Rezolvarea problemelor din cartea de probleme Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd pentru clasa a 6-a la matematică pe tema:

Capitolul I Fracții comune.
§ 4. Relații și proporții:
22. Proporții directe și inverse

1 Pentru 3,2 kg de mărfuri au plătit 115,2 ruble. Cât ar trebui să plătesc pentru 1,5 kg din acest produs?
DECIZIE

2 Două dreptunghiuri au aceeași zonă. Lungimea primului dreptunghi este de 3,6 m, iar lățimea este de 2,4 m. Lungimea celui de-al doilea este de 4,8 m. Aflați lățimea acestuia.
DECIZIE

782 Stabiliți dacă relația dintre următoarele valori este directă, inversă sau nu proporțională: traseul parcurs de o mașină cu viteză constantă și timpul deplasării acesteia; costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia; aria pătratului și lungimea laturii acestuia; masa barei de oțel și volumul acesteia; numărul de muncitori care efectuează o muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul de finalizare; costul mărfurilor și cantitatea acesteia, cumpărată pentru o anumită sumă de bani; vârsta persoanei și mărimea pantofilor; volumul cubului și lungimea muchiei acestuia; perimetrul pătratului și lungimea laturii acestuia; o fracție și numitorul ei dacă numărătorul nu se modifică; fracția și numărătorul acesteia dacă numitorul nu se modifică.
DECIZIE

783 O bilă de oțel cu un volum de 6 cm3 are o masă de 46,8 g. Care este masa unei bile din același oțel dacă volumul ei este de 2,5 cm3?
DECIZIE

784 Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei. Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?
DECIZIE

785 Pentru construcția stadionului, 5 buldozere au degajat șantierul în 210 minute. Cât timp vor dura 7 buldozere pentru a curăța acest site?
DECIZIE

786 Pentru a transporta marfa au fost necesare 24 de camioane cu o capacitate de transport de 7,5 tone Câte camioane cu o capacitate de transport de 4,5 tone sunt necesare pentru a transporta aceeași marfă?
DECIZIE

787 Pentru a determina germinația semințelor s-a semănat mazăre. Din cele 200 de mazăre însămânțată au încolțit 170. Ce procent din mazăre a încolțit (germinare)?
DECIZIE

788 de tei au fost plantați pe stradă duminică duminică pentru a planta verdeață în oraș. 95% din toate teiul plantat au fost acceptate. Câți au fost plantați dacă s-au plantat 57 de tei?
DECIZIE

789 La secția de schi sunt 80 de studenți. Printre acestea, 32 de fete. Ce procent din participanții la secțiune sunt fete și băieți?
DECIZIE

790 Uzina trebuia să topească 980 de tone de oțel pe lună conform planului. Dar planul a fost îndeplinit cu 115%. Câte tone de oțel a mirosit planta?
DECIZIE

791 În 8 luni, muncitorul a finalizat 96% din planul anual. Ce procent din planul anual va îndeplini muncitorul în 12 luni dacă lucrează cu aceeași productivitate?
DECIZIE

792 În trei zile au fost recoltate 16,5% din totalul sfeclei. Câte zile vor fi necesare pentru a recolta 60,5% din sfeclă dacă lucrați cu aceeași productivitate?
DECIZIE

793 B minereu de fier 7 părți de fier reprezintă 3 părți de impurități. Câte tone de impurități sunt într-un minereu care conține 73,5 tone de fier?
DECIZIE

794 Pentru a pregăti borșul, pentru fiecare 100 g de carne trebuie să luați 60 g de sfeclă. Câtă sfeclă ar trebui luată pentru 650 g de carne?
DECIZIE

796 Exprimați ca sumă a două fracții cu numărător de 1 fiecare dintre următoarele fracții.
DECIZIE

797 Din numerele 3, 7, 9 și 21 faceți două proporții corecte.
DECIZIE

798 Termenii medii ai proporției 6 și 10. Ce pot fi termeni extremi? Dă exemple.
DECIZIE

799 La ce valoare a lui x este proporția corectă.
DECIZIE

800 Aflați raportul de la 2 min la 10 s; 0,3 m2 până la 0,1 dm2; 0,1 kg până la 0,1 g; 4 ore până la 1 zi; 3 dm3 până la 0,6 m3
DECIZIE

801 Unde pe raza de coordonate trebuie să fie situat numărul c pentru ca proporția să fie corectă.
DECIZIE

802 Acoperiți masa cu o bucată de hârtie. Deschideți prima linie pentru câteva secunde și apoi, închizând-o, încercați să repetați sau să notați cele trei numere ale acestei linii. Dacă ați reprodus corect toate numerele, mergeți la al doilea rând al tabelului. Dacă se face o greșeală în orice rând, scrieți singur mai multe seturi din același număr de numere din două cifre și exersați memorarea. Dacă puteți reproduce cel puțin cinci numere din două cifre fără erori, aveți o memorie bună.
DECIZIE

804 Este posibil să se facă proporția corectă a următoarelor numere.
DECIZIE

805 Din egalitatea produselor 3 · 24 = 8 · 9 faceți trei proporții corecte.
DECIZIE

806 Lungimea segmentului AB este de 8 dm, iar lungimea segmentului CD este de 2 cm. Aflați raportul dintre lungimile lui AB și CD. Ce parte din AB are lungimea lui CD?
DECIZIE

807 Un voucher la un sanatoriu costă 460 de ruble. Sindicatul plătește 70% din prețul biletului. Cât va plăti un turist pentru un bilet?
DECIZIE

808 Găsiți valoarea expresiei.
DECIZIE

809 1) La prelucrarea unei piese dintr-o turnare cu o greutate de 40 kg, 3,2 kg au fost irosite. Ce procent este masa piesei din turnare? 2) La sortarea cerealelor din 1750 kg, 105 kg au fost irosite. Ce procent de cereale a mai rămas?

Matematica este baza și regina tuturor științelor și te sfătuiesc să te împrietenești cu ea, prietene. Dacă urmezi legile ei înțelepte, îți vei spori cunoștințele, vei începe să le aplici. Poți să înoți în mare, poți să zbori în spațiu. Puteți construi o casă pentru oameni: va rezista o sută de ani. Nu fi leneș, muncește, încearcă, Cunoscând sarea științelor. Încearcă să demonstrezi totul, dar neobosit.

3 Alegerea unui răspuns cu litera corespunzătoare cuvântului ascuns: 17-c; 7-l; 0,1-i; 14-s; 0,2-a; 25-k. Găsiți numerele care lipsesc și aflați cuvântul: 3+37:5 3. 0.3 +4.1: .45: .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 cuvânt.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Acest cuvânt este putere. Motto-ul lecției: Puterea este în cunoaștere! Caut, deci invat!

O relație direct proporțională este o astfel de dependență a cantităților în care... O relație invers proporțională este o astfel de dependență a cantităților în care... Pentru a găsi membrul extrem necunoscut al proporției... Membrul mijlociu al proporției este . .. Proporția este adevărată dacă...

C) ... când o valoare crește de mai multe ori, cealaltă scade cu aceeași valoare. X) ... produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției. A) ... când o valoare este mărită de mai multe ori, cealaltă crește cu aceeași valoare. P) ... trebuie să împărțiți produsul dintre membrii mijlocii ai proporției cu membrul extrem cunoscut. Y) ... când o valoare este crescută de mai multe ori, cealaltă crește cu aceeași valoare. E) ... raportul dintre produsul termenilor extremi la media cunoscută

4. Viteza mașinii și timpul de mișcare a acestuia sunt invers proporționale. 5. Viteza mașinii și distanța sa parcursă sunt invers proporționale. 6. Două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când una dintre ele este dublată, cealaltă este înjumătățită.

Să verificăm răspunsurile:

Decizie. Numărul de buldozere. 150 min. = 2,5 ore Răspuns: 2,5 ore
Algoritm pentru rezolvarea problemelor de proporționalitate directă și inversă: Un număr necunoscut este notat cu litera x. Condiția este scrisă sub forma unui tabel. Se stabilește tipul de dependență între cantități. Dependența direct proporțională este indicată prin săgeți direcționate în mod egal, iar dependența invers proporțională este indicată prin săgeți direcționate în mod opus. Proporția este înregistrată. Este localizat un membru necunoscut.

Verificați-vă: Ce cantități se numesc direct proporționale? Dați exemple de mărimi direct proporționale. Ce mărimi se numesc invers proporționale? Dați exemple de mărimi invers proporționale. Dați exemple de mărimi a căror dependență nu este nici direct, nici invers proporțională.

Teme pentru acasă. P; 811; 812.

Clasă: 6

În munca mea folosesc forme diferiteși metodele de predare, încerc să folosesc o varietate de tehnici organizaționale activități de învățare pentru a menține elevii interesați de învățare. Numai în acest caz, activitatea cognitivă a elevilor crește, gândirea începe să funcționeze mai productiv și creativ. Unul dintre mijloacele de creștere a interesului pentru subiect este utilizarea tehnologiei informației.

Utilizarea tehnologiei informatice la clasă vă permite să schimbați în mod continuu formele de lucru, să alternați constant exerciții orale și scrise, să implementați diferite abordări pentru rezolvarea problemelor matematice, iar acest lucru creează și menține în mod constant tensiunea intelectuală a elevilor, formează interesul lor constant pentru studiind acest subiect.

Munca în grup la clasă stimulează activitatea cognitivă a elevilor, promovează implicarea acestora în activități creative și de comunicare. În procesul muncii individuale, elevii înșiși se străduiesc să rezolve problemele, educația se transformă în autoeducație.

Efectuarea sarcinilor creative contribuie la aplicarea cunoștințelor școlare în situații din viața reală.

Tip de lecție: lecție combinată

Obiectivele lecției:

• cognitive:
  • să asigure asimilarea conștientă de către elevi a conceptului de proporționalitate directă și inversă în rezolvarea problemelor;
  • verificarea nivelului de cunoștințe pe o anumită temă prin diverse forme de lucru.
• Educational:
  • să activeze activitatea mentală a elevilor prin participarea fiecăruia dintre ei la procesul de muncă;
  • dezvoltarea atenției, memoriei, abilităților intelectuale și creative;
  • dezvoltarea sferei emoționale a elevilor în procesul de învățare;
  • dezvolta controlul și autocontrolul.
• Educational:
  • pentru a forma un sentiment de cooperare, asistență reciprocă;
  • pentru a forma abilități practice;
  • genera interes pentru subiectul studiat.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric (2 min.)
2. Contul mental (4 min.)
3. Analiza problemelor rezolvate de elevi (5 min.)
4. Educație fizică (2 min.)
5. Consolidarea materialului studiat, lucru în grup (16 min.)
6. Muncă independentă (13 min.)
7. Rezumatul lecției (2 min.)
8. Tema pentru acasă (1 min.)

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Salutare reciprocă, înregistrarea temei lecției. Organizarea muncii cu carduri de autocontrol.

2. Repetarea materialului

a) Rezolvarea de către doi elevi la tabla a problemelor de proporționalitate directă și inversă
b) restul repetă verbal conceptele de bază:

• care sunt numele numerelor x și y în proporția x: a = b: y?
• egalitatea a două relații se numește...
• Ce este o relație direct proporțională?
• ce fel de relație este invers proporțională?
• o sutime dintr-un număr este...

Lucrați cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte - 1).

3. Contul mental

1. Jocul „Silent”

a) Care dintre egalităţi pot fi numite proporţii?

Dacă proporția este corectă, atunci elevii ridică cărțile verzi, dacă nu, atunci pe cele roșii.

b) Următoarele relații sunt direct sau invers proporționale?

1) numărul de cititori din numărul de cărți din bibliotecă;
2) traseul parcurs de mașină cu viteză și timp constant de deplasare a acestuia;
3) vârsta persoanei și mărimea pantofilor acesteia;
4) perimetrul pătratului și lungimea laturilor acestuia;
5) viteza și timpul în timpul parcurgerii aceluiași tronson de potecă.

Dacă afirmația este adevărată, atunci elevii ridică cărțile verzi, dacă nu, atunci pe cele roșii.

Lucrați cu carduri de autocontrol (scor maxim pentru scorul oral 2).

2. Analiza problemelor rezolvate de elevi la tablă.

a) O rândunica a zburat o anumită distanță în 0,5 ore cu o viteză de 50 km/h. În câte minute va zbura un iuteș pe aceeași distanță dacă viteza sa este de 100 km/h?

Decizie:

Fie x ore timpul de zbor al rapidului.

50 km/h - 0,5 h 100 km/h - X h

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Răspuns: 15 minute.

b) La fabrica de zahăr se aducea sfeclă, din care se obține 12% zahăr. Cât zahăr se va obține din 30 de tone de sfeclă din acest soi?

Decizie:

Lasă să iasă x tone de zahăr.

Răspuns: 3,6 tone

4. Educație fizică

5. Munca în grup

Ai cărți pe mese. Au 4 sarcini. Grupurile 1, 3, 5 decid începând cu #1. Grupurile 2, 4, 6 decid începând cu #4 (în ordine inversă).

1) 80 kg de cartofi conțin 14 kg de amidon. Găsiți procentul de amidon dintr-un astfel de cartof.

Decizie:

Fie ca x% din amidon să se găsească în cartofi.

17,5% este amidon.

Răspuns: 17, 5 %

2) Puteți înota dintr-un sat în altul de-a lungul râului în 1,5 ore. Cât timp va dura o barcă cu motor pentru a face această călătorie dacă viteza bărcii este de 3 km/h și viteza bărcii este de 13,5 km /h?

Decizie:

Fie x ore să fie ora bărcii

	3 km/h 13,5 km/h	– 1,5 ore – X h

Răspuns: 20 de minute

3) La curățarea semințelor de floarea soarelui, 28% este coaja. Câte cereale pure se vor obține din 150 de tone de semințe de floarea soarelui?

Decizie:

Lasă x t boabe să iasă.

150 - 42 = 108 (t)

108 tone de cereale.

Răspuns: 108 tone

4) Pentru a transporta marfa au fost necesare 48 de mașini cu o capacitate de transport de 7,5 tone Câte mașini cu o capacitate de transport de 4,5 tone sunt necesare pentru a transporta aceeași marfă?

Decizie:

Să fie luate x mașini cu o capacitate de transport de 4,5 tone.

Răspuns: 80 de mașini.

Verificarea soluționării problemelor de pe tablă.

Lucrați cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte - 8; fiecare sarcină 2 puncte)

5. Munca individuală independentă 4 variante.

eu optiunea

1) Tata a plătit 48 de ruble pentru 4 cutii identice de creioane. Cât costă 7 dintre aceste cutii de creioane?

2) Trei elevi au plivit grădina în 4 ore. Câte ore vor dura 2 elevi pentru a finaliza aceeași sarcină?

varianta II

1) La gătirea cărnii, rămâne 65% din masă. Câtă carne fiartă se va obține din 2 kg de carne crudă?

2) Patru zidari pot finaliza lucrarea în 15 zile. În câte zile pot termina această lucrare trei zidari?

varianta III

1) Floarea de tei pierde 74% din greutate. Câtă floare de tei uscată se poate obține din 300 kg de proaspăt?

2) Un motociclist a parcurs 3 ore cu viteza de 60 km/h. Câte ore îi va lua să parcurgă aceeași distanță cu o viteză de 45 km/h?

varianta IV

1) Fermierii cubanezi ne oferă trestie de zahăr pentru a produce zahăr. Trestia de zahăr, atunci când este procesată în zahăr, pierde 91% din masa inițială. Câtă trestie de zahăr este nevoie pentru a obține 900 kg de zahăr?

2) Într-o zi fierbinte, 6 cositoare au băut un butoi de kvas în 1,5 ore Câte cositoare vor bea același butoi în 3 ore?

7. Rezumând lecția

Ce tipuri de probleme am rezolvat la clasă?

Elevii rezumă lecția în fișe de autocontrol și dau note

16-17 puncte - "5"
13-15 puncte - "4"
9-12 puncte - "3"

– Obiectivele lecției au fost atinse și, cel mai important, munca s-a desfășurat într-o atmosferă creativă.

8. Tema pentru acasă

Repetați pașii 13-18.

Sarcina manuală: Nr. 817, Nr. 812, Nr. diferenţiat 818.

Literatură

1. Manual de matematică pentru clasa a VI-a a instituțiilor de învățământ, autori: N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd, Moscova. „Mnemosyne”, 2011.
2. Culegere de sarcini de testare pentru controlul tematic și final Matematică clasa a VI-a Moscova, „Centrul Intelect” 2009.
3. A. I. Ershova, V.V. Goloborodko. Matematică 6. Independentă şi hârtii de test.– M: Ileksa, 2011.

Cele două mărimi sunt numite direct proportional, dacă atunci când unul dintre ele este mărit de mai multe ori, celălalt este mărit cu aceeași sumă. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de relație direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt direct proporționale;

3) costul unei mărfuri achiziționate la un preț este direct proporțional cu cantitatea acesteia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât în ​​pădure este mai departe, cu atât mai multe lemne de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme pentru mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru fabricarea a 10 piese este nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va fi folosit pentru a face 12 astfel de piese?

(Ne argumentăm astfel:

1. În coloana completată, puneți săgeata în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Deci este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțim produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) S-au plătit 1680 de ruble pentru 15 metri de țesătură. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, puneți săgeata în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Deci este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este îndreptată în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Alcătuim proporția (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi membrul extrem necunoscut al proporției, împărțim produsul termenilor de mijloc la membrul extrem cunoscut al proporției:

Deci, 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.

Cel mai simplu mod de a înțelege o relație direct proporțională este să folosiți exemplul unei mașini care fabrică piese cu o viteză constantă. Dacă în două ore face 25 de părți, atunci în 4 ore va face de două ori mai multe părți - 50. De câte ori va lucra mai mult, de câte ori va produce mai multe detalii.

Din punct de vedere matematic, arată așa:

4: 2 = 50: 25 sau așa: 2:4 = 25:50

Cantitățile direct proporționale aici sunt timpul de funcționare al mașinii și numărul de piese fabricate.

Ei spun: numărul de piese este direct proporțional cu timpul de funcționare al mașinii.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci rapoartele cantităților corespunzătoare sunt egale. (În exemplul nostru, acesta este raportul dintre timpul 1 și timpul 2 = raportul dintre numărul de părți în timp 1 la numărul de părți în timp 2)

Proporționalitate inversă

O relație invers proporțională se găsește adesea în problemele de viteză. Viteza și timpul sunt invers proporționale. Într-adevăr, cu cât un obiect se mișcă mai repede, cu atât va dura mai puțin timp pentru a călători.

De exemplu:

Dacă cantitățile sunt invers proporționale, atunci raportul valorilor unei cantități (viteza în exemplul nostru) este egal cu raportul invers al celeilalte cantități (timp în exemplul nostru). (În exemplul nostru, raportul dintre prima viteză și a doua viteză este egal cu raportul dintre a doua oară și prima oară.

Exemple de sarcini

Sarcina 1:

Decizie:

Să scriem o scurtă condiție a problemei:

Sarcina 2:

Decizie:

Scurtă intrare:

Dacă jocurile sau simulatoarele nu se deschid pentru tine, citește.