Geometrijske oblike, ki niso poligoni. Pravilni mnogokotnik
Pri predmetu geometrija preučujemo lastnosti geometrijskih likov in smo si že ogledali najenostavnejše med njimi: trikotnike in okolico. Hkrati smo razpravljali tudi o specifičnih posebnih primerih teh figur, kot so pravokotni, enaki in desni tri-ogli-ni-ki. Zdaj je prišel čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih številkah - veliko premoga.
Z zasebnim primerom veliko premogaže vemo - to je trikotnik (glej sliko 1).
riž. 1. Trikotnik
Že v samem imenu je razvidno, da gre za fi-gu-ra, ki ima tri vogale. Naprej, v veliko premoga lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišite peterokotnik (glej sliko 2), tj. fi-gu-ru s petimi vogali-la-mi.
riž. 2. Penta-kotiček. Ti-zajeten poligon
Opredelitev.Poligon- slika, sestavljena iz več točk (več kot dve) in ustreza številu točk iz kov, ki jim sledijo skupaj. Te točke se imenujejo top-ona-mi veliko premoga, a od rezanja - sto-ro-na-mi. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.
Opredelitev.Pravi poligon- to je konveksen mnogokotnik, ki ima vse stranice in kote enake.
Kaj mnogokotnik deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo. Notranjost je tudi iz veliko premoga.
Z drugimi besedami, ko na primer govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njene meje tsu. In vse točke, ki ležijo znotraj velike količine premoga, so povezane z notranjim območjem, tj. točka je tudi od-no-sit-xia do pet-coal-ni-ku (glej sliko 2).
Veliko premoga včasih imenujemo n-premog, da bi poudarili, da je pogost primer neznanega števila kotov (n kosov).
Opredelitev. Peri-meter mnogo-premoga-no-ka- vsota dolžin stranic lota premoga.
Zdaj se moramo seznaniti z znamenitostmi številnih premogovnikov. Razdeljeni so na ti prdiš in prdci. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 se zdi, da prdiš, na sl. 3 ne prdec.
riž. 3. Nevy-grbinast poligon
2. Konveksni in nekonveksni mnogokotniki
Definicija 1. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, če pri neposrednem prehodu skozi katero koli stran celotno mnogokotnik leži le na eni strani od te premice. Neva-puk-ly-mi vsi drugi se pojavijo veliko premoga.
Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse se bo izkazalo za eno stran stran od te ravne črte, tj. prdljiv je. Toda pri prehodu naravnost skozi štiripremog na sl. 3 že vidimo, da jo deli na dva dela, tj. on ni velik prdec.
Vendar obstaja še ena definicija, koliko premoga imate.
Definicija 2. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, če ko izbereš katerikoli dve njegovi notranji točki in ko ju povežeš iz reza, so vse točke iz reza tudi notranje - ni ravno veliko premoga.
Prikaz uporabe te definicije je viden v primeru konstrukcije mejnih vrednosti na sl. 2 in 3.
Opredelitev. Dia-go-na-lew veliko premoga se imenuje vsak rez, ki povezuje dva nesosednja vrha njega.
3. Izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega n-kotnika
Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva pomembna izreka o njihovih kotih: teo-re-ma o vsoti notranjih kotov veliko kotov in teo-re-ma o vsoti zunanjih kotov veliko kotov. Poglejmo jih.
Izrek. O vsoti notranjih kotov imate veliko kotov (n-premog-no-ka).
Kje je število njegovih kotov (stranic).
Dokaz 1. Ilustracija na sl. 4 štrleči n-kotnik.
riž. 4. Nerodni n-gon
Z vrha bomo vodili vse možne dia-go. N-gon-nik delijo na tri-gon-nik, ker. Vsaka stran tvori veliko premoga, razen stranic, ki ležijo proti vrhu. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov popolnoma enaka vsoti notranjih kotov n-kota. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , potem je vsota notranjih kotov n-kotnika:
Razlog 2. Možno je, da obstaja še en razlog za ta izrek. Ilustracija analognega n-kotnika na sl. 5 in poveži poljubno njeno notranjo točko z vsemi oglišči.
N-premog smo razdelili na n trikotnikov (kolikor stranic, toliko trikotnikov)). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:
Q.E.D.
Do-ka-za-ampak.
Po prejšnji teoriji je jasno, da vsota kotov n-ogla ni odvisna od števila njegovih strani (od n). Na primer, v trikotniku je vsota kotov . V wh-reh-coal-no-ke in vsoti kotov - itd.
4. Izrek o vsoti zunanjih kotov konveksnega n-kotnika
Izrek. O vsoti zunanjih kotov veliko premoga (n-premog-no-ka).
Kjer je število njegovih kotov (stranic), in , ..., so zunanji koti.
Dokaz. Slika konveksnega n-kotnika na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.
riž. 6. Konveksni n-kotnik z označenimi zunanjimi koti
Ker zunanji kot je povezan z notranjim kotom kot sosednji, tedaj 
in podobno za druge zunanje vogale. Nato:
V predrazvoju smo že uporabili izrek o vsoti notranjih kotov n-ogl-nika.
Do-ka-za-ampak.
Iz prejšnjega izreka sledi zanimivo dejstvo, da je vsota zunanjih kotov konveksnega n-oglja enaka 
na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, odvisno od vsote notranjih kotov.
Nato se bomo podrobneje ukvarjali s posebnim primerom veliko premoga - zakaj-si-ponovno-premog-no-mi. V naslednji lekciji bomo spoznali takšno figuro, kot je par-ral-le-lo-gram, in razpravljali o njenih lastnostih.
VIR
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Predmet, starost učenca: geometrija, 9. razred
Namen lekcije: preučite vrste poligonov.
Izobraževalna naloga: posodobiti, razširiti in posplošiti znanje učencev o poligonih; oblikovati idejo o "sestavnih delih" poligona; opraviti študijo števila sestavnih elementov pravilnih mnogokotnikov (od trikotnika do n-kotnika);
Razvojna naloga: razvijati zmožnost analiziranja, primerjanja, sklepanja, razvijati računalniške sposobnosti, ustni in pisni matematični govor, spomin, pa tudi samostojnost pri razmišljanju in učnih dejavnostih, zmožnost dela v parih in skupinah; razvijati raziskovalno in izobraževalno dejavnost;
Vzgojna naloga: gojiti samostojnost, aktivnost, odgovornost za dodeljeno delo, vztrajnost pri doseganju cilja.
Med predavanji: citat, napisan na tabli
"Narava govori jezik matematike, črke tega jezika ... matematične figure." G.Galliley
Na začetku lekcije je razred razdeljen na delovne skupine (v našem primeru razdeljen na skupine po 4 osebe - število članov skupine je enako številu skupin vprašanj).
1. Stopnja klica -
Cilji:
a) posodabljanje znanja študentov o temi;
b) prebujanje zanimanja za temo, ki se preučuje, motiviranje vsakega študenta za izobraževalne dejavnosti.
Tehnika: Igra "Ali verjameš, da ...", organizacija dela z besedilom.
Oblike dela: frontalna, skupinska.
"Ali verjameš, da..."
1. ... beseda "mnogokotnik" pomeni, da imajo vsi liki v tej družini "veliko kotov"?
2. ... ali trikotnik spada v veliko družino mnogokotnikov, ki se razlikujejo med številnimi različnimi geometrijskimi oblikami na ravnini?
3. ... je kvadrat pravilen osmerokotnik (štiri stranice + štirje vogali)?
Danes bomo v lekciji govorili o poligonih. Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ki pa je lahko preprosta, zaprta. Pogovorimo se o tem, da so mnogokotniki lahko ravni, pravilni ali konveksni. Eden od ravnih mnogokotnikov je trikotnik, ki ga poznate že dolgo (učencem lahko pokažete plakate, ki prikazujejo mnogokotnike, lomljeno črto, pokažite različne vrste, lahko uporabite tudi TSO).
2. Faza spočetja
Cilj: pridobitev nove informacije, njeno razumevanje, selekcija.
Tehnika: cikcak.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Vsak član skupine dobi besedilo na temo lekcije, besedilo pa je sestavljeno tako, da vključuje informacije, ki so študentom že znane, in informacije, ki so povsem nove. Skupaj z besedilom učenci prejmejo vprašanja, na katera morajo odgovore najti v tem besedilu.
Poligoni. Vrste mnogokotnikov.
Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, v katerem brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki nam je znan iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.
Poleg že znanih vrst trikotnikov, ki so razdeljeni po stranicah (razkokraki, enakokraki, enakostranični) in koti (ostri, topi, pravokotni), spada trikotnik v veliko družino mnogokotnikov, ki se razlikujejo med številnimi različnimi geometrijskimi oblikami na letalo.
Beseda "poligon" nakazuje, da imajo vse figure v tej družini "veliko kotov". Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure.
Lomljena črta A 1 A 2 ...A n je lik, ki je sestavljen iz točk A 1, A 2, ...A n in odsekov, ki jih povezujejo A 1 A 2, A 2 A 3,.... Točke imenujemo oglišča lomljene črte, odseke pa členke lomljene črte. (slika 1)
Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2, 3).
Polilinija se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov (slika 4).
Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti ravni črti (slika 5).
V besedo "poligon" namesto dela "mnogo" nadomestite določeno številko, na primer 3. Dobili boste trikotnik. Ali 5. Potem - peterokotnik. Upoštevajte, da kolikor je kotov, toliko je tudi stranic, zato bi te figure lahko imenovali polilaterale.
Oglišča lomljene črte imenujemo oglišča mnogokotnika, členi lomljene črte pa stranice mnogokotnika.
Poligon deli ravnino na dve območji: notranjo in zunanjo (slika 6).
Ravninski poligon ali mnogokotno območje je končni del ravnine, ki ga omejuje mnogokotnik.
Dve točki mnogokotnika, ki sta koncu ene stranice, imenujemo sosednji. Oglišča, ki niso konca ene strani, so nesosednja.
Mnogokotnik z n oglišči in s tem n stranicami se imenuje n-kotnik.
Čeprav je najmanjše število strani mnogokotnika 3. Toda trikotniki, ko so med seboj povezani, lahko tvorijo druge figure, ki so prav tako poligoni.
Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.
Mnogokotnik se imenuje konveksen, če leži v isti polravnini glede na katero koli premico, ki vsebuje njegovo stranico. V tem primeru velja, da premica sama pripada polravnini.
Kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v to oglišče.
Dokažimo izrek (o vsoti kotov konveksnega n-kotnika): Vsota kotov konveksnega n-kotnika je enaka 180 0 *(n - 2).
Dokaz. V primeru n=3 je izrek veljaven. Naj bo A 1 A 2 ...A n dan konveksen mnogokotnik in n>3. Vanj narišimo diagonale (iz enega oglišča). Ker je mnogokotnik konveksen, ga te diagonale delijo na n – 2 trikotnika. Vsota kotov mnogokotnika je vsota kotov vseh teh trikotnikov. Vsota kotov vsakega trikotnika je enaka 180 0, število teh trikotnikov n pa je 2. Zato je vsota kotov konveksnega n-kotnika A 1 A 2 ...A n enaka 180 0 * (n - 2). Izrek je dokazan.
Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.
Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse njegove stranice enake in vsi koti enaki.
Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Pravilni so tudi enakostranični trikotniki. Takšne figure so že dolgo zanimale obrtnike, ki so okrasili zgradbe. Naredili so lepe vzorce, na primer na parketu. Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni bilo mogoče uporabiti za izdelavo parketa. Parketa ni mogoče izdelati iz pravilnih osmerokotnikov. Dejstvo je, da je vsak kot enak 135 0. In če je neka točka vrh dveh takih osmerokotnikov, potem bosta predstavljala 270 0 in tam ni prostora za tretji osmerokotnik: 360 0 - 270 0 = 90 0. Toda za kvadrat je to dovolj. Zato lahko izdelate parket iz pravilnih osmerokotnikov in kvadratov.
Tudi zvezde so pravilne. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda. In če kvadrat zavrtite okoli središča za 45 0, dobite navadno osmerokotno zvezdo.
1 skupina
Kaj je prekinjena črta? Pojasnite, kaj so oglišča in členi lomljene črte.
Katera lomljena črta se imenuje preprosta?
Katera lomljena črta se imenuje sklenjena?
Kako se imenuje mnogokotnik? Kako se imenujejo oglišča mnogokotnika? Kako se imenujejo stranice mnogokotnika?
2. skupina
Kateri mnogokotnik imenujemo ravni? Navedite primere mnogokotnikov.
Kaj je n – kvadrat?
Pojasni, katera oglišča mnogokotnika so sosednja in katera ne.
Kaj je diagonala mnogokotnika?
3 skupina
Kateri mnogokotnik imenujemo konveksen?
Pojasni, kateri koti mnogokotnika so zunanji in kateri notranji?
Kateri mnogokotnik imenujemo pravilen? Navedite primere pravilnih mnogokotnikov.
4 skupina
Kolikšna je vsota kotov konveksnega n-kotnika? Dokaži.
Učenci delajo z besedilom, iščejo odgovore na zastavljena vprašanja, nakar se oblikujejo strokovne skupine, v katerih poteka delo na istih vprašanjih: učenci izpostavijo bistvene točke, sestavijo pomožni povzetek in predstavijo informacije v enem od grafične oblike. Po končanem delu se učenci vrnejo v svoje delovne skupine.
3. Faza refleksije -
a) ocenjevanje svojega znanja, izziv na naslednjo stopnjo znanja;
b) razumevanje in prisvajanje prejetih informacij.
Recepcija: raziskovalno delo.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Delovne skupine vključujejo strokovnjake, ki odgovarjajo na vsak del predlaganih vprašanj.
Po vrnitvi v delovno skupino strokovnjak druge člane skupine seznani z odgovori na svoja vprašanja. Skupina izmenjuje informacije med vsemi člani delovne skupine. Tako se v vsaki delovni skupini, zahvaljujoč delu strokovnjakov, oblikuje splošno razumevanje teme, ki se preučuje.
Raziskovalno delo študentov - izpolnjevanje tabele.
| Pravilni poligoni | risanje | Število stranic | Število oglišč | Vsota vseh notranjih kotov | Notranja stopnja kota | Stopinjska mera zunanjega kota | Število diagonal |
| A) trikotnik | |||||||
| B) štirikotnik | |||||||
| B) pettaktni | |||||||
| D) šesterokotnik | |||||||
| D) n-kotnik |
Reševanje zanimivih problemov na temo lekcije.
- V štirikotnik nariši ravno črto, tako da ga deli na tri trikotnike.
- Koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, pri čemer vsak njegov notranji kot meri 135 0?
- V določenem mnogokotniku so vsi notranji koti med seboj enaki. Ali je lahko vsota notranjih kotov tega mnogokotnika enaka: 360 0, 380 0?
Povzetek lekcije. Snemanje domačih nalog.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določena oseba ali povezanost z njim.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
V tej lekciji bomo začeli novo temo in predstavili nov koncept za nas: "mnogokotnik". Ogledali si bomo osnovne pojme, povezane s poligoni: stranice, vrhni koti, konveksnost in nekonveksnost. Potem bomo dokazali najpomembnejša dejstva, kot je izrek o vsoti notranjih kotov mnogokotnika, izrek o vsoti zunanjih kotov mnogokotnika. Posledično se bomo približali študiju posebnih primerov poligonov, ki jih bomo obravnavali v nadaljnjih lekcijah.
Tema: Štirikotniki
Lekcija: Mnogokotniki
V tečaju geometrije preučujemo lastnosti geometrijskih likov in smo že pregledali najpreprostejše med njimi: trikotnike in kroge. Obenem smo obravnavali tudi posebne posebne primere teh likov, kot so pravokotni, enakokraki in pravilni trikotnik. Zdaj je čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih številkah - poligoni.
S posebnim primerom poligoniže poznamo - to je trikotnik (glej sliko 1).
riž. 1. Trikotnik
Že samo ime poudarja, da gre za figuro s tremi koti. Zato v mnogokotnik lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišimo peterokotnik (glej sliko 2), tj. figura s petimi vogali.
riž. 2. Pentagon. Konveksni poligon
Opredelitev.Poligon- figura, sestavljena iz več točk (več kot dveh) in ustreznega števila segmentov, ki jih zaporedno povezujejo. Te točke se imenujejo vrhovi mnogokotnik, segmenti pa so stranke. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.
Opredelitev.Pravilni mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vse stranice in koti enaki.
Kaj mnogokotnik deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo. Notranje območje se imenuje tudi mnogokotnik.
Z drugimi besedami, na primer, ko govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njeno mejo. In notranja regija vključuje vse točke, ki ležijo znotraj poligona, tj. točka se nanaša tudi na peterokotnik (glej sliko 2).
Poligone včasih imenujemo tudi n-kotniki, da poudarimo, da je upoštevan splošni primer prisotnosti nekega neznanega števila kotov (n kosov).
Opredelitev. Obod poligona- vsota dolžin stranic mnogokotnika.
Sedaj se moramo seznaniti z vrstami mnogokotnikov. Razdeljeni so na konveksen in nekonveksna. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 je konveksna, na sl. 3 nekonveksne.
riž. 3. Nekonveksni mnogokotnik
Definicija 1. Poligon klical konveksen, če pri risanju ravne črte skozi katero koli njegovo stranico celotno mnogokotnik leži le na eni strani te premice. Nekonveksna so vsi ostali poligoni.
Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse bo na eni strani te ravne črte, tj. je konveksna. Toda pri risanju ravne črte skozi štirikotnik na sl. 3 že vidimo, da ga deli na dva dela, tj. ni konveksen.
Vendar obstaja še ena definicija konveksnosti mnogokotnika.
Definicija 2. Poligon klical konveksen, če so pri izbiri dveh njegovih notranjih točk in povezovanju z odsekom vse točke odseka tudi notranje točke mnogokotnika.
Prikaz uporabe te definicije je prikazan na primeru konstruiranja segmentov na sl. 2 in 3.
Opredelitev. Diagonala mnogokotnika je vsak segment, ki povezuje dve nesosednji točki.
Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva najpomembnejša izreka o njihovih kotih: izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika in izrek o vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika. Poglejmo jih.
Izrek. O vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).
Kje je število njegovih kotov (stranic).
Dokaz 1. Upodabljajmo na sl. 4 konveksni n-kotnik.
riž. 4. Konveksni n-kotnik
Iz oglišča narišemo vse možne diagonale. N-kotnik razdelijo trikotnike, saj vsaka stran mnogokotnika tvori trikotnik, razen stranic, ki mejijo na vrh. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov popolnoma enaka vsoti notranjih kotov n-kotnika. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , je vsota notranjih kotov n-kotnika:
Q.E.D.
Dokaz 2. Možen je še en dokaz tega izreka. Narišimo podoben n-kotnik na sl. 5 in poveži poljubno njegovo notranjo točko z vsemi oglišči.
riž. 5.
Dobili smo razbitje n-kotnika na n trikotnikov (toliko stranic, kolikor je trikotnikov). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:
Q.E.D.
Dokazano.
Po dokazanem izreku je jasno, da je vsota kotov n-kotnika odvisna od števila njegovih stranic (od n). Na primer v trikotniku, vsota kotov pa je . V štirikotniku je vsota kotov itd.
Izrek. O vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).
Kje je število njegovih kotov (stranic), in , …, so zunanji koti.
Dokaz. Upodabljajmo konveksni n-kotnik na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.
riž. 6. Konveksni n-kotnik z določenimi zunanjimi koti
Ker Zunanji vogal je nato povezan z notranjim kot sosednji 
in podobno za preostale zunanje vogale. Nato:
Pri transformacijah smo uporabili že dokazan izrek o vsoti notranjih kotov n-kotnika.
Dokazano.
Iz dokazanega izreka sledi zanimivo dejstvo, da je vsota zunanjih kotov konveksnega n-kotnika enaka 
na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, v nasprotju z vsoto notranjih kotov.
Bibliografija
- Aleksandrov A.D. in drugi Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Domača naloga
Del ravnine, ki ga omejuje sklenjena lomljena črta, imenujemo mnogokotnik.
Segmenti te lomljene črte se imenujejo stranke mnogokotnik. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) so stranice mnogokotnika ABCDE. Vsota vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obseg.
Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani katere koli njegove stranice, neomejeno razširjeno čez obe točki.
Poligon MNPKO (slika 1) ne bo konveksen, saj se nahaja na več kot eni strani premice KR.
Upoštevali bomo samo konveksne mnogokotnike.
Koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici mnogokotnika, se imenujejo njegovi notranji vogali, njihovi vrhovi pa so oglišča mnogokotnika.
Odsek premice, ki povezuje dve nesosednji oglišči mnogokotnika, se imenuje diagonala mnogokotnika.
AC, AD - diagonale poligona (slika 2).
Koti, ki mejijo na notranje kote mnogokotnika, se imenujejo zunanji koti mnogokotnika (slika 3).
Glede na število kotov (stranic) imenujemo mnogokotnik trikotnik, štirikotnik, peterokotnik itd.
Za dva poligona pravimo, da sta skladna, če ju je mogoče združiti s prekrivanjem.
Včrtani in opisani mnogokotniki
Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, se mnogokotnik imenuje vpisana v krog in krog - opisano blizu poligona (slika).
Če se vse strani mnogokotnika dotikajo kroga, se imenuje mnogokotnik opisano o krogu, krog pa se imenuje vpisana v mnogokotnik (sl.).
Podobnost mnogokotnikov
Dva istoimenska mnogokotnika se imenujeta podobna, če sta kota enega od njiju enaka kotom drugega in sta podobni strani mnogokotnikov sorazmerni.
Mnogokotnike z enakim številom stranic (kotov) imenujemo istoimenski mnogokotniki.
Stranice podobnih mnogokotnikov, ki povezujejo oglišča ustrezno enakih kotov, se imenujejo podobne (slika).
Da bi bil na primer mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E', je potrebno, da: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' in poleg tega AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Razmerje obsegov podobnih mnogokotnikov
Najprej razmislite o lastnosti niza enakih razmerij. Vzemimo na primer naslednja razmerja: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.
Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh odnosov, nato vsoto njihovih naslednjih členov in poiščemo razmerje dobljenih vsot, dobimo:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Enako dobimo, če vzamemo vrsto drugih relacij, na primer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3. Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh razmerij in vsote naslednjih, nato pa poiščemo razmerje teh vsot, dobimo:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
V obeh primerih se vsota prejšnjih členov niza enakih relacij nanaša na vsoto naslednjih členov iste vrste, tako kot se prejšnji člen katerega koli od teh relacij nanaša na svojega naslednjega.
To lastnost smo izpeljali z upoštevanjem številnih numeričnih primerov. Lahko se izpelje strogo in v splošni obliki.
Zdaj razmislite o razmerju obsegov podobnih mnogokotnikov.
Naj bo mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A’B’C’D’E’ (slika).
Iz podobnosti teh mnogokotnikov sledi, da
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Na podlagi lastnosti, ki smo jo izpeljali za vrsto enakih razmerij, lahko zapišemo:
Vsota prejšnjih členov relacij, ki smo jih vzeli, predstavlja obseg prvega poligona (P), vsota naslednjih členov teh relacij pa predstavlja obseg drugega poligona (P'), kar pomeni P / P ' = AB / A'B'.
torej Obseg podobnih mnogokotnikov je povezan z njihovimi podobnimi stranicami.
Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov
Naj sta ABCDE in A’B’C’D’E’ podobna mnogokotnika (slika).
Znano je, da ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' in ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Poleg tega
;
Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej
Z uporabo lastnosti niza enakih razmerij dobimo:
oz 
kjer sta S in S' ploščini teh podobnih mnogokotnikov.
torej Ploščine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.
Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S’ = (AB / A’B’) 2
Območje poljubnega poligona
Naj bo treba izračunati površino poljubnega štirikotnika ABC (sl.).
Vanj narišimo diagonalo, na primer AD. Dobimo dva trikotnika ABD in ACD, katerih ploščini lahko izračunamo. Nato poiščemo vsoto ploščin teh trikotnikov. Dobljena vsota bo izrazila površino tega štirikotnika.
Če morate izračunati površino peterokotnika, naredimo isto: narišemo diagonale iz ene od oglišč. Dobimo tri trikotnike, katerih ploščine lahko izračunamo. To pomeni, da lahko najdemo površino tega peterokotnika. Enako storimo pri izračunu površine katerega koli poligona.
Projektirano območje poligona
Spomnimo se, da je kot med premico in ravnino kot med dano premico in njeno projekcijo na ravnino (slika).
Izrek. Območje pravokotne projekcije poligona na ravnino je enako površini projiciranega mnogokotnika, pomnoženemu s kosinusom kota, ki ga tvorita ravnina poligona in projekcijska ravnina.
Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike, katerih vsota površin je enaka površini mnogokotnika. Zato je dovolj dokazati izrek za trikotnik.
Naj se ΔАВС projicira na ravnino R. Razmislimo o dveh primerih:
a) ena od stranic ΔABC je vzporedna z ravnino R;
b) nobena od stranic ΔABC ni vzporedna R.
Razmislimo prvi primer: naj [AB] || R.
Narišimo ravnino skozi (AB) R 1 || R in projicira pravokotno ΔАВС na R 1 in naprej R(riž); dobimo ΔАВС 1 in ΔА'В'С'.
Z lastnostjo projekcije imamo ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' in zato
S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’
Narišimo ⊥ in odsek D 1 C 1 . Potem je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrednost kota med ravnino ΔABC in ravnino R 1. Zato
S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
in torej S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Pojdimo k razmisleku drugi primer. Narišimo letalo R 1 || R skozi tisto oglišče ΔАВС, razdalja od katerega do ravnine R najmanjši (naj bo to oglišče A).
Projicirajmo ΔАВС na ravnino R 1 in R(riž); naj bodo njegove projekcije ΔАВ 1 С 1 oziroma ΔА'В'С'.
Naj bo (BC) ∩ str 1 = D. Potem
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Drugi materiali
