Considérez le polygone en quelles formes il est divisé. polygone régulier

Qu'est-ce qu'un polygone ? Types de polygones. POLYGONE, une figure géométrique plate avec trois côtés ou plus se coupant en trois points ou plus (sommets). Définition. Un polygone est une figure géométrique délimitée de tous côtés par une ligne brisée fermée, composée de trois segments ou plus (liens). Un triangle est définitivement un polygone. Un polygone est une figure qui a cinq coins ou plus.

Définition. Un quadrilatère est une figure géométrique plate composée de quatre points (les sommets du quadrilatère) et de quatre segments les reliant en série (les côtés du quadrilatère).

Un rectangle est un quadrilatère avec tous les angles droits. Ils sont nommés selon le nombre de côtés ou de sommets : TRIANGLE (à trois côtés) ; QUADRANGULAIRE (à quatre côtés); PENTAGONE (à cinq côtés), etc. En géométrie élémentaire, M. est une figure délimitée par des droites appelées côtés. Les points d'intersection des côtés sont appelés sommets. Un polygone a plus de trois coins. Donc accepté ou convenu.

Un triangle est un triangle. Et un quadrilatère n'est pas non plus un polygone, et il ne s'appelle pas non plus un quadrilatère - c'est soit un carré, soit un losange, soit un trapèze. Le fait qu'un polygone à trois côtés et trois coins ait son propre nom "triangle" ne le prive pas de son statut de polygone.

Voyez ce que "POLYGONE" est dans d'autres dictionnaires :

On apprend que cette figure est délimitée par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones sont plats, réguliers, convexes. Qui n'a pas entendu parler du mystérieux triangle des Bermudes, où les navires et les avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle qui nous est familier depuis l'enfance regorge de nombreuses choses intéressantes et mystérieuses.

Bien sûr, une figure composée de trois angles peut également être considérée comme un polygone

Mais cela ne suffit pas à caractériser la figure. Une ligne brisée A1A2…An est une figure composée de points A1,A2,…An et de segments A1A2, A2A3,… les reliant. Une simple ligne brisée fermée est appelée un polygone si ses liens adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5). Remplacez le mot "polygone" au lieu de la partie "plusieurs" par un nombre spécifique, par exemple 3. Vous obtiendrez un triangle. Notez qu'il y a autant d'angles que de côtés, donc ces figures pourraient bien être qualifiées de multilatérales.

Soit А1А2…А n un polygone convexe donné et n>3. Dessinez-y (à partir d'un sommet) des diagonales

La somme des angles de chaque triangle est de 1800 et le nombre de ces triangles est n - 2. Par conséquent, la somme des angles d'un angle convexe n - A1A2 ... A n est de 1800 * (n - 2). Le théorème a été démontré. L'angle extérieur d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone à ce sommet.

Dans un quadrilatère, tracez une ligne de manière à ce qu'elle le divise en trois triangles

Un quadrilatère n'a jamais trois sommets sur une même ligne. Le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "plusieurs coins". Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2,3).

La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens (Fig. 4). Dans le cas n=3 le théorème est valide. Ainsi, le carré peut être appelé différemment - un quadrilatère régulier. De telles figures intéressent depuis longtemps les maîtres qui ont décoré les bâtiments.

Le nombre de sommets est égal au nombre de côtés. Une ligne brisée est dite fermée si ses extrémités coïncident. D'eux ont été obtenus beaux motifs par exemple sur parquet. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière.

Mais tous les polygones réguliers ne pouvaient pas être utilisés pour former du parquet. Examinons de plus près deux types de polygones : un triangle et un quadrilatère. Un polygone dans lequel tous les angles intérieurs sont égaux est appelé un polygone régulier. Les polygones sont nommés en fonction du nombre de leurs côtés ou sommets.

Dans cette leçon, nous allons commencer un nouveau sujet et introduire un nouveau concept pour nous - un "polygone". Nous verrons les concepts de base associés aux polygones : côtés, sommets, coins, convexité et non-convexité. Ensuite, nous prouverons faits marquants comme le théorème de somme d'angle intérieur de polygone, le théorème de somme d'angle extérieur de polygone. De ce fait, nous nous rapprocherons de l'étude de cas particuliers de polygones, qui seront abordés dans les prochaines leçons.

Thème : Quadrilatères

Leçon : Polygones

En cours de géométrie, nous étudions les propriétés des formes géométriques et avons déjà considéré les plus simples d'entre elles : les triangles et les cercles. Dans le même temps, nous avons également discuté de cas particuliers spécifiques de ces figures, tels que les triangles rectangles, isocèles et réguliers. Il est maintenant temps de parler de formes plus générales et complexes - polygones.

Avec un cas particulier polygones nous sommes déjà familiers - c'est un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1. Triangle

Le nom lui-même souligne déjà qu'il s'agit d'une figure à trois coins. Par conséquent, dans polygone il peut y en avoir beaucoup, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, dessinons un pentagone (voir Fig. 2), c'est-à-dire figure à cinq coins.

Riz. 2. Pentagone. Polygone convexe

Définition.Polygone- une figure composée de plusieurs points (plus de deux) et le nombre correspondant de segments qui les relient en série. Ces points sont appelés pics polygone et segments - des soirées. Dans ce cas, deux côtés adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite et aucun côté non adjacent ne se croise.

Définition.polygone régulier est un polygone convexe dont tous les côtés et angles sont égaux.

N'importe quel polygone divise le plan en deux régions : interne et externe. L'intérieur est aussi appelé polygone.

En d'autres termes, par exemple, lorsqu'ils parlent d'un pentagone, ils désignent à la fois toute sa région intérieure et sa frontière. Et la zone intérieure comprend également tous les points qui se trouvent à l'intérieur du polygone, c'est-à-dire le point appartient également au pentagone (voir Fig. 2).

Les polygones sont parfois aussi appelés n-gons pour souligner que le cas général d'avoir un nombre inconnu de coins (n ​​pièces) est pris en compte.

Définition. Périmètre du polygone est la somme des longueurs des côtés du polygone.

Nous devons maintenant nous familiariser avec les types de polygones. Ils sont divisés en convexe et non convexe. Par exemple, le polygone illustré à la Fig. 2 est convexe, et sur la Fig. 3 non convexes.

Riz. 3. Polygone non convexe

Définition 1. Polygone appelé convexe, si lors du tracé d'une ligne droite à travers l'un de ses côtés, l'ensemble polygone se trouve que d'un côté de cette ligne. non convexe sont tout le reste polygones.

Il est facile d'imaginer que lors de l'extension de n'importe quel côté du pentagone de la Fig. 2 tout sera d'un côté de cette droite, c'est-à-dire il est convexe. Mais lorsque vous tracez une ligne droite à travers le quadrilatère de la Fig. 3 on voit déjà qu'il le divise en deux parties, c'est-à-dire il est non convexe.

Mais il existe une autre définition de la convexité d'un polygone.

Définition 2. Polygone appelé convexe si, lors du choix de deux de ses points intérieurs et de leur connexion avec un segment, tous les points du segment sont également des points intérieurs du polygone.

Une démonstration de l'utilisation de cette définition peut être vue dans l'exemple de construction de segments de la Fig. 2 et 3.

Définition. Diagonale Un polygone est un segment qui relie deux sommets non adjacents.

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théorèmes les plus importants concernant leurs angles : théorème de la somme des angles intérieurs du polygone convexe et théorème de la somme des angles extérieurs du polygone convexe. Considérons-les.

Théorème. Sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés).

Preuve 1. Représentons sur la Fig. 4 n-gone convexe.

Riz. 4. N-gon convexe

Dessinez toutes les diagonales possibles à partir du sommet. Ils divisent le n-gon en triangles, car chacun des côtés du polygone forme un triangle, à l'exception des côtés adjacents au sommet. Il est facile de voir sur la figure que la somme des angles de tous ces triangles sera juste égale à la somme des angles intérieurs du n-gone. Puisque la somme des angles de tout triangle est , alors la somme des angles intérieurs d'un n-gone est :

Q.E.D.

Preuve 2. Une autre preuve de ce théorème est également possible. Dessinons un n-gon similaire sur la Fig. 5 et connectez n'importe lequel de ses points intérieurs à tous les sommets.

Riz. 5.

Nous avons obtenu une partition d'un n-gone en n triangles (combien de côtés, autant de triangles). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles intérieurs du polygone et à la somme des angles au point intérieur, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Éprouvé.

D'après le théorème prouvé, on voit que la somme des angles d'un n-gone dépend du nombre de ses côtés (sur n). Par exemple, dans un triangle, et la somme des angles est . Dans un quadrilatère, et la somme des angles - etc.

Théorème. Sur la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses coins (côtés), et , ..., sont les coins externes.

Preuve. Dessinons un n-gone convexe sur la Fig. 6 et notons ses angles interne et externe.

Riz. 6. N-gon convexe avec coins extérieurs marqués

Car le coin extérieur est relié au coin intérieur comme adjacent, puis et de même pour les autres angles externes. Alors:

Lors des transformations, nous avons utilisé le théorème déjà prouvé sur la somme des angles intérieurs d'un n-gone.

Éprouvé.

Du théorème prouvé, il résulte fait intéressant que la somme des angles extérieurs d'un n-gone convexe est sur le nombre de ses angles (côtés). Soit dit en passant, contrairement à la somme des angles intérieurs.

Bibliographie

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2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Géométrie, 8e année. - M. : Éducation, 2011.
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3. Xvatit.com().

Devoirs

§ 1 La notion de triangle

Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec des formes telles qu'un triangle et un polygone.

Si trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite sont reliés par des segments, alors un triangle sera obtenu. Un triangle a trois sommets et trois côtés.

Devant vous se trouve un triangle ABC, il a trois sommets (point A, point B et point C) et trois côtés (AB, AC et CB).

Soit dit en passant, ces mêmes côtés peuvent être appelés différemment :

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Les côtés d'un triangle forment trois angles aux sommets du triangle. Sur l'image, vous voyez l'angle A, l'angle B, l'angle C.

Ainsi, un triangle est une figure géométrique formée de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite.

§ 2 Le concept de polygone et ses types

En plus des triangles, il existe des quadrilatères, des pentagones, des hexagones, etc. En un mot, on peut les appeler des polygones.

Sur la photo, vous voyez le quadrilatère DMKE.

Les points D, M, K et E sont les sommets du quadrilatère.

Les segments DM, MK, KE, ED sont les côtés de ce quadrilatère. Tout comme dans le cas d'un triangle, les côtés du quadrilatère forment quatre coins aux sommets, vous l'avez deviné, d'où le nom - quadrilatère. Pour ce quadrilatère, vous voyez sur la figure l'angle D, l'angle M, l'angle K et l'angle E.

Quels quadrilatères connaissez-vous déjà ?

Carré et rectangle ! Chacun d'eux a quatre coins et quatre côtés.

Un autre type de polygone est un pentagone.

Les points O, P, X, Y, T sont les sommets du pentagone, et les segments TO, OP, PX, XY, YT sont les côtés de ce pentagone. Un pentagone a respectivement cinq coins et cinq côtés.

A votre avis, combien de coins et combien de côtés a un hexagone ? C'est vrai, six ! En argumentant de la même manière, nous pouvons dire combien de côtés, de sommets ou d'angles un polygone particulier a. Et nous pouvons conclure qu'un triangle est aussi un polygone, qui a exactement trois angles, trois côtés et trois sommets.

Ainsi, dans cette leçon, vous vous êtes familiarisé avec des concepts tels qu'un triangle et un polygone. Nous avons appris qu'un triangle a 3 sommets, 3 côtés et 3 angles, un quadrilatère a 4 sommets, 4 côtés et 4 angles, un pentagone a 5 côtés, 5 sommets, 5 angles, respectivement, etc.

Liste de la littérature utilisée :

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La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée s'appelle un polygone.

Les segments de cette ligne brisée sont appelés des soirées polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d'un polygone s'appelle son périmètre.

Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, prolongé indéfiniment au-delà de ses deux sommets.

Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, car il est situé sur plus d'un côté de la droite KP.

Nous ne considérerons que les polygones convexes.

Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins et leurs sommets - sommets du polygone.

Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d'un polygone est appelé une diagonale du polygone.

AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).

Les coins adjacents aux coins internes du polygone sont appelés les coins externes du polygone (Fig. 3).

Selon le nombre d'angles (côtés), un polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.

Deux polygones sont dits égaux s'ils peuvent être superposés.

Polygones inscrits et circonscrits

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone est appelé inscrit dans un cercle, et le cercle décrit près du polygone (fig.).

Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour du cercle, et le cercle s'appelle inscrit dans un polygone (fig.).

Similitude des polygones

Deux polygones de même nom sont dits semblables si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre, et si les côtés semblables des polygones sont proportionnels.

Les polygones ayant le même nombre de côtés (angles) sont appelés polygones du même nom.

Les côtés de polygones similaires sont dits similaires s'ils relient les sommets d'angles égaux correspondants (Fig.).

Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapport de périmètre de polygones similaires

Considérons d'abord la propriété d'une série de rapports égaux. Prenons par exemple les relations : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Trouvons la somme des membres précédents de ces relations, puis - la somme de leurs membres suivants et trouvons le rapport des sommes reçues, nous obtenons:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Nous obtiendrons la même chose si nous prenons un certain nombre d'autres relations, par exemple : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 et ensuite nous trouvons le rapport de ces sommes , on a:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales est liée à la somme des membres suivants de la même série, car le membre précédent de l'une de ces relations est lié à son suivant.

Nous avons déduit cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Elle peut être déduite strictement et sous une forme générale.

Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.

Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A'B'C'D'E' (fig.).

Il résulte de la similitude de ces polygones que

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Sur la base de la propriété d'une série de relations égales que nous avons dérivées, nous pouvons écrire:

La somme des termes précédents des relations que nous avons prises est le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations est le périmètre du second polygone (P'), donc P/P' = AB / A'B'.

Par conséquent, les périmètres de polygones similaires sont liés comme leurs côtés correspondants.

Rapport des aires de polygones similaires

Soient ABCDE et A'B'C'D'E' des polygones semblables (fig.).

On sait que ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Outre,

;

Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similarité des polygones, alors

En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :

Ou

où S et S' sont les aires de ces polygones similaires.

Par conséquent, les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.

La formule résultante peut être convertie sous cette forme: S / S '= (AB / A'B ') 2

Aire d'un polygone arbitraire

Soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABDC (Fig.).

Traçons-y une diagonale, par exemple AD. Nous obtenons deux triangles ABD et ACD dont nous pouvons calculer les aires. Ensuite, nous trouvons la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire du quadrilatère donné.

Si vous avez besoin de calculer l'aire d'un pentagone, nous procédons de la même manière: nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. On peut donc trouver l'aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de la surface de n'importe quel polygone.

Zone de projection polygonale

Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).

Théorème. L'aire de la projection orthogonale du polygone sur le plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.

Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Par conséquent, il suffit de prouver le théorème pour un triangle.

Soit ΔABC projeté sur le plan R. Considérez deux cas :

a) un des côtés ΔABS est parallèle au plan R;

b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle R.

Envisager premier cas: soit [AB] || R.

Dessiner à travers le plan (AB) R 1 || R et projeter orthogonalement ΔABC sur R 1 et sur R(riz.); on obtient ΔABC 1 et ΔA'B'C'.

Par la propriété de projection, on a ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, et donc

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ est l'angle entre le plan ΔABC et le plan R une . C'est pourquoi

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

et, par conséquent, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Passons à la considération deuxième cas. Dessiner un avion R 1 || R par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle au plan R le plus petit (que ce soit le sommet A).

Concevons ΔABC sur le plan R 1 et R(riz.); soit ses projections respectivement ΔAB 1 C 1 et ΔA'B'C'.

Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

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