Inverz trigonometrikus függvények és grafikonjaik. Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? Cikk inverz trigonometrikus függvényei

A matematika és alkalmazásai számos problémájában egy trigonometrikus függvény ismert értékét kell használni egy szög fokban vagy radiánban kifejezett megfelelő értékének megtalálásához. Ismeretes, hogy végtelen számú szög felel meg a szinusz azonos értékének, például ha $\sin α=1/2,$, akkor a $α$ szög lehet $30°$ és $150°,$ vagy radiánban $π /6$ és $5π/6,$ és bármelyik szög, amelyet ezekből kapunk egy $360°⋅k,$ vagy $2πk,$ alakú tag hozzáadásával, ahol $k $ bármely egész szám. Ez világossá válik, ha megvizsgáljuk a $y=\sin x$ függvény grafikonját a teljes számegyenesen (lásd: $1$ ábra): ha a $Oy$ tengelyen egy $1/2$ hosszúságú szakaszt ábrázolunk, és rajzolunk egy a $Ox tengellyel párhuzamos egyenes, $ akkor végtelen számú pontban metszi a szinuszost. A válaszok lehetséges sokféleségének elkerülése érdekében inverz trigonometrikus függvényeket vezetnek be, amelyeket más néven kör- vagy ívfüggvényeknek neveznek (a latin arcus szóból - „ív”).

A négy fő trigonometrikus függvény: $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ és $\mathrm(ctg)\,x$ négy ívfüggvénynek felel meg: $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ és $\mathrm(arcctg)\,x$ (olvassa: arcsine, arccosine, arctangens, arccotangens). Tekintsük az \arcsin x és \mathrm(arctg)\,x függvényeket, mivel a másik kettőt ezeken keresztül fejezzük ki a képletekkel:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

A $y = \arcsin x$ egyenlőség definíció szerint a $y,$ radián mértékkel kifejezett szöget jelenti, amely a $−\frac(π)(2)$ és $\frac(π)(2) közötti tartományban van, $ szinusz, amely egyenlő: $x,$, azaz $\sin y = x.$ A $\arcsin x$ függvény a függvény inverz függvény$\sin x,$ figyelembe véve a $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\jobbra],$ intervallumban, ahol ez a függvény monoton növekszik és minden értéket innen vesz $−1 $ - $+1.$ Nyilvánvaló, hogy a $\arcsin x$ függvény $y$ argumentuma csak a $\left[−1,+1\right] intervallumból vehet fel értékeket.$ Tehát, a $y=\arcsin x$ függvény a $\left[−1,+1\right],$ intervallumon van definiálva,$ monoton növekszik, és értékei kitöltik a $\left[−\frac(π) intervallumot (2),+\frac(π)(2)\ right].$ A függvény grafikonja az ábrán látható. $2.$

A $−1 ≤ a ≤ 1$ feltétel mellett a $\sin x = a$ egyenlet összes megoldását ábrázolhatjuk $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 formában. ,±1,± 2, ….$ Például, ha

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$, akkor $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

A $y=\mathrm(arcctg)\,x$ reláció a $x$ összes értékére definiálva van, és definíció szerint azt jelenti, hogy a radiánban kifejezett $y,$ szög a tartományon belül van.

$−\frac(π)(2)

és ennek a szögnek az érintője egyenlő x-szel, azaz $\mathrm(tg)\,y = x.$ A $\mathrm(arctg)\,x$ függvény a teljes számegyenesen van definiálva, és az inverz függvénye a $\mathrm( tg)\,x$ függvény, amelyet csak az intervallumon veszünk figyelembe

$−\frac(π)(2)

A $y = \mathrm(arctg)\,x$ függvény monoton növekszik, grafikonja az ábrán látható. $3.$

A $\mathrm(tg)\,x = a$ egyenlet minden megoldása felírható $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Vegye figyelembe, hogy az inverz trigonometrikus függvényeket széles körben használják a matematikai elemzésben. Például az egyik első függvény, amelyre egy végtelen hatványsorral való ábrázolást kaptunk, a $\mathrm(arctg)\,x.$ függvény volt ebből a sorozatból, G. Leibniz, a $x argumentum rögzített értékével. =1$, megkapta a végtelen közeli szám híres reprezentációját

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos problémák gyakran felmerülnek az iskolai záróvizsgákon és egyes egyetemeken a felvételi vizsgákon. A téma részletes tanulmányozása csak szabadon választható órákon vagy szabadon választható kurzusokon valósítható meg. A javasolt kurzus célja, hogy a lehető legteljesebb mértékben fejlessze minden tanuló képességeit, és javítsa matematikai felkészültségét.

A tanfolyam 10 órás:

1.Arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x függvények (4 óra).

2. Inverz trigonometrikus függvények műveletei (4 óra).

3. Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Téma: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x függvények.

Cél: ennek a kérdésnek a teljes ismertetése.

1.Y függvény = arcsin x.

a) Az y = sin x függvényre a szakaszon van egy inverz (egyértékű) függvény, amit megegyeztünk, hogy arcszinusznak nevezünk és a következőképpen jelöljük: y = arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a főfüggvény grafikonjával az I - III koordinátaszögek felezőszöge tekintetében.

Az y = arcsin x függvény tulajdonságai.

1) Meghatározási terület: szegmens [-1; 1];

2) Változási terület: szegmens;

3) y függvény = arcsin x páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekszik;

5) A gráf origójában metszi az Ox, Oy tengelyeket.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin. Ezt a példát a következőképpen lehet részletesen megfogalmazni: keressünk egy a -tól ig terjedő tartományban lévő argumentumot, amelynek szinusza egyenlő.

Megoldás. Számtalan érv létezik, amelyek szinusza egyenlő -val, például: stb. De minket csak a szegmensben szereplő érv érdekel. Ez lenne az érv. Így, .

2. példa Find .Megoldás. Ugyanúgy érvelve, mint az 1. példában, azt kapjuk .

b) szóbeli gyakorlatok. Keresse meg: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Válasz minta: , mert . Van-e értelme a kifejezéseknek: ; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendbe: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Függvények y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (hasonló).

2. lecke (2 óra) Témakör: Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik.

Cél: ezen a leckén az értékmeghatározási készségek fejlesztése szükséges trigonometrikus függvények, inverz trigonometrikus függvények grafikonjainak felépítésében D (y), E (y) és a szükséges transzformációk felhasználásával.

Ebben a leckében végezzen gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a definíciós tartomány megtalálását, a következő típusú függvények értéktartományát: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Készítsen grafikonokat a következő függvényekből: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Példa.Ábrázoljuk y = arccos

A következő gyakorlatokat illesztheti be a házi feladatba: készítsen függvénygrafikonokat: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Inverz függvények grafikonjai

3. lecke (2 óra) Téma:

Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez a matematikai képzés fokozott követelményeivel rendelkező szakokra jelentkezők számára fontos) inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó alapvető összefüggések bevezetésével.

Anyag a leckéhez.

Néhány egyszerű trigonometrikus művelet inverz trigonometrikus függvényekkel: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Megjegyzés: a gyökér elé vesszük a „+” jelet, mert a = arcsin x teljesíti a .

c) sin (1,5 + arcsin) Válasz: ;

d) ctg ( + arctg 3). Válasz: ;

e) tg ( – arcctg 4) Válasz: .

e) cos (0,5 + arccos). Válasz: .

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5) .

Legyen arctan 5 = a, majd sin 2 a = vagy bűn (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctg, b = arctg,

akkor tg(a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] valódi arcsin x + arccos x = .

Bizonyíték:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = bűn ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

A megoldás saját kezűleg: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Otthoni megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

4. lecke (2 óra) Téma: Műveletek inverz trigonometrikus függvényekkel.

Cél: Ebben a leckében mutassa be az arányok használatát összetettebb kifejezések átalakítására.

Anyag a leckéhez.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ÍRÁSBAN:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Az önálló munka segít meghatározni az anyag elsajátításának szintjét.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Mert házi feladat javasolhatjuk:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

5. lecke (2 óra) Téma: Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken.

Cél: a tanulók megértésének kialakítása a trigonometrikus függvények inverz trigonometrikus műveleteiről, a tanult elmélet megértésének növelésére összpontosítva.

A téma tanulmányozása során feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Az óra anyaga:

Az y = arcsin (sin x) függvény tanulmányozásával és grafikonjának ábrázolásával kezdheti meg az új anyagok tanulását.

3. Minden x I R y I-hez kapcsolódik, azaz.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) ezen:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x, 0<= - x <= .

Így,

Miután megszerkesztettük y = arcsin (sin x) -on, szimmetrikusan folytatjuk az origó körül a [- ; 0], tekintettel ennek a függvénynek a furcsaságára. A periodicitás használatával a teljes számegyenesen haladunk tovább.

Ezután írjon le néhány összefüggést: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És végezd el a következő gyakorlatokat:a) arccos(sin 2).Válasz: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctg (tg 2) Válasz: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Válasz: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Válasz: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens?

Figyelem!
Vannak további
anyagok be Különleges 555. szakasz.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

A fogalmakhoz arcszinusz, arccosinus, arctangens, arccotangens A diákság óvatos. Nem érti ezeket a kifejezéseket, és ezért nem bízik ebben a kedves családban.) De hiába. Ezek nagyon egyszerű fogalmak. Amik mellesleg egy hozzáértő ember életét roppant megkönnyítik a döntés során trigonometrikus egyenletek!

Kétségei vannak az egyszerűséggel kapcsolatban? Hiába.) Itt és most ezt fogod látni.

Persze a megértés kedvéért jó lenne tudni Mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens? Igen őket táblázat értékeit bizonyos szögeknél... Legalábbis a legáltalánosabb értelemben. Akkor itt sem lesz gond.

Szóval meglepődünk, de ne feledjük: arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens csak néhány szög. Se több se kevesebb. Van egy szög, mondjuk 30°. És van egy sarok arcsin0.4. Vagy arctg(-1.3). Mindenféle szög létezik.) Egyszerűen leírhatja a szögeket különböző módokon. A szöget a következőképpen írhatja fel fok vagy radián. Vagy megteheti - szinuszán, koszinuszán, érintőjén és kotangensén keresztül...

Mit jelent a kifejezés

arcsin 0,4?

Ez egy olyan szög, amelynek szinusza 0,4! Igen igen. Ez az arcszinusz jelentése. Konkrétan megismétlem: az arcsin 0,4 olyan szög, amelynek szinusza 0,4.

Ez minden.

Hogy ezt az egyszerű gondolatot sokáig a fejedben tartsam, még le is bontom ezt a szörnyű kifejezést - arcsine:

ív bűn 0,4
sarok, melynek szinusza egyenlő 0,4

Ahogy meg van írva, úgy hallatszik.) Majdnem. Konzol ív eszközök ív(szó boltív tudod?), mert az ókori emberek íveket használtak szögek helyett, de ez nem változtat a dolog lényegén. Emlékezzen erre a matematikai kifejezés elemi dekódolására! Ráadásul az arccosine, arctangens és arccotangens esetében a dekódolás csak a függvény nevében tér el.

Mi az az arccos 0.8?
Ez egy szög, amelynek koszinusza 0,8.

Mi az arctg(-1,3)?
Ez egy szög, amelynek érintője -1,3.

Mi az arcctg 12?
Ez egy szög, amelynek kotangense 12.

Az ilyen elemi dekódolás egyébként lehetővé teszi az epikus baklövések elkerülését.) Például az arccos1,8 kifejezés elég szilárdnak tűnik. Kezdjük a dekódolást: Az arccos1.8 egy olyan szög, amelynek koszinusza 1,8... Ugrás-ugrás!? 1.8!? A koszinusz nem lehet nagyobb egynél!!!

Jobb. Az arccos1,8 kifejezésnek nincs értelme. És ha egy ilyen kifejezést valamilyen válaszba ír, az nagyon szórakoztatja az ellenőrt.)

Elemi, amint látja.) Minden szögnek megvan a maga személyes szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Ezért a trigonometrikus függvény ismeretében magát a szöget is felírhatjuk. Erre szolgálnak az arcszinusok, arckoszinusok, arctangensek és arckotangensek. Mostantól ezt az egész családot kicsinyítő néven fogom hívni - ívek. Kevesebbet gépelni.)

Figyelem! Elemi verbális és tudatos az ívek megfejtése lehetővé teszi a különféle feladatok nyugodt és magabiztos megoldását. És be szokatlan Csak ő menti el a feladatokat.

Át lehet váltani az ívekről a közönséges fokokra vagy radiánokra?- Hallok egy óvatos kérdést.)

Miért ne!? Könnyen. Mehetsz oda és vissza. Ráadásul ezt néha meg kell tenni. Az ívek egyszerű dolog, de valahogy nyugodtabb nélkülük, igaz?)

Például: mi az arcsin 0.5?

Emlékezzünk a dekódolásra: arcsin 0,5 az a szög, amelynek szinusza 0,5. Most fordítsa a fejét (vagy a Google-t)), és emlékezzen, melyik szög szinusza 0,5? A szinusz 0,5 y 30 fokos szögben. Ez az: arcsin 0,5 30°-os szög. Nyugodtan írhatod:

arcsin 0,5 = 30°

Vagy formálisabban, radiánban:

Ez az, elfelejtheti az arcszinust, és folytathatja a munkát a szokásos fokokkal vagy radiánokkal.

Ha rájöttél mi az arcszinusz, arkkoszinusz... Mi az arctangens, arckotangens... Könnyen megbirkózik például egy ilyen szörnyeteggel.)

A tudatlan ember rémülten hátrálni fog, igen...) De egy tájékozott ember emlékezz a dekódolásra: arcszinusz az a szög, amelynek szinusza... És így tovább. Ha egy hozzáértő ember is tudja szinusztáblázat... koszinusztáblázat. Érintő és kotangens táblázat, akkor nincs semmi probléma!

Elég, ha ráébredünk, hogy:

Megfejtem, pl. Hadd fordítsam le a képletet szavakra: szög, amelynek érintője 1 (arctg1)- ez 45°-os szög. Vagy ami ugyanaz, a Pi/4. Hasonlóképpen:

és ennyi... Kicseréljük az összes ívet radiánban kifejezett értékre, minden lecsökken, csak ki kell számítani, hogy mennyi az 1+1. 2 lesz.) Melyik a helyes válasz.

Így lehet (és kell) áttérni az arcszinuszokról, arkoszinuszokról, arctangensekről és arccotangensekről a közönséges fokokra és radiánokra. Ez nagyban leegyszerűsíti az ijesztő példákat!

Az ilyen példákban gyakran az ívek belsejében vannak negatív jelentések. Például arctg(-1.3), vagy pl arccos(-0.8)... Ez nem probléma. Íme egyszerű képletek a negatív értékekről a pozitív értékekre való áttéréshez:

Mondjuk meg kell határoznia a kifejezés értékét:

Ezt meg lehet oldani a trigonometrikus kör segítségével, de nem akarod megrajzolni. Hát rendben. elköltözünk negatívértékek a k arc koszinuszán belül pozitív a második képlet szerint:

A jobb oldali ív koszinusz belsejében már van pozitív jelentése. Mit

egyszerűen tudnod kell. Nincs más hátra, mint az arc koszinusz helyett radiánnal helyettesíteni, és kiszámítani a választ:

Ez minden.

Korlátozások az arcszinuszra, arccosinera, arctangensre, arccotangensre.

Van-e probléma a 7–9. példákkal? Nos, igen, van valami trükk.)

Mindezek a példák, 1-től 9-ig, gondosan, részletesen ki vannak válogatva 555. §. Mit, hogyan és miért. A titkos csapdákkal és trükkökkel együtt. Plusz módszerek a megoldás drámai egyszerűsítésére. Ez a rész egyébként sok hasznos információt és gyakorlati tippet tartalmaz a trigonometriáról általában. És nem csak a trigonometriában. Sokat segít.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Inverz trigonometrikus függvények(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

Ezek általában 6 funkciót tartalmaznak:

• arcszinusz(kijelölés: arcsin x; arcsin x- ez a szög bűn ami egyenlő azzal x),
• ív koszinusz(kijelölés: arccos x; arccos x az a szög, amelynek koszinusza egyenlő x stb),
• arctangens(kijelölés: arctan x vagy arctan x),
• arccotangens(kijelölés: arcctg x vagy arccot ​​​​x vagy arccotan x),
• íves(kijelölés: arcsec x),
• arccosecant(kijelölés: arccosec x vagy arccsc x).

arcszinusz (y = arcsin x) - inverz függvénye bűn (x = sin y . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget bűn.

ív koszinusz (y = arccos x) - inverz függvénye kötözősaláta (x = cos y kötözősaláta.

Arktangens (y = arctan x) - inverz függvénye tg (x = barna y), amelynek van egy tartománya és egy értékkészlete . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget tg.

Arccotangens (y = arcctg x) - inverz függvénye ctg (x = cotg y), amelynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete. Más szóval, az értékével adja vissza a szöget ctg.

arcsec- íves, visszaadja a szöget a szekáns értékének megfelelően.

arccosec- arccosecant, a koszekánsának értéke alapján szöget ad vissza.

Ha az inverz trigonometrikus függvény nincs definiálva egy adott ponton, akkor értéke nem jelenik meg a végső táblázatban. Funkciók arcsecÉs arccosec nem a (-1,1) szakaszon vannak meghatározva, hanem arcsinÉs arccos csak a [-1,1] intervallumon határozzák meg.

Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az „ív-” előtag hozzáadásával (a lat. ív minket- ív). Ennek oka az a tény, hogy geometriailag az inverz trigonometrikus függvény értéke az egységkör ívének hosszához (vagy az ezt az ívet bezáró szöghez) társítja, amely megfelel egy vagy másik szakasznak.

Néha a külföldi szakirodalomban, valamint a tudományos/mérnöki számológépekben olyan jelöléseket használnak, mint pl bűn−1, cos −1 arcszinusz, arkoszin és hasonlók esetében ez nem tekinthető teljesen pontosnak, mert valószínűleg összetéveszthető egy funkció hatalommá emelése −1 (« −1 » (mínusz az első hatvány) határozza meg a függvényt x = f -1 (y), a függvény inverze y = f(x)).

Inverz trigonometrikus függvények alapvető összefüggései.

Itt fontos odafigyelni, hogy milyen intervallumokra érvényesek a képletek.

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek.

Jelöljük az inverz trigonometrikus függvények bármelyik értékét Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​xés tartsa meg a jelölést: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x fő értékeik számára, akkor a köztük lévő kapcsolatot olyan kapcsolatok fejezik ki.