Zgradite 4 čudovite trikotne točke. Raziskovalno delo »Izjemne točke trikotnika

Prva dva izreka sta vam dobro znana, druga dva bomo dokazali.

1. izrek

Tri simetrale trikotnika sekata v eni točki, ki je središče včrtanega kroga.

Dokaz

temelji na dejstvu, da je simetrala kota geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

2. izrek

Tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika se sekajo v eni točki, ki je središče opisanega kroga.

Dokaz

temelji na dejstvu, da je pravokotna simetrala segmenta geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od koncev tega segmenta.

Izrek 3

Tri višine ali tri ravne, na kateri ležijo višine trikotnika, se sekata v eni točki. Ta točka se imenuje ortocenter trikotnik.

Dokaz

Skozi oglišča trikotnika `ABC` narišemo ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranicami.

Na presečišču nastane trikotnik `A_1 B_1 C_1`.

Po konstrukciji je `ABA_1C` paralelogram, torej `BA_1 = AC`. Podobno je ugotovljeno, da je `C_1B = AC`, torej `C_1B = AC`, točka `B` je sredina segmenta `C_1A_1`.
Na povsem enak način je prikazano, da je `C` sredina `B_1A_1` in `A` sredina `B_1 C_1`.
Naj bo `BN` višina trikotnika `ABC`, potem je za odsek `A_1 C_1` premica `BN` simetrala pravokotnice. Iz tega sledi, da so tri premice, na katerih ležijo višine trikotnika `ABC`, pravokotne simetrale treh stranic trikotnika `A_1B_1C_1`; in takšni navpičnici se sekata v eni točki (izrek 2).
Če je trikotnik oster, potem je vsaka od višin segment, ki povezuje oglišče in neko točko na nasprotni strani. V tem primeru ležita točki `B` in `N` v različnih polravninah, ki jih tvori premica `AM`, kar pomeni, da odsek `BN` seka premico `AM`, presečišče pa leži na višini `BN`. , tj. leži znotraj trikotnika .
V pravokotnem trikotniku je točka presečišča višin vrh pravega kota.

Izrek 4

Tri mediane trikotnika sekajo v eni točki in se delijo s presečiščem v razmerju `2:1`, šteto od oglišča. To točko imenujemo težišče (ali središče mase) trikotnika.
Obstajajo različni dokazi tega izreka. Predstavimo enega, ki temelji na Thalesovem izreku.

Dokaz

Naj bodo `E`, `D` in `F` razpolovišča stranic `AB`, `BC` in `AC` trikotnika `ABC`.

Narišimo mediano `AD` skozi točki `E` in `F` vzporedno ima ravne črte `EK` in `FL`. Po Thalesovem izreku `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) in `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Toda `BD = DC = a//2`, torej `BK = KD = DL = LC = a//4`. Po istem izreku `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), torej `BM = 2MF`.

To pomeni, da je bila mediana `BF` v točki `M` presečišča z mediano `AD` deljena v razmerju `2:1`, šteto od oglišča.

Dokažimo, da je mediana `AD` v točki `M` deljena v enakem razmerju. Utemeljitev je podobna.

Če upoštevamo mediani `BF` in `CE`, lahko tudi pokažemo, da se sekata v točki, kjer je mediana `BF` razdeljena v razmerju `2:1`, torej v isti točki `M`. In do te točke bo tudi mediana `CE` razdeljena v razmerju `2:1`, šteto od vrha.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometrija, 8. razred TRIKOTNIK ŠTIRI ZNAMENITE TOČKE

Presek središč trikotnika Presek simetral trikotnika Presek višin trikotnika Presek simetral pravokotnic trikotnika

Mediana (BD) trikotnika je odsek, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice. A B C D Srednja vrednost

Mediane trikotnika se sekajo v eni točki (težišču trikotnika) in jih ta točka deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Simetrala (A D) trikotnika je simetrala notranjega kota trikotnika.

Vsaka točka simetrale nerazvitega kota je enako oddaljena od njegovih stranic. Nasprotno: vsaka točka, ki leži znotraj kota in je enako oddaljena od stranic kota, leži na njegovi simetrali. A M B C

Vse simetrale trikotnika se sekajo v eni točki – središču kroga, včrtanega v trikotnik. C B 1 M A V A 1 C 1 O Polmer kroga (OM) je navpičnica, spuščena iz središča (TO) na stran trikotnika

VIŠINA Nadmorska višina (C D) trikotnika je pravokotni odsek, ki poteka od vrha trikotnika do premice, ki vsebuje nasprotno stran. A B C D

Višini trikotnika (ali njuni podaljški) se sekata v eni točki. A A 1 B B 1 C C 1

SREDINSKI PRAVOKOTNIK Simetrala (DF) je premica, ki je pravokotna na stranico trikotnika in ga deli na pol. A D F B C

A M B m O Vsaka točka simetrale (m) na odsek je enako oddaljena od koncev tega odseka. Nasprotno: vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna nanj.

Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središču okrog trikotnika urejenega kroga. A B C O Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do poljubnega oglišča trikotnika (OA). m n str

Naloge za učence S pomočjo šestila in ravnila sestavi krog, včrtan v tupokotni trikotnik. To naredite tako: Sestavite simetrale v tupokotnem trikotniku s pomočjo šestila in ravnila. Točka presečišča simetral je središče krožnice. Konstruirajte polmer kroga: pravokotnico iz središča kroga na stranico trikotnika. Konstruiraj v trikotnik včrtan krog.

2. S šestilom in ravnilom sestavi krog, ki obkroža tupi trikotnik. To storite tako: Konstruirajte pravokotne simetrale na stranice tupokotnega trikotnika. Točka presečišča teh navpičnic je središče opisanega kroga. Polmer kroga je razdalja od središča do katerega koli vrha trikotnika. Okoli trikotnika sestavi krog.

Ministrstvo za splošno in strokovno izobraževanje Sverdlovske regije.

Mestna izobraževalna ustanova Jekaterinburg.

Izobraževalna ustanova - MOUSOSH št. 212 "Ekaterinburški kulturni licej"

Izobraževalna smer – matematika.

Predmet - geometrija.

Izjemne točke trikotnika

referent: učenka 8. razreda

Selitski Dmitrij Konstantinovič.

Znanstveni svetnik:

Rabkanov Sergej Petrovič.

Ekaterinburg, 2001

Uvod 3

Opisni del:

    Ortocenter 4

    Icenter 5

    Težišče 7

    Obkrožje 8

    Eulerjeva črta 9

Praktični del:

    Ortocentrični trikotnik 10

    Sklep 11

    Reference 11

Uvod.

Geometrija se začne s trikotnikom. Dve tisočletji in pol je bil trikotnik simbol geometrije. Njegove nove lastnosti se nenehno odkrivajo. Govoriti o vseh znanih lastnostih trikotnika bo vzelo veliko časa. Zanimalo me je t.i. Čudovite točke trikotnik." Primer takih točk je presečišče simetral. Zanimivo je, da če vzamete tri poljubne točke v prostoru, iz njih sestavite trikotnik in narišete simetrale, potem se bodo (simetrale) sekale v eni točki! Zdi se, da to ni mogoče, ker smo vzeli poljubne točke, vendar to pravilo vedno velja. Druge "izjemne točke" imajo podobne lastnosti.

Po branju literature na to temo sem si določil definicije in lastnosti petih čudovitih točk in trikotnika. Toda moje delo se tu ni končalo; te točke sem želel raziskati sam.

Zato tarča To delo je študija nekaterih izjemnih lastnosti trikotnika in študija ortocentričnega trikotnika. V procesu doseganja tega cilja lahko ločimo naslednje faze:

    Izbira literature, s pomočjo učitelja

    Preučevanje osnovnih lastnosti izjemnih točk in črt trikotnika

    Posplošitev teh lastnosti

    Sestavljanje in reševanje naloge z ortocentričnim trikotnikom

Predstavil sem rezultate, pridobljene v tem raziskovalnem delu. Vse risbe sem naredil z uporabo računalniške grafike (urejevalnik vektorske grafike CorelDRAW).

Ortocenter. (točka presečišča višin)

Dokažimo, da se višine sekajo v eni točki. Popeljemo vas med vrhove A, IN in Z trikotnik ABC ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranicami. Te črte tvorijo trikotnik A 1 IN 1 Z 1 . višina trikotnika ABC sta simetrali pravokotnici na stranice trikotnika A 1 IN 1 Z 1 . zato se sekata v eni točki – središču okroglega kroga trikotnika A 1 IN 1 Z 1 . Točka presečišča višin trikotnika se imenuje ortocenter ( H).

Icenter je središče včrtanega kroga.

(Točka presečišča simetral)

Dokažimo, da so simetrale kotov trikotnika ABC sekata v eni točki. Razmislite o bistvu O presečišča simetral kotov A in IN. vse točke simetrale kota A so enako oddaljene od premic AB in AC, in katera koli točka simetrale kota IN enako oddaljeni od ravnih črt AB in sonce, torej točka O enako oddaljeni od ravnih črt AC in sonce, tj. leži na simetrali kota Z. pika O enako oddaljeni od ravnih črt AB, sonce in SA, kar pomeni, da obstaja krog s središčem O, ki se dotikajo teh premic, dotične točke pa ležijo na samih stranicah in ne na njihovih podaljških. Pravzaprav koti na ogliščih A in IN trikotnik AOB ostra torej projekcijska točka O neposredno AB leži znotraj segmenta AB.

Za zabave sonce in SA dokaz je podoben.

Središče ima tri lastnosti:

    Če je nadaljevanje simetrale kota Z seka opisani krog trikotnika ABC na točki M, To MA=MV=MO.

    če AB- osnova enakokrakega trikotnika ABC, nato krog, ki se dotika stranic kota DIA na točkah A in IN, poteka skozi točko O.

    Če premica, ki poteka skozi točko O vzporedno s stranjo AB, prečka stranice sonce in SA na točkah A 1 in IN 1 , To A 1 IN 1 =A 1 IN+AB 1 .

Težišče. (Točka presečišča median)

Dokažimo, da se mediani trikotnika sekata v eni točki. Za to upoštevajte točko M, pri katerem se mediani sekata AA 1 in BB 1 . narišimo v trikotnik BB 1 Z srednja črta A 1 A 2 , vzporedno BB 1 . Potem A 1 M: zjutraj=IN 1 A 2 :AB 1 =IN 1 A 2 :IN 1 Z=VA 1 :SONCE=1:2, tj. sredinska točka presečišča BB 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Podobno presečišče median SS 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Zato je presečišče median AA 1 in BB 1 sovpada s presečiščem median AA 1 in SS 1 .

Če je presečišče median trikotnika povezano z oglišči, bodo trikotniki razdeljeni na tri enako velike trikotnike. Dovolj je namreč dokazati, da če R– katera koli točka mediane AA 1 v trikotniku ABC, nato površine trikotnikov AVR in AKP so enaki. Navsezadnje mediane AA 1 in RA 1 v trikotnike ABC in RVS narežemo jih na enako velike trikotnike.

Velja tudi obratna trditev: če za neko točko R, ki leži znotraj trikotnika ABC, območje trikotnikov AVR, V SREDO in SAR so enaki, torej R– točka presečišča median.

Točka presečišča ima še eno lastnost: če iz poljubnega materiala izrežete trikotnik, nanj narišete mediane, pritrdite palico na presečišče median in pritrdite vzmetenje na stojalo, potem bo model (trikotnik) v stanje ravnovesja, torej presečišče ni nič drugega kot težišče trikotnika.

Središče kroga.

Dokažimo, da obstaja točka, ki je enako oddaljena od oglišč trikotnika, ali z drugimi besedami, da obstaja krožnica, ki poteka skozi tri oglišča trikotnika. Geografsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točk A in IN, je pravokotna na segment AB, ki poteka skozi njegovo sredino (pravokotno simetralo na segment AB). Razmislite o bistvu O, v kateri se sekajo simetrale navpičnic na segmente AB in sonce. Pika O enako oddaljeni od točk A in IN, pa tudi iz točk IN in Z. torej je enako oddaljena od točk A in Z, tj. leži tudi na simetrali pravokotnici na odsek AC.

Center O opisani krog leži znotraj trikotnika le, če je trikotnik ostrokoten. Če je trikotnik pravokoten, potem točka O sovpada s sredino hipotenuze, in če je kot pri vertex Z topo in nato ravno AB loči točke O in Z.

V matematiki se pogosto zgodi, da se objekti, definirani na popolnoma različne načine, izkažejo za enake. Pokažimo to s primerom.

Pustiti A 1 , IN 1 ,Z 1 – središča stranic sonce,SA in AB. Lahko se dokaže, da so opisani krogi trikotnikov AB 1 Z, A 1 sonce 1 in A 1 IN 1 Z 1 sekata v eni točki in ta točka je središče kroga trikotnika ABC. Imamo torej dve na videz popolnoma različni točki: presečišče pravokotnih simetral na stranice trikotnika ABC in presečišče opisanih krogov trikotnikov AB 1 Z 1 , A 1 sonce in A 1 IN 1 Z 1 . vendar se izkaže, da ti dve točki sovpadata.

Eulerjeva premica.

Najbolj neverjetna lastnost izjemnih točk trikotnika je, da so nekatere med seboj povezane z določenimi razmerji. Na primer, težišče M, ortocenter n in središče opisanega kroga O ležita na isti premici, točka M pa deli odsek OH, tako da velja relacija OM:MN=1:2. Ta izrek je leta 1765 dokazal švicarski znanstvenik Leonardo Euler.

Ortocentrični trikotnik.

Ortocentrični trikotnik(ortotrikotnik) je trikotnik ( MnTO), katerih oglišča so osnove višin tega trikotnika ( ABC). Ta trikotnik ima veliko zanimivih lastnosti. Dajmo enega od njih.

Lastnina.

Dokaži:

Trikotniki AKM, CMN in BKN podoben trikotniku ABC;

Koti ortotrikotnika MNK so: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Dokaz:

Imamo AB cos A, A.K. cos A. torej A.M./AB = A.K./A.C..

Ker pri trikotnikih ABC in AKM kotiček A– skupni, potem sta si podobna, iz česar sklepamo, da kot L AKM = L C. Zato L BKM = L C. Naslednji imamo L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, tj. SK– simetrala kota MNK. Torej, L MNK= π – 2 L C. Preostale enakosti dokažemo podobno.

Zaključek.

Na koncu tega raziskovalnega dela je mogoče narediti naslednje zaključke:

    Pomembne točke in črte trikotnika so:

    ortocenter trikotnika je presečišče njegovih višin;

    andcentre trikotnik je presečišče simetral;

    težišče trikotnika je točka presečišča njegovih median;

    circumcenter– je presečišče simetralnih navpičnic;

    Eulerjeva premica- to je premica, na kateri ležijo težišče, ortocenter in središče opisanega kroga.

    Ortocentrični trikotnik razdeli dani trikotnik na tri podobne.

Po opravljenem to delo, sem se veliko naučil o lastnostih trikotnika. To delo je bilo zame pomembno z vidika razvoja mojega znanja na področju matematike. V prihodnje nameravam razvijati to zanimivo temo.

Bibliografija.

    Kiselyov A.P. Elementarna geometrija. – M.: Izobraževanje, 1980.

    Coxeter G.S., Greitzer S.L. Nova srečanja z geometrijo. – M.: Nauka, 1978.

    Prasolov V.V. Problemi v planimetriji. – M.: Nauka, 1986. – 1. del.

    Sharygin I.F. Geometrijske težave: Planimetrija. – M.: Nauka, 1986.

    Scanavi M.I. Matematika. Težave z rešitvami. – Rostov na Donu: Phoenix, 1998.

    Berger M. Geometrija v dveh zvezkih - M: Mir, 1984.

ŠTIRI POMEMBNE TOČKE

TRIKOTNIK

Geometrija

8. razred

Saharova Natalija Ivanovna

Srednja šola MBOU št. 28 Simferopol


  • Presek sredin trikotnika
  • Presek simetral trikotnika
  • Točka presečišča višin trikotnika
  • Točka presečišča pravokotnih median trikotnika

Mediana

Mediana (BD) trikotnika je odsek, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice.


Mediane trikotniki se sekajo na eni točki (težišče trikotnik) in se delijo s to točko v razmerju 2:1, šteto od vrha.


SEMEKTRICA

Simetrala (AD) trikotnika je simetrala notranjega kota trikotnika. ∟ SLABO = ∟CAD.


Vsaka točka simetrale nerazvitega kota je enako oddaljen od njegovih stranic.

Nazaj: vsaka točka, ki leži znotraj kota in je enako oddaljena od stranic kota, leži na njem simetrala.


Vse simetrale trikotniki se sekajo v eni točki - središče vpisanega v trikotnik krogih.

Polmer kroga (OM) je pravokotnica, spuščena iz središča (TO) na stranico trikotnika.


VIŠINA

Višina (CD) trikotnika je pravokoten odsek, narisan iz vrha trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stranico.


Višine trikotniki (ali njihovi podaljški) se sekajo eno točka.


SREDNJA PRAVOKOJNICA

Simetrala (DF) imenovana ravna črta, ki je pravokotna na stranico trikotnika in jo deli na pol.


Vsaka točka pravokotna simetrala(m) na segment je enako oddaljen od koncev tega segmenta.

Nazaj: vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, leži na sredini pravokotno njemu.


Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središče opisanega blizu trikotnika krog .

Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do katerega koli vrha trikotnika (OA).


Stran 177 št. 675 (risba)


Domača naloga

Str. 173 § 3 definicije in izreki str. 177 Št. 675 (konec)

Povezane publikacije