Arcsin sinx gráf. Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik és képleteik

Inverz trigonometrikus függvények(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

arcszinusz(jelölése: arcsin x; arcsin x- ez a szög bűn egyenrangúi x).

arcszinusz (y = arcsin x) - inverz trigonometrikus függvény bűn (x = sin y), amelynek van egy tartománya és egy értékkészlete . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget bűn.

Funkció y=sin x folytonos és a teljes számegyenese mentén korlátos. Funkció y=arcsin x- szigorúan növeli.

Az arcsin függvény tulajdonságai.

Arcsine cselekmény.

Az arcsin függvény beszerzése.

Van egy funkció y = sinx. Az egész definíciós tartományában darabonként monoton, tehát az inverz megfeleltetés y = arcsin x nem függvény. Ezért azt a szegmenst vesszük figyelembe, amelyen csak növekszik, és felvesszük az értéktartomány minden értékét - . Mert funkcióhoz y = sinx az intervallumon a függvény összes értékét az argumentum egyetlen értékével kapjuk meg, ami azt jelenti, hogy ezen az intervallumon van egy inverz függvény y = arcsin x, melynek gráfja szimmetrikus a függvény grafikonjára y = sinx viszonylag egyenes szakaszon y = x.

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos problémák gyakran felmerülnek az iskolai záróvizsgákon és egyes egyetemeken a felvételi vizsgákon. A téma részletes tanulmányozása csak szabadon választható órákon vagy szabadon választható kurzusokon valósítható meg. A javasolt kurzus célja, hogy a lehető legteljesebb mértékben fejlessze minden tanuló képességeit, és javítsa matematikai felkészültségét.

A tanfolyam 10 órás:

1.Arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x függvények (4 óra).

2. Inverz trigonometrikus függvények műveletei (4 óra).

3. Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Téma: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x függvények.

Cél: ennek a kérdésnek a teljes ismertetése.

1. Függvény y = arcsin x.

a) Az y = sin x függvényre a szakaszon van egy inverz (egyértékű) függvény, amit megegyeztünk, hogy arcszinusznak nevezünk és a következőképpen jelöljük: y = arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a főfüggvény grafikonjával az I - III koordinátaszögek felezőszöge tekintetében.

Az y = arcsin x függvény tulajdonságai.

1) Meghatározási terület: szegmens [-1; 1];

2) Változási terület: szegmens;

3) y függvény = arcsin x páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekszik;

5) A gráf origójában metszi az Ox, Oy tengelyeket.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin. Ezt a példát a következőképpen lehet részletesen megfogalmazni: keressünk egy a -tól ig terjedő tartományban lévő argumentumot, amelynek szinusza egyenlő.

Megoldás. Számtalan érv létezik, amelyek szinusza egyenlő -val, például: stb. De minket csak a szegmensben szereplő érv érdekel. Ez lenne az érv. Így, .

2. példa Find .Megoldás. Ugyanúgy érvelve, mint az 1. példában, azt kapjuk .

b) szóbeli gyakorlatok. Keresse meg: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Válasz minta: , mert . Van-e értelme a kifejezéseknek: ; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendbe: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Függvények y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (hasonló).

2. lecke (2 óra) Témakör: Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik.

Cél: ezen a leckén az értékmeghatározási készségek fejlesztése szükséges trigonometrikus függvények, inverz trigonometrikus függvények grafikonjainak felépítésében D (y), E (y) és a szükséges transzformációk felhasználásával.

Ebben a leckében végezzen gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a definíciós tartomány megtalálását, a következő típusú függvények értéktartományát: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Készítsen grafikonokat a következő függvényekből: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Példa.Ábrázoljuk y = arccos

A következő gyakorlatokat illesztheti be a házi feladatba: készítsen függvénygrafikonokat: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Inverz függvények grafikonjai

3. lecke (2 óra) Téma:

Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez a matematikai képzés fokozott követelményeivel rendelkező szakokra jelentkezők számára fontos) inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó alapvető összefüggések bevezetésével.

Anyag a leckéhez.

Néhány egyszerű trigonometrikus művelet inverz trigonometrikus függvényekkel: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Megjegyzés: a gyökér elé vesszük a „+” jelet, mert a = arcsin x teljesíti a .

c) sin (1,5 + arcsin) Válasz: ;

d) ctg ( + arctg 3). Válasz: ;

e) tg ( – arcctg 4) Válasz: .

e) cos (0,5 + arccos). Válasz: .

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5) .

Legyen arctan 5 = a, majd sin 2 a = vagy bűn (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctg, b = arctg,

akkor tg(a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] valódi arcsin x + arccos x = .

Bizonyíték:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = bűn ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

A megoldás saját kezűleg: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Otthoni megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

4. lecke (2 óra) Téma: Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: Ebben a leckében mutassa be az arányok használatát összetettebb kifejezések átalakítására.

Anyag a leckéhez.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ÍRÁSBAN:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Az önálló munka segít meghatározni az anyag elsajátításának szintjét.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Mert házi feladat javasolhatjuk:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

5. lecke (2 óra) Téma: Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken.

Cél: a tanulók megértésének kialakítása a trigonometrikus függvények inverz trigonometrikus műveleteiről, a tanult elmélet megértésének növelésére összpontosítva.

A téma tanulmányozásakor feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Az óra anyaga:

Az y = arcsin (sin x) függvény tanulmányozásával és grafikonjának ábrázolásával kezdheti meg az új anyagok tanulását.

3. Minden x I R y I-hez kapcsolódik, azaz.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) ezen:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x, 0<= - x <= .

Így,

Miután megszerkesztettük y = arcsin (sin x) -on, szimmetrikusan folytatjuk az origó körül a [- ; 0], tekintettel ennek a függvénynek a furcsaságára. A periodicitás használatával a teljes számegyenesen haladunk tovább.

Ezután írjon le néhány összefüggést: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És végezd el a következő gyakorlatokat:a) arccos(sin 2).Válasz: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctg (tg 2) Válasz: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Válasz: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Válasz: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

A sin, cos, tg és ctg függvényeket mindig arcszinusz, arccosinusz, arctangens és arccotangens kíséri. Az egyik a másik következménye, és a függvénypárok ugyanolyan fontosak a trigonometrikus kifejezésekkel való munka során.

Tekintsünk egy egységkör rajzát, amely grafikusan jeleníti meg a trigonometrikus függvények értékeit.

Ha kiszámítjuk az OA, arcos OC, arctg DE és arcctg MK íveket, akkor mindegyik egyenlő lesz az α szög értékével. Az alábbi képletek az alapvető trigonometrikus függvények és a hozzájuk tartozó ívek közötti kapcsolatot tükrözik.

Ahhoz, hogy jobban megértsük az arcszinusz tulajdonságait, figyelembe kell venni a funkcióját. Menetrend a koordináta középpontján áthaladó aszimmetrikus görbe alakja van.

Az arcszin tulajdonságai:

Ha összehasonlítjuk a grafikonokat bűnÉs arcsin, két trigonometrikus függvénynek lehet közös mintája.

ív koszinusz

Egy szám Arccos az α szög értéke, amelynek koszinusza egyenlő a-val.

Ív y = arcos x tükrözi az arcsin x gráfot, azzal az egyetlen különbséggel, hogy átmegy az OY tengely π/2 pontján.

Nézzük meg részletesebben az arc koszinusz függvényt:

1. A függvény a [-1; 1].
2. ODZ arccoshoz - .
3. A grafikon teljes egészében az első és a második negyedben található, és maga a függvény sem páros, sem nem páratlan.
4. Y = 0 x = 1-nél.
5. A görbe teljes hosszában csökken. Az arc koszinusz egyes tulajdonságai egybeesnek a koszinuszfüggvénnyel.

Az arc koszinusz egyes tulajdonságai egybeesnek a koszinuszfüggvénnyel.

Talán az iskolások szükségtelennek tartják az „ívek” ilyen „részletes” tanulmányozását. Ellenkező esetben azonban egyes alapfokú vizsgafeladatok zsákutcába vezethetik a tanulókat.

1. Feladat. Jelölje meg az ábrán látható funkciókat.

Válasz: rizs. 1 – 4, 2 – 1. ábra.

Ebben a példában az apróságokon van a hangsúly. A tanulók jellemzően nagyon figyelmetlenek a gráfok felépítésével és a függvények megjelenésével kapcsolatban. Valóban, miért emlékeznénk a görbe típusára, ha az mindig kiszámítható pontok segítségével ábrázolható. Ne felejtse el, hogy tesztkörülmények között az egyszerű feladat rajzolására fordított idő bonyolultabb feladatok megoldásához szükséges.

Arktangens

Arctg az a számok az α szög értéke, amelynek érintője egyenlő a-val.

Ha figyelembe vesszük az arctangens gráfot, a következő tulajdonságokat emelhetjük ki:

1. A gráf végtelen, és a (- ∞; + ∞) intervallumon van definiálva.
2. Az arktangens páratlan függvény, ezért arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0, x = 0.
4. A görbe a teljes definíciós tartományban növekszik.

Mutassuk be a tg x és arctg x rövid összehasonlító elemzését táblázat formájában.

Arccotangens

Egy szám Arcctg - α értéket vesz fel a (0; π) intervallumból úgy, hogy a kotangense egyenlő a-val.

Az ívkotangens függvény tulajdonságai:

1. A függvénydefiníciós intervallum a végtelen.
2. Az elfogadható értékek tartománya a (0; π) intervallum.
3. F(x) nem páros és nem páratlan.
4. A függvény grafikonja a teljes hosszában csökken.

A ctg x és az arctg x összehasonlítása nagyon egyszerű, mindössze két rajzot kell készítenie, és le kell írnia a görbék viselkedését.

2. feladat. Kösd össze a függvény grafikonját és jelölési formáját!

Ha logikusan gondolkodunk, a grafikonokból jól látszik, hogy mindkét függvény növekszik. Ezért mindkét ábra egy bizonyos arctán függvényt mutat. Az arctangens tulajdonságaiból ismert, hogy x = 0-nál y=0,

Válasz: rizs. 1-1, ábra 2-4.

Trigonometrikus azonosságok arcsin, arcos, arctg és arcctg

Korábban már azonosítottuk az ívek és a trigonometria alapfunkciói közötti kapcsolatot. Ez a függőség számos képlettel kifejezhető, amelyek lehetővé teszik például egy argumentum szinuszának kifejezését az arcszinuszon, arccosinuson keresztül vagy fordítva. Az ilyen azonosságok ismerete hasznos lehet konkrét példák megoldása során.

Vannak kapcsolatok az arctg és arcctg számára is:

Egy másik hasznos képletpár beállítja az arcsin és arcos, valamint az azonos szögű arcctg és arcctg összegét.

Példák problémamegoldásra

A trigonometriai feladatok négy csoportra oszthatók: egy adott kifejezés számértékének kiszámítása, egy adott függvény grafikonjának megalkotása, a definíciós tartomány vagy az ODZ megkeresése és a példa megoldásához analitikus transzformációk végrehajtása.

Az első típusú probléma megoldása során be kell tartania a következő cselekvési tervet:

Függvénygráfokkal való munka során a legfontosabb a tulajdonságaik ismerete és a görbe megjelenése. A trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásához azonosságtáblázatok szükségesek. Minél több képletre emlékszik a tanuló, annál könnyebben találja meg a választ a feladatra.

Tegyük fel, hogy az egységes államvizsgán meg kell találnia a választ egy olyan egyenletre, mint például:

Ha helyesen átalakítja a kifejezést, és a kívánt formába hozza, akkor a megoldása nagyon egyszerű és gyors. Először vigyük az arcsin x-et az egyenlőség jobb oldalára.

Ha emlékszel a képletre arcsin (sin α) = α, akkor a válaszkeresést lecsökkenthetjük egy két egyenletrendszer megoldására:

Az x modellre vonatkozó korlátozás ismét az arcsin tulajdonságaiból adódik: ODZ x [-1; 1]. Ha a ≠0, a rendszer egy része egy másodfokú egyenlet, amelynek gyöke x1 = 1 és x2 = - 1/a. Ha a = 0, x egyenlő lesz 1-gyel.

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, inverz függvényeik nem egyediek. Tehát az y = egyenlet bűn x, adott , végtelen sok gyökere van. Valóban, a szinusz periodicitása miatt, ha x ilyen gyök, akkor az is x + 2πn(ahol n egész szám) lesz az egyenlet gyöke is. És így, az inverz trigonometrikus függvények többértékűek. A velük való munka megkönnyítése érdekében bemutatjuk a fő jelentésük fogalmát. Tekintsük például a szinusz: y = bűn x. Ha az x argumentumot az intervallumra korlátozzuk, akkor rajta az y = függvény bűn x monoton növekszik. Ezért van egy egyedi inverz függvénye, amelyet arcszinusznak neveznek: x = arcsin y.

Hacsak másképp nem jelezzük, inverz trigonometrikus függvények alatt azok fő értékeit értjük, amelyeket a következő definíciók határoznak meg.

Arcsine ( y = arcsin x) a szinusz inverz függvénye ( x = siny
ív koszinusz ( y = arccos x) a koszinusz inverz függvénye ( x = kényelmes), amelynek egy definíciós tartománya és egy értékkészlete van.
Arktangens ( y = arctan x) az érintő inverz függvénye ( x = tg y), amelynek egy definíciós tartománya és egy értékkészlete van.
arccotangens ( y = arcctg x) a kotangens inverz függvénye ( x = ctg y), amelynek egy definíciós tartománya és egy értékkészlete van.

Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai

Az inverz trigonometrikus függvények grafikonjai a trigonometrikus függvények grafikonjaiból származnak az y = x egyenesre való tükörreflexióval. Lásd a Szinusz, koszinusz, Tangens, kotangens fejezeteket.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Alapképletek

Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.

arcsin(sin x) = x nál nél
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x nál nél
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x nál nél
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x nál nél
ctg(arcctg x) = x

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek

Lásd még: Inverz trigonometrikus függvények képletei származtatása

Összeg és különbség képletek

vagy

és

és

vagy

és

és

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

ív koszinusz, cos inverz függvénye (x = cos y), y = arccos x helyen van meghatározva, és sok értéke van. Más szóval, az értékével adja vissza a szöget kötözősaláta.

ív koszinusz(kijelölés: arccos x; arccos x az a szög, amelynek koszinusza egyenlő x stb).

Funkció y = cos x folytonos és a teljes számegyenese mentén korlátos. Funkció y = arccos x szigorúan csökken.

Az arcsin függvény tulajdonságai.

Az arccos funkció beszerzése.

Adott egy függvény y = cos x. Az egész definíciós tartományában részenként monoton, és ezért az inverz megfeleltetés y = arccos x nem függvény. Ezért figyelembe vesszük azt a szegmenst, amelyen szigorúan csökken, és felveszi az összes értékét - . Ezen a szegmensen y = cos x szigorúan monoton csökken, és minden értékét csak egyszer veszi fel, ami azt jelenti, hogy van egy inverz függvény a szegmensen y = arccos x, amelynek gráfja szimmetrikus a gráfra y = cos x viszonylag egyenes szakaszon y = x.