˚ (degré d'un angle redressé) : 2 = 90˚.

Si, cependant, nous divisons l'angle développé par un rayon complètement arbitraire, alors nous obtenons toujours deux angles, dont l'un sera aigu et l'autre obtus.

Propriétés de coin plat

Il conviendra de considérer cet angle, rassemblant toutes ses principales propriétés, ce que nous avons fait dans cette liste :

1. Les côtés d'un angle droit sont antiparallèles et forment une droite.
2. La valeur de l'angle développé est toujours de 180˚.
3. Deux angles adjacents forment toujours ensemble un angle droit.
4. L'angle complet, qui est de 360˚, se compose de deux déployés et est égal à leur somme.
5. Un demi-angle redressé est un angle droit.

Ainsi, connaissant toutes ces caractéristiques de ce type d'angle, nous pouvons les utiliser pour résoudre un certain nombre de problèmes géométriques.

Problèmes avec les coins droits

Afin de comprendre si vous maîtrisez le concept d'angle droit, essayez de répondre à quelques-unes des questions suivantes.

1. Qu'est-ce qu'un angle droit si ses côtés forment une ligne verticale ?
2. Est-ce que deux angles seront adjacents si la magnitude du premier est de 72˚ et celle de l'autre est de 118˚ ?
3. Si un angle plein est composé de deux angles droits, combien a-t-il d'angles droits ?
4. Un angle droit est divisé par un faisceau en deux angles tels que leurs mesures en degrés sont liées comme 1:4. Calculez les angles résultants.

Solutions et réponses :

1. Quelle que soit la position de l'angle droit, il est toujours par définition égal à 180˚.
2. Les coins adjacents ont un côté commun. Par conséquent, pour calculer la taille de l'angle qu'ils forment, il vous suffit d'ajouter la valeur de leurs mesures en degrés. Donc, 72 +118 = 190. Mais par définition, un angle droit est de 180˚, ce qui signifie que deux angles donnés ne peuvent pas être adjacents.
3. Un angle droit contient deux angles droits. Et comme il y en a deux déployés dans le plein, cela signifie qu'il y aura 4 lignes droites dedans.
4. Si nous appelons les angles souhaités a et b, alors soit x le coefficient de proportionnalité pour eux, ce qui signifie que a \u003d x, et par conséquent b \u003d 4x. Un angle droit en degrés est de 180˚. Et selon ses propriétés, que la mesure en degrés d'un angle est toujours égale à la somme des mesures en degrés des angles dans lesquels il est divisé par tout rayon arbitraire passant entre ses côtés, nous pouvons conclure que x + 4x \u003d 180˚, ce qui signifie 5x \u003d 180˚. De là, nous trouvons : x=a=36˚ et b = 4x = 144˚. Réponse : 36˚ et 144˚.

Si vous avez réussi à répondre à toutes ces questions sans invite et sans jeter un coup d'œil aux réponses, vous êtes prêt à passer à la prochaine leçon de géométrie.

Commençons par définir ce qu'est un angle. Premièrement, il est Deuxièmement, il est formé de deux rayons, appelés côtés de l'angle. Troisièmement, ces derniers sortent d'un point, qui s'appelle le sommet du coin. A partir de ces signes, on peut faire une définition : un angle est une figure géométrique constituée de deux rayons (côtés) émergeant d'un point (sommet).

Ils sont classés par degrés, par emplacement les uns par rapport aux autres et par rapport au cercle. Commençons par les types d'angles par leur taille.

Il en existe plusieurs variétés. Examinons de plus près chaque type.

Il n'y a que quatre principaux types d'angles - angle droit, obtus, aigu et développé.

Droit

Il ressemble à ceci :

Sa mesure en degrés est toujours de 90°, c'est-à-dire qu'un angle droit est un angle de 90 degrés. Seuls des quadrilatères comme un carré et un rectangle en ont.

Émoussé

Il ressemble à ceci :

La mesure en degrés est toujours supérieure à 90 degrés, mais inférieure à 180 degrés. Il peut se produire dans des quadrangles tels qu'un losange, un parallélogramme arbitraire, dans des polygones.

Épicé

Il ressemble à ceci :

La mesure en degrés d'un angle aigu est toujours inférieure à 90°. Il se produit dans tous les quadrilatères, à l'exception d'un carré et d'un parallélogramme arbitraire.

déployé

L'angle élargi ressemble à ceci :

Il ne se produit pas dans les polygones, mais il n'est pas moins important que tous les autres. Un angle droit est une figure géométrique dont la mesure en degrés est toujours de 180º. Vous pouvez construire dessus en dessinant un ou plusieurs rayons à partir de son sommet dans n'importe quelle direction.

Il existe plusieurs autres types secondaires d'angles. Ils ne sont pas étudiés dans les écoles, mais il faut au moins connaître leur existence. Il n'y a que cinq types secondaires d'angles :

1. Zéro

Il ressemble à ceci :

Le nom même de l'angle parle déjà de sa grandeur. Sa zone intérieure est de 0 o et les côtés se superposent, comme indiqué sur la figure.

2. Oblique

L'oblique peut être un angle droit, obtus, aigu et développé. Sa condition principale est qu'il ne doit pas être égal à 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convexe

Convexe sont des angles nuls, droits, obtus, aigus et développés. Comme vous l'avez déjà compris, la mesure en degrés d'un angle convexe est de 0 o à 180 o.

4. Non convexe

Les angles non convexes sont mesurés en degrés de 181 o à 359 o inclus.

5. Complet

Un angle dont la mesure est de 360 ​​degrés est un angle complet.

Ce sont tous les types d'angles en fonction de leur taille. Considérez maintenant leurs types par emplacement sur le plan les uns par rapport aux autres.

1. Supplémentaire

Ce sont deux angles aigus qui forment une droite, c'est-à-dire leur somme est de 90 o.

2. Connexe

Des angles adjacents sont formés si un rayon est tiré dans n'importe quelle direction à travers un déployé, plus précisément, à travers son sommet. Leur somme est de 180 o.

3. Verticale

Les angles verticaux se forment lorsque deux droites se croisent. Leurs mesures de degré sont égales.

Passons maintenant aux types d'angles situés par rapport au cercle. Il n'y en a que deux : central et inscrit.

1. Centrale

L'angle au centre est celui dont le sommet est au centre du cercle. Sa mesure en degrés est égale à la mesure en degrés du plus petit arc sous-tendu par les côtés.

2. Inscrit

Un angle inscrit est un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés le coupent. Sa mesure en degrés est égale à la moitié de l'arc sur lequel elle repose.

Tout tourne autour des coins. Vous savez maintenant qu'en plus des plus célèbres - pointus, obtus, droits et déployés - en géométrie, il en existe de nombreux autres types.

Un angle est une figure géométrique composée de deux rayons différents émanant d'un même point. Dans ce cas, ces rayons sont appelés les côtés de l'angle. Le point qui est le début des rayons s'appelle le sommet de l'angle. Sur l'image, vous pouvez voir le coin avec le sommet au point À PROPOS, et les partis k Et m.

Sur les côtés du coin sont marqués les points A et C. Ce coin peut être désigné comme l'angle AOC. Au milieu doit être le nom du point où se trouve le sommet du coin. Il existe aussi d'autres appellations, l'angle O ou l'angle km. En géométrie, au lieu du mot angle, une icône spéciale est souvent écrite.

Angle tourné et non tourné

Si les deux côtés d'un angle se trouvent sur la même ligne droite, alors un tel angle est appelé déployé angle. C'est-à-dire qu'un côté du coin est une continuation de l'autre côté du coin. La figure ci-dessous montre l'angle O.

Il convient de noter que tout angle divise le plan en deux parties. Si le coin n'est pas développé, l'une des parties est appelée la région intérieure du coin et l'autre est la région extérieure de ce coin. La figure ci-dessous montre un coin non aplati et marque les zones extérieure et intérieure de ce coin.

Dans le cas d'un angle développé, l'une quelconque des deux parties en lesquelles elle divise le plan peut être considérée comme la région extérieure de l'angle. On peut parler de la position d'un point par rapport à un angle. Le point peut se trouver à l'extérieur du coin (dans la région extérieure), peut être sur l'un de ses côtés ou peut se trouver à l'intérieur du coin (dans la région intérieure).

Dans la figure ci-dessous, le point A se trouve à l'extérieur du coin O, le point B se trouve sur un côté du coin et le point C se trouve à l'intérieur du coin.

Mesure d'angle

Pour mesurer les angles, il existe un appareil appelé rapporteur. L'unité d'angle est degré. Il convient de noter que chaque angle a une certaine mesure en degrés, qui est supérieure à zéro.

Selon la mesure en degrés, les angles sont divisés en plusieurs groupes.