Hogyan adjunk hozzá közös törteket azonos nevezőkkel. Egész számmal és különböző nevezővel rendelkező törtek összeadása
Műveletek törtekkel.
Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")
Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Foglalkozzunk a fő kérdéssel.
Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.
Mindezek a műveletek decimális a törtekkel végzett műveletek nem különböznek az egész számokkal végzett műveletektől. Tulajdonképpen erre jók, decimálisan. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.
vegyes számok, mint mondtam, a legtöbb művelethez kevés hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.
És itt vannak a műveletek közönséges törtek okosabb lesz. És még sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük ezt az egész aritmetikát.
Törtek összeadása és kivonása.
A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, hadd emlékeztesselek arra, hogy teljesen feledékeny vagyok: összeadáskor (kivonáskor) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:
Röviden, általánosságban:
Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört fő tulajdonságát felhasználva (itt megint jól jött!) A nevezőket azonosra tesszük! Például:
Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Megjegyzem minden esetre, hogy 2/5 és 4/10 az ugyanaz a tört! Csak a 2/5 kellemetlen számunkra, a 4/10 pedig még semmi.
Egyébként ez a lényege bármilyen matematikai feladat megoldásának. Amikor kint vagyunk kényelmetlen kifejezések igen ugyanaz, de kényelmesebben megoldható.
Egy másik példa:
Hasonló a helyzet. Itt 16-ból 48-at adunk. Egyszerű szorzással 3-mal. Ez minden világos. De itt valami ilyesmivel találkozunk:
Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt "közös nevezőre redukálásnak" hívják:
Hogyan! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyenlően osztható 7-tel és 9-cel egyszerre. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredményt biztosan elosztjuk 7-tel!
Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia azt a nevezőt, amely minden törtre közös, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell hoznia. Például:
És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal, ezért ezekből a számokból könnyen 16-ot kaphatunk, ez a szám lesz a közös nevező. 1/2-ből 8/16, 3/4-ből 12/16 lesz, és így tovább.
Egyébként ha az 1024-et vesszük közös nevezőnek, akkor is minden sikerül, a végén minden lecsökken. Csak nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...
Oldja meg a példát saját maga. Nem logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.
Szóval, a törtek összeadásával (kivonásával) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azok számára elérhető, akik becsületesen dolgoztak az alsóbb osztályokban ... És nem felejtettek el semmit.
És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt lesznek új gereblyék, igen...
Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:
A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Tehát a tört fő tulajdonsága azt mondja. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az x-hez a nevező első törtjében. (De jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:
És természetesen nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitunk zárójeleket! És most, a jobb oldal közös nevezőjét nézve, azt gondoljuk: ahhoz, hogy az x (x + 1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szoroznunk ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x + 1) . És a második törtben - x. Ezt kapod:
Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Természetesen nem zárójelben, hanem a hiányukban. A zárójelek azért jelennek meg, mert szaporodunk az egész számláló és az egész névadó! És nem az egyes darabjaik...
A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törteknél, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. mindent megszoroz, és hasonlót ad. Nem kell a nevezőkben a zárójeleket kinyitni, nem kell szorozni valamit! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:
Itt kaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Oldj meg példákat, szokj hozzá, minden egyszerű lesz. Aki a törteket a megadott idő alatt elsajátította, mindezeket a műveleteket egy kézzel, a gépen végezze el!
És még egy megjegyzés. Sokan híresen foglalkoznak a törtekkel, de ragaszkodnak a példákhoz egész számok. Típus: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a kettőt? Nem kell sehova rögzíteni, egy kettesből töredéket kell készíteni. Nem könnyű, nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.
Nos, összeadáskor - a törtek kivonásával a tudás felfrissült. A törtek átalakítása egyik típusból a másikba - ismételve. Azt is ellenőrizheti. leszámolunk egy kicsit?)
Kiszámítja:
Válaszok (rendetlenségben):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Törtek szorzása / osztása - a következő leckében. Minden törtekkel rendelkező művelethez vannak feladatok is.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
Különféle műveleteket hajthat végre a törtekkel, például törtek hozzáadásával. A frakciók összeadása több típusra osztható. A törtek összeadásának minden típusának megvannak a saját szabályai és cselekvési algoritmusai. Nézzük meg közelebbről az egyes kiegészítések típusait.
Azonos nevezőjű törtek összeadása.
Nézzük meg például, hogyan adjunk hozzá közös nevezővel rendelkező törteket.
A kirándulók kirándultak A pontból E pontba. Az első napon A pontból B-be, vagyis \(\frac(1)(5)\) gyalog mentek végig. A második napon B pontból D-be mentek vagy \(\frac(2)(5)\) az egész utat. Milyen messzire mentek az út elejétől a D pontig?
Az A pont és a D pont közötti távolság meghatározásához adja össze a \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\ törteket.
Ha azonos nevezőjű törteket ad hozzá, akkor össze kell adnia ezeknek a törteknek a számlálóit, és a nevező változatlan marad.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Szó szerinti formában az azonos nevezővel rendelkező törtek összege így fog kinézni:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Válasz: a turisták végig \(\frac(3)(5)\) utaztak.
Különböző nevezőjű törtek összeadása.
Vegyünk egy példát:
Adjon hozzá két tört \(\frac(3)(4)\) és \(\frac(2)(7)\).
Különböző nevezőjű törtek hozzáadásához először meg kell találnia, majd használja a szabályt az azonos nevezőjű törtek összeadására.
A 4-es és 7-es nevezőnél a közös nevező 28. Az első \(\frac(3)(4)\) törtet meg kell szorozni 7-tel. A második tört \(\frac(2)(7)\) szorozva 4-gyel.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(piros) (7) + 2 \times \color(piros) (4))(4 \ alkalommal \szín(piros) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Szó szerinti formában a következő képletet kapjuk:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Vegyes számok vagy vegyes törtek összeadása.
Az összeadás az összeadás törvénye szerint történik.
Vegyes törtek esetén adja hozzá az egész részeket az egész részekhez és a tört részeket a törtrészekhez.
Ha a vegyes számok törtrészeinek nevezője megegyezik, akkor adjuk hozzá a számlálókat, és a nevező változatlan marad.
Vegyes számok hozzáadása: \(3\frac(6)(11)\) és \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\szín(piros) (3) + \szín(kék) (\frac(6)(11))) + ( \szín(piros) (1) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = (\szín(piros) (3) + \szín(piros) (1)) + (\szín( kék) (\frac(6)(11)) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = \szín(piros)(4) + (\szín(kék) (\frac(6) + 3)(11))) = \szín(piros)(4) + \szín(kék) (\frac(9)(11)) = \szín(piros)(4) \szín(kék) (\frac (9) (11))\)
Ha a vegyes számok törtrészeinek különböző nevezője van, akkor találunk közös nevezőt.
Adjunk hozzá \(7\frac(1)(8)\) és \(2\frac(1)(6)\ vegyes számokat.
A nevező eltérő, ezért meg kell találni a közös nevezőt, ez egyenlő 24-gyel. Az első tört \(7\frac(1)(8)\) szorzata egy további 3-mal, a második tört pedig \( 2\frac(1)(6)\) 4-én.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(piros) (3) ) = 2\töredék(1 \szer \szín(piros) (4))(6 \szer \szín(piros) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Kapcsolódó kérdések:
Hogyan adjunk törteket?
Válasz: először el kell döntenie, hogy a kifejezés melyik típushoz tartozik: a törtek azonos nevezőkkel, különböző nevezőkkel vagy vegyes törtekkel rendelkeznek. A kifejezés típusától függően továbblépünk a megoldási algoritmushoz.
Hogyan lehet megoldani a különböző nevezőjű törteket?
Válasz: meg kell találnia a közös nevezőt, majd követnie kell az azonos nevezőjű törtek összeadásának szabályát.
Hogyan oldjuk meg a vegyes frakciókat?
Válasz: Adjon egész részeket az egész részekhez, és tört részeket a tört részekhez.
1. példa:
Adhat-e megfelelő tört kettő összege? Rossz tört? Adj rá példákat.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
A \(\frac(5)(7)\) tört egy megfelelő tört, két megfelelő tört \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3) összegének eredménye. (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
A \(\frac(58)(45)\) tört helytelen tört, a \(\frac(2)(5)\) és a \(\frac(8) megfelelő törtek összegének eredménye. (9)\).
Válasz: A válasz mindkét kérdésre igen.
2. példa:
Törtek hozzáadása: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(piros) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
3. példa:
Írja fel a vegyes törtet egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
4. példa:
Számítsa ki az összeget: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4) (15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
1. feladat:
Vacsoránál megették a \(\frac(8)(11)\) tortából, este pedig a \(\frac(3)(11)\-et vacsoráztak. Szerinted a tortát teljesen megették vagy nem?
Megoldás:
A tört nevezője 11, ez jelzi, hány részre osztották a tortát. Ebédnél 8 tortát ettünk a 11-ből. Vacsorára 3 tortát ettünk a 11-ből. Adjunk hozzá 8 + 3 = 11-et, 11-ből megettük a tortadarabokat, vagyis az egész tortát.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Válasz: Megették az egész tortát.
Ebben a leckében megvizsgáljuk a különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadását és kivonását. Már tudjuk, hogyan kell összeadni és kivonni a különböző nevezőjű köztörteket. Ehhez a törteket közös nevezőre kell redukálni. Kiderült, hogy az algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat követik. Ugyanakkor már tudjuk, hogyan lehet az algebrai törteket közös nevezőre redukálni. A különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása az egyik legfontosabb és legnehezebb téma a 8. osztályos tanfolyamon. Sőt, ez a téma az algebra tanfolyam számos témájában megtalálható, amelyeket a jövőben tanulni fog. Az óra keretében tanulmányozzuk a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabályait, valamint számos jellemző példát elemezünk.
Tekintsük a közönséges törtek legegyszerűbb példáját.
1. példa Törtszám hozzáadása: .
Megoldás:
Ne feledje a törtek összeadásának szabályát. Először is a törteket közös nevezőre kell redukálni. A közönséges törtek közös nevezője az legkisebb közös többszörös(LCM) az eredeti nevezők.
Meghatározás
Legkevésbé természetes szám, amely egyszerre osztható számokkal és .
Az LCM megtalálásához fel kell bontani a nevezőket prímtényezőkre, majd ki kell választani az összes olyan prímtényezőt, amely mindkét nevező kiterjesztésében szerepel.
; . Ekkor a számok LCM-jének tartalmaznia kell két 2-est és két 3-ast: .
A közös nevező megtalálása után minden törtnek további tényezőt kell találnia (valójában el kell osztani a közös nevezőt a megfelelő tört nevezőjével).
Ezután minden frakciót megszorozunk a kapott további tényezővel. Azonos nevezőjű törteket kapunk, amelyeket az előző leckéken megtanultunk összeadni és kivonni.
Kapunk: 
.
Válasz:.
Tekintsük most a különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadását. Először nézzük meg azokat a törteket, amelyek nevezői számok.
2. példa Törtszám hozzáadása: .
Megoldás:
A megoldási algoritmus teljesen hasonló az előző példához. Ezeknek a törteknek könnyű közös nevezőt találni: és mindegyikhez további tényezőket.
.
Válasz:.
Tehát fogalmazzuk meg algoritmus különböző nevezőjű algebrai törtek összeadására és kivonására:
1. Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét!
2. Keressen további tényezőket minden törthez (a közös nevezőt elosztva ennek a törtnek a nevezőjével).
3. Szorozzuk meg a számlálókat a megfelelő további tényezőkkel!
4. Vegyen össze vagy vonjon ki törteket az azonos nevezőjű törtek összeadási és kivonási szabályai szerint.
Tekintsünk most egy példát törtekkel, amelyek nevezőjében szó szerinti kifejezések találhatók.
3. példa Törtszám hozzáadása: .
Megoldás:
Mivel a szó szerinti kifejezések mindkét nevezőben azonosak, meg kell találni a számok közös nevezőjét. A végső közös nevező így fog kinézni: . Tehát a példa megoldása a következő:
Válasz:.
4. példa Törtek kivonása: .
Megoldás:
Ha a közös nevező kiválasztásakor nem tud „csalni” (nem tudja faktorozni, vagy nem használhatja a rövidített szorzóképleteket), akkor mindkét tört nevezőinek szorzatát kell közös nevezőnek venni.
Válasz:.
Általában az ilyen példák megoldása során a legnehezebb feladat a közös nevező megtalálása.
Nézzünk egy összetettebb példát.
5. példa Leegyszerűsítve: .
Megoldás:
A közös nevező megtalálásakor először meg kell próbálni az eredeti törtek nevezőit faktorizálni (a közös nevező egyszerűsítése érdekében).
Ebben a konkrét esetben:
Ezután könnyű meghatározni a közös nevezőt: 
.
További tényezőket határozunk meg, és megoldjuk ezt a példát:
Válasz:.
Most rögzítjük a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának és kivonásának szabályait.
6. példa Leegyszerűsítve: .
Megoldás:
Válasz:.
7. példa Leegyszerűsítve: .
Megoldás:
.
Válasz:.
Tekintsünk most egy példát, amelyben nem két, hanem három törtet adunk össze (végül is az összeadás és a kivonás szabályai több tört esetében változatlanok maradnak).
8. példa Leegyszerűsítve: .
Tekintsük a $\frac63$ törtet. Értéke 2, mert $\frac63 =6:3 = 2$. Mi történik, ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk 2-vel? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Nyilvánvalóan a tört értéke nem változott, így $\frac(12)(6)$ is egyenlő 2-vel, mint y. szorozza meg a számlálót és a nevezőt 3-mal $\frac(18)(9)$, vagy 27-tel $\frac(162)(81)$ vagy 101-el $\frac(606)(303)$. Mindegyik esetben annak a törtnek az értéke, amelyet a számlálónak a nevezővel való osztásával kapunk, 2. Ez azt jelenti, hogy nem változott.
Ugyanez a minta figyelhető meg más frakciók esetében is. Ha a $\frac(120)(60)$ (2-vel egyenlő) tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk 2-vel ($\frac(60)(30)$ eredménye), vagy 3-mal ($\ eredménye frac(40)(20) $), vagy 4-gyel ($\frac(30)(15)$ eredménye) és így tovább, akkor a tört értéke minden esetben változatlan és 2-vel egyenlő.
Ez a szabály azokra a törtekre is vonatkozik, amelyek nem egyenlőek. egész szám.
Ha a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 2-vel, akkor $\frac(2)(6)$-t kapunk, vagyis a tört értéke nem változott. És igazából, ha a tortát 3 részre osztod és abból veszed az egyiket, vagy 6 részre osztod és 2 részt veszel, akkor mindkét esetben ugyanannyi pitét kapsz. Ezért a $\frac(1)(3)$ és a $\frac(2)(6)$ számok azonosak. Fogalmazzuk meg az általános szabályt.
Bármely tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a számmal, és a tört értéke nem változik.
Ez a szabály nagyon hasznos. Például lehetővé teszi bizonyos esetekben, de nem mindig, a nagy számokkal végzett műveletek elkerülését.
Például eloszthatjuk a $\frac(126)(189)$ tört számlálóját és nevezőjét 63-mal, és megkapjuk a $\frac(2)(3)$ törtet, amely sokkal könnyebben kiszámítható. Még egy példa. A $\frac(155)(31)$ tört számlálóját és nevezőjét eloszthatjuk 31-gyel, és megkapjuk a $\frac(5)(1)$ vagy 5-öt, mivel 5:1=5.
Ebben a példában találkoztunk először olyan tört, amelynek nevezője 1. Az ilyen törtek fontos szerepet játszanak a számításokban. Emlékeztetni kell arra, hogy bármely szám osztható 1-gyel, és értéke nem változik. Azaz $\frac(273)(1)$ egyenlő 273-mal; $\frac(509993)(1)$ egyenlő: 509993 és így tovább. Ezért nem kell a számokat osztanunk -vel, hiszen minden egész szám 1-es nevezőjű törtként ábrázolható.
Az ilyen törtekkel, amelyeknek a nevezője 1, ugyanazokat a számtani műveleteket hajthatja végre, mint az összes többi törttel: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Felmerülhet a kérdés, hogy mi haszna egy egész szám törtként való ábrázolásának, amelynek a vonal alatt lesz egy egysége, mert kényelmesebb egész számmal dolgozni. De tény, hogy egy egész szám törtként való ábrázolása lehetőséget ad különböző műveletek hatékonyabb végrehajtására, ha egyszerre egész számokkal és törtszámokkal is foglalkozunk. Például tanulni adjunk hozzá különböző nevezőjű törteket. Tegyük fel, hogy hozzá kell adnunk $\frac(1)(3)$ és $\frac(1)(5)$.
Tudjuk, hogy csak olyan törteket adhat hozzá, amelyeknek a nevezője egyenlő. Tehát meg kell tanulnunk, hogyan hozhatjuk a törteket ilyen formára, ha a nevezőik egyenlők. Ebben az esetben ismét szükségünk van arra, hogy egy tört számlálóját és nevezőjét meg tudja szorozni ugyanazzal a számmal anélkül, hogy megváltoztatná az értékét.
Először a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 5-tel. $\frac(5)(15)$-t kapunk, a tört értéke nem változott. Ekkor a $\frac(1)(5)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 3-mal. Kapjuk a $\frac(3)(15)$, a tört értéke ismét nem változott. Ezért $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Most próbáljuk meg ezt a rendszert egész és tört részeket is tartalmazó számok összeadására alkalmazni.
Hozzá kell adnunk $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Először az összes kifejezést törtté alakítjuk, és megkapjuk: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Most az összes törtet közös nevezőre kell hoznunk, ehhez megszorozzuk az első tört számlálóját és nevezőjét 12-vel, a másodiké 4-gyel, a harmadiké pedig 3-mal. Ennek eredményeként $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, ami egyenlő a $\frac(55)(12)$ értékkel. Ha meg akarsz szabadulni helytelen tört, egy egész számból és egy tört részből álló számmá alakítható: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ vagy $4\frac( 7)( 12)$.
Az összes szabály, amely lehetővé teszi műveletek törtekkel, amelyeket most vizsgáltunk, negatív számok esetén is érvényesek. Tehát a -1: 3 felírható $\frac(-1)(3)$, az 1: (-3) pedig $\frac(1)(-3)$.
Mivel mind a negatív szám pozitív számmal való osztása, mind a pozitív szám negatív számmal való elosztása negatív számokat eredményez, mindkét esetben negatív szám formájában kapjuk meg a választ. Azaz
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ vagy $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. A mínusz jel így írva a teljes tört egészére vonatkozik, nem pedig külön a számlálóra vagy nevezőre.
Másrészt a (-1) : (-3) felírható $\frac(-1)(-3)$-ként, és mivel egy negatív számot negatív számmal osztva pozitív számot kapunk, akkor $\frac A (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$-ként írható fel.
A negatív törtek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint a pozitív törtek összeadása és kivonása. Például mi az a $1-1\frac13$? Jelentsük meg mindkét számot törtként, és kapjuk a $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Csökkentsük a törteket közös nevezőre, és kapjuk a $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, azaz $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ vagy $-\frac(1)(3)$.
A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknősbéka” aporia. Így hangzik:Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.
Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folytatódnak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.
A matematika szempontjából Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból ez az idő lelassulásának tűnik, amíg teljesen le nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.
Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát".
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:
Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.
Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.
Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:
A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.
Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Amit különösen szeretnék rámutatni, az az, hogy két pont az időben és két pont a térben két különböző dolog, amelyeket nem szabad összetéveszteni, mivel eltérő lehetőségeket biztosítanak a felfedezéshez.
2018. július 4., szerda
A halmaz és a multihalmaz közötti különbségeket nagyon jól leírja a Wikipédia. Nézzük.
Mint látható, "a halmaznak nem lehet két egyforma eleme", de ha a halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt "multisetnek" nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az abszurditás ilyen logikáját. Ez a beszélő papagájok és kiképzett majmok szintje, ahol az elme hiányzik a „teljesen” szóból. A matematikusok hétköznapi oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.
Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban ültek a híd alatt a híd tesztelése közben. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.
Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.
Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és fizetünk. Itt egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. A teljes összeget megszámoljuk neki, és az asztalunkra rakjuk különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a "matematikai fizetési készletét". Magyarázzuk el a matematikát, hogy a többi számlát csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.
Először is működni fog a képviselői logika: "másokra alkalmazhatod, de rám nem!" Továbbá megkezdődik annak biztosítása, hogy az azonos címletű bankjegyeken különböző bankjegyszámok szerepelnek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Nos, a fizetést érmében számoljuk – az érméken nincsenek számok. Itt a matematikus eszeveszetten felidézi majd a fizikát: a különböző érmék különböző mennyiségű szennyeződést tartalmaznak, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi ...
És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a határ, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik - mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt még csak közel sem.
Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területe azonos, ami azt jelenti, hogy van egy multikészletünk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét, akkor sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet egyszerre halmaz és multihalmaz is. Mennyire helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller elővesz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.
2018. március 18. vasárnap
Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ők azért sámánok, hogy megtanítsák a leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.
Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a „Számjegyek összege” oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: "Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét." A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok alapvetően meg tudják oldani.
Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tegyük fel, hogy az 12345-ös számunk van. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.
1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot számgrafikus szimbólummá alakítottuk. Ez nem matematikai művelet.
2. Egy kapott képet több, külön számokat tartalmazó képre vágtunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.
3. Alakítsa át az egyes grafikus karaktereket számokká. Ez nem matematikai művelet.
4. Adja össze a kapott számokat. Ez most a matematika.
Az 12345-ös szám számjegyeinek összege 15. Ezek a matematikusok által használt "szabás- és varrótanfolyamok" a sámánoktól. De ez még nem minden.
A matematika szempontjából nem mindegy, hogy milyen számrendszerbe írjuk a számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. A nagy 12345-ös számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem fogunk minden lépést mikroszkóp alatt megvizsgálni, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.
Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez olyan, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben találná meg, teljesen más eredményt adna.
A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy . Kérdés a matematikusokhoz: hogyan jelölik a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül más nem létezik? A sámánoknak ezt megengedhetem, de a tudósoknak nem. A valóság nem csak a számokból áll.
A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám értékétől, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.
Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek határtalan szentségének tanulmányozására a mennybemenetelkor! Nimbus felül és nyíl felfelé. Milyen másik wc?
Nő... Egy halo a tetején és egy nyíl lefelé férfi.
Ha naponta többször felvillan a szemed előtt egy ilyen dizájnművészeti alkotás,
Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:
Én személy szerint arra törekszem, hogy mínusz négy fokot lássak egy kakiló emberben (egy kép) (több kép összeállítása: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És ezt a lányt nem tartom bolondnak, aki nem ismeri a fizikát. Csak egy íves sztereotípiája van a grafikus képek felfogásáról. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.
Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám a hexadecimális számrendszerben. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, a számot és a betűt automatikusan egyetlen grafikus szimbólumként érzékelik.
