Impuls delca. Trenutek moči
Analiza obnašanja sistemov pokaže, da poleg energije in gibalne količine obstaja še ena mehanska količina, ki je prav tako povezana z ohranitvenim zakonom – to je t.i. kotni moment. Uporabljajo se tudi imena kotna količina, navor, kotna količina ali preprosto gibalna količina.
Kaj je ta količina in kakšne so njene lastnosti?
Najprej vzemimo en delec. Naj bo polmerni vektor, ki označuje njegov položaj glede na neko točko O izbranega referenčnega sistema in je njegov moment v tem sistemu. Kotna količina delca A glede na točko O(Sl. 6.1) se imenuje vektor, ki je enak vektorskemu produktu vektorjev in:
Iz te definicije sledi, da je aksialni vektor. Njegova smer je izbrana tako, da se vrti okoli točke O v smeri vektorja tvorijo desni sistem. Vektorski modul je enak
 ,
| (6.2) |
kjer je kot med vektorjema in 
krak vektorja glede na točko O(slika 6.1).
Izpeljimo enačbo, ki opisuje spremembo v času vektorja. Imenuje se momentna enačba. Za zaključek je treba ugotoviti, katera mehanska količina je odgovorna za spremembo vektorja v danem
referenčni sistem. Diferencirajmo enačbo (6.1) glede na čas:
Od točke O je negiben, potem je vektor enak hitrosti delca, tj. sovpada v smeri z vektorjem, torej
Z uporabo drugega Newtonovega zakona dobimo, kje je rezultanta vseh sil, ki delujejo na delec. torej
Količina na desni strani te enačbe se imenuje moment sile glede na točko O(slika 6.2). Označimo ga s črko , pišemo
Vektor, kot je , je osni. Modul tega vektorja je, podobno kot (6.2), enak
Ta enačba se imenuje momentna enačba. Upoštevajte, da če je referenčni okvir neinercialen, potem moment sile vključuje tako moment interakcijskih sil kot moment vztrajnostnih sil glede na isto točko O.
Zlasti iz momentne enačbe (6.5) sledi, da če potem . Z drugimi besedami, če je glede na neko točko O izbranega referenčnega sistema moment vseh sil, ki delujejo na delec, enak nič v časovnem obdobju, ki nas zanima, potem glede na to točko ostaja kotna količina delca konstantna v tem času.
Primer 1. Neki planet A se giblje in gravitacijsko polje Sonca je C (slika 6.3). Glede na katero točko heliocentričnega referenčnega sistema se bo kotna količina danega planeta ohranila v času?
Za odgovor na to vprašanje je treba najprej ugotoviti, katere sile delujejo na planet A. V tem primeru je to le sila gravitacije
s strani Sonca. Od takrat, ko se planet premika, je smer te sile
ves čas poteka skozi središče Sonca, potem je slednje točka, glede na katero je moment sile vedno enak nič in bo kotna količina planeta ostala konstantna. Zagon planeta se bo spremenil.
Primer 2. Podložka A, ki se giblje vzdolž gladke vodoravne ravnine, se elastično odbije od gladke navpične stene (slika 6.4, pogled od zgoraj). Poiščite točko, glede na katero bo kotna količina ploščka med tem procesom ostala konstantna.
Na plošček delujejo sila težnosti, sila reakcije vodoravne ravnine in sila reakcije stene v trenutku udarca vanj. Prvi dve sili se medsebojno uravnotežita in pustita silo . Njegov moment je enak nič glede na katero koli točko, ki leži na liniji delovanja vektorja, kar pomeni, da bo glede na katero koli od teh točk kotna količina paka v tem procesu ostala konstantna.
Primer 3. Na vodoravni gladki ravnini je stacionarni navpični valj in podložka A, povezana z valjem z navojem AB (slika 6.5, pogled od zgoraj). Plošču je bila dana začetna hitrost, kot je prikazano na tej sliki. Ali obstaja tukaj točka, pri kateri bo kotna količina paka med premikanjem ostala nespremenjena?
V tem primeru je edina nekompenzirana sila, ki deluje na podložko A, natezna sila niti. Preprosto je videti, da ni točke, glede na katero bi bil moment sile v procesu gibanja ves čas enak nič. In zato ni točke, glede na katero bi kotna količina paka ostala konstantna. Ta primer kaže, da ne obstaja vedno točka, glede na katero bi kotna količina delca ostala konstantna.
Enačba momenta (6.5) nam omogoča odgovor na dve vprašanji:
1) poiščite moment sile glede na točko O, ki nas zanima kajčas t, če je znana časovna odvisnost vrtilne količine delca glede na isto točko;
2) določite povečanje kotne količine delca glede na točko O za katero koli časovno obdobje, če je znana časovna odvisnost momenta sile, ki deluje na ta delec glede na isto točko O.
Rešitev prvega vprašanja se zmanjša na iskanje odvoda glede na čas impulznega momenta, tj. ki je po (6.5) enak želenemu momentu sile.
Rešitev drugega vprašanja je integracija enačbe (6.5). Če pomnožimo obe strani te enačbe z dt, dobimo - izraz, ki določa elementarni prirastek vektorja. Z integracijo tega izraza skozi čas najdemo prirastek vektorja v končnem časovnem obdobju t:
 | (6.6) |
Količina na desni strani te enačbe je imenovan impulz moment sile. Kot rezultat je bila pridobljena naslednja izjava: prirastek gibalne količine delca v katerem koli časovnem obdobju je enak gibalni količini sile v istem času. Poglejmo si dva primera.
Primer 1. Kotna količina delca glede na določeno točko se s časom t spreminja po zakonu 
kjer sta in sta nekaj stalnih med seboj pravokotnih vektorjev. Poiščite moment sile, ki deluje na delec, ko je kot med vektorjema in enak 45°.
Glede na (6.5) 
tiste. vektor, vedno sovpada v smeri z vektorjem. Upodabljamo vektorje in določen trenutek t (slika 6.6). Iz te slike je razvidno, da je kot = 45° v trenutku, ko Zato in .
Primer 2. Kamen A z maso t je bil vržen pod kotom na horizontalo z začetna hitrost. Zanemarjamo zračni upor, poiščite časovno odvisnost vrtilne količine kamna glede na točko meta O (slika 6.7).
V določenem časovnem obdobju dt je kotna količina kamna glede na točko
O bo prejel dodatek 
. Ker 
to 
Ob integraciji tega izraza ob upoštevanju dejstva, da trenutno 
dobimo 
. To kaže, da smer vektorja med gibanjem ostane nespremenjena (vektor je usmerjen izven ravnine, sl. 6.7.
Oglejmo si zdaj pojma kotne količine in momenta sile glede na os. Izberimo poljubno nepremično os v nekem inercialnem referenčnem sistemu. Naj bo glede na neko točko O na osi kotna količina delca A enaka , moment sile, ki deluje na delec pa je .
Kotna količina glede na os z je projekcija na to os vektorja, določenega glede na poljubno točko O dane osi (slika 6.8). Podobno uvedemo koncept momenta sile glede na os. Njihovo
Ugotovimo lastnosti teh količin. S projekcijo (6.5) na os z dobimo
| (6.7) |
to pomeni, da je časovni odvod vrtilne količine delca glede na os z enak momentu sile glede na to os. Še posebej, če takrat. Z drugimi besedami, če je moment sile glede na neko fiksno os z enak nič, potem ostane kotna količina delca glede na to os konstantna. V tem primeru se lahko sam vektor spremeni.
Primer: Majhno telo z maso m, obešeno na nit, se pod vplivom gravitacije giblje enakomerno po vodoravnem krogu (sl. 6.9).Glede na točko O je kotna količina telesa - vektor v istem ravnina z osjo z in navojem. Ko se telo premika, se vektor pod vplivom gravitacijskega momenta nenehno vrti, tj. Projekcija ostane konstantna, saj je vektor pravokoten
Poiščimo zdaj analitične izraze za in . Preprosto je videti, da se ta problem zmanjša na iskanje projekcij na os z vektorskih produktov in .
Uporabimo cilindrični koordinatni sistem in delcu A (slika 6.10) povežimo enotske vektorje, usmerjene v smeri naraščanja ustreznih koordinat. V tem koordinatnem sistemu sta radijski vektor in gibalna količina delca zapisana na naslednji način:
kjer so projekcije vektorja na ustrezne vektorje. Iz vektorske algebre je znano, da je mogoče predstaviti vektorski produkt
determinanta
Od tod je takoj jasno, da je momentna količina delca glede na os z
kje je projekcija kotna hitrost, s katerim se vrti radij vektor delca.
Podobno kot (6.8) je moment sile glede na os z zapisan:
| (6.10) |
kjer je projekcija vektorja sile na enotski vektor
Opozorimo, da projekciji in res nista odvisni od izbire točke O na osi z, glede na katero sta definirana vektorja in . Poleg tega je jasno, da sta in sta algebraični količini, njihovi znaki ustrezajo znakom projekcij in .
Osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja materialne točke- kotni pospešek točke med njenim vrtenjem okoli nepremične osi je sorazmeren z navorom in obratno sorazmeren z vztrajnostnim momentom.
M = E*J oz E = M/J
Če dobljeni izraz primerjamo z drugim Newtonovim zakonom s translacijskim zakonom, vidimo, da je vztrajnostni moment J merilo vztrajnosti telesa pri rotacijskem gibanju. Tako kot masa je tudi količina aditivna.
Vztrajnostni moment tanek obroč:
Vztrajnostni moment
Za izračun vztrajnostnega momenta moramo telo mentalno razdeliti na dovolj majhne elemente, za katere se lahko šteje, da točke ležijo na enaki razdalji od vrtilne osi, nato pa poiskati produkt mase vsakega elementa s kvadratom njegove oddaljenosti od osi in na koncu seštejemo vse nastale produkte. Očitno je to zelo zamudno opravilo. Šteti
Vztrajnostne momente teles pravilne geometrijske oblike lahko uporabimo v številnih primerih z uporabo metod integralnega računa.
Določanje končne vsote vztrajnostnih momentov elementov telesa bomo nadomestili s seštevanjem neskončno velikega števila vztrajnostnih momentov, izračunanih za neskončno majhne elemente:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (pri Δm → 0).
Izračunajmo vztrajnostni moment homogenega diska ali trdnega valja z višino h glede na svojo simetrično os
Razdelimo disk na elemente v obliki tankih koncentričnih obročev s središči na njegovi simetrični osi. Nastali obročki imajo notranji premer r in zunanje r+dr, in višino h. Ker dr<< r
, potem lahko domnevamo, da je oddaljenost vseh točk obroča od osi enaka r.
Za vsak posamezen obroč vztrajnostni moment
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Kje ΣΔm− masa celotnega obroča.
Glasnost zvonjenja 2πrhdr. Če je gostota materiala diska ρ
, nato maso obroča
ρ2πrhdr.
Vztrajnostni moment obroča
i = 2πρhr 3 dr.
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
I = (1/2)πρhR 4.
Toda masa diska m = ρπhR 2, torej,
I = (1/2)mR 2.
Predstavimo (brez izračuna) vztrajnostne momente za nekatera telesa pravilne geometrijske oblike, izdelana iz homogenih materialov.
1. Vztrajnostni moment tankega obroča glede na os, ki poteka skozi njegovo središče pravokotno na njegovo ravnino (ali tankostenskega votlega valja glede na njegovo simetrično os):
I = mR 2.
2. Vztrajnostni moment debelostenskega valja glede na simetrijsko os:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Kje R 1− notranji in R 2− zunanji radiji.
3.
Vztrajnostni moment diska glede na os, ki sovpada z enim od njegovih premerov:
I = (1/4)mR 2.
4. Vztrajnostni moment trdnega valja glede na os, ki je pravokotna na generatriko in poteka skozi njeno sredino:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Kje R− polmer osnove valja, h− višina cilindra.
5.
Vztrajnostni moment tanke palice glede na os, ki poteka skozi njeno sredino:
I = (1/12)ml 2,
Kje l− dolžina palice.
6.
Vztrajnostni moment tanke palice glede na os, ki poteka skozi enega od njenih koncev:
I = (1/3)ml 2
7. Vztrajnostni moment krogle glede na os, ki sovpada z enim od njegovih premerov:
I = (2/5)mR 2.
Če je vztrajnostni moment telesa znan glede osi, ki poteka skozi njegovo središče mase, potem lahko vztrajnostni moment glede na katero koli drugo os, ki je vzporedna s prvo, najdemo na podlagi tako imenovanega Huygens-Steinerjevega izreka.
Vztrajnostni moment telesa jaz glede na katero koli os je enak vztrajnostnemu momentu telesa jaz s glede na os, ki je vzporedna z dano in poteka skozi središče mase telesa, plus masa telesa m, pomnoženo s kvadratom razdalje l med osema:
I = I c + ml 2.
Za primer izračunajmo vztrajnostni moment krogle s polmerom R in masa m, obešena na nit dolžine l glede na os, ki poteka skozi točko obešanja O. Masa niti je majhna v primerjavi z maso krogle. Od vztrajnostnega momenta krogle glede na os, ki poteka skozi središče mase Ic = (2/5)mR 2, in razdaljo
med osema ( l + R), potem vztrajnostni moment okoli osi, ki poteka skozi točko vzmetenja:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimenzija vztrajnostnega momenta:
[I] = [m] × = ML 2.
Za objavo komentarjev se prijavite ali registrirajte
V vsakem sistemu delcev obstaja ena izjemna točka Z- središče vztrajnosti, oz središče mase, - ki ima številne zanimive in pomembne lastnosti. Središče mase je točka uporabe vektorja gibalne količine sistema, saj je vektor katerega koli impulza polarni vektor. Položaj točke Z glede na začetek O danega referenčnega sistema je označen s polmernim vektorjem, določenim z naslednjo formulo:
Upoštevati je treba, da središče mase sistema sovpada z njegovim težiščem. Res je, da je ta izjava resnična le v primeru, ko se gravitacijsko polje znotraj danega sistema lahko šteje za homogeno.
Poiščimo hitrost središča mase v tem referenčnem sistemu. Z diferenciranjem (4.8) glede na čas dobimo
tiste. gibalna količina sistema je enaka produktu mase sistema in hitrosti njegovega masnega središča.
Dobimo enačbo gibanja središča mase. Koncept središča mase nam omogoča, da damo enačbi (4.4) drugačno obliko, ki se pogosto izkaže za bolj priročno. Za to je dovolj, da nadomestimo (4.10) v (4.4) in upoštevamo, da je masa sistema kot takega stalna količina. Potem dobimo
| , | (4.11) |
kjer je rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem. Tako je enačba gibanja središča mase sistemov je ena najpomembnejših enačb mehanike. Po tej enačbi je Ko se kateri koli sistem delcev premika, se njegovo vztrajnostno središče premika, kot da bi bila vsa masa sistema skoncentrirana na tej točki in bi nanj delovale vse zunanje sile., ki deluje na sistem. V tem primeru je pospešek vztrajnostnega središča popolnoma neodvisen od točk uporabe zunanjih sil.
torej če se središče mase sistema giblje enakomerno in premočrtno, to pomeni, da je njegova gibalna količina ohranjena v procesu gibanja. Seveda velja tudi obratno.
Enačba (4.11). njegova oblika sovpada z osnovno enačbo dinamike materialne točke in je njena naravna posplošitev na sistem delcev: pospešek sistema kot celote je sorazmeren z rezultanto vseh zunanjih sil in obratno sorazmeren s skupno maso delcev. sistem. Spomnimo se, da v neinercialnih referenčnih sistemih rezultanta vseh zunanjih sil vključuje tako sile interakcije z okoliškimi telesi kot vztrajnostne sile.
Oglejmo si več primerov gibanja središča mase sistema.
Primer 1. Pokažimo, kako lahko problem s človekom na splavu (str. 90) rešimo še drugače, s konceptom masnega središča.
Ker je upor vode zanemarljiv, je rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem človek-splav, enaka nič. To pomeni, da se položaj vztrajnostnega središča tega sistema med gibanjem osebe (in splava) ne bo spreminjal, tj.
.
kjer sta in radijska vektorja, ki označujeta položaje masnih središč osebe in splava glede na določeno točko na obali. Iz te enakosti najdemo povezavo med prirastki vektorjev in
Ob upoštevanju, da prirastki predstavljajo gibanje osebe in splava glede na obalo, ugotovimo gibanje splava:
Primer 2. Moški skoči s stolpa v vodo. Gibanje skakalca je v splošnem primeru zelo zapleteno. Če pa je zračni upor zanemarljiv, potem lahko takoj trdimo, da se vztrajnostno središče skakalca giblje po paraboli, kot materialna točka, na katero deluje stalna sila tam, kjer je masa človeka.
Primer 3. Zaprta veriga, ki je z navojem povezana s koncem osi centrifugalnega stroja, se enakomerno vrti okoli navpične osi s kotno hitrostjo (slika 4.4). V tem primeru nit tvori kot z
navpično. Kako se obnaša vztrajnostno središče verige?
Najprej je jasno, da se pri enakomernem vrtenju vztrajnostno središče verige ne premika v navpični smeri. To pomeni, da navpična komponenta sile T napetosti niti kompenzira gravitacijsko silo (slika 4.4, desno). Horizontalna komponenta natezne sile je konstantna po velikosti in je vedno usmerjena proti osi vrtenja.
Iz tega sledi, da se središče mase verige - točka C - premika vzdolž vodoravnega kroga, katerega polmer je mogoče zlahka najti s formulo (4.11), zapisano v obliki
kje je masa verige. V tem primeru se točka C vedno nahaja med osjo vrtenja in navojem, kot je prikazano na sl. 4.4.
V tistih pogostih primerih, ko nas zanima le relativno gibanje delcev znotraj sistema, ne pa tudi gibanje tega sistema kot celote, je najbolj priporočljivo uporabiti referenčni sistem, v katerem težišče mase miruje. . To omogoča bistveno poenostavitev tako analize pojava kot izračunov.
Referenčni okvir, ki je togo povezan s središčem mase danega sistema delcev in se premika translatorno glede na inercialne sisteme, se imenuje sistem središča mase ali na kratko, C-sistem(oznaka sistema je povezana s prvo črko besede center v latinščini). Posebnost tega sistema je, da je skupni zagon sistema delcev v njem enak nič - to neposredno izhaja iz formule (4.10). Z drugimi besedami, vsak sistem delcev kot celota temelji na svojem - C-sistem.
Za zaprt sistem delcev svoje Z- sistem je inercialen, pri odprtem sistemu pa v splošnem primeru neinercialen.
Poiščimo povezavo med vrednostmi mehanske energije sistema v K in Z referenčni sistemi. Začnimo s kinetično energijo sistema. Hitrost delcev v K-sistem lahko predstavimo kot vsoto hitrosti, kjer je in je hitrost tega delca v Z-sistem in hitrost sistema središča mase glede na K- referenčni sistemi oz. Potem ga lahko zapišete.
Kotna količina delca(materialna točka) glede na točko O se imenuje vektorska količina, ki je enaka:
L- aksialni vektor. Smer vektorja vrtilne količine L je določena tako, da vrtenje okoli točke O v smeri vektorja p okoli osi, ki poteka skozi točko O, upošteva pravilo desnega vijaka. Vektorji r, p in L tvorijo desni sistem. V sistemu SI ima kotna količina mersko enoto: [L]=1 kg m 2 /s.
Oglejmo si dva primera izračunavanja vrtilne količine delca glede na točko O.
Primer 1. Delec se giblje po ravni tirnici, masa delca je m, gibalna količina je p. Poiščimo L in ½ L1. Naredimo risbo.
iz formule (22.4.) sledi, da se modul vrtilne količine lahko spremeni le zaradi spremembe modula hitrosti, ker pri premikanju po ravni poti ramo l ostane konstantna.
Primer 2. Delec z maso m se giblje v krogu s polmerom R s hitrostjo V. Poiščimo L in ½ L½. Naredimo risbo.
Slika 22.3 Smer vektorja momenta delca, ki se giblje v krogu polmera R s hitrostjo V.
|
(22 .5 ) |
|
(22 .6 ) |
Kotno količino obravnavamo glede na točko C. Iz formule (22.6.) sledi, da se modul kotne količine lahko spreminja samo zaradi spremembe modula hitrosti. Kljub zvezni spremembi smeri vektorja p ostaja smer vektorja L konstantna.
Poleg ohranjanja gibalne količine in energije v zaprtih sistemih se ohranja še ena fizikalna količina - gibalna količina. Oglejmo si najprej vektorski produkt vektorjev in (slika 32).
Vektorski produkt vektorjev je vektor, katerega modul je enak:
kjer je kot med vektorjema in .
Smer vektorja je določena s pravilom gimleta, če ga zavrtimo od do po najkrajši poti.
Obstaja izraz za določanje navzkrižnega produkta:
1. Moment sile glede na točko in glede na os.
Najprej predstavimo koncept momenta sile. Naj na delec, katerega položaj je določen s pomočjo vektorja radija glede na izhodišče točke 0, deluje neka sila (slika 33).
Recimo moment sile glede na točko 0 vektorska količina:
V tem primeru je vektor momenta sile usmerjen pravokotno na ravnino risbe proti nam. Iz slike sledi, da je vrednost . Recimo temu trenutna roka. Momentni krak sile je razdalja od referenčne točke 0 do premice delovanja sile.
Moment sile glede na neko os, ki poteka skozi točko 0, je projekcija vektorja momenta sile glede na točko 0 na to os.
2. Trenutek par sil. Lastnosti momenta par sil.
Oglejmo si dve vzporedni sili, enaki po velikosti, nasprotni smeri, ki ne delujeta vzdolž iste premice (slika 34). Take sile imenujemo par sil. Razdalja med premicama, vzdolž katerih te sile delujejo, se imenuje krak para.
Tu so uvedeni naslednji zapisi:
Radij vektorja točke delovanja sile,
Radij vektorja točke delovanja sile glede na točko delovanja sile.
Skupni moment tega para sil definiramo kot:
Ker sile tvorijo par, sledi:
Vidimo lahko, da moment par sil ni odvisen od izbire izvora točk uporabe sil.
3. Kotna količina delca glede na os in glede na točko.
Pojdimo zdaj na koncept kotne količine. Naj se delec z maso m, katerega lego določimo s pomočjo vektorja radija glede na izhodišče točke 0, giblje s hitrostjo (slika 35).
Predstavimo vektor, ki ga bomo imenovali vrtilna količina delca glede na točko 0. Velino bomo imenovali vrtilna količina delca glede na točko 0.
Kotna količina glede na os, ki poteka skozi točko 0, je projekcija vrtilne količine glede na točko na to os.
1. Razmislite o gibanju vzdolž ravne črte. Na višini h letalo z maso m leti vodoravno s hitrostjo V (slika 36).
Poiščimo gibalno količino letala glede na neko točko 0. Modul gibalne količine je enak zmnožku impulza in njegovega kraka. V tem primeru je momentna roka enaka h. Zato:
2. Razmislite o gibanju v krogu. Delec z maso m se giblje po krožnici s polmerom R s konstantno absolutno hitrostjo V (slika 37). Poiščite kotno količino delca glede na središče kroga 0.
Impuls delca M== рR=const.
4. Enačba momentov delcev
Po definiciji je kotna količina delca glede na neko točko 0 enaka:
Poiščimo časovni odvod desne in leve strani tega izraza:
Prvi člen gre v nič v skladu s pravilom vektorskega produkta. Končno imamo:
Ta izraz se imenuje enačba momenta delcev.
Hitrost spremembe vrtilne količine je enaka momentu sile.
5. Gibalna količina sistema delcev.
Zakon o spremembi in ohranitvi vrtilne količine sistema delcev.
Razmislimo o sistemu medsebojnih interakcij delcev, na katere delujejo zunanje sile. Nastavimo položaj delcev tega sistema v prostoru s pomočjo radijskih vektorjev glede na neko referenčno točko 0. Zapišimo celotno kotno količino tega sistema glede na točko:
Poiščimo spremembo skupnega trenutka:
Zapišimo ta sistem enačb:
…………………………………..
Seštejmo levo in desno stran tega sistema in upoštevajmo seznanjene vsote v prvem členu na desni.
Po tretjem Newtonovem zakonu bodo tudi vse druge parne vsote izginile. Posledično je skupni moment vseh notranjih sil interakcije med delci enak nič. Potem ostane:
Kotna količina sistema delcev spremeni kotno količino zunanjih sil. Za zaprt sistem delcev je zakon o ohranitvi vrtilne količine izpolnjen.
6. Orbitalni in intrinzični kotni moment sistema delcev.
Oglejmo si sistem N delcev, katerih položaj je določen z uporabo radijskih vektorjev glede na neko referenčno točko 0 (slika 38).
Naj bo položaj središča mase C tega sistema določen s pomočjo vektorja radija. Potem bo položaj i-tega delca glede na izvor 0 določen kot:
Zapišimo celotno kotno količino sistema delcev glede na izhodišče 0:
Prvi člen bomo imenovali orbitalni kotni moment sistema:
Drugi člen bomo imenovali lastna kotna količina sistema:
Potem ima skupni kotni moment sistema glede na referenčno točko 0 obliko:
7.Gibanje v centralnem polju sil.
Oglejmo si delec, ki se giblje v centralnem polju sil. Spomnimo se, da je v takem polju sila, ki deluje na delec, odvisna samo od razdalje med delcem in izvorom. Poleg tega je sila vedno usmerjena vzdolž vektorja radija delca.
Zlahka je razumeti, da je v tem primeru moment središčne sile enak nič in je zato izpolnjen zakon o ohranitvi kotne količine glede na izvor.
Ker je trajektorija delca vedno v ravnini, v kateri ležita vektorja sile in vektor radija. V osrednjem polju se delci gibljejo po ravnih trajektorijah.
V času dt bo polmer vektorja delca opisal ploskev dS (slika 39).
To območje je enako polovici površine paralelograma, zgrajenega na vektorju polmera in elementarnem vektorju premika. Kot je znano, je površina takšnega paralelograma enaka modulu vektorskega produkta. Tako lahko sedaj zapišemo:
Količino imenujemo sektorska hitrost in zanjo dobimo izraz:
Ker v centralnem polju M =const, potem posledično ostane sektorska hitrost konstantna.
Sklep: ko se delec giblje v centralnem polju sil, opisuje njegov radij vektor enaka območja v enakih časovnih obdobjih.
Ta izjava je drugi Keplerjev zakon.
8. Problem dveh teles.
Problem gibanja delcev v centralnem polju sil ima veliko aplikacij. Razmislimo o problemu gibanja dveh teles. Oglejmo si dva delca, ki delujeta samo drug z drugim. Ugotovimo, kako se obnaša središče mase takega sistema. Iz izreka o gibanju masnega središča zaprtega sistema lahko sklepamo, da bodisi miruje bodisi se giblje premočrtno in enakomerno.
Reševali bomo problem dveh teles v sistemu njunega masnega središča. Kot je znano, se radijski vektor središča mase sistema določi z izrazom:
Iz zakona o ohranitvi gibalne količine takega zaprtega sistema sledi, da:
Vstavimo vektor polmera, ki določa položaj drugega delca glede na prvega (slika 40):
Nato lahko dobimo izraze za povezavo radijskih vektorjev, ki določajo položaj delcev glede na njihovo skupno središče mase, z radijnim vektorjem njihovega relativnega položaja:
Oglejmo si zdaj ta problem z energetskega vidika. Z in označimo hitrosti delcev glede na njihovo središče mase, z - pa hitrost drugega delca glede na prvega. Potem lahko iz zakona o ohranitvi gibalne količine sistema delcev dobimo naslednje izraze:
Zapišimo celotno mehansko energijo tega sistema delcev:
Tukaj je U(r 21) lastna potencialna energija sistema.
Ta izraz je mogoče preoblikovati na naslednji način:
kjer je uvedena naslednja oznaka - zmanjšana masa.
Z energetskega vidika vidimo, da se ta sistem delcev obnaša kot en delec z zmanjšano maso, ki se giblje z relativno hitrostjo. Problem dveh teles se reducira na problem gibanja enega telesa.
Če je odvisnost znana, je mogoče rešiti glavni problem, tj. poiščite odvisnosti in .
Zapišimo enačbo gibanja (drugi Newtonov zakon) za vsakega izmed delcev v osrednjem polju:
Na desni strani druge enačbe je znak minus, ker .
Če prvo enačbo delimo z m 1 in drugo z m 2, dobimo:
Odštejte prvo enačbo od druge:
Potem končno:
Od tu lahko najdete odvisnost.
9. Gibanje umetnih satelitov. Vesoljske hitrosti.
Razmislimo o gibanju umetnega satelita Zemlje blizu njene površine. Ker na satelit deluje samo ena sila - sila gravitacijske privlačnosti na Zemljo, lahko zapišemo enačbo za njegovo krožno gibanje:
kjer je m masa satelita, M je masa Zemlje, Rz je polmer Zemlje.
Tukaj lahko dobite satelitsko hitrost:
Če zamenjamo ustrezne vrednosti, dobimo hitrost V 1 = 8 km/s.
Ta hitrost se imenuje prvi prostor(hitrost, ki jo je treba prenesti na telo, da postane satelit Zemlje blizu njene površine).
Obravnavali smo najpreprostejši primer satelita, ki se giblje po krožni orbiti. Vendar, kot kaže teorija, so v problemu dveh teles možne druge trajektorije gibanja enega delca glede na drugega - elipse, hiperbole in parabole. Eliptične orbite ustrezajo negativni vrednosti celotne mehanske energije sistema, hiperbolične orbite ustrezajo pozitivni vrednosti skupne mehanske energije, parabolične orbite pa ustrezajo vrednosti skupne mehanske energije, ki je enaka nič.
Poiščimo t.i ubežna hitrost. To je hitrost, ki jo je treba prenesti na telo, da postane satelit Sonca, medtem ko se mora telo gibati po parabolični tirnici.
Zapišimo celotno mehansko energijo sistema satelit-Zemlja, če upoštevamo Zemljo negibno:
Če celotno mehansko energijo izenačimo z nič, dobimo drugo ubežno hitrost:
Če zamenjamo ustrezne vrednosti, dobimo V 2 = 11,2 km/s.
MEHANIKA TRDIH
VIII. Kinematika togega telesa
1. Popolnoma trdno telo. Ravninsko gibanje togega telesa in njegova razgradnja na translacijsko in rotacijsko.
Doslej smo kot fizični model uporabljali materialno točko, vendar vseh problemov ni mogoče rešiti v tem približku. Preidimo zdaj k obravnavanju t.i popolnoma trdna telesa. Absolutno trdno telo je telo, pri katerem se razdalja med delci, iz katerih je sestavljeno, ne spreminja. Z drugimi besedami, to je popolnoma nedeformabilno telo.
Bomo razmislili ravno gibanje togo telo, pri katerem med gibanjem katera koli njegova točka ostane v eni od vzporednih ravnin. Pri ravninskem gibanju trajektorije vsake točke togega telesa ležijo v isti ravnini, ravnine vseh trajektorij pa sovpadajo ali so vzporedne.
Vsako zapleteno gibanje togega telesa lahko predstavimo kot vsoto enostavnejših gibanj: translacijskega in rotacijskega. . Progresivno je gibanje togega telesa, pri katerem premica, ki povezuje katerikoli dve točki telesa, ohrani svojo smer v prostoru. Gibanje naprej ni nujno linearno, na primer kabina v panoramskem kolesu (slika 41).
Rotacijski je gibanje, pri katerem so trajektorije vseh točk togega telesa koncentrične krožnice s središčem na vrtilni osi. Valj, ki se kotali po mizi, je podvržen translacijskemu in rotacijskemu gibanju okoli svoje simetrične osi.
Pokažimo, kako lahko ravninsko gibanje razčlenimo na translacijsko in rotacijsko (slika 42).
Iz slike je razvidno, da se lahko telo iz položaja 1 v položaj 2 premakne najprej v položaj translacijsko, nato pa v položaj 2 rotacijsko okoli osi. To delitev na translacijsko in rotacijsko gibanje lahko izvedemo na neskončno veliko načinov, vendar se v tem primeru vrtenje izvaja vedno pod istim kotom.
Tako lahko ravninsko gibanje predstavimo kot translacijsko z enako hitrostjo za vse točke telesa in rotacijsko z enako kotno hitrostjo. Za linearne hitrosti točk togega telesa lahko to zapišemo kot:
Tukaj je polmerni vektor katere koli točke na togem telesu.
Na primer, kotaljenje valja po vodoravni površini (slika 43) lahko predstavimo kot translacijsko gibanje vseh točk s hitrostjo V 0 in vrtenje okoli osi, ki sovpada z njegovo simetrično osjo 0, s kotno hitrostjo ., ali kot translacijo gibanje s hitrostjo in vrtenje s to isto kotno hitrostjo, vendar okoli osi.
Gibanje togega telesa lahko predstavimo kot niz samih vrtljajev okoli tako imenovane trenutne osi. Ta os se lahko nahaja znotraj samega trdnega telesa, lahko pa je tudi zunaj njega. Položaj trenutne osi se s časom spreminja. Pri kotaljenju valja trenutna os sovpada s črto tangencije valja z ravnino.
Upodabljajmo ga na sl. 44 smer trenutnih hitrosti nekaterih točk valja glede na fiksni referenčni sistem. Hitrost točke A je v vsakem trenutku enaka nič, ker sestavljena je iz translacijske hitrosti in linearne hitrosti, ki sta enaki po velikosti. Hitrost točke C je enaka dvakratni hitrosti itd.
Poglejmo, kako je usmerjena hitrost glede na fiksni referenčni okvir katere koli točke na valju. Da bi to naredili, zapišemo pogoj absolutno togega telesa za dve poljubni točki v naslednji obliki:
Časovno ločimo desno in levo stran:
Povežimo točko A s trenutno vrtilno osjo, nato in . Zato imamo:
Iz tega pogoja sledi, da so ustrezni vektorji pravokotni, tj. .
Poleg energije in gibalne količine obstaja še ena fizikalna količina. Ohranitveni zakon je povezan z vrtilno količino. Kotna količina delca glede na točko O je vektor 
enaka 
,
- polmer; - utrip.
Tisti. 
je??? vektor. Njena smer je izbrana tako, da vrtenje okoli O v smeri 
in vektor 
tvori desnosučni sistem. Modul 
kot med 
in 
ramenski vektor 
glede O.
Ugotovimo, katera količina je povezana s spremembo vektorja 
pravočasno:
.
T 
.ker je torej negiben 
enaka hitrosti delcev, tj. sovpada z 
, tj. 
. Nadalje 
- Newtonov drugi zakon in 
; Magnituda 
- osni vektor momenta sile. 
,
- moč ramen 
glede na.
Torej izpeljanka glede na 
kotni moment 
delec, glede na neko točko izbranega referenčnega sistema enak momentu rezultante sile 
glede na to točko 
. To enačbo imenujemo enačba momentov.
Če je referenčni sistem neinercialen, potem v trenutku sile 
vključuje tako moment interakcijskih sil kot moment vztrajnostnih sil (glede na isto točko). Iz momentne enačbe sledi, da če 
, To 
- enakomerno rotacijsko gibanje. Tisti. če je moment vseh sil glede na točko O referenčnega sistema enak O, v obdobju, ki nas zanima 
, potem kotna količina delca glede na to točko ostane konstantna.
Enačba trenutka nam omogoča, da najdemo 
točke glede na O kadar koli, če so znane 
delcev glede na točko. Če želite to narediti, je dovolj, da enačbo razlikujete 
. Poleg tega, če je odvisnost znana 
, potem lahko najdete prirastek vrtilne količine delca glede na TS za poljubno časovno obdobje. Za to je potrebno enačbo integrirati 
, Potem
Izraz 
- impulzni moment sile podobno 
, tj. prirastek gibalne količine delca v katerem koli časovnem obdobju je enak gibalni količini kotne količine na e
tisti čas.
4.3. Impulzni moment in moment sile okoli osi.
IN 
Vzemimo poljubno fiksno os v referenčnem sistemu, ki nas zanima 
. Naj glede na neko os TS 
kotna količina delca je enaka 
, in moment sile 
. Gibalna količina okoli osi 
imenujemo projekcijo na to vektorsko os 
, definirana glede na poljubno točko O dane osi. Podobno je uveden koncept momenta sile glede na os 
. Enačba momenta okoli osi 
tiste. derivat iz 
relativno 
enako 
glede na to os. Še posebej, ko 
. Tisti. če je moment relativen glede na neko os 
je enako 0, potem 
ostane konstantna glede na to os. V tem primeru vektor 
se spreminja.
4.4. Zakon o ohranitvi kotne količine sistema.
Oglejmo si sistem, sestavljen iz 2 delcev, na katera prav tako delujejo sile 
in 
. Zagon je aditivna količina. Za sistem je enaka vektorski vsoti vrtilnih količin posameznih delcev glede na isto točko 
.
To vemo 
-moment vseh sil, ki delujejo na delec, in sprememba momenta sistema 
, Potem 
;
;
- skupni moment vseh notranjih sil, ki delujejo na delce.
- skupni moment vseh zunanjih sil, ki delujejo na delce.
Torej za dva delca:
Skupni moment notranjih sil glede na katero koli točko je enak 0. interakcijske sile med delci 
3 vsak mu
Newtonov zakon deluje v eni ravni liniji, kar pomeni, da imata enako ramo, zato je moment vsakega para notranjih sil enak 0.
to. 
; tiste. sistemi se spreminjajo pod vplivom zunanjih sil 
. Če ni zunanjih sil 
,
, je torej aditivno ohranjena količina. Tisti. Kotna količina zaprtega sistema delcev ostaja konstantna in se s časom ne spreminja. To velja za katero koli točko v inercialnem okvirju: 
tiste. momenti impulza posameznih delov 
en del sistema nastane zaradi izgube 
drugi del (glede na eno točko).
Zakon velja tudi v neinercialnem referenčnem sistemu v primerih, ko je skupni moment vseh zunanjih sil, vključno z vztrajnostnimi silami, enak nič.
Z 
Zakon ima enako vlogo kot zakon o ohranitvi gibalne energije. Omogoča vam reševanje različnih problemov brez podrobnega upoštevanja notranjih procesov. Primer: pospeševanje????
Zagon 
;
tiste. 
zmanjša kot 
. Ta učinek pogosto uporabljajo telovadci, umetnostni drsalci itd. tukaj nas zanimajo interakcijske sile itd. v sistemih z odprto zanko morda sam ni ohranjen 
, in njegovo projekcijo na neko fiksno os 
. To se zgodi, ko 
vse zunanje sile.
;
;
V fiziki je pojem kotne količine razširjen na nemehanske sisteme (z elektromagnetnim sevanjem, v atomih, jedrih itd.), kjer Newtonovi zakoni ne veljajo. Tukaj zakon o ohranitvi kotne količine ni več posledica Newtonovih zakonov, ampak predstavlja neodvisen Načelo je posplošitev eksperimentalnih dejstev in je poleg zakonov o ohranitvi energije in gibalne količine eden temeljnih zakonov.
