domov Država

Stopinje so enake, osnove pa različne. Pravilo za delitev moči

Vsaka aritmetična operacija včasih postane prezapletena za pisanje in jo skušajo poenostaviti. Tako je bilo nekoč pri operaciji seštevanja. Ljudje so morali izvesti večkratno dodajanje iste vrste, na primer, da bi izračunali stroške sto perzijskih preprog, katerih cena je 3 zlate kovance za vsako. 3+3+3+…+3 = 300. Zaradi njegove okorne narave je bilo odločeno, da zapis skrajšamo na 3 * 100 = 300. Pravzaprav zapis "tri krat sto" pomeni, da morate vzeti eno sto tri in jih seštejte. Množenje se je prijelo in pridobilo splošno popularnost. Toda svet ne miruje in v srednjem veku se je pojavila potreba po večkratnem množenju iste vrste. Spomnim se stare indijske uganke o modrecu, ki je kot nagrado za opravljeno delo zahteval pšenična zrna v naslednjih količinah: za prvo polje na šahovnici je prosil eno zrno, za drugo dve, za tretje štiri, za peto - osem in tako naprej. Tako se je pojavilo prvo množenje potenc, saj je bilo število zrn enako dve potenci števila celice. Na primer, na zadnji celici bi bilo 2*2*2*...*2 = 2^63 zrn, kar je enako številki, dolgi 18 znakov, kar je pravzaprav pomen uganke.

Operacija potence se je precej hitro prijela, hitro pa se je pojavila tudi potreba po seštevanju, odštevanju, deljenju in množenju potence. Slednje je vredno razmisliti podrobneje. Formule za dodajanje potenc so preproste in si jih je lahko zapomniti. Poleg tega je zelo enostavno razumeti, od kod prihajajo, če potenčno operacijo nadomestimo z množenjem. Toda najprej morate razumeti nekaj osnovne terminologije. Izraz a^b (beri »a na potenco b«) pomeni, da je treba število a pomnožiti s samim seboj b-krat, pri čemer se »a« imenuje osnova potence, »b« pa potenčni eksponent. Če so osnove stopinj enake, potem se formule izpeljejo precej preprosto. Poseben primer: poiščite vrednost izraza 2^3 * 2^4. Če želite vedeti, kaj bi se moralo zgoditi, bi morali najti odgovor v računalniku, preden začnete reševati. Če ta izraz vnesete v kateri koli spletni kalkulator, iskalnik, vtipkate »potence množenja z različnimi osnovami in enakimi« ali matematični paket, bo rezultat 128. Zdaj pa zapišimo ta izraz: 2^3 = 2*2*2, in 2^4 = 2 *2*2*2. Izkazalo se je, da je 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Izkaže se, da je zmnožek potenc z isto osnovo enak osnovi, dvignjeni na potenco, ki je enaka vsoti prejšnjih dveh potenc.

Morda mislite, da je to nesreča, vendar ne: vsak drug primer lahko samo potrdi to pravilo. Tako je na splošno formula videti takole: a^n * a^m = a^(n+m) . Obstaja tudi pravilo, da je vsako število na ničelno potenco enako ena. Tukaj se spomnimo pravila negativnih potenc: a^(-n) = 1 / a^n. Če je 2^3 = 8, potem je 2^(-3) = 1/8. S tem pravilom lahko dokažete veljavnost enakosti a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) lahko zmanjšamo in ostane en. Od tod izhaja pravilo, da je količnik potenc z enakimi osnovami enak tej osnovi do stopnje, ki je enaka kvocientu dividenda in delitelja: a^n: a^m = a^(n-m) . Primer: poenostavite izraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Množenje je komutativna operacija, zato morate najprej sešteti eksponente množenja: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Nato se morate ukvarjati z deljenjem z negativno potenco. Od eksponenta dividende je potrebno odšteti eksponent delitelja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3. = 8. Izkaže se, da je operacija deljenja z negativno stopnjo enaka operaciji množenja s podobnim pozitivnim eksponentom. Končni odgovor je torej 8.

Obstajajo primeri, kjer pride do nekanoničnega množenja potenc. Množenje potence z različnimi bazami je pogosto veliko težje, včasih pa celo nemogoče. Treba je navesti nekaj primerov različnih možnih tehnik. Primer: poenostavite izraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Očitno obstaja množenje potenc z različnimi osnovami. Vendar je treba opozoriti, da so vse baze različne moči treh. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Z uporabo pravila (a^n) ^m = a^(n*m) bi morali izraz prepisati v bolj priročni obliki: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odgovor: 3^11. V primerih, ko obstajajo različne baze, pravilo a^n * b^n = (a*b) ^n deluje za enake indikatorje. Na primer, 3^3 * 7^3 = 21^3. V nasprotnem primeru, ko so osnove in eksponenti različni, popolnega množenja ni mogoče izvesti. Včasih lahko delno poenostavite ali se zatečete k pomoči računalniške tehnologije.

Kako pomnožiti moči? Katere moči je mogoče množiti in katere ne? Kako pomnožiti število s potenco?

V algebri lahko najdete produkt potenc v dveh primerih:

1) če imajo stopnje enake baze;

2) če imajo stopnje enake kazalnike.

Pri množenju potenc z enakimi osnovami je treba osnovo pustiti enako, eksponente pa dodati:

Pri množenju stopinj z enakimi indikatorji lahko skupni indikator vzamemo iz oklepajev:

Oglejmo si, kako pomnožimo potence na konkretnih primerih.

Enota ni zapisana v eksponentu, ampak pri množenju potenc upoštevajo:

Pri množenju je lahko poljubno število potenc. Ne smemo pozabiti, da vam pred črko ni treba napisati znaka za množenje:

V izrazih se najprej izvede potenciranje.

Če morate število pomnožiti s potenco, morate najprej izvesti potenciranje in šele nato množenje:

www.algebraclass.ru

Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje potenc

Seštevanje in odštevanje potenc

Očitno je, da lahko števila s potencami seštevamo kot druge količine , tako da jih dodate enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej je vsota a 3 in b 2 a 3 + b 2.
Vsota a 3 - b n in h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

kvote enake moči enakih spremenljivk lahko dodamo ali odštejemo.

Torej je vsota 2a 2 in 3a 2 enaka 5a 2.

Očitno je tudi, da če vzamete dva polja a, ali tri polja a, ali pet polj a.

Ampak stopinje različne spremenljivke in različne stopnje identične spremenljivke, je treba sestaviti tako, da jih seštejemo z njihovimi znaki.

Torej je vsota 2 in 3 vsota 2 + 3.

Očitno je, da kvadrat a in kocka a nista enaka dvakratnemu kvadratu a, ampak dvakratni kubu a.

Vsota a 3 b n in 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odštevanje potence se izvajajo na enak način kot seštevanje, le da je treba ustrezno spremeniti znake subtrahendov.

ali:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moči

Števila s potencami lahko množimo tako kot druge količine tako, da jih zapišemo eno za drugo, z ali brez znaka za množenje med njimi.

Tako je rezultat množenja a 3 z b 2 a 3 b 2 ali aaabb.

ali:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat v zadnjem primeru lahko uredite z dodajanjem enakih spremenljivk.
Izraz bo imel obliko: a 5 b 5 y 3.

Če primerjamo več števil (spremenljivk) s potencami, lahko vidimo, da če pomnožimo kateri koli dve od njiju, je rezultat število (spremenljivka) s potenco, ki je enaka znesek stopnje pogojev.

Torej, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tukaj je 5 potenca rezultata množenja, ki je enak 2 + 3, vsoti potenc členov.

Torej, a n .a m = a m+n .

Za a n se a vzame kot faktor tolikokrat, kot je potenca n;

In a m se vzame kot faktor tolikokrat, kolikor je stopinja m enaka;

Zato, potence z enakimi osnovami lahko pomnožimo s seštevanjem eksponentov potenc.

Torej, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . In x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ali:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnoži (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja tudi za števila, katerih eksponenti so negativno.

1. Torej, a -2 .a -3 = a -5 . To lahko zapišemo kot (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Če a + b pomnožimo z a - b, bo rezultat a 2 - b 2: to je

Rezultat množenja vsote ali razlike dveh števil je enak vsoti ali razliki njunih kvadratov.

Če pomnožite vsoto in razliko dveh števil, dvignjenih na kvadrat, bo rezultat enak vsoti ali razliki teh števil v četrti stopnje.

Torej, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Delitev stopinj

Števila s potencami lahko delimo tako kot druga števila, tako da jih odštejemo od dividende ali jih postavimo v ulomek.

Tako je a 3 b 2 deljeno z b 2 enako a 3.

Pisanje 5 deljeno s 3 je videti kot $\frac $. Toda to je enako 2 . V nizu številk
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
poljubno število lahko delimo z drugim in eksponent bo enak Razlika indikatorji deljivih števil.

Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo..

Torej, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. To je $\frac = y$.

In a n+1:a = a n+1-1 = a n. To je $\frac = a^n$.

ali:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Pravilo velja tudi za števila z negativno vrednosti stopinj.
Rezultat deljenja -5 z -3 je -2.
Tudi $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ali $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Zelo dobro je treba obvladati množenje in deljenje potenc, saj se takšne operacije zelo pogosto uporabljajo v algebri.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potencami

1. Zmanjšaj eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Zmanjšaj eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ali 2x.

3. Eksponenta a 2 /a 3 in a -3 /a -4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
a 2 .a -4 je a -2 prvi števec.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi števec.
a 3 .a -4 je a -1 , skupni števec.
Po poenostavitvi: a -2 /a -1 in 1/a -1 .

4. Eksponenta 2a 4 /5a 3 in 2 /a 4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 in 5a 5 /5a 7 ali 2a 3 /5a 2 in 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 z (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 z (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x in a n /y -3.

8. Deli a 4 /y 3 s 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

Lastnosti stopnje

Spomnimo vas, da bomo v tej lekciji razumeli lastnosti stopinj z naravnimi indikatorji in ničlo. Potence z racionalnimi eksponenti in njihove lastnosti bomo obravnavali pri pouku za 8. razred.

Potencija z naravnim eksponentom ima več pomembnih lastnosti, ki nam omogočajo poenostavitev izračunov v primerih s potenci.

Nepremičnina št. 1
Produkt moči

Pri množenju potenc z enakimi osnovami ostane osnova nespremenjena, eksponenti potenc pa se seštejejo.

a m · a n = a m + n, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Ta lastnost potenc velja tudi za produkt treh ali več potenc.

Poenostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Predstavite ga kot diplomo.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Predstavite ga kot diplomo.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upoštevajte, da smo v navedeni lastnosti govorili le o množenju potenc z enakimi bazami. Ne velja za njihovo dodajanje.

Vsote (3 3 + 3 2) ne morete zamenjati s 3 5. To je razumljivo, če
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 in 3 5 = 243

Nepremičnina št. 2
Delne stopnje

Pri deljenju potenc z enakimi osnovami ostane osnova nespremenjena, eksponent delitelja pa se odšteje od eksponenta dividende.

Količnik zapiši kot potenco
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunaj.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primer. Reši enačbo. Uporabljamo lastnost kvocientnih potenc.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Z uporabo lastnosti št. 1 in št. 2 lahko preprosto poenostavite izraze in izvedete izračune.

Primer. Poiščite vrednost izraza z uporabo lastnosti eksponentov.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upoštevajte, da smo v Lastnosti 2 govorili samo o delitvi potenc z istimi osnovami.

Razlike (4 3 −4 2) ne morete nadomestiti s 4 1. To je razumljivo, če izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 in 4 1 = 4

Nepremičnina št. 3
Povišanje stopnje na potenco

Pri povišanju stopnje na potenco ostane osnova stopnje nespremenjena, eksponenti pa se pomnožijo.

(a n) m = a n · m, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Upoštevajte, da se lastnost št. 4, tako kot druge lastnosti stopinj, uporablja tudi v obratnem vrstnem redu.

(a n · b n)= (a · b) n

To pomeni, da lahko pomnožite potence z istimi eksponenti, pomnožite osnove, vendar pustite eksponent nespremenjen.

Primer. Izračunaj.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primer. Izračunaj.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

V bolj zapletenih primerih lahko pride do primerov, ko je treba izvesti množenje in deljenje na potencah z različnimi osnovami in različnimi eksponenti. V tem primeru vam svetujemo, da storite naslednje.

Na primer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primer povišanja decimalke na potenco.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Lastnosti 5
Moč kvocienta (ulomek)

Če želite povečati količnik na potenco, lahko dividendo in delitelj dvignete ločeno na to potenco in prvi rezultat delite z drugim.

(a: b) n = a n: b n, kjer sta "a", "b" poljubna racionalna števila, b ≠ 0, n - poljubno naravno število.

Primer. Izraz predstavi kot količnik potenc.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Spomnimo vas, da je količnik lahko predstavljen kot ulomek. Zato se bomo na naslednji strani podrobneje posvetili temi dviga ulomka na potenco.

Moči in korenine

Operacije s potencami in koreni. Stopnja z negativno ,

nič in ulomek indikator. O izrazih, ki nimajo pomena.

Operacije s stopinjami.

1. Pri množenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti seštejejo:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo, njihovih eksponentov se odštejejo .

3. Stopnja zmnožka dveh ali več faktorjev je enaka zmnožku stopenj teh faktorjev.

4. Stopnja razmerja (ulomek) je enaka razmerju stopenj dividende (števec) in delitelja (imenovalec):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri dvigovanju potence na potenco se njihovi eksponenti pomnožijo:

Vse zgornje formule se berejo in izvajajo v obe smeri od leve proti desni in obratno.

PRIMER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s koreninami. V vseh spodnjih formulah simbol pomeni aritmetični koren(radikalni izraz je pozitiven).

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju korenov dividende in delitelja:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da povzdignete na to potenco radikalno število:

4. Če povečate stopnjo korena za m-krat in hkrati dvignete radikalno število na m-to moč, se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korena za m-krat in hkrati izvlečete m-ti koren radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:

Razširitev koncepta diplome. Do sedaj smo upoštevali stopnje le z naravnimi eksponenti; vendar lahko operacije s pooblastili in koreni vodijo tudi do negativno, nič in ulomek indikatorji. Vsi ti eksponenti zahtevajo dodatno opredelitev.

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenco določenega števila z negativnim (celim) eksponentom definiramo kot eno deljeno s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti negativnega eksponenta:

Sedaj pa formula a m : a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m, več kot n, ampak tudi z m, manj kot n .

PRIMER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Če želimo formulo a m : a n = a m — n je bilo pošteno, ko m = n, potrebujemo definicijo stopnje nič.

Diploma z ničelnim indeksom. Potenca katerega koli neničelnega števila z eksponentom nič je 1.

PRIMERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Če želite povečati realno število a na potenco m / n, morate izluščiti n-ti koren m-te potence tega števila a:

O izrazih, ki nimajo pomena. Takih izrazov je več.

Kje a ≠ 0 , ne obstaja.

Pravzaprav, če predpostavimo, da x je določeno število, potem imamo v skladu z definicijo operacije deljenja: a = 0· x, tj. a= 0, kar je v nasprotju s pogojem: a ≠ 0

— poljubno število.

Pravzaprav, če predpostavimo, da je ta izraz enak nekemu številu x, potem imamo glede na definicijo operacije deljenja: 0 = 0 · x. Toda ta enakost nastopi, ko poljubno število x, kar je bilo treba dokazati.

0 0 — poljubno število.

Rešitev. Razmislimo o treh glavnih primerih:

1) x = 0 – ta vrednost ne zadošča tej enačbi

2) kdaj x> 0 dobimo: x/x= 1, tj. 1 = 1, kar pomeni

Kaj x– poljubno število; a ob upoštevanju, da v

v našem primeru x> 0, odgovor je x > 0 ;

Pravila za množenje potenc z različnimi bazami

DIPLOMIJA Z RACIONALNIM KAZALNIKOM,

MOČNOSTNA FUNKCIJA IV

§ 69. Množenje in deljenje potence z enakimi osnovami

1. izrek. Za množenje potenc z enakimi osnovami je dovolj, da seštejemo eksponente in pustimo osnovo enako, tj.

Dokaz. Po definiciji stopnje

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ogledali smo si produkt dveh potenc. Pravzaprav dokazana lastnost velja za poljubno število potenc z enakimi bazami.

2. izrek. Za deljenje potenc z enakimi osnovami, ko je indeks dividende večji od indeksa delitelja, je dovolj, da od indeksa dividende odštejemo indeks delitelja, osnovo pa pustimo enako, tj. pri t > str

(a =/= 0)

Dokaz. Spomnimo se, da je količnik deljenja enega števila z drugim število, ki, ko ga pomnožimo z deliteljem, da dividendo. Zato dokažite formulo, kjer je a =/= 0, je enako kot dokazovanje formule

če t > str , nato številko t - str bo naravno; torej po izreku 1

Izrek 2 je dokazan.

Treba je opozoriti, da formula

dokazali smo le ob predpostavki, da t > str . Zato iz tega, kar je bilo dokazano, še ni mogoče potegniti na primer naslednjih zaključkov:

Poleg tega še nismo upoštevali stopinj z negativnimi eksponenti in še ne vemo, kakšen pomen lahko pripišemo izrazu 3 - 2 .

Izrek 3. Če želite stopnjo dvigniti na potenco, je dovolj, da pomnožite eksponente, pri čemer pustite osnovo stopnje enaka, to je

Dokaz. Z uporabo definicije stopnje in izreka 1 tega razdelka dobimo:

Q.E.D.

Na primer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (ustno) Ugotovi X iz enačb:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sklop št.) Poenostavite:

520. (Sklop št.) Poenostavite:

521. Te izraze predstavi v obliki stopinj z enakimi osnovami:

1) 32 in 64; 3) 8 5 in 16 3; 5) 4 100 in 32 50;

2) -1000 in 100; 4) -27 in -243; 6) 81 75 8 200 in 3 600 4 150.

Spomnimo vas, da bomo v tej lekciji razumeli lastnosti stopinj z naravnimi indikatorji in ničlo. Potence z racionalnimi eksponenti in njihove lastnosti bomo obravnavali pri pouku za 8. razred.

Potencija z naravnim eksponentom ima več pomembnih lastnosti, ki nam omogočajo poenostavitev izračunov v primerih s potenci.