Premica a seka eno od dveh sekajočih se premic. Vrste linij

premici l1 in l2 imenujemo sekajoči se, če ne ležita v isti ravnini. Naj bosta a in b smerna vektorja teh premic, točki M1 in M2 pa pripadata premici in l1 in l2

Potem vektorji a, b, M1M2> niso komplanarni, zato njihov mešani produkt ni enak nič, torej (a, b, M1M2>) =/= 0. Velja tudi obratno: če (a, b, M1M2> ) =/= 0, potem vektorji a, b, M1M2> niso komplanarni in posledično premici l1 in l2 ne ležita v isti ravnini, torej sekata. Tako se dve premici sekata, če in samo, če je pogoj(a, b, M1M2>) =/= 0, kjer sta a in b smerna vektorja premic, M1 in M2 pa točki, ki pripadata danim premicam. Pogoj (a, b, M1M2>) = 0 je nujen in zadosten pogoj, da premici ležijo v isti ravnini. Če so vrstice podane z njihovimi kanoničnimi enačbami

potem je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) in pogoj (2) zapišemo takole:

Razdalja med sekajočimi se črtami

to je razdalja med eno od poševnih črt in ravnino, ki je vzporedna z njo, ki poteka skozi drugo premico. Razdalja med poševnima črtama je razdalja od neke točke ene od poševnih črt do ravnine, ki poteka skozi drugo premico, vzporedno z prva vrstica.

26. Definicija elipse, kanonična enačba. Izpeljava kanonične enačbe. Lastnosti.

Elipsa je geografsko mesto v ravnini, za katero je vsota razdalj do dveh fokusnih točk F1 in F2 te ravnine, imenovanih žarišča, konstantna vrednost. To ne izključuje sovpadanja žarišč elipse. sistem, tako da bo elipsa opisana z enačbo (kanonična enačba elipse):

Opisuje elipso s središčem v izhodišču, katere osi sovpadajo s koordinatnimi osemi.

Če je na desni strani enota z znakom minus, potem je nastala enačba:

opisuje imaginarno elipso. Takšne elipse je nemogoče prikazati v realni ravnini. Označimo žarišča kot F1 in F2, razdaljo med njima pa kot 2c, vsoto razdalj od poljubne točke elipse do žarišč pa kot 2a.

Za izpeljavo enačbe elipse izberemo koordinatni sistem Oxy tako, da žarišči F1 in F2 ležita na osi Ox, izvor koordinat pa sovpada s sredino odseka F1F2. Nato bodo imela žarišča naslednje koordinate: u Naj bo M(x; y) poljubna točka elipse. Potem po definiciji elipse, t.j.

To je pravzaprav enačba elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonična enačba. Izpeljava kanonične enačbe. Lastnosti

Hiperbola je lokus točk v ravnini, za katero je absolutna vrednost razlike med razdaljami do dveh fiksnih točk F1 in F2 te ravnine, imenovane žarišča, konstanta. Naj bo M(x;y) poljubna točka hiperbole. Potem je v skladu z definicijo hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ali MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonična enačba. Izpeljava kanonične enačbe. Lastnosti. Parabola je GMT ravnine, za katero je razdalja do neke fiksne točke F te ravnine enaka razdalji do neke fiksne premice, ki se prav tako nahaja v obravnavani ravnini. F je žarišče parabole; fiksna ravna črta je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2px;

Lastnosti: 1. Parabola ima os simetrije (os parabole); 2.Vse

parabola se nahaja v desni polravnini ravnine Oxy pri p>0 in v levi

če je p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Če imata dve premici v prostoru skupno točko, potem pravimo, da se ti dve premici sekata. Na naslednji sliki se premici a in b sekata v točki A. Premici a in c se ne sekata.

Vsaki dve premici imata samo eno skupno točko ali pa nimata skupnih točk.

Vzporedne črte

Dve premici v prostoru se imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in se ne sekata. Za označevanje vzporednih črt uporabite posebno ikono - ||.

Oznaka a||b pomeni, da je premica a vzporedna z premico b. Na zgornji sliki sta premici a in c vzporedni.

Izrek o vzporedni črti

Skozi katero koli točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka premica, vzporedna z dano premico, poleg tega pa samo ena.

Prekrižane črte

Dve premici, ki ležita v isti ravnini, se lahko sekata ali pa sta vzporedni. Toda v vesolju ni nujno, da dve ravni črti pripadata isti ravnini. Lahko se nahajajo v dveh različnih ravninah.

Očitno se premice, ki se nahajajo v različnih ravninah, ne sekajo in niso vzporedne. Dve premici, ki ne ležita v isti ravnini, se imenujeta prečkati mejo.

Naslednja slika prikazuje dve sekajoči se premici a in b, ki ležita v različnih ravninah.

Predznak in izrek o poševnih črtah

Če ena od obeh premic leži v določeni ravnini, druga premica pa to ravnino seka v točki, ki ne leži na prvi premici, potem sta ti premici poševni.

Izrek o križanju črt: skozi vsako od dveh sekajočih se premic poteka ravnina, vzporedna z drugo premico, poleg tega pa samo ena.

Tako smo obravnavali vse možne primere medsebojne razporeditve črt v prostoru. Samo trije so.

1. Premi se sekata. (To pomeni, da imajo samo eno skupno točko.)

2. Črte so vzporedne. (To pomeni, da nimajo skupnih točk in ležijo v isti ravnini.)

3. Ravne črte se sekajo. (To pomeni, da se nahajajo v različnih ravninah.)

Izrek. Če ena premica leži v dani ravnini, druga premica pa to ravnino seka v točki, ki ne pripada prvi premici, se ti dve premici sekata. Znak sekajočih se premic Dokaz. Naj premica a leži v ravnini in premica b seka ravnino v točki B, ki ne pripada premici a. Če premici a in b ležita v isti ravnini, bi v tej ravnini ležala tudi točka B. Ker skozi premico poteka samo ena ravnina in točka zunaj te premice, mora biti ta ravnina ravnina. Toda potem bi premica b ležala v ravnini, kar je v nasprotju s pogojem. Zato premici a in b ne ležita v isti ravnini, t.j. križati.

Koliko parov poševnih črt je, ki vsebujejo robove pravilne trikotne prizme? Rešitev: Za vsak osnovni rob se z njim sekajo trije robovi. Za vsak stranski rob se z njim sekata dva robova. Zato je želeno število parov poševnih črt vaja 5

Koliko parov poševnih črt je, ki vsebujejo robove pravilne šesterokotne prizme? Rešitev: Vsak osnovni rob sodeluje v 8 parih sekajočih se črt. Vsak stranski rob sodeluje v 8 parih sekajočih se črt. Zato je želeno število parov poševnih črt vaja 6

predavanje: Sekajoče, vzporedne in poševne črte; pravokotnost črt

sekajoče se črte

Če je na ravnini več ravnih črt, se bodo slej ko prej sekale poljubno ali pod pravim kotom ali pa bodo vzporedne. Oglejmo si vsak primer.

Sekajoče črte so tiste premice, ki imajo vsaj eno presečišče.

Lahko se vprašate, zakaj vsaj ena črta ne more dvakrat ali trikrat sekati druge. Prav imaš! Toda črte lahko popolnoma sovpadajo med seboj. V tem primeru bo skupnih točk neskončno število.

Vzporednost

Vzporedno lahko imenujemo tiste premice, ki se nikoli ne sekajo, tudi v neskončnosti.

Z drugimi besedami, vzporedne so tiste, ki nimajo ene skupne točke. Upoštevajte, da je ta definicija veljavna le, če sta premici v isti ravnini, če pa nimajo skupnih točk in so v različnih ravninah, se štejejo za sekajoče.

Primeri vzporednih črt v življenju: dva nasprotna robova zaslona monitorja, črte v zvezkih, pa tudi številni drugi deli stvari, ki imajo kvadratne, pravokotne in druge oblike.

Ko želijo pisno pokazati, da je ena ravna črta vzporedna z drugo, se uporabi naslednji zapis a||b. Ta zapis pravi, da je premica a vzporedna z premico b.

Pri preučevanju te teme je pomembno razumeti še eno izjavo: skozi neko točko na ravnini, ki ne pripada dani premici, lahko potegnemo eno vzporednico. A pozor, spet je popravek na ravnini. Če upoštevamo tridimenzionalni prostor, potem je mogoče narisati neskončno število črt, ki se ne bodo sekale, ampak se bodo sekale.

Zgoraj opisana izjava se imenuje aksiom vzporednih premic.

Navpičnost

Neposredne linije je mogoče poklicati le, če pravokotnoče se sekata pod kotom 90 stopinj.

V prostoru lahko skozi določeno točko na premici narišemo neskončno število pravokotnih črt. Če pa govorimo o ravnini, potem lahko skozi eno točko na premici narišemo eno pravokotno črto.

Prekrižane črte. Sekansa

Če se nekatere premice v neki točki sekajo pod poljubnim kotom, jih lahko pokličemo križanje.

Vse poševne črte imajo navpične kote in sosednje.

Če imata kota, ki ju tvorita dve sekajoči se črti, eno skupno stran, se imenujejo sosednji:

Sosednji koti seštejejo do 180 stopinj.