Konstruirajte 4 prekrasne točke trokuta. Istraživački rad "Značajne točke trokuta

Prva dva teoreme su vam dobro poznata, druga dva ćemo dokazati.

Teorem 1

Tri simetrale trokuta sijeku u jednoj točki, što je središte upisane kružnice.

Dokaz

temelji se na činjenici da je simetrala kuta geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta.

Teorem 2

Tri simetrale okomica na stranice trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte opisane kružnice.

Dokaz

temelji se na činjenici da je simetrala okomice segmenta geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od krajeva tog segmenta.

Teorem 3

Tri visine ili tri ravne, na kojima leže visine trokuta, sijeku se u jednoj točki. Ova točka se zove ortocentar trokut.

Dokaz

Kroz vrhove trokuta `ABC` povucimo ravne linije paralelne sa suprotnim stranicama.

Na raskrižju se formira trokut `A_1 B_1 C_1`.

Po konstrukciji, `ABA_1C` je paralelogram, pa je `BA_1 = AC`. Slično se utvrđuje da je `C_1B = AC`, dakle `C_1B = AC`, točka `B` je središte segmenta `C_1A_1`.
Na potpuno isti način, `C` je sredina `B_1A_1`, a `A` je sredina `B_1 C_1`.
Neka je `BN` visina trokuta `ABC`, tada je za isječak `A_1 C_1` pravac `BN` simetrala okomice. Odatle slijedi da su tri ravnice na kojima leže visine trokuta `ABC` simetrale triju stranica trokuta `A_1B_1C_1`; a takve se okomice sijeku u jednoj točki (teorem 2).
Ako je trokut oštrokutan, tada je svaka od visina segment koji povezuje vrh i neku točku na suprotnoj strani. U ovom slučaju točke `B` i `N` leže u različitim poluravninama koje čini pravac `AM`, što znači da isječak `BN` siječe pravac `AM`, a sjecišna točka je na visini `BN`, odnosno nalazi se unutar trokuta.
U pravokutnom trokutu sjecište visina je vrh pravog kuta.

Teorem 4

Tri središnje strane trokuta sijeku se u jednoj točki i dijele točku sjecišta u omjeru `2:1`, računajući od vrha. Ta se točka naziva težištem (ili središtem mase) trokuta.
Postoje različiti dokazi ovog teorema. Evo jednog koji se temelji na Thalesovom teoremu.

Dokaz

Neka su `E`, `D` i `F` polovišta stranica `AB`, `BC` i `AC` trokuta `ABC`.

Nacrtajte medijanu `AD` i kroz točke `E` i `F` paralelno njezino izravno `EK` i `FL`. Prema Thalesovom teoremu, `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) i `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Ali `BD = DC = a//2`, dakle `BK = KD = DL = LC = a//4`. Po istom teoremu `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), pa je `BM = 2MF`.

To znači da se medijan "BF" u točki "M" sjecišta s medijanom "AD" dijeli u omjeru "2:1" računajući od vrha.

Dokažimo da je medijan `AD` u točki `M` podijeljen u istom omjeru. Obrazloženje je slično.

Ako uzmemo u obzir medijane `BF` i `CE`, također možemo pokazati da se oni sijeku u točki gdje se medijan `BF` dijeli u omjeru `2:1`, tj. u istoj točki `M`. I do ove točke, medijan `CE` također će biti podijeljen u omjeru `2:1`, računajući od vrha.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009. Geometrija, 8. razred TROKUT ČETIRI ZNAČAJNE TOČKE

Sjecište sredina trokuta Sjecište simetrala trokuta Sjecište visina trokuta Sjecište simetrala okomitih trokuta

Medijan (BD) trokuta je pravac koji povezuje vrh trokuta sa središtem suprotne stranice. A B C D Medijan

Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki (težištu trokuta) i dijele ih ta točka u omjeru 2:1, računajući od vrha. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Simetrala (A D) trokuta je isječak simetrale unutarnjeg kuta trokuta.

Svaka točka simetrale rasklopljenog kuta jednako je udaljena od njegovih stranica. Obrnuto, svaka točka koja leži unutar kuta i jednako je udaljena od stranica kuta leži na njegovoj simetrali. A M B C

Sve simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki – središtu kružnice upisane u trokut. C B 1 M A B A 1 C 1 O Polumjer kružnice (OM) je okomica spuštena iz središta (t.O) na stranicu trokuta

VISINA Visina (C D) trokuta je odsječak okomice spuštene s vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu. A B C D

Visine trokuta (ili njihovi produžeci) sijeku se u jednoj točki. A A 1 B B 1 C C 1

SREDNJA OKOMICA Simetrala okomice (DF) je pravac okomit na stranicu trokuta i dijeli ga na pola. A D F B C

A M B m O Svaka točka simetrale okomice (m) na isječak jednako je udaljena od krajeva tog isječka. Obrnuto, svaka točka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na njega.

Sve okomite simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki - središtu kružnice opisane oko trokuta. A B C O Polumjer opisane kružnice je udaljenost od središta kružnice do bilo kojeg vrha trokuta (OA). m n str

Zadatci za učenike Šestarom i ravnalom konstruiraj kružnicu upisanu u tupokutni trokut. Da biste to učinili: Konstruirajte simetrale tupokutnog trokuta pomoću šestara i ravnala. Sjecište simetrala je središte kružnice. Konstruiraj polumjer kružnice: okomicu iz središta kružnice na stranicu trokuta. Konstruiraj kružnicu upisanu u trokut.

2. Koristeći šestar i ravnalo konstruirajte kružnicu koja opisuje tupokutni trokut. Da biste to učinili: Konstruirajte simetrale okomitih stranica tupokutnog trokuta. Sjecište ovih okomica je središte opisane kružnice. Polumjer kruga je udaljenost od središta do bilo kojeg vrha trokuta. Konstruiraj kružnicu koja opisuje trokut.

Ministarstvo općeg i strukovnog obrazovanja regije Sverdlovsk.

MOUO Jekaterinburg.

Obrazovna ustanova - MOUSOSH br. 212 "Jekaterinburški kulturni licej"

Obrazovno područje – matematika.

Predmet je geometrija.

Izvanredne točke trokuta

Referent: učenica 8. razreda

Selicki Dmitrij Konstantinovič.

Znanstveni savjetnik:

Rabkanov Sergej Petrovič.

Jekaterinburg, 2001

Uvod 3

Opisni dio:

    Ortocentar 4

    Icentar 5

    Težište 7

    Središte opisane kružnice 8

    Eulerova linija 9

Praktični dio:

    Ortocentrični trokut 10

    Zaključak 11

    Reference 11

Uvod.

Geometrija počinje s trokutom. Već dva i pol tisućljeća trokut je bio simbol geometrije. Stalno se otkrivaju nove značajke. Za razgovor o svim poznatim svojstvima trokuta trebat će dosta vremena. Zanimala me tzv divne bodove trokut." Primjer takvih točaka je točka presjeka simetrala. Zanimljivo je da ako uzmemo tri proizvoljne točke u prostoru, od njih konstruiramo trokut i povučemo simetrale, tada će se one (simetrale) sjeći u jednoj točki! Čini se da to nije moguće, jer smo uzeli proizvoljne bodove, ali ovo pravilo uvijek funkcionira. I druge "čudesne točke" imaju slična svojstva.

Nakon čitanja literature o ovoj temi, fiksirao sam za sebe definicije i svojstva pet prekrasnih točaka i trokuta. Ali moj rad nije tu završio, želio sam sam istražiti te točke.

Zato cilj ovog rada je proučavanje nekih izvanrednih svojstava trokuta i proučavanje ortocentričnog trokuta. U procesu postizanja ovog cilja mogu se razlikovati sljedeće faze:

    Odabir literature, uz pomoć nastavnika

    Učenje osnovnih svojstava značajnih točaka i linija trokuta

    Generalizacija ovih svojstava

    Izrada i rješavanje zadatka vezanog uz ortocentrični trokut

Prikazala sam rezultate dobivene ovim istraživanjem. Sve sam crteže izradio pomoću računalne grafike (vektorski grafički editor CorelDRAW).

Ortocentar. (Točka sjecišta visina)

Dokažimo da se visine sijeku u jednoj točki. Idemo kroz vrhove A, U I S trokut ABC ravne linije paralelne sa suprotnim stranama. Ove linije tvore trokut A 1 U 1 S 1 . visina trokuta ABC okomite su simetrale stranica trokuta A 1 U 1 S 1 . dakle, sijeku se u jednoj točki – središtu opisane kružnice trokuta A 1 U 1 S 1 . Sjecište visina trokuta naziva se ortocentar ( H).

Središte je središte upisane kružnice.

(Točka presjeka simetrala)

Dokažimo da su simetrale kutova trokuta ABC sijeku u jednoj točki. Razmotrite točku OKO sjecišta simetrala kutova A I U. bilo koja točka na simetrali kuta A jednako je udaljena od pravaca AB I AU, i bilo koja točka simetrale kuta U jednako udaljeni od ravnih linija AB I Sunce, dakle poanta OKO jednako udaljeni od ravnih linija AU I Sunce, tj. leži na simetrali kuta S. točka OKO jednako udaljeni od ravnih linija AB, Sunce I SA, tako da postoji krug sa središtem OKO tangente na te pravce, a dodirne točke leže na samim stranicama, a ne na njihovim produžecima. Doista, kutovi na vrhovima A I U trokut AOB oštar dakle točkasta projekcija OKO direktno AB leži unutar segmenta AB.

Za zabave Sunce I SA dokaz je sličan.

Centar ima tri nekretnine:

    Ako je nastavak simetrale kuta S siječe opisanu kružnicu trokuta ABC u točki M, To MA=MV=MO.

    Ako AB- osnovica jednakokračnog trokuta ABC, zatim krug tangente na stranice kuta DIA u točkama A I U, prolazi kroz točku OKO.

    Ako pravac koji prolazi točkom OKO paralelno sa stranom AB, siječe stranice Sunce I SA u točkama A 1 I U 1 , To A 1 U 1 =A 1 U+AB 1 .

Centar gravitacije. (Točka presjeka medijana)

Dokažimo da se središnje strane trokuta sijeku u jednoj točki. Za ovo, razmotrite točku M gdje se sijeku medijane AA 1 I BB 1 . učinimo to u trokutu BB 1 S središnja linija A 1 A 2 , paralelno BB 1 . Zatim A 1 M: prijepodne=U 1 A 2 :AB 1 =U 1 A 2 :U 1 S=VA 1 :Sunce=1:2, tj. središnja točka BB 1 I AA 1 dijeli medijan AA 1 u omjeru 1:2. Slično, sjecište medijana SS 1 I AA 1 dijeli medijan AA 1 u omjeru 1:2. Prema tome, točka presjeka medijana AA 1 I BB 1 poklapa se s točkom presjeka medijana AA 1 I SS 1 .

Ako je sjecište medijana trokuta spojeno s vrhovima, tada će se trokuti podijeliti na tri trokuta jednake površine. Doista, dovoljno je dokazati da ako R- bilo koja točka medijane AA 1 u trokutu ABC, zatim površine trokuta AVR I ASR su jednaki. Uostalom, medijani AA 1 I RA 1 u trokutima ABC I RVS izrežite ih na trokute jednake površine.

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako za neku točku R, koji leži unutar trokuta ABC, površine trokuta AVR, U SRIJEDU I SAR jednaki su, dakle R je točka presjeka medijana.

Točka sjecišta ima još jedno svojstvo: ako izrežete trokut iz bilo kojeg materijala, nacrtate medijane na njemu, popravite dizalo na sjecištu medijana i pričvrstite ovjes na tronožac, tada će model (trokut) biti u stanju ravnoteže, dakle, točka sjecišta nije ništa više od težišta trokuta.

Središte opisane kružnice.

Dokažimo da postoji točka jednako udaljena od vrhova trokuta, odnosno da postoji kružnica koja prolazi kroz tri vrha trokuta. Geografsko mjesto točaka jednako udaljenih od točaka A I U, okomit je na segment AB prolazeći kroz njegovo središte (okomita simetrala na segment AB). Razmotrite točku OKO gdje se sijeku simetrale odsječaka AB I Sunce. Točka OKO jednako udaljen od točaka A I U, kao i iz bodova U I S. pa je jednako udaljena od točaka A I S, tj. također leži na okomitoj simetrali odsječka AU.

Centar OKO opisana kružnica leži unutar trokuta samo ako je trokut šiljasti. Ako je trokut pravokutni trokut, tada je točka OKO poklapa s polovištem hipotenuze, a ako je kut pri tjemenu S tupo pa ravno AB razdvaja točke OKO I S.

U matematici se često događa da se objekti definirani na vrlo različite načine pokažu istima. Pokažimo to primjerom.

Neka A 1 , U 1 ,S 1 - središta stranica Sunce,SA i AV. Može se dokazati da kružnice opisane oko trokuta AB 1 S, A 1 Sunce 1 I A 1 U 1 S 1 sijeku se u jednoj točki, a ta točka je središte opisane kružnice trokuta ABC. Dakle, imamo dvije naizgled potpuno različite točke: točku presjeka središnjih okomica na stranice trokuta ABC i sjecište opisanih kružnica trokuta AB 1 S 1 , A 1 Sunce I A 1 U 1 S 1 . ali ispada da se te dvije točke podudaraju.

Eulerova ravna linija.

Najnevjerojatnije svojstvo čudesnih točaka trokuta je da su neke od njih međusobno povezane određenim odnosima. Na primjer, težište M, ortocentar H a središte opisane kružnice OKO leže na jednoj ravnoj liniji, a točka M dijeli odsječak OH tako da je odnos OM:MN=1:2. Taj je teorem 1765. dokazao švicarski znanstvenik Leonardo Euler.

ortocentrični trokut.

ortocentrični trokut(ortotrokut) je trokut ( MNDO), čiji su vrhovi osnovice visina zadanog trokuta ( ABC). Ovaj trokut ima mnogo zanimljivih svojstava. Uzmimo jednu od njih.

Vlasništvo.

Dokazati:

trokuta AKM, CMN I BKN sličan trokutu ABC;

Kutovi ortotrokuta MNK su: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π-2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Dokaz:

Imamo AB cos A, AK cos A. Stoga, AM/AB = AK/AC.

Jer trokuta ABC I AKM kutak Ačest, onda su slični, odakle zaključujemo da je kut L AKM = L C. Zato L BKM = L C. Onda imamo L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 – - - L C, tj. SC- simetrala kuta MNK. Tako, L MNK= π - 2 L C. Preostale jednakosti dokazuju se na sličan način.

Zaključak.

U zaključku ovog istraživanja mogu se izvući sljedeći zaključci:

    Izvanredne točke i linije trokuta su:

    ortocentar trokut je sjecište njegovih visina;

    icentar trokut je sjecište simetrala;

    centar gravitacije trokut je točka presjeka njegovih medijana;

    središte opisane kružnice je točka presjeka simetrala okomica;

    Eulerova linija je ravna crta na kojoj leže težište, ortocentar i središte opisane kružnice.

    Ortocentrični trokut dijeli zadani trokut na tri slična.

Učinivši ovaj posao, naučio sam puno o svojstvima trokuta. Ovaj rad je za mene bio relevantan u smislu razvoja mog znanja u polju matematike. U budućnosti namjeravam razvijati ovu najzanimljiviju temu.

Bibliografija.

    Kiselev A.P. Elementarna geometrija. – M.: Prosvjetljenje, 1980.

    Kokseter G.S., Greitzer S.L. Novi susreti s geometrijom. – M.: Nauka, 1978.

    Prasolov V.V. Problemi iz planimetrije. - M.: Nauka, 1986. - 1. dio.

    Sharygin I.F. Zadaci iz geometrije: Planimetrija. – M.: Nauka, 1986.

    Scanavi M. I. Matematika. Problemi s rješenjima. - Rostov na Donu: Phoenix, 1998.

    Berger M. Geometrija u dva toma - M: Mir, 1984.

ČETIRI SJAJNE BODKE

TROKUT

Geometrija

8. razred

Saharova Natalija Ivanovna

MBOU srednja škola br. 28 u Simferopolju


  • Sjecište središnjica trokuta
  • Sjecište simetrala trokuta
  • Točka sjecišta visina trokuta
  • Sjecište središnjih okomica trokuta

Medijan

Medijan (BD) Trokut je isječak koji povezuje vrh trokuta sa središtem suprotne stranice.


medijani trokuti se sijeku u jednom trenutku (centar gravitacije trokut) i podijelite ovu točku u omjeru 2:1, računajući od vrha.


SIMEKTRALA

Simetrala (AD) trokuta naziva se odsječak simetrale unutarnjeg kuta trokuta. ∟ LOŠE = ∟CAD.


Svaki bod simetrale nerazvijenog kuta jednako je udaljen od njegovih stranica.

Leđa: svaka točka unutar kuta i jednako udaljena od stranica kuta leži na njegovoj simetrala.


Sve simetrale trokuti se sijeku u jednoj točki upisano središte u trokut krugovi.

Polumjer kruga (OM) je okomica spuštena iz središta (T.O) na stranicu trokuta


VISINA

Visina (CD) Trokut je isječak okomice spušten s vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu.


Visine trokuti (ili njihovi produžeci) sijeku se jedan točka.


SREDNJI PPERUNDIKULAR

Simetrala okomita (DF) naziva se pravac okomit na stranicu trokuta i dijeli ga na pola.


Svaki bod srednja okomita(m) segmentu je jednako udaljen od krajeva tog segmenta.

Leđa: svaka točka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na sredini okomito njemu.


Sve okomite simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki - središte opisanog blizu trokuta krugovi .

Polumjer opisane kružnice je udaljenost od središta kružnice do bilo kojeg vrha trokuta (OA).


Stranica 177 №675 (crtež)


Domaća zadaća

str.173 § 3 definicije i teoremi str.177 br. 675 (završetak)

Slični postovi