Kakšna je meja definicije funkcije. Limit funkcije – definicije, izreki in lastnosti
Omejitve povzročajo vsem študentom matematike veliko težav. Če želite rešiti limit, morate včasih uporabiti veliko trikov in med različnimi metodami rešitve izbrati točno tisto, ki je primerna za določen primer.
V tem članku vam ne bomo pomagali razumeti meja vaših zmožnosti ali razumeti meje nadzora, ampak bomo poskušali odgovoriti na vprašanje: kako razumeti meje v višji matematiki? Razumevanje pride z izkušnjami, zato bomo hkrati podali več podrobnih primerov reševanja limitov z razlago.
Koncept limita v matematiki
Prvo vprašanje je: kaj je ta meja in meja česa? Lahko govorimo o mejah številskih zaporedij in funkcij. Zanima nas pojem limita funkcije, saj se učenci s tem najpogosteje srečujejo. Toda najprej najsplošnejša definicija omejitve:
Recimo, da obstaja neka spremenljiva vrednost. Če se ta vrednost v procesu spreminjanja neomejeno približuje določenemu številu a , To a – meja te vrednosti.
Za funkcijo, definirano v določenem intervalu f(x)=y takšno število imenujemo meja A h kateremu funkcija teži, ko X , ki teži do določene točke A . Pika A pripada intervalu, na katerem je funkcija definirana.
Sliši se okorno, a je napisano zelo preprosto:
Lim- iz angleščine omejitev- omejitev.
Obstaja tudi geometrijska razlaga za določitev meje, vendar se tukaj ne bomo spuščali v teorijo, saj nas bolj kot teoretična zanima praktična plat vprašanja. Ko to rečemo X teži k neki vrednosti, to pomeni, da spremenljivka ne prevzame vrednosti števila, ampak se ji približuje neskončno blizu.
Navedimo konkreten primer. Naloga je najti mejo.
Za rešitev tega primera zamenjamo vrednost x=3 v funkcijo. Dobimo:
Mimogrede, če vas zanimajo osnovne operacije na matricah, preberite ločen članek o tej temi.
V primerih X se lahko nagiba k kateri koli vrednosti. Lahko je poljubno število ali neskončnost. Tukaj je primer, ko X teži v neskončnost:
Intuitivno velja, da večje kot je število v imenovalcu, manjšo vrednost bo imela funkcija. Torej, z neomejeno rastjo X pomen 1/x se bo zmanjšala in približala ničli.
Kot lahko vidite, morate za rešitev meje samo nadomestiti vrednost, ki jo želite doseči, v funkcijo X . Vendar je to najpreprostejši primer. Pogosto iskanje meje ni tako očitno. Znotraj meja obstajajo negotovosti tipa 0/0 oz neskončnost/neskončnost . Kaj storiti v takih primerih? Zateči se k trikom!
Negotovosti znotraj
Negotovost oblike neskončnost/neskončnost
Naj bo meja:
Če poskušamo v funkcijo nadomestiti neskončnost, dobimo neskončnost tako v števcu kot v imenovalcu. Na splošno je vredno povedati, da obstaja določen element umetnosti pri reševanju takih negotovosti: opaziti morate, kako lahko funkcijo preoblikujete tako, da negotovost izgine. V našem primeru delimo števec in imenovalec z X v višji stopnji. Kaj se bo zgodilo?
Iz primera, o katerem smo že govorili zgoraj, vemo, da bodo členi, ki vsebujejo x v imenovalcu, težili k ničli. Potem je rešitev meje:
Za razrešitev tipskih negotovosti neskončnost/neskončnost delite števec in imenovalec z X do najvišje stopnje.
Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust na kakršno koli delo
Druga vrsta negotovosti: 0/0
Kot vedno, zamenjava vrednosti v funkciji x=-1 daje 0 v števcu in imenovalcu. Poglejte malo bolj natančno in opazili boste, da imamo v števcu kvadratno enačbo. Poiščimo korenine in zapišimo:
Zmanjšajmo in dobimo:
Torej, če se soočate z vrsto negotovosti 0/0 – razčlenimo števec in imenovalec.
Za lažje reševanje primerov predstavljamo tabelo z omejitvami nekaterih funkcij:
L'Hopitalovo pravilo znotraj
Še en učinkovit način za odpravo obeh vrst negotovosti. Kaj je bistvo metode?
Če obstaja negotovost v meji, jemljite odvod števca in imenovalca, dokler negotovost ne izgine.
L'Hopitalovo pravilo izgleda takole:
Pomembna točka : meja, v kateri morajo biti izpeljanke števca in imenovalca namesto števca in imenovalca.
In zdaj - pravi primer:
Obstaja tipična negotovost 0/0 . Vzemimo izpeljanke števca in imenovalca:
Voila, negotovost se reši hitro in elegantno.
Upamo, da boste te informacije lahko koristno uporabili v praksi in našli odgovor na vprašanje "kako rešiti limite v višji matematiki." Če morate izračunati limit zaporedja ali limit funkcije v točki, pa za to delo nikakor ni časa, se za hitro in natančno rešitev obrnite na strokovni študentski servis.
Upoštevajte funkcijo %%f(x)%% definirano vsaj v neki preluknjani soseski %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% točke %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% razširjena številska premica.
Koncept Cauchyjeve meje
Pokliče se število %%A \in \mathbb(R)%%. omejitev funkcije%%f(x)%% v točki %%a \in \mathbb(R)%% (ali pri %%x%% s tendenco k %%a \in \mathbb(R)%%), če, kaj Ne glede na pozitivno število %%\varepsilon%%, obstaja pozitivno število %%\delta%% tako, da so za vse točke v preluknjani %%\delta%% okolici točke %%a%% vrednosti funkcije pripadajo %%\varepsilon %%-soseski točke %%A%%, oz
$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$
Ta definicija se imenuje %%\varepsilon%% in %%\delta%% definicija, ki jo je predlagal francoski matematik Augustin Cauchy in se uporablja od začetka 19. stoletja do danes, ker ima potrebno matematično strogost in natančnost.
Združevanje različnih sosesk točke %%a%% oblike %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ besedilo (U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% z okolico %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, dobimo 24 definicij Cauchyjeve meje.
Geometrijski pomen
Geometrijski pomen limita funkcije
Ugotovimo, kakšen je geometrijski pomen limite funkcije v točki. Zgradimo graf funkcije %%y = f(x)%% in na njem označimo točki %%x = a%% in %%y = A%%.
Limita funkcije %%y = f(x)%% v točki %%x \to a%% obstaja in je enaka A, če za katero koli %%\varepsilon%% okolico točke %%A%% lahko določite takšno %%\ delta%%-sosesko točke %%a%%, tako da je za vsak %%x%% iz te %%\delta%%-soseske vrednost %%f(x)% % bo v %%\varepsilon%%-točkah soseske %%A%%.
Upoštevajte, da glede na definicijo limite funkcije po Cauchyju za obstoj limite pri %%x \to a%%, ni pomembno, kakšno vrednost ima funkcija v točki %%a%%. Navedemo lahko primere, ko funkcija ni definirana, ko je %%x = a%% ali sprejme vrednost, ki ni %%A%%. Vendar je lahko omejitev %%A%%.
Določitev Heinejeve meje
Element %%A \in \overline(\mathbb(R))%% se imenuje limita funkcije %%f(x)%% pri %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , če je za katero koli zaporedje %%\(x_n\) \to a%% iz domene definicije zaporedje ustreznih vrednosti %%\big\(f(x_n)\big\)% % se nagiba k %%A%%.
Definicija limite po Heineju je primerna za uporabo, ko se pojavijo dvomi o obstoju limita funkcije na dani točki. Če je mogoče sestaviti vsaj eno zaporedje %%\(x_n\)%% z mejo v točki %%a%%, tako da je zaporedje %%\big\(f(x_n)\big\)%% nima omejitve, potem lahko sklepamo, da funkcija %%f(x)%% na tej točki nima omejitve. Če za dva različno zaporedja %%\(x"_n\)%% in %%\(x""_n\)%% z enako omejitev %%a%%, zaporedja %%\big\(f(x"_n)\big\)%% in %%\big\(f(x""_n)\big\)%% imajo različno meje, potem tudi v tem primeru ni limita funkcije %%f(x)%%.
Primer
Naj bo %%f(x) = \sin(1/x)%%. Preverimo, ali limita te funkcije obstaja v točki %%a = 0%%.
Najprej izberimo zaporedje $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\desno\), ki konvergira k tej točki. $$
Jasno je, da je %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% in %%\lim (x_n) = 0%%. Potem je %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% in %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.
Nato vzemite zaporedje, ki konvergira k isti točki $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \desno\), $$
za katerega je %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \ekviv 1%% in %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Podobno za zaporedje $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \desno\), $$
prav tako konvergira v točko %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.
Vsa tri zaporedja so dala različne rezultate, kar je v nasprotju s pogojem Heinejeve definicije, tj. ta funkcija nima omejitve v točki %%x = 0%%.
Izrek
Cauchyjeva in Heinejeva definicija meje sta enakovredni.
Podana je formulacija glavnih izrekov in lastnosti limita funkcije. Podane so definicije končnih in neskončnih mej na končnih točkah in v neskončnosti (dvostransko in enostransko) po Cauchyju in Heineju. Upoštevane so aritmetične lastnosti; izreki v zvezi z neenakostmi; Cauchyjev konvergenčni kriterij; meja kompleksne funkcije; lastnosti infinitezimalnih, neskončno velikih in monotonih funkcij. Podana je definicija funkcije.
VsebinaDruga definicija po Cauchyju
Meja funkcije (po Cauchyju), ko njen argument x teži k x 0 je končno število ali točka v neskončnosti a, za katero so izpolnjeni naslednji pogoji:1) obstaja taka preluknjana okolica točke x 0 , na katerem je funkcija f (x) odločen;
2) za vsako okolico točke a, ki pripada , obstaja taka preluknjana okolica točke x 0 , na kateri vrednosti funkcije pripadajo izbrani okolici točke a:
ob .
Tukaj a in x 0
so lahko tudi končna števila ali točke v neskončnosti. Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko to definicijo zapišemo na naslednji način:
.
Če vzamemo levo ali desno okolico končne točke kot množico, dobimo definicijo Cauchyjeve meje na levi ali desni.
Izrek
Cauchyjeva in Heinejeva definicija limite funkcije sta enakovredni.
Dokaz
Uporabne soseske točk
Potem pa Cauchyjeva definicija pravzaprav pomeni naslednje.
Za poljubna pozitivna števila obstajajo števila, tako da za vse x, ki pripadajo preluknjani okolici točke :, vrednosti funkcije pripadajo okolici točke a: ,
Kje , .
Ta definicija ni zelo priročna za delo, saj so soseske definirane s štirimi številkami. Vendar ga je mogoče poenostaviti z uvedbo sosesk z enako oddaljenimi konci. To pomeni, da lahko postavite ,. Potem bomo dobili definicijo, ki jo je lažje uporabiti pri dokazovanju izrekov. Poleg tega je enakovredna definiciji, v kateri se uporabljajo poljubne soseske. Dokaz tega dejstva je podan v razdelku "Ekvivalentnost Cauchyjevih definicij limita funkcije".
Potem lahko podamo enotno definicijo limite funkcije na končnih in neskončno oddaljenih točkah:
.
Tukaj za končne točke
;
;
.
Vsaka soseska točk v neskončnosti je preluknjana:
;
;
.
Končne meje funkcije na končnih točkah
Število a imenujemo limita funkcije f (x) v točki x 0 , Če1) funkcija je definirana na neki preluknjani okolici končne točke;
2) za vsako obstaja tako, da je odvisno od , tako da za vse x, za katere , velja neenakost
.
Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko definicijo limite funkcije zapišemo takole:
.
Enostranske omejitve.
Leva meja v točki (levostranska meja):
.
Desna meja na točki (desna meja):
.
Leva in desna meja sta pogosto označeni na naslednji način:
;
.
Končne meje funkcije v neskončnih točkah
Meje v točkah v neskončnosti so določene na podoben način.
.
.
.
Neskončne omejitve funkcij
Uvedete lahko tudi definicije neskončnih mej določenih znakov, ki so enaki in :
.
.
Lastnosti in izreki limita funkcije
Nadalje predpostavljamo, da so obravnavane funkcije definirane v ustrezni preluknjani okolici točke , ki je končno število ali eden od simbolov: . Lahko je tudi enostranska mejna točka, torej ima obliko ali . Soseska je dvostranska za dvostransko mejo in enostranska za enostransko mejo.
Osnovne lastnosti
Če so vrednosti funkcije f (x) spremenite (ali naredite nedefinirano) končno število točk x 1, x 2, x 3, ... x n, potem ta sprememba ne bo vplivala na obstoj in vrednost limite funkcije v poljubni točki x 0 .
Če obstaja končna meja, potem obstaja preluknjana okolica točke x 0
, na katerem je funkcija f (x) omejeno:
.
Naj ima funkcija v točki x 0
končna neničelna meja:
.
Potem za poljubno število c iz intervala obstaja taka preluknjana okolica točke x 0
, kaj za ,
, Če ;
, Če .
Če je na neki preluknjani okolici točke , konstanta, potem .
Če obstajajo končne meje in in na neki preluknjani okolici točke x 0
,
to.
Če , in na neki okolici točke
,
to.
Še posebej, če je v neki okolici točke
,
potem če , potem in ;
če , potem in .
Če na neki preluknjani okolici točke x 0
:
,
in obstajajo končne (ali neskončne določenega predznaka) enake meje:
, To
.
Dokazi o glavnih lastnostih so navedeni na strani
"Osnovne lastnosti limita funkcije."
Naj sta funkciji in definirani v neki preluknjani okolici točke . In naj bodo končne meje:
In .
In naj bo C konstanta, to je dano število. Potem
;
;
;
, Če .
Če, potem.
Na strani so podani dokazi o aritmetičnih lastnostih
"Aritmetične lastnosti limita funkcije".
Cauchyjev kriterij obstoja limita funkcije
Izrek
Da bi bila funkcija definirana na neki preluknjani soseski končne ali neskončne točke x 0
, imel na tej točki končno mejo, je nujno in zadostno, da za vsak ε > 0
obstajala je taka preluknjana okolica točke x 0
, da za poljubne točke in iz te soseske velja neenakost:
.
Limit kompleksne funkcije
Izrek o limiti kompleksne funkcije
Naj ima funkcija limito in preslikamo preluknjano okolico točke v preluknjano okolico točke. Naj bo funkcija definirana na tej soseski in ima na njej limit.
Tu so končne ali neskončno oddaljene točke: . Soseske in njihove ustrezne meje so lahko dvostranske ali enostranske.
Potem obstaja limita kompleksne funkcije in je enaka:
.
Limitni izrek kompleksne funkcije se uporabi, kadar funkcija ni definirana v točki ali ima vrednost, ki je drugačna od limite. Za uporabo tega izreka mora obstajati preluknjana soseska točke, kjer niz vrednosti funkcije ne vsebuje točke:
.
Če je funkcija zvezna v točki , lahko znak zvezne vrednosti uporabimo za argument zvezne funkcije:
.
Sledi izrek, ki ustreza temu primeru.
Izrek o limiti zvezne funkcije funkcije
Naj obstaja limita funkcije g (x) kot x → x 0
, in je enaka t 0
:
.
Tukaj je točka x 0
lahko končno ali neskončno oddaljeni: .
In naj funkcija f (t) zvezna v točki t 0
.
Potem obstaja limita kompleksne funkcije f (g(x)), in je enako f (t 0):
.
Dokazi izrekov so podani na strani
"Limit in kontinuiteta kompleksne funkcije".
Infinitezimalne in neskončno velike funkcije
Infinitezimalne funkcije
Opredelitev
Za funkcijo pravimo, da je infinitezimalna, če
.
Vsota, razlika in zmnožek končnega števila infinitezimalnih funkcij pri je infinitezimalna funkcija pri .
Produkt omejene funkcije na neki preluknjani okolici točke je na infinitezimalno pri infinitezimalna funkcija pri .
Da ima funkcija končno mejo, je potrebno in zadostuje, da
,
kjer je infinitezimalna funkcija pri .
"Lastnosti infinitezimalnih funkcij".
Neskončno velike funkcije
Opredelitev
Za funkcijo pravimo, da je neskončno velika, če
.
Vsota ali razlika omejene funkcije na neki preluknjani okolici točke in neskončno velike funkcije pri je neskončno velika funkcija pri .
Če je funkcija neskončno velika za in je funkcija omejena na neko preluknjano okolico točke, potem
.
Če funkcija , na neki preluknjani okolici točke , izpolnjuje neenakost:
,
in funkcija je infinitezimalna pri:
, in (na neki preluknjani okolici točke), potem
.
Dokazi o lastnostih so predstavljeni v razdelku
"Lastnosti neskončno velikih funkcij".
Razmerje med neskončno velikimi in infinitezimalnimi funkcijami
Iz prejšnjih dveh lastnosti sledi povezava med neskončno velikimi in infinitezimalnimi funkcijami.
Če je funkcija neskončno velika pri , potem je funkcija infinitezimalna pri .
Če je funkcija neskončno majhna za in , potem je funkcija neskončno velika za .
Razmerje med infinitezimalno in neskončno veliko funkcijo lahko izrazimo simbolično:
,
.
Če ima infinitezimalna funkcija določen predznak pri , to je, da je pozitivna (ali negativna) na neki preluknjani okolici točke , potem lahko to dejstvo izrazimo na naslednji način:
.
Na enak način, če ima neskončno velika funkcija določen predznak pri , potem pišejo:
.
Potem lahko simbolno povezavo med neskončno majhnimi in neskončno velikimi funkcijami dopolnimo z naslednjimi relacijami:
,
,
,
.
Dodatne formule, ki se nanašajo na simbole neskončnosti, najdete na strani
"Točke v neskončnosti in njihove lastnosti."
Meje monotonih funkcij
Opredelitev
Pokliče se funkcija, definirana na neki množici realnih števil X strogo narašča, če za vse tako velja naslednja neenakost:
.
V skladu s tem za striktno padajoče funkcija velja naslednja neenakost:
.
Za nepadajoča:
.
Za nenaraščajoča:
.
Iz tega sledi, da je strogo naraščajoča funkcija tudi nepadajoča. Strogo padajoča funkcija je tudi nenaraščajoča.
Funkcija se imenuje monotono, če ne pada ali ne narašča.
Izrek
Naj se funkcija ne zmanjša na intervalu, kjer je .
Če je zgoraj omejen s številom M: potem obstaja končna meja. Če ni omejeno od zgoraj, potem.
Če je od spodaj omejena s številom m: potem obstaja končna meja. Če ni omejeno od spodaj, potem.
Če sta točki a in b v neskončnosti, potem v izrazih mejni znaki pomenijo, da .
Ta izrek je mogoče formulirati bolj kompaktno.
Naj se funkcija ne zmanjša na intervalu, kjer je . Potem so enostranske omejitve v točkah a in b:
;
.
Podoben izrek za nenaraščajočo funkcijo.
Naj funkcija ne narašča na intervalu, kjer je . Potem so tu še enostranske omejitve:
;
.
Dokaz izreka je predstavljen na strani
"Meje monotonih funkcij".
Definicija funkcije
funkcija y = f (x) je zakon (pravilo), po katerem je vsak element x množice X povezan z enim in samo enim elementom y množice Y.
Element x ∈ X klical argument funkcije oz neodvisna spremenljivka.
Element y ∈ Y klical vrednost funkcije oz odvisna spremenljivka.
Množica X se imenuje domena funkcije.
Niz elementov y ∈ Y, ki imajo praslike v množici X, imenujemo območje ali niz funkcijskih vrednosti.
Pokliče se dejanska funkcija omejeno od zgoraj (od spodaj), če obstaja število M tako, da neenakost velja za vse:
.
Pokliče se funkcija števila omejeno, če obstaja število M tako, da za vse:
.
Zgornji rob oz natančna zgornja meja Realna funkcija se imenuje najmanjše število, ki omejuje njeno območje vrednosti od zgoraj. To pomeni, da je to število s, za katerega za vsakogar in za katerega koli obstaja argument, katerega vrednost funkcije presega s′: .
Zgornjo mejo funkcije lahko označimo na naslednji način:
.
Oziroma spodnji rob oz natančno spodnjo mejo Realna funkcija se imenuje največje število, ki omejuje njeno območje vrednosti od spodaj. To pomeni, da je to število i, za katerega za vsakogar in za katerega koli obstaja argument, katerega vrednost funkcije je manjša od i′: .
Infimum funkcije lahko označimo na naslednji način:
.
Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 1983.
V tem članku vam bomo povedali, kaj je meja funkcije. Najprej pojasnimo splošne točke, ki so zelo pomembne za razumevanje bistva tega pojava.
Koncept meje
V matematiki je koncept neskončnosti, ki ga označujemo s simbolom ∞, temeljnega pomena. Razumeti ga je treba kot neskončno veliko + ∞ ali neskončno majhno - ∞ število. Ko govorimo o neskončnosti, pogosto mislimo na oba pomena hkrati, vendar zapisa v obliki + ∞ ali - ∞ ne smemo zamenjati preprosto z ∞.
Limit funkcije je zapisan kot lim x → x 0 f (x) . Spodaj zapišemo glavni argument x in s pomočjo puščice označimo, h kateri vrednosti x0 bo težil. Če je vrednost x 0 konkretno realno število, potem imamo opravka z limitom funkcije v točki. Če se vrednost x 0 nagiba k neskončnosti (ni pomembno ali je ∞, + ∞ ali - ∞), potem govorimo o limitu funkcije v neskončnosti.
Omejitev je lahko končna ali neskončna. Če je enako določenemu realnemu številu, tj. lim x → x 0 f (x) = A, potem se imenuje končna meja, če pa je lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ ali lim x → x 0 f (x) = - ∞ , potem neskončno.
Če ne moremo določiti niti končne niti neskončne vrednosti, pomeni, da taka meja ne obstaja. Primer tega primera bi bila meja sinusa v neskončnosti.
V tem odstavku bomo razložili, kako najti vrednost limite funkcije v točki in v neskončnosti. Da bi to naredili, moramo uvesti osnovne definicije in se spomniti, kaj so številska zaporedja, pa tudi njihovo konvergenco in divergenco.
Definicija 1
Število A je meja funkcije f (x) pri x → ∞, če zaporedje njenih vrednosti konvergira k A za katero koli neskončno veliko zaporedje argumentov (negativnih ali pozitivnih).
Zapis limite funkcije izgleda takole: lim x → ∞ f (x) = A.
Definicija 2
Pri x → ∞ je meja funkcije f(x) neskončna, če je tudi zaporedje vrednosti za katero koli neskončno veliko zaporedje argumentov neskončno veliko (pozitivno ali negativno).
Vnos izgleda kot lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Primer 1
Dokažite enakost lim x → ∞ 1 x 2 = 0 z uporabo osnovne definicije limite za x → ∞.
rešitev
Začnimo s pisanjem zaporedja vrednosti funkcije 1 x 2 za neskončno veliko pozitivno zaporedje vrednosti argumenta x = 1, 2, 3, . . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Vidimo, da se bodo vrednosti postopoma zmanjševale in se nagibale k 0. Glej na sliki:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Tu lahko opazimo tudi monotono padanje proti ničli, kar potrjuje veljavnost tega v pogoju enakosti:
odgovor: Pravilnost tega v pogoju enakosti je potrjena.
Primer 2
Izračunajte mejo lim x → ∞ e 1 10 x .
rešitev
Začnimo, kot prej, z zapisovanjem zaporedij vrednosti f (x) = e 1 10 x za neskončno veliko pozitivno zaporedje argumentov. Na primer, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10; e 4 10; e 9 10; e 16 10; e 25 10; . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .
Vidimo, da je to zaporedje neskončno pozitivno, kar pomeni f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Preidimo na pisanje vrednosti neskončno velikega negativnega zaporedja, na primer x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0,90; 0,67; 0,40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞
Ker tudi teži k nič, potem je f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Rešitev problema je jasno prikazana na sliki. Modre pike označujejo zaporedje pozitivnih vrednosti, zelene pike pa zaporedje negativnih vrednosti.
odgovor: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr in x → + ∞ 0 , pr in x → - ∞ .
Preidimo na metodo izračuna limita funkcije v točki. Za to moramo znati pravilno določiti enostransko mejo. To nam bo koristilo tudi pri iskanju navpičnih asimptot grafa funkcije.
Definicija 3
Število B je meja funkcije f (x) na levi kot x → a v primeru, ko zaporedje njenih vrednosti konvergira k danemu številu za katero koli zaporedje argumentov funkcije x n, ki konvergira k a, če njegove vrednosti ostanejo manjše od a (x n< a).
Takšno mejo pisno označimo kot lim x → a - 0 f (x) = B.
Zdaj pa formulirajmo, kaj je limita funkcije na desni.
Definicija 4
Število B je meja funkcije f (x) na desni kot x → a v primeru, ko zaporedje njenih vrednosti konvergira k danemu številu za katero koli zaporedje argumentov funkcije x n, ki konvergira k a, če njegove vrednosti ostanejo večje od a (x n > a) .
To mejo zapišemo kot lim x → a + 0 f (x) = B .
Limit funkcije f (x) lahko najdemo na določeni točki, ko ima na levi in desni strani enaki limiti, tj. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Če sta obe limiti neskončni, bo tudi limit funkcije na začetni točki neskončen.
Sedaj bomo te definicije razjasnili tako, da bomo zapisali rešitev specifičnega problema.
Primer 3
Dokažite, da je v točki x 0 = 2 končna limita funkcije f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 in izračunajte njeno vrednost.
rešitev
Da bi rešili problem, se moramo spomniti definicije limita funkcije v točki. Najprej dokažimo, da ima originalna funkcija limit na levi. Zapišimo zaporedje funkcijskih vrednosti, ki bodo konvergirale k x 0 = 2, če je x n< 2:
f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8667; 2, 667; 0,167; - 0,958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2
Ker se zgornje zaporedje zmanjša na - 2, lahko zapišemo, da je lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Vrednosti funkcij v tem zaporedju bodo videti takole:
f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2.001, . . . → - 2
Tudi to zaporedje konvergira k - 2, kar pomeni lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Ugotovili smo, da bosta limiti na desni in levi strani te funkcije enaki, kar pomeni, da limita funkcije f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 v točki x 0 = 2 obstaja, in lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Napredek rešitve lahko vidite na sliki (zelene pike so zaporedje vrednosti, ki konvergirajo k x n< 2 , синие – к x n > 2).
odgovor: Limeti na desni in levi strani te funkcije bosta enaki, kar pomeni, da limita funkcije obstaja, in lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Če želite globlje preučiti teorijo limitov, vam svetujemo, da preberete članek o kontinuiteti funkcije v točki in glavnih vrstah diskontinuitetnih točk.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Podana je definicija končne meje zaporedja. Obravnavane so povezane lastnosti in enakovredna definicija. Podana je definicija, da točka a ni meja zaporedja. Obravnavani so primeri, pri katerih je obstoj limite dokazan z definicijo.
VsebinaPoglej tudi: Limit zaporedja – osnovni izreki in lastnosti
Glavne vrste neenakosti in njihove lastnosti
Tukaj si bomo ogledali definicijo končne meje zaporedja. Primer zaporedja, ki konvergira v neskončnost, je obravnavan na strani “Definicija neskončno velikega zaporedja”.
Limita zaporedja je število a if za vsako pozitivno število ε > 0 obstaja naravno število N ε, odvisno od ε, tako da za vsa naravna števila n > N ε velja neenakost| x n - a|< ε .
Tukaj je x n element zaporedja s številko n. Omejitev zaporedja označeno kot sledi:
.
Ali pri.
Transformirajmo neenakost:
;
;
.
Iz definicije sledi, da če ima zaporedje limito a, potem je ne glede na to, katero ε-sosesko točke a izberemo, zunaj njenih meja lahko le končno število elementov zaporedja ali pa sploh noben (prazen nastavite). Vsaka ε-soseska vsebuje neskončno število elementov. Dejansko, ko smo podali določeno število ε, imamo s tem število . Torej se vsi elementi zaporedja s številkami po definiciji nahajajo v ε - okolici točke a . Prvi elementi se lahko nahajajo kjer koli. To pomeni, da zunaj ε-soseske ne more biti več kot elementov - to je končno število.
Upoštevamo tudi, da ni treba, da se razlika monotono nagiba k ničli, torej ves čas upada. Lahko se nagiba k ničli nemonotono: lahko se poveča ali zmanjša z lokalnimi maksimumi. Vendar bi morali ti maksimumi, ko n narašča, težiti k ničli (po možnosti tudi ne monotono).
Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko definicijo meje zapišemo na naslednji način:
(1)
.
Določanje, da a ni meja
Zdaj razmislite o obratni izjavi, da število a ni meja zaporedja.
Številka a ni omejitev zaporedja, če obstaja takšna, da za vsako naravno število n obstaja tak naravni m > n, Kaj
.
Zapišimo to izjavo z logičnimi simboli.
(2)
.
Izjava, da število a ni meja zaporedja, pomeni, da
lahko izberete takšno ε - okolico točke a, zunaj katere bo neskončno število elementov zaporedja.
Poglejmo si primer. Naj je podano zaporedje s skupnim elementom
(3)
Vsaka okolica točke vsebuje neskončno število elementov. Vendar ta točka ni meja zaporedja, saj vsaka soseska točke vsebuje tudi neskončno število elementov. Vzemimo ε – okolico točke z ε = 1
. To bo interval (-1, +1)
. Vsi elementi razen prvega s sodim n pripadajo temu intervalu. Toda vsi elementi z lihim n so izven tega intervala, saj izpolnjujejo neenakost x n > 2
. Ker je število lihih elementov neskončno, bo zunaj izbrane soseske neskončno število elementov. Zato točka ni meja zaporedja.
Zdaj bomo to pokazali, pri čemer se strogo držimo izjave (2). Točka ni limita zaporedja (3), saj obstaja tako, da za vsak naravni n obstaja liho, za katero velja neenakost
.
Lahko se tudi pokaže, da nobena točka a ne more biti limita tega zaporedja. Vedno lahko izberemo ε - okolico točke a, ki ne vsebuje niti točke 0 niti točke 2. In potem bo zunaj izbrane okolice neskončno število elementov zaporedja.
Ekvivalentna definicija meje zaporedja
Enakovredno definicijo limite zaporedja lahko podamo, če razširimo koncept ε - soseske. Ekvivalentno definicijo dobimo, če namesto ε-soseske vsebuje poljubno okolico točke a. Okolica točke je vsak odprt interval, ki vsebuje to točko. Matematično okolica točke definirana kot sledi: , kjer je ε 1 in ε 2 - poljubna pozitivna števila.
Potem je enakovredna definicija meje naslednja.
Limita zaporedja je število a, če za katero koli njegovo okolico obstaja naravno število N, tako da vsi elementi zaporedja s števili pripadajo tej okolici.
To definicijo je mogoče predstaviti tudi v razširjeni obliki.
Meja zaporedja je število a, če za katera koli pozitivna števila in obstaja naravno število N, odvisno od in tako, da neenakosti veljajo za vsa naravna števila
.
Dokaz enakovrednosti definicij
Dokažimo, da sta zgoraj predstavljeni definiciji limite zaporedja enakovredni.
Število a naj bo limita zaporedja po prvi definiciji. To pomeni, da obstaja funkcija, tako da so za vsako pozitivno število ε izpolnjene naslednje neenakosti:
(4)
ob .
Pokažimo, da je število a limita zaporedja po drugi definiciji. To pomeni, da moramo pokazati, da obstaja taka funkcija, da za katera koli pozitivna števila ε 1
in ε 2
izpolnjene so naslednje neenakosti:
(5)
ob .
Imejmo dve pozitivni števili: ε 1
in ε 2
. In naj bo ε najmanjši od njih: . Potem ; ; . Uporabimo to v (5):
.
Toda neenakosti so izpolnjene za . Potem so neenakosti (5) izpolnjene tudi za .
To pomeni, da smo našli funkcijo, za katero so neenakosti (5) izpolnjene za poljubna pozitivna števila ε 1
in ε 2
.
Prvi del je dokazan.
Naj bo zdaj število a limita zaporedja po drugi definiciji. To pomeni, da obstaja taka funkcija, da za katera koli pozitivna števila ε 1
in ε 2
izpolnjene so naslednje neenakosti:
(5)
ob .
Pokažimo, da je število a limit zaporedja po prvi definiciji. Če želite to narediti, morate postaviti. Potem ko veljajo naslednje neenakosti:
.
To ustreza prvi definiciji z .
Enakovrednost definicij je dokazana.
Primeri
Primer 1
Dokaži to.
(1)
.
V našem primeru;
.
.
Uporabimo lastnosti neenakosti. Potem če in , potem
.
.
Potem
ob .
To pomeni, da je število meja danega zaporedja:
.
Primer 2
S pomočjo definicije limite zaporedja dokažite to
.
Zapišimo definicijo limite zaporedja:
(1)
.
V našem primeru, ;
.
Vnesite pozitivna števila in:
.
Uporabimo lastnosti neenakosti. Potem če in , potem
.
To pomeni, da lahko za vsako pozitivno število vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako:
.
Potem
ob .
.
Primer 3
.
Uvedemo zapis , .
Preoblikujemo razliko:
.
Za naravne n = 1, 2, 3, ...
imamo:
.
Zapišimo definicijo limite zaporedja:
(1)
.
Vnesite pozitivna števila in:
.
Potem če in , potem
.
To pomeni, da lahko za vsako pozitivno število vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako:
.
pri čemer
ob .
To pomeni, da je številka meja zaporedja:
.
Primer 4
S pomočjo definicije limite zaporedja dokažite to
.
Zapišimo definicijo limite zaporedja:
(1)
.
V našem primeru, ;
.
Vnesite pozitivna števila in:
.
Potem če in , potem
.
To pomeni, da lahko za vsako pozitivno število vzamemo katero koli naravno število, večje ali enako:
.
Potem
ob .
To pomeni, da je številka meja zaporedja:
.
Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 1983.
