A függvény tanulmányozása és grafikon felrajzolása részletes megoldással. A függvény teljes körű vizsgálata és a grafikon ábrázolása

A függvény teljes tanulmányozásához és grafikonjának ábrázolásához javasoljuk a következő sémát használni:

1) keresse meg a függvény definíciós tartományát;

2) keresse meg a függvény és a függőleges aszimptoták megszakadási pontjait (ha vannak);

3) vizsgálja meg a függvény viselkedését a végtelenben, keressen vízszintes és ferde aszimptotákat;

4) vizsgálja meg a paritás (páratlanság) és periodicitás (trigonometrikus függvények) függvényét;

5) keresse meg a függvény monotonitásának szélsőségeit és intervallumait;

6) határozza meg a konvexitási intervallumokat és az inflexiós pontokat;

7) keresse meg a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat, és ha lehetséges, néhány további pontot, amelyek tisztázzák a grafikont.

A függvény tanulmányozása a grafikonjának felépítésével egyidejűleg történik.

9. példa Fedezze fel a függvényt, és készítsen grafikont.

1. A meghatározás köre: ;

2. A függvény pontokon megszakadást szenved
,
;

Megvizsgáljuk a függvényt a vertikális aszimptoták jelenlétére.

;
,
─ függőleges aszimptota.

;
,
─ függőleges aszimptota.

3. Megvizsgáljuk a függvényt ferde és vízszintes aszimptoták jelenlétére.

Egyenes
─ ferde aszimptota, ha
,
.

,
.

Egyenes
─ vízszintes aszimptota.

4. A függvény páros, mert
. A függvény paritása a gráf ordinátatengelyhez viszonyított szimmetriáját jelzi.

5. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumait és szélsőértékeit!

Keressük meg a kritikus pontokat, pl. pontok, ahol a derivált 0 vagy nem létezik:
;
. Három pontunk van
;

. Ezek a pontok a teljes valós tengelyt négy intervallumra osztják. Határozzuk meg a jeleket mindegyiken.

A (-∞; -1) és (-1; 0) intervallumokon a függvény növekszik, a (0; 1) és (1; +∞) ─ intervallumokon csökken. Amikor áthalad egy ponton
a derivált pluszból mínuszra változtatja az előjelet, ezért ezen a ponton a függvénynek van maximuma
.

6. Határozza meg a konvexitási és inflexiós pontok intervallumait!

Keressük azokat a pontokat, ahol 0, vagy nem létezik.

nincsenek igazi gyökerei.
,
,

Pontok
És
osszuk fel a valós tengelyt három intervallumra. Határozzuk meg a jelet minden intervallumban.

Így a görbe az intervallumokon
És
lefelé konvex, a (-1;1) intervallumon konvex felfelé; nincsenek inflexiós pontok, mivel a függvény pontokban van
És
nem meghatározott.

7. Keresse meg a tengelyekkel való metszéspontokat!

Tengellyel
a függvény grafikonja a (0; -1) pontban és a tengellyel metszi egymást
a gráf nem metszi egymást, mert ennek a függvénynek a számlálójának nincs valódi gyöke.

Az adott függvény grafikonja az 1. ábrán látható.

1. ábra ─ Függvénygrafikon

A derivatíva fogalmának alkalmazása a közgazdaságtanban. Rugalmassági függvény

A gazdasági folyamatok tanulmányozására és más alkalmazott problémák megoldására gyakran használják a függvény rugalmasságának fogalmát.

Meghatározás. Rugalmassági függvény
a függvény relatív növekménye arányának határának nevezzük a változó relatív növekményéhez nál nél
, . (VII)

Egy függvény rugalmassága azt mutatja meg, hogy hozzávetőlegesen hány százalékkal fog változni a függvény
amikor a független változó megváltozik 1%-kal.

A rugalmassági függvényt a kereslet és a fogyasztás elemzésére használják. Ha a kereslet rugalmassága (abszolút értékben)
, akkor a kereslet rugalmasnak tekinthető, ha
─ semleges, ha
─ az árhoz (vagy a jövedelemhez) képest rugalmatlan.

10. példa Számítsa ki a függvény rugalmasságát!
és keresse meg a rugalmassági index értékét = 3.

Megoldás: a (VII) képlet szerint a függvény rugalmassága:

Legyen akkor x=3
.Ez azt jelenti, hogy ha a független változó 1%-kal nő, akkor a függő változó értéke 1,42%-kal nő.

11. példa Hagyja, hogy a kereslet működjön árral kapcsolatban úgy néz ki, mint a
, Ahol ─ állandó együttható. Határozza meg a keresleti függvény rugalmassági mutatójának értékét x = 3 den áron! egységek

Megoldás: számítsuk ki a keresleti függvény rugalmasságát a (VII) képlet segítségével!

hinni
pénzegységeket kapunk
. Ez azt jelenti, hogy áron
pénzegységek 1%-os drágulás 6%-os keresletcsökkenést okoz, i.e. a kereslet rugalmas.

Ma arra hívjuk Önt, hogy fedezze fel és készítsen velünk egy függvény grafikonját. A cikk alapos tanulmányozása után nem kell sokáig izzadnia az ilyen típusú feladatok elvégzéséhez. Egy függvény grafikonját nem könnyű tanulmányozni és megszerkeszteni, ez egy terjedelmes munka, amely maximális odafigyelést és számítási pontosságot igényel. Az anyag könnyebb megértése érdekében lépésről lépésre tanulmányozzuk ugyanazt a függvényt, és elmagyarázzuk minden műveletünket és számításunkat. Üdvözöljük a matematika csodálatos és lenyűgöző világában! Megy!

Tartomány

Egy függvény feltárásához és grafikonjainak ábrázolásához több definíciót is ismernie kell. A függvény a matematika egyik fő (alap)fogalma. Több változó (kettő, három vagy több) közötti függést tükrözi a változások során. A függvény a halmazok függését is mutatja.

Képzeljük el, hogy két olyan változónk van, amelyeknek bizonyos változási tartománya van. Tehát y x függvénye, feltéve, hogy a második változó minden értéke a második egy értékének felel meg. Ebben az esetben az y változó függő, és függvénynek nevezzük. Szokásos azt mondani, hogy az x és y változók ben vannak. Ennek a függőségnek a nagyobb érthetősége érdekében a függvény grafikonját készítjük. Mi a függvény grafikonja? Ez a koordinátasíkon lévő pontok halmaza, ahol minden x érték egy y értéknek felel meg. A grafikonok különbözőek lehetnek - egyenes vonal, hiperbola, parabola, szinuszhullám stb.

Kutatás nélkül lehetetlen egy függvényt ábrázolni. Ma megtanuljuk, hogyan végezzünk kutatást és készítsünk egy függvény grafikonját. Nagyon fontos a jegyzetelés a tanulmányozás során. Így sokkal könnyebb lesz megbirkózni a feladattal. A legkényelmesebb kutatási terv:

1. Tartomány.
2. Folytonosság.
3. Páros vagy páratlan.
4. Periodikaság.
5. Aszimptoták.
6. Nullák.
7. Jelállandóság.
8. Növekvő és csökkenő.
9. Extrémek.
10. Konvexitás és homorúság.

Kezdjük az első ponttal. Keressük meg a definíciós tartományt, vagyis azt, hogy milyen intervallumokon létezik a függvényünk: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Esetünkben a függvény létezik x tetszőleges értékére, vagyis a definíciós tartomány egyenlő R-vel. Ez a következőképpen írható fel: xÎR.

Folytonosság

Most megvizsgáljuk a folytonossági függvényt. A matematikában a „folytonosság” kifejezés a mozgástörvények tanulmányozása eredményeként jelent meg. Mi a végtelen? Tér, idő, néhány függőség (példa erre az S és t változók függése mozgási problémákban), egy felforrósított tárgy hőmérséklete (víz, serpenyő, hőmérő stb.), egy folytonos vonal (vagyis olyan, amely rajzolható anélkül, hogy felemelné a lapceruzáról).

Egy gráfot akkor tekintünk folytonosnak, ha egy ponton nem szakad meg. Az ilyen gráfok egyik legszembetűnőbb példája egy szinusz, amelyet az ebben a részben lévő képen láthat. Egy függvény folytonos egy x0 ponton, ha több feltétel teljesül:

• egy függvény egy adott pontban van definiálva;
• a jobb és a bal határ egy pontban egyenlő;
• a határérték egyenlő a függvény értékével az x0 pontban.

Ha legalább egy feltétel nem teljesül, a függvény meghibásodott. És azokat a pontokat, ahol a függvény megszakad, általában töréspontoknak nevezik. Példa egy függvényre, amely grafikus megjelenítéskor „megszakad”: y=(x+4)/(x-3). Ráadásul y nem létezik az x = 3 pontban (mivel lehetetlen nullával osztani).

Az általunk vizsgált függvényben (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) minden egyszerűnek bizonyult, mivel a grafikon folytonos lesz.

Páros Páratlan

Most vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Először is egy kis elmélet. Páros függvény az, amelyik az x változó bármely értékére (az értéktartományból) teljesíti az f(-x)=f(x) feltételt. Példák:

• x modul (a gráf úgy néz ki, mint egy daw, a gráf első és második negyedének felezője);
• x négyzet (parabola);
• koszinusz x (koszinusz).

Vegye figyelembe, hogy ezek a grafikonok szimmetrikusak az y tengelyhez (azaz az y tengelyhez) nézve.

Mit nevezünk akkor páratlan függvénynek? Ezek azok a függvények, amelyek teljesítik a következő feltételt: f(-x)=-f(x) az x változó bármely értékére. Példák:

• hiperbola;
• köbös parabola;
• sinusoid;
• érintő és így tovább.

Vegye figyelembe, hogy ezek a függvények szimmetrikusak a pontra (0:0), vagyis az origóra. A cikk e részében elmondottak alapján a páros és páratlan függvénynek rendelkeznie kell a következő tulajdonsággal: x a definícióhalmazhoz tartozik és -x is.

Vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Láthatjuk, hogy egyik leírásnak sem felel meg. Ezért a függvényünk se nem páros, se nem páratlan.

Aszimptoták

Kezdjük egy meghatározással. Az aszimptota olyan görbe, amely a lehető legközelebb van a gráfhoz, vagyis egy bizonyos ponttól való távolság nullára hajlik. Összességében háromféle aszimptota létezik:

• függőleges, azaz párhuzamos az y tengellyel;
• vízszintes, azaz párhuzamos az x tengellyel;
• hajlamos.

Ami az első típust illeti, ezeket a sorokat néhány ponton meg kell keresni:

• rés;
• a definíciós tartomány vége.

Esetünkben a függvény folytonos, és a definíciós tartomány egyenlő R-vel. Ezért nincsenek függőleges aszimptoták.

Egy függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája van, amely megfelel a következő követelménynek: ha x a végtelenbe vagy mínusz végtelenbe hajlik, és a határérték egy bizonyos számmal egyenlő (például a). Ebben az esetben y=a a vízszintes aszimptota. Az általunk vizsgált függvényben nincsenek horizontális aszimptoták.

Ferde aszimptota csak akkor létezik, ha két feltétel teljesül:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Ezután a következő képlettel lehet megtalálni: y=kx+b. Ismétlem, esetünkben nincsenek ferde aszimptoták.

Funkció nullák

A következő lépés a függvény grafikonjának vizsgálata nullákra. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a függvény nulláinak megtalálásával járó feladat nem csak a függvény grafikonjának tanulmányozása és szerkesztése során merül fel, hanem önálló feladatként és az egyenlőtlenségek megoldásának módjaként is. Előfordulhat, hogy meg kell találnia egy függvény nulláját egy grafikonon, vagy matematikai jelölést kell használnia.

Ezen értékek megtalálása segít a függvény pontosabb ábrázolásában. Ha beszélünk egyszerű nyelven, akkor a függvény nullája annak az x változónak az értéke, amelynél y = 0. Ha egy függvény nulláit keresi egy grafikonon, akkor ügyeljen azokra a pontokra, ahol a grafikon metszi az x tengellyel.

A függvény nulláinak megtalálásához a következő egyenletet kell megoldani: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. A szükséges számítások elvégzése után a következő választ kapjuk:

Jelállandóság

A kutatás és a függvény (gráf) felépítésének következő szakasza az állandó előjelű intervallumok keresése. Ez azt jelenti, hogy meg kell határoznunk, hogy a függvény milyen időközönként működik pozitív érték, néhányon pedig negatív. Az utolsó részben található nulla függvények segítenek ebben. Tehát fel kell építenünk egy egyenest (külön a grafikontól), és el kell osztanunk rajta a függvény nulláit a megfelelő sorrendben a legkisebbtől a legnagyobbig. Most meg kell határoznia, hogy a kapott intervallumok közül melyiknek van „+” jele, és melyiknek „-”.

Esetünkben a függvény intervallumokon pozitív értéket vesz fel:

• 1-től 4-ig;
• 9-től a végtelenig.

Negatív jelentése:

• mínusz végtelentől 1-ig;
• 4-től 9-ig.

Ezt meglehetősen könnyű meghatározni. Helyettesíts be tetszőleges számot az intervallumból a függvénybe, és nézd meg, milyen előjelű lesz a válasz (mínusz vagy plusz).

Funkciók növelése és csökkentése

Egy függvény feltárásához és megszerkesztéséhez tudnunk kell, hogy a grafikon hol fog növekedni (az Oy tengely mentén felfelé menni) és hova esik (lefelé mászni az y tengely mentén).

Egy függvény csak akkor növekszik, ha az x változó nagyobb értéke y nagyobb értékének felel meg. Vagyis x2 nagyobb, mint x1, és f(x2) nagyobb, mint f(x1). És egy teljesen ellentétes jelenséget figyelünk meg csökkenő függvénnyel (minél több x, annál kevesebb y). A növekedés és csökkenés intervallumának meghatározásához meg kell találnia a következőket:

• definíciós tartomány (már megvan);
• származéka (esetünkben: 1/3(3x^2-28x+49);
• oldja meg az 1/3(3x^2-28x+49)=0 egyenletet.

Számítások után a következő eredményt kapjuk:

Azt kapjuk, hogy a függvény mínusz végtelenről 7/3-ra és 7-ről végtelenre növekszik, 7/3-ról 7-re csökken.

Extrémek

A vizsgált y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) függvény folytonos, és az x változó bármely értékére létezik. A szélsőpont az adott függvény maximumát és minimumát mutatja. Esetünkben ilyenek nincsenek, ami nagyban leegyszerűsíti az építési feladatot. Egyébként a derivált függvény használatával is megtalálhatók. Ha megtalálta, ne felejtse el megjelölni őket a diagramon.

Konvexitás és homorúság

Folytatjuk az y(x) függvény további kutatását. Most ellenőriznünk kell a domborúságot és a homorúságot. Ezeknek a fogalmaknak a meghatározása meglehetősen nehezen érthető, jobb, ha mindent példákon keresztül elemzünk. A teszthez: egy függvény konvex, ha nem csökkenő függvény. Egyetértek, ez érthetetlen!

Meg kell találnunk egy másodrendű függvény deriváltját. A következőt kapjuk: y=1/3(6x-28). Most tegyük egyenlővé a jobb oldalt a nullával, és oldjuk meg az egyenletet. Válasz: x=14/3. Megtaláltuk az inflexiós pontot, vagyis azt a helyet, ahol a gráf konvexitásból homorúságba változik, vagy fordítva. A mínusz végtelentől a 14/3-ig terjedő intervallumban a függvény konvex, a 14/3-tól a plusz végtelenig konkáv. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a grafikonon az inflexiós pont legyen sima és lágy, ne legyenek éles sarkok.

További pontok meghatározása

Feladatunk a függvény grafikonjának vizsgálata és elkészítése. A vizsgálatot befejeztük, a függvény grafikonjának elkészítése most már nem nehéz. Egy görbe vagy egyenes pontosabb és részletesebb reprodukálásához a koordinátasíkon több segédpont található. Elég könnyű kiszámítani őket. Például vegyük x=3-at, oldjuk meg a kapott egyenletet, és keressük meg y=4-et. Vagy x=5, és y=-5 és így tovább. Annyi további pontot vehet fel, amennyire szüksége van az építkezéshez. Ezek közül legalább 3-5 megtalálható.

Grafikon ábrázolása

Meg kellett vizsgálnunk az (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y függvényt. A számítások során minden szükséges jelölés a koordinátasíkon történt. Már csak egy grafikont kell felépíteni, vagyis az összes pontot összekötni. A pontok összekötésének zökkenőmentesnek és pontosnak kell lennie, ez készség kérdése - egy kis gyakorlás, és az időbeosztása tökéletes lesz.