Polinomi - Metodološki vodnik. Naloge za samostojno reševanje

Opredelitev 3.3. monom imenujemo izraz, ki je produkt števil, spremenljivk in potenc z naravnim eksponentom.

Na primer, vsak od izrazov
,
je monom.

Pravijo, da ima monom standardni pogled , če vsebuje samo en numerični faktor na prvem mestu in je vsak produkt enakih spremenljivk v njem predstavljen s stopnjo. Numerični faktor monoma, zapisanega v standardni obliki, se imenuje monomski koeficient . Stopnja monoma je vsota eksponentov vseh svojih spremenljivk.

Opredelitev 3.4. polinom imenujemo vsota monomov. Monomi, ki sestavljajo polinom, se imenujejočleni polinoma .

Podobni členi - monomi v polinomu - se imenujejo podobni členi polinoma .

Opredelitev 3.5. Polinom standardne oblike imenujemo polinom, v katerem so vsi členi zapisani v standardni obliki in so podani podobni členi.Stopnja polinoma standardne oblike poimenuj največjo potenco njegovih monomov.

Na primer, je polinom standardne oblike četrte stopnje.

Dejanja na monome in polinome

Vsoto in razliko polinomov je mogoče pretvoriti v polinom standardne oblike. Pri seštevanju dveh polinomov so zapisani vsi njuni členi in podani podobni členi. Pri odštevanju se predznaki vseh členov polinoma, ki ga je treba odšteti, zamenjajo.

Na primer:

Člane polinoma lahko razdelimo v skupine in jih zapišemo v oklepaje. Ker je to identična transformacija inverzna razširitvi v oklepaje, je ugotovljeno naslednje: pravilo oklepaja: če je pred oklepajem znak plus, so vsi izrazi v oklepaju zapisani s svojimi predznaki; če je pred oklepajem znak minus, so vsi izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

na primer

Pravilo za množenje polinoma s polinomom: da pomnožimo polinom s polinomom, je dovolj, da pomnožimo vsak člen enega polinoma z vsakim členom drugega polinoma in seštejemo nastale produkte.

na primer

Opredelitev 3.6. Polinom v eni spremenljivki stopnja se imenuje izraz oblike

Kje
- vse klicane številke polinomski koeficienti , in
,je nenegativno celo število.

če
, nato koeficient klical vodilni koeficient polinoma
, monom
- njegov starejši član , koeficient – brezplačen član .

Če namesto spremenljivke v polinom
nadomesti realno število , potem je rezultat realno število
, ki se imenuje polinomska vrednost
pri
.

Opredelitev 3.7. številka klicalpolinomski koren
, Če
.

Razmislite o delitvi polinoma s polinomom, kjer je
in - cela števila. Deljenje je možno, če je stopnja deljivega polinoma
ne manjša od stopnje polinoma delitelja
, to je
.

Deli polinom
na polinom
,
, pomeni najti dva taka polinoma
in
, do

Hkrati pa polinom
stopnja
klical kvocientni polinom ,
– ostanek ,
.

Opomba 3.2. Če je delitelj
–ni ničelni polinom, potem deljenje
na
,
, je vedno izvedljivo, količnik in ostanek pa sta enolično določena.

Opomba 3.3. V primeru, ko
za vse , to je

reci, da je polinom
popolnoma razdeljen(ali delite)na polinom
.

Deljenje polinomov poteka podobno kot pri deljenju večvrednih števil: najprej se starejši člen deljivega polinoma deli s starejšim členom delitelja polinoma, nato se količnik delitve teh členov, ki bo starejši člen kvocienta polinoma, pomnoži s deliteljem polinoma in dobljeni produkt odšteje od deljivega polinoma. Kot rezultat dobimo polinom - prvi ostanek, ki ga na enak način delimo s polinomom delitelja in najdemo drugi člen kvocientnega polinoma. Ta postopek se nadaljuje, dokler ne dobimo ostanka nič ali dokler ni stopnja polinoma ostanka manjša od stopnje polinoma delitelja.

Pri delitvi polinoma z binomom lahko uporabite Hornerjevo shemo.

Hornerjeva shema

Naj bo potrebno deliti polinom

v binom
. Kvocient deljenja označimo kot polinom

in ostanek je . Pomen , koeficienti polinomov
,
in preostanek pišemo v naslednji obliki:

V tej shemi je vsak od koeficientov
,
,
, …,dobimo iz prejšnjega števila spodnje vrstice z množenjem s številom in dodajanje dobljenemu rezultatu ustrezne številke zgornje vrstice nad želenim koeficientom. Če kakšna diploma v polinomu ni, potem je ustrezni koeficient enak nič. Ko določimo koeficiente po zgornji shemi, zapišemo količnik

in rezultat deljenja, če
,

ali,

če
,

Izrek 3.1. Za nezmanjšani ulomek (

,

)je bil koren polinoma
s celimi koeficienti je potrebno, da število je bil delilec prostega roka , in številko - delitelj najvišjega koeficienta .

Izrek 3.2. (Bezoutov izrek ) Ostanek od deljenja polinoma
v binom
enaka vrednosti polinoma
pri
, to je
.

Pri deljenju polinoma
v binom
imamo enakost

Še posebej velja za
, to je
.

Primer 3.2. Razdeli po
.

rešitev. Uporabimo Hornerjevo shemo:

torej

Primer 3.3. Razdeli po
.

rešitev. Uporabimo Hornerjevo shemo:

torej

,

Primer 3.4. Razdeli po
.

rešitev.

Kot rezultat dobimo

Primer 3.5. Razdeli
na
.

rešitev. Izvedemo delitev polinomov s stolpcem:

Potem dobimo

.

Včasih je koristno predstaviti polinom kot enak zmnožek dveh ali več polinomov. Takšna enaka transformacija se imenuje faktorizacija polinoma . Razmislimo o glavnih načinih takšne razgradnje.

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja. Da faktoriziramo polinom tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja, je potrebno:

1) poiščite skupni faktor. Da bi to naredili, če so vsi koeficienti polinoma cela števila, se največji modulo skupni delitelj vseh koeficientov polinoma šteje za koeficient skupnega faktorja in vsaka spremenljivka, vključena v vse člene polinoma, se vzame z najvišjim eksponentom, ki ga ima v tem polinomu;

2) poiščite količnik deljenja danega polinoma s skupnim faktorjem;

3) zapišite zmnožek skupnega faktorja in dobljenega količnika.

združevanje članov. Pri razgradnji polinoma na faktorje z metodo združevanja v skupine njegove člane razdelimo v dve ali več skupin tako, da je vsako od njih mogoče pretvoriti v zmnožek, nastali produkti pa bi imeli skupni faktor. Nato se uporabi metoda oklepajev skupnega faktorja na novo transformiranih členov.

Uporaba formul za skrajšano množenje. V primerih, ko je polinom, ki ga je treba razstaviti faktorizirana, ima obliko desne strani poljubne skrajšane formule za množenje, njeno faktorizacijo dosežemo z uporabo ustrezne formule, zapisane v drugačnem vrstnem redu.

Pustiti

, potem velja naslednje. formule za skrajšano množenje:

Za :
če Čuden ( ):
Newtonov binom: Kje - število kombinacij Avtor: .

Uvedba novih pomožnih članov. Ta metoda je sestavljena iz dejstva, da se polinom nadomesti z drugim polinomom, ki mu je enako enak, vendar vsebuje različno število členov, z uvedbo dveh nasprotnih členov ali zamenjavo katerega koli člana z vsoto podobnih monomov, ki so mu enako enaki. Zamenjava je izvedena tako, da je na dobljeni polinom mogoče uporabiti metodo združevanja členov.

Primer 3.6..

rešitev. Vsi členi polinoma vsebujejo skupni faktor
. Zato,.

odgovor: .

Primer 3.7.

rešitev. Posebej združujemo člene, ki vsebujejo koeficient , in člani, ki vsebujejo . Če oklepamo skupne faktorje skupin, dobimo:

.

odgovor:
.

Primer 3.8. Faktoriziraj polinom
.

rešitev. Z ustrezno formulo za skrajšano množenje dobimo:

odgovor: .

Primer 3.9. Faktoriziraj polinom
.

rešitev. Z uporabo metode združevanja in ustrezne formule za skrajšano množenje dobimo:

.

odgovor: .

Primer 3.10. Faktoriziraj polinom
.

rešitev. Zamenjajmo na
, združite člane, uporabite skrajšane formule za množenje:

.

odgovor:
.

Primer 3.11. Faktoriziraj polinom

rešitev. Ker ,
,
, To

Tema lekcije:

Polinomi v eni spremenljivki.

11. razred

Učiteljica matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Srednja šola št. 110"

Razmislite o polinomih:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Ti polinomi so zapisani v standardni obliki.

Polinom standardne oblike ne vsebuje takih členov in je zapisan v padajočem vrstnem redu potenc svojih členov.

P(x)= a p X p +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

Kje A 0 , A 1 , A 2 …. A p – nekaj številk in A p  0, str 

A p X p – višji člen polinoma

A p – koeficient pri starejši

član

p – stopnja polinoma

A 0 – prosti člen polinoma

P(x)= a p X p +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

če

A p =1 ,

nato polinom P (x) - zmanjšano

primer: x+3; X 5 +3x 2 -4

A p ≠1 ,

nato polinom P (x) - nereducirano

primer: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Izrek 1:

Dva polinoma ( standardni pogled) sta identično enaka, če sta njuni potenci enaki in koeficienti enaki pri enakih potencah x.

Naloga #1

Poiščite števili a in b, če sta polinomski X 3 + 6x 2 + sekira + b enak kubu binoma x + 2

Operacije na polinomih:

1. Seštevanje in odštevanje.

Če seštejemo (odštejemo) dva polinoma različnih stopenj, dobimo polinom, katerega stopnja je enaka največji od razpoložljivih stopenj.

Naloga št. 2

Poiščite vsoto polinomov

x+3 in -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije na polinomih:

1. Seštevanje in odštevanje.

Če seštejemo (odštejemo) dva polinoma iste stopnje, dobimo polinom iste ali nižje stopnje.

Naloga #3

Poišči vsoto in razliko polinomi

2x 3 +3x 2 -x in -2x 3 +3x-4

Operacije na polinomih:

2. Umetnina.

Če ima polinom p(x) najvišjo stopnjo m, polinom s(x) pa stopnjo n, potem je njun produkt p(x)∙ s(x) ima stopnjo m+n.

Naloga št. 4

Najdi kos polinomi

x+3 in -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije na polinomih:

3. Potenciranje.

Če polinom p(x) stopnje m dvignemo na stopnjo n, potem dobimo polinom stopnje mn.

Naloga št. 5

Povečaj polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 na kvadrat

Operacije na polinomih:

4. Delitev polinoma je polinom.

Če je polinom p(x) deljiv z neničelnim polinomom s(x), če obstaja tak polinom q(x), da velja istovetnost:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – deljivo (ali večkratno)

s(x) - delitelj

q(x) -kvocient

Način delitve po vogalu

Deli polinom 8x 2 +10x–3 na polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Naloga št. 6

Deli polinom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 na polinom 3x -1

Naloga št. 7

Deli polinom X 3 – 3x 2 + 5x - 15 na polinom x - 3

Naloga št. 8

Deli polinom X 4 + 4 na polinom X 2 + 2x + 2

Lekcija na temo: "Pojem in definicija polinoma. Standardna oblika polinoma"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov. Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronski učbenik o učbeniku Yu.N. Makarychev
Elektronski učbenik na učbeniku Sh.A. Alimova

Fantje, monome ste že preučevali v temi: Standardna oblika monoma. Definicije. Primeri. Povzemimo osnovne definicije.

Monomal- izraz, sestavljen iz produkta števil in spremenljivk. Spremenljivke lahko dvignemo na naravne potence. Monom ne vsebuje nobenih drugih operacij, razen množenja.

Standardna oblika monoma- taka oblika, ko je na prvem mestu koeficient (številčni faktor), nato pa stopnje različnih spremenljivk.

Podobni monomi so bodisi enaki monomi bodisi monomi, ki se med seboj razlikujejo za faktor.

Koncept polinoma

Polinom je tako kot monom posplošeno ime za matematične izraze določene vrste. S takimi posplošitvami smo se že srečali. Na primer "vsota", "zmnožek", "potenciranje". Ko slišimo "razlika števil", nam misel na množenje ali deljenje sploh ne pride na misel. Tudi polinom je izraz strogo določene oblike.

Definicija polinoma

Polinom je vsota monomov.

Monomi, ki sestavljajo polinom, se imenujejo členi polinoma. Če sta dva člena, potem imamo opravka z binomom, če so trije, pa s trinomom. Če je povedanih več izrazov - polinom.

Primeri polinomov.

1) 2ab + 4cd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Poglejmo natančno zadnji izraz. Po definiciji je polinom vsota monomov, vendar v zadnjem primeru ne le seštevamo, ampak tudi odštevamo monome.
Za pojasnitev si poglejmo majhen primer.

Zapišimo izraz a + b - c(strinjajmo se s tem a ≥ 0, b ≥ 0 in c ≥ 0) in odgovori na vprašanje: ali je vsota ali razlika? Težko povem.
Dejansko, če prepišemo izraz kot a + b + (-c), dobimo vsoto dveh pozitivnih in enega negativnega člena.
Če pogledate naš primer, potem imamo opravka ravno z vsoto monomov s koeficienti: 3, - 2, 7, -5. V matematiki obstaja izraz "algebraična vsota". Tako definicija polinoma pomeni "algebraična vsota".

Toda zapis oblike 3a: b + 7 s polinomom ni, ker 3a: b ni monom.
Tudi zapis 3b + 2a * (c 2 + d) ni polinom, saj 2a * (c 2 + d) ni monom. Če odprete oklepaje, bo dobljeni izraz polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Stopnja polinoma je najvišja stopnja njenih članov.
Polinom a 3 b 2 + a 4 ima peto stopnjo, saj je stopnja monoma a 3 b 2 2 + 3 \u003d 5, stopnja monoma a 4 pa 4.

Standardna oblika polinoma

Polinom, ki nima podobnih členov in je zapisan v padajočem vrstnem redu stopenj členov polinoma, je polinom standardne oblike.

Polinom se prenese v standardno obliko, da se odstrani pretirana okornost pisanja in poenostavi nadaljnja dejanja z njim.

Res, zakaj bi na primer napisali dolg izraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, če pa ga lahko zapišemo krajše od 9b 2 + 3a 2 + 8.

Če želite polinom prenesti v standardno obliko, potrebujete:
1. vse svoje člane pripelje do standardnega obrazca,
2. dodamo podobne (enake ali z različnim številčnim koeficientom) člene. Ta postopek se pogosto imenuje prinašanje podobnih.

Primer.
Pripravite polinom aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 v standardno obliko.

rešitev.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Določimo stopnje monomov, ki sestavljajo izraz, in jih uredimo v padajočem vrstnem redu.
11a 2 b ima tretjo stopnjo, 3 x 5 y 2 ima sedmo stopnjo, 14 ima ničelno stopnjo.
Torej, na prvo mesto bomo postavili 3 x 5 y 2 (7. stopnja), na drugo - 12a 2 b (3. stopnja) in na tretje - 14 (ničelna stopnja).
Kot rezultat dobimo polinom standardne oblike 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Primeri za samostojno reševanje

Pripeljite polinome v standardno obliko.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Dopisna šola 7. razred. Naloga številka 2.

Metodični priročnik št. 2.

Teme:

Polinomi. Vsota, razlika in produkt polinomov;

Reševanje enačb in problemov;

Faktorizacija polinomov;

Formule za skrajšano množenje;

Naloge za samostojno reševanje.

Polinomi. Vsota, razlika in produkt polinomov.

Opredelitev. polinom imenujemo vsota monomov.

Opredelitev. Monomi, ki sestavljajo polinom, se imenujejo členi polinoma.

Množenje monoma s polinomom .

Za množenje monoma s polinomom je treba ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma in sešteti nastale produkte.

Množenje polinoma s polinomom .

Za množenje polinoma s polinomom je treba vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma in sešteti nastale produkte.

Primeri reševanja nalog:

Poenostavite izraz:

rešitev.

rešitev:

Ker je glede na pogoj koeficient pri potem bi moralo biti nič

Odgovori: -1.

Rešitev enačb in problemov.

Opredelitev . Enačba, ki vsebuje spremenljivko, se imenuje ena spremenljiva enačba oz enačba z eno neznanko.

Opredelitev . Koren enačbe (rešitev enačbe) je vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane prava enakost.

Reševanje enačbe pomeni iskanje niza korenin.

Opredelitev. Vrsta enačbe
, Kje X spremenljivka, a in b - nekatera števila imenujemo linearna enačba z eno spremenljivko.

Opredelitev.

Kup koreni linearne enačbe lahko:

Primeri reševanja problemov:

Ali je dano število 7 koren enačbe:

rešitev:

Torej je x=7 koren enačbe.

Odgovori: ja

Reši enačbe:

rešitev:
Odgovor: -12		Odgovor: -0,4

S pomola v mesto je krenil čoln s hitrostjo 12 km/h, čez pol ure pa je v to smer krenil parnik s hitrostjo 20 km/h. Kolikšna je razdalja od pomola do mesta, če je parnik prispel v mesto 1,5 ure prej kot čoln?

rešitev:

Naj bo x razdalja od pristanišča do mesta.

	Hitrost (km/h)	Čas (h)	Pot (km)
Čoln
parnik

Glede na pogoj problema je čoln porabil 2 uri več časa kot parnik (saj je parnik odplul s pomola pol ure kasneje in prispel v mesto 1,5 ure prej kot čoln).

Sestavimo in rešimo enačbo:

60 km - razdalja od pomola do mesta.

Odgovor: 60 km.

Dolžina pravokotnika se zmanjša za 4 cm in dobi se kvadrat, katerega površina je manjša od površine pravokotnika za 12 cm². Poiščite površino pravokotnika.

rešitev:

Naj bo x stranica pravokotnika.

	Dolžina	Premer	kvadrat
Pravokotnik			x(x-4)
kvadrat			(x-4)(x-4)

Glede na pogoj problema je površina kvadrata manjša od površine pravokotnika za 12 cm².

Sestavimo in rešimo enačbo:

7 cm je dolžina pravokotnika.

(cm²) je površina pravokotnika.

Odgovor: 21 cm².

Turisti so načrtovano pot prehodili tri dni. Prvi dan so prevozili 35% načrtovane poti, drugi - 3 km več kot prvi, tretji - preostalih 21 km. Kakšna je dolžina poti?

rešitev:

Naj bo x dolžina celotne poti.

	1 dan	2 dan	3 dan
Dolžina poti		0,35x+3
Skupna dolžina poti je bila x km.

Tako sestavimo in rešimo enačbo:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km dolžine celotne poti.

Odgovor: 70 km.

Faktorizacija polinomov.

Opredelitev . Predstavitev polinoma kot produkta dveh ali več polinomov imenujemo faktorizacija.

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja .

Primer :

Metoda združevanja .

Združevanje v skupine mora biti izvedeno tako, da ima vsaka skupina skupni faktor, poleg tega pa morajo imeti skupni faktor po izločitvi skupnega faktorja v vsaki skupini tudi dobljeni izrazi skupni faktor.

Primer :

Formule za skrajšano množenje.

Zmnožek razlike dveh izrazov in njune vsote je enak razliki kvadratov teh izrazov.

Kvadrat vsote dveh izrazov je enak kvadratu prvega izraza plus dvakratni produkt prvega in drugega izraza plus kvadrat drugega izraza. rešitve. 1. Poišči ostanek pri deljenju polinom x6 - 4x4 + x3 ... nima odločitve, A odločitve drugo pa so pari (1; 2) in (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Naloge Za neodvisen rešitve. Rešite sistem ...

• Zgledni učni načrt Algebra in Začetki analize za 10.–11. razred (profilna raven) Pojasnilo

  Program

  Vsak odstavek podaja zahtevano številko naloge Za neodvisen rešitve po naraščajoči kompleksnosti. ... algoritem razgradnje polinom v potencah binoma; polinomi s kompleksnimi koeficienti; polinomi s pravim...

• Izbirni predmet »Reševanje nestandardnih nalog. 9. razred "Izpolnila učiteljica matematike

  izbirni predmet

  Enačba je enakovredna enačbi Р(х) = Q(X), kjer sta Р(х) in Q(x) nekaj polinomi z eno spremenljivko x.Premik Q(x) na levo stran... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. NALOGE ZA NEODVISNA REŠITVE. Rešite naslednje enačbe: x4 - 8x...

• Izbirni program matematika za 8. razred

  Program

  Algebra izrek, Vieta izrek Za kvadratni trinom in Za polinom poljubna stopnja, racionalni izrek ... stvari. Ne samo seznam naloge Za neodvisen rešitve, ampak tudi naloga izdelati pometalni model ...