Egyenes szög a geometriában. A szögek fogalma és fajtái Három kibontott szög

A tanulók általános iskolában ismerkednek meg a szög fogalmával. De mint geometriai alakzatot, amely bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik, geometriából 7. osztálytól kezdik tanulmányozni. Úgy tűnik, egészen egyszerű figura, mit lehet elmondani róla. De az új ismeretek megszerzésével az iskolások egyre inkább megértik, hogy meglehetősen érdekes tényeket tanulhatnak meg róla.

Kapcsolatban áll

Amikor tanulmányozták

Az iskolai geometria tanfolyam két részre oszlik: planimetriára és sztereometriára. Mindegyikben jelentős figyelem irányul a sarkoknak adják:

• A planimetriában adjuk meg alapkoncepciójukat, és méretek szerint mutatjuk be típusaikat. Az egyes háromszögtípusok tulajdonságait részletesebben tanulmányozzuk. Új definíciók jelennek meg a diákok számára - ezek geometriai alakzatok, amelyeket két egyenes metszéspontja és több egyenes keresztirányú metszéspontja alkot.
• A sztereometriában a térbeli szögeket tanulmányozzák - diéderes és triéderes.

Figyelem! Ez a cikk a szögek minden típusát és tulajdonságait tárgyalja a planimetriában.

Definíció és mérés

A tanulás megkezdésekor először határozza meg mi az a szög a planimetriában.

Ha a síkon egy bizonyos pontot veszünk, és két tetszőleges sugarat rajzolunk belőle, egy geometriai alakzatot kapunk - egy szöget, amely a következő elemekből áll:

• csúcs - az a pont, ahonnan a sugarakat húzták, a latin ábécé nagybetűjével jelölve;
• az oldalak a csúcsból húzott félegyenesek.

Az általunk vizsgált ábrát alkotó összes elem felosztja a síkot két rész:

• belső - a planimetriában nem haladja meg a 180 fokot;
• külső.

A szögmérés elve a planimetriában intuitív alapon magyarázzák el. Kezdetben a hallgatók megismerkednek az elforgatott szög fogalmával.

Fontos! Szöget akkor nevezünk kialakultnak, ha a csúcsából kilépő félegyenesek egyenest alkotnak. A kidolgozatlan szög az összes többi eset.

Ha 180 egyenlő részre osztjuk, akkor egy rész mértékét szokás 10-nek tekinteni. Ebben az esetben azt mondják, hogy a mérés fokban történik, és egy ilyen szám fokszáma 180 fokon.

Főbb típusok

A szögtípusok olyan kritériumok szerint vannak felosztva, mint a fokok, kialakításuk jellege és az alábbiakban bemutatott kategóriák.

Méret szerint

A nagyság figyelembevételével a szögeket a következőkre osztják:

• kiterjesztett;
• egyenes;
• tompa;
• fűszeres.

A fentebb bemutattuk, hogy melyik szöget nevezzük kibontottnak. Határozzuk meg a közvetlen fogalmát.

Úgy kaphatjuk meg, hogy a kiterjesztett két egyenlő részre osztjuk. Ebben az esetben könnyen megválaszolható a kérdés: hány fok a derékszög?

A 180 fokot elosztjuk 2-vel, és azt kapjuk a derékszög 90 fok. Ez egy csodálatos ábra, mivel a geometriában sok tény kapcsolódik hozzá.

Ennek is megvannak a maga sajátosságai a megnevezésben. A derékszög ábrázolásához az ábrán nem ív, hanem négyzet jelöli.

Azokat a szögeket, amelyeket egy egyenes tetszőleges sugárral való elosztásával kapunk, hegyesnek nevezzük. Ebből logikusan következik, hogy egy hegyesszög kisebb, mint a derékszög, de a mértéke eltér 0 foktól. Vagyis 0 és 90 fok közötti értéke van.

A tompaszög nagyobb, mint a derékszög, de kisebb, mint az egyenes szög. Mértéke 90 és 180 fok között változik.

Ez az elem különböző típusú figurákra osztható, kivéve a kiterjesztett.

Függetlenül attól, hogy egy el nem forgatott szöget hogyan osztanak fel, mindig a planimetria alapvető axiómáját alkalmazzák - „a mérés alapvető tulajdonságát”.

Nál nél szöget osztva egy sugárral vagy több, egy adott ábra fokszáma megegyezik azon szögek mértékeinek összegével, amelyekre fel van osztva.

7. osztályos szinten ott érnek véget a méretük szerinti szögtípusok. De a műveltség növelése érdekében hozzátehetjük, hogy vannak más fajták is, amelyeknek a fokmérője nagyobb, mint 180 fok. Ezeket konvexnek nevezik.

Ábrák a vonalak metszéspontjában

A következő szögtípusok, amelyekkel a tanulók megismerkednek, két egyenes metszéspontjából kialakított elemek. Az egymással szemben elhelyezett figurákat függőlegesnek nevezzük. Különlegességük, hogy egyenrangúak.

Azokat az elemeket, amelyek egyazon vonallal szomszédosak, szomszédosnak nevezzük. A tulajdonságukat tükröző tétel azt mondja a szomszédos szögek 180 fokot adnak össze.

Elemek egy háromszögben

Ha egy ábrát egy háromszög elemének tekintünk, akkor a szögeket belső és külső részekre osztjuk. Egy háromszöget három szakasz határol, és három csúcsból áll. A háromszög belsejében minden csúcsban elhelyezkedő szögek belsőnek nevezzük.

Ha bármely csúcsban egy belső elemet veszünk, és bármelyik oldalt kiterjesztjük, akkor a kialakult és a belsővel szomszédos szöget külsőnek nevezzük. Ennek az elempárnak a következő tulajdonsága van: összegük 180 fok.

Két egyenes metszéspontja

Vonalak metszéspontja

Ha két egyenes metszi a keresztirányú vonalat, akkor szögek is keletkeznek., amelyeket általában párban osztanak el. Minden elempárnak saját neve van. Ez így néz ki:

• belső keresztirányú fekvés: ∟4 és ∟6, ∟3 és ∟5;
• belső egyoldalas: ∟4 és ∟5, ∟3 és ∟6;
• megfelelnek: ∟1 és ∟5, ∟2 és ∟6, ∟4 és ∟8, ∟3 és ∟7.

Abban az esetben, ha egy szekáns két egyenest metsz, ezeknek a szögpároknak vannak bizonyos tulajdonságai:

1. A belső keresztben fekvő és a megfelelő alakzatok egyenlőek egymással.
2. A belső egyirányú elemek 180 fokos szöget adnak.

Tanulmányozzuk a szögeket a geometriában, tulajdonságaikat

Szögfajták a matematikában

Következtetés

Ez a cikk bemutatja az összes főbb szögtípust, amely a planimetriában található, és amelyeket a hetedik osztályban tanulmányoznak. Minden további kurzusban az összes figyelembe vett elemre vonatkozó tulajdonságok képezik a geometria további tanulmányozásának alapját. Például tanulmányozáskor emlékeznie kell azoknak a szögeknek a tulajdonságaira, amelyek akkor keletkeznek, amikor két párhuzamos egyenes metszi a keresztirányú vonalat. A háromszögek jellemzőinek tanulmányozásakor emlékezni kell, hogy melyek a szomszédos szögek. Áttérve a sztereometriára, az összes térfogati ábrát tanulmányozzuk és a planimetrikus ábrák alapján állítjuk össze.

Ez a cikk az egyik alapvető geometriai alakzatot - egy szöget - tárgyalja. A fogalom általános bevezetése után az ilyen figurák egy konkrét típusára fogunk összpontosítani. Az egyenes szög fontos fogalom a geometriában, ez lesz a cikk fő témája.

Bevezetés a geometriai szögbe

A geometriában számos tárgy van, amelyek minden tudomány alapját képezik. A szög rájuk vonatkozik, és a sugár fogalmával van meghatározva, tehát kezdjük vele.

Ezenkívül, mielőtt elkezdené meghatározni magát a szöget, emlékeznie kell több, ugyanolyan fontos objektumra a geometriában - ez egy pont, egy egyenes vonal a síkon és maga a sík. Az egyenes vonal a legegyszerűbb geometriai alakzat, amelynek nincs sem eleje, sem vége. A sík olyan felület, amelynek két dimenziója van. Nos, a sugár (vagy félvonal) a geometriában egy olyan egyenes része, amelynek van eleje, de nincs vége.

Ezekkel a fogalmakkal kijelenthetjük, hogy a szög olyan geometriai alakzat, amely teljes egészében egy bizonyos síkban fekszik, és két, egymástól eltérő, közös eredetű sugárból áll. Az ilyen sugarakat egy szög oldalainak nevezzük, és az oldalak közös kezdete a csúcsa.

A szögek típusai és a geometria

Tudjuk, hogy a szögek teljesen eltérőek lehetnek. Ezért egy kicsit lentebb lesz egy kis besorolás, amely segít jobban megérteni a szögek típusait és főbb jellemzőit. Tehát a geometriában többféle szög létezik:

1. Derékszög. 90 fokos érték jellemzi, ami azt jelenti, hogy oldalai mindig merőlegesek egymásra.
2. Éles sarok. Ezek a szögek magukban foglalják az összes képviselőjüket, amelyek 90 foknál kisebbek.
3. Tompaszög. Itt minden szög 90 és 180 fok között lehet.
4. Kibontott sarok. Mérete szigorúan 180 fok, oldalai kívülről egy egyenes vonalat alkotnak.

Az egyenes szög fogalma

Most nézzük meg részletesebben az elforgatott szöget. Ez az a helyzet, amikor mindkét oldal ugyanazon az egyenesen fekszik, ami jól látható az ábrán kicsit lejjebb. Ez azt jelenti, hogy bátran kijelenthetjük, hogy fordított szögben az egyik oldala lényegében a másik folytatása.

Érdemes megjegyezni azt a tényt, hogy egy ilyen szög mindig felosztható a csúcsából kilépő sugár segítségével. Ennek eredményeként két szöget kapunk, amelyeket a geometriában szomszédosnak nevezünk.

Ezenkívül a kihajtott szögnek számos jellemzője van. Ahhoz, hogy az elsőről beszélhessen, emlékeznie kell a „szögfelező” fogalmára. Emlékezzünk vissza, hogy ez egy olyan sugár, amely bármely szöget pontosan felére oszt. Ami a kihajtott szöget illeti, annak felezője úgy osztja fel, hogy két 90 fokos derékszög keletkezik. Ezt nagyon könnyű matematikailag kiszámítani: 180˚ (az elforgatott szög foka): 2 = 90˚.

Ha egy elforgatott szöget elosztunk egy teljesen tetszőleges sugárral, akkor ennek eredményeként mindig két szöget kapunk, amelyek közül az egyik hegyes, a másik tompaszögű lesz.

Az elforgatott sarkok tulajdonságai

Kényelmes lesz figyelembe venni ezt a szöget, egyesítve az összes fő tulajdonságát, amit ebben a listában tettünk:

1. Az elforgatott szög oldalai párhuzamosak és egyenes vonalat alkotnak.
2. Az elforgatási szög mindig 180˚.
3. Két szomszédos szög együtt mindig egyenes szöget alkot.
4. Egy teljes szög, amely 360˚, két kibontott szögből áll, és egyenlő ezek összegével.
5. Az egyenes szög fele derékszög.

Tehát, ismerve az ilyen típusú szögek összes jellemzőjét, felhasználhatjuk őket számos geometriai probléma megoldására.

Problémák az elforgatott szögekkel

Ha meg szeretné tudni, hogy megértette-e az egyenes szög fogalmát, próbáljon meg válaszolni a következő néhány kérdésre.

1. Mekkora egy egyenes szög, ha oldalai függőleges vonalat alkotnak?
2. Két szög szomszédos, ha az első 72˚, a másik 118˚?
3. Ha egy teljes szög két fordított szögből áll, akkor hány derékszöge van?
4. Az egyenes szöget egy sugár két szögre osztja úgy, hogy mértékük 1:4 arányban legyen. Számítsa ki a kapott szögeket!

Megoldások és válaszok:

1. Nem számít, hogyan helyezkedik el az elforgatott szög, definíció szerint mindig 180˚.
2. A szomszédos szögeknek van egy közös oldaluk. Ezért az általuk alkotott szög méretének kiszámításához csak össze kell adni a fokmérőik értékét. Ez azt jelenti, hogy 72 +118 = 190. De értelemszerűen a fordított szög 180˚, ami azt jelenti, hogy két adott szög nem lehet szomszédos.
3. Egy egyenes szög két derékszöget tartalmaz. És mivel a teljesnek két kibontott van, ez azt jelenti, hogy 4 egyenes lesz.
4. Ha a kívánt szögeket a-nak és b-nek nevezzük, akkor legyen x ezek arányossági együtthatója, ami azt jelenti, hogy a=x, és ennek megfelelően b=4x. Az elforgatási szög fokban 180˚. És azon tulajdonságai alapján, hogy egy szög fokszáma mindig egyenlő azon szögek mértékének összegével, amelyekbe az oldalai között áthaladó tetszőleges sugár osztja, arra a következtetésre juthatunk, hogy x + 4x = 180˚ , ami azt jelenti, hogy 5x = 180˚ . Innen a következőket kapjuk: x = a = 36˚ és b = 4x = 144˚. Válasz: 36˚ és 144˚.

Ha képes volt válaszolni ezekre a kérdésekre felszólítás nélkül és anélkül, hogy belekukkantott volna a válaszokba, akkor készen áll a következő geometria leckére.

Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk, mi a szög. Először is, másodszor, két sugár alkotja, amelyeket a szög oldalainak nevezünk. Harmadszor, az utóbbi egy pontból emelkedik ki, amelyet a szög csúcsának nevezünk. Ezen jellemzők alapján definíciót alkothatunk: a szög olyan geometriai alakzat, amely egy pontból (csúcsból) kilépő két sugárból (oldalból) áll.

Osztályozásuk fokérték, egymáshoz és körhöz viszonyított elhelyezkedés szerint történik. Kezdjük a szögtípusokkal a nagyságuk szerint.

Több fajta is létezik belőlük. Nézzük meg közelebbről az egyes típusokat.

A szögeknek csak négy fő típusa van: egyenes, tompa, hegyes és egyenes szög.

Egyenes

Ez így néz ki:

Fokmértéke mindig 90 o, vagyis a derékszög 90 fokos szög. Csak olyan négyszögeknél van ilyen, mint a négyzet és a téglalap.

Tompa

Ez így néz ki:

A fokmérték mindig 90 o-nál nagyobb, de 180 o-nál kisebb. Megtalálható négyszögekben, például rombuszban, tetszőleges paralelogrammában és sokszögekben.

Fűszeres

Ez így néz ki:

Egy hegyesszög fokmértéke mindig kisebb, mint 90°. Minden négyszögben megtalálható, kivéve a négyzetet és bármely paralelogrammát.

Kiterjesztett

A kibontott szög így néz ki:

Nem sokszögben fordul elő, de nem kevésbé fontos, mint az összes többi. Az egyenes szög olyan geometriai alakzat, amelynek fokmérője mindig 180º. Építhet rá úgy, hogy egy vagy több sugarat húz a tetejéről bármely irányba.

Számos más kisebb típusú szög létezik. Az iskolákban nem tanulják őket, de legalább tudni kell a létezésükről. Csak öt másodlagos szögtípus létezik:

1. Nulla

Ez így néz ki:

Már maga a szög neve is jelzi a méretét. Belső területe 0°, oldalai egymáson fekszenek az ábrán látható módon.

2. Ferde

A ferde szög lehet egyenes szög, tompaszög, hegyesszög vagy egyenes szög. Fő feltétele, hogy ne legyen egyenlő 0 o, 90 o, 180 o, 270 o-val.

3. Konvex

A konvex szögek nulla, egyenes, tompaszögek, hegyesszögek és egyenesek. Amint már megértette, a konvex szög mértéke 0° és 180° között van.

4. Nem domború

A 181°-tól 359°-ig terjedő fokos szögek nem konvexek.

5. Tele

A teljes szög 360 fok.

Ezek a szögek mindegyike nagyságuk szerint. Most pedig nézzük meg a típusaikat egymáshoz képest a gépen elfoglalt helyük szerint.

1. Kiegészítő

Ez két hegyesszög, amelyek egy egyenest alkotnak, azaz. összegük 90 o.

2. Szomszédos

Szomszédos szögek akkor jönnek létre, ha egy sugarat bármely irányban átvezetünk a kibontott szögön, vagy inkább annak csúcsán. Összegük 180 o.

3. Függőleges

Függőleges szögek akkor jönnek létre, ha két egyenes metszi egymást. A mértékük egyenlő.

Most térjünk át a körhöz képest elhelyezkedő szögtípusokra. Csak kettő van belőlük: központi és feliratos.

1. Központi

A középső szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör közepén van. Fokmértéke megegyezik az oldalak által befogott kisebb ív fokszámával.

2. Felírva

A beírt szög olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik azt. Fokmértéke egyenlő annak az ívnek a felével, amelyen nyugszik.

Ennyi a szögekről. Most már tudja, hogy a leghíresebbek - hegyes, tompa, egyenes és kihelyezett - mellett sok más típus is létezik a geometriában.

A szög egy geometriai alakzat, amely két különböző, egy pontból kiinduló sugárból áll. Ebben az esetben ezeket a sugarakat a szög oldalainak nevezzük. Azt a pontot, amely a sugarak kezdete, a szög csúcsának nevezzük. A képen látható a pontban lévő csúcs szöge RÓL RŐLés a felek kÉs m.

A szög oldalain az A és C pontok vannak kijelölve, ezt a szöget nevezhetjük AOC szögnek. Középen kell lennie annak a pontnak a nevének, ahol a szög csúcsa található. Vannak más megnevezések is, O szög vagy szög km. A geometriában a szög szó helyett gyakran egy speciális szimbólumot írnak.

Fejlett és nem tágított szög

Ha egy szög mindkét oldala ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor ezt a szöget nevezzük kiterjesztett szög. Vagyis a szög egyik oldala a szög másik oldalának folytatása. Az alábbi ábra a kiterjesztett O szöget mutatja.

Meg kell jegyezni, hogy bármely szög két részre osztja a síkot. Ha a szög nincs kibontva, akkor az egyik részt a szög belső tartományának, a másikat pedig a szög külső tartományának nevezzük. Az alábbi ábra egy kidolgozatlan szöget mutat, és ennek a szögnek a külső és belső területeit jelöli.

Kidolgozott szög esetén a két rész bármelyike, amelyre a síkot felosztja, a szög külső tartományának tekinthető. Egy pont szöghez viszonyított helyzetéről beszélhetünk. Egy pont elhelyezkedhet a sarkon kívül (a külső régióban), az egyik oldalán, vagy a sarokban belül (a belső régióban).

Az alábbi ábrán az A pont az O szögön kívül, a B pont a szög egyik oldalán, a C pont a szögön belül található.

Szögek mérése

A szögek mérésére van egy szögmérőnek nevezett eszköz. A szög mértékegysége az fokozat. Meg kell jegyezni, hogy minden szögnek van egy bizonyos mértéke, amely nagyobb nullánál.

A fokmértéktől függően a szögeket több csoportra osztják.