Središče mase: koncept, izračun in osnovni principi. Teža sistema
Ponovno razmislimo o istem sistemu materialnih točk. Konstruirajmo radijski vektor po naslednjem pravilu:
kjer je radij vektor te materialne točke sistema in je njena masa.
Radius vektor določa položaj v prostoru vztrajnostno središče (središče mase) sistemi.
Sploh ni nujno, da bo v središču mase sistema neka materialna točka.
Primer. Poiščimo središče mase sistema, sestavljenega iz dveh majhnih kroglic - materialnih točk, povezanih z breztežno palico (slika 3.29). Ta telesni sistem se imenuje dumbbell.
riž. 3.29. Središče mase uteži
Iz sl. to je jasno
V te enačbe nadomestimo izraz za radij vektorja masnega središča
Iz tega sledi, da središče mase leži na premici, ki poteka skozi središča kroglic. Razdalje l 1 in l 2 med kroglicama in masno središče sta enaka
Središče mase je bližje krogli, katere masa je večja, kar je razvidno iz razmerja:
Ugotovimo, s kakšno hitrostjo se giblje vztrajnostno središče sistema. Oba dela ločimo po času:
Števec dobljenega izraza na desni strani vsebuje vsoto impulzov vseh točk, torej impulz sistema. Imenovalec je skupna masa sistema
Ugotovili smo, da je hitrost vztrajnostnega središča povezana z gibalno količino sistema in njegovo skupno maso z enakim razmerjem, kot velja za materialno točko:
Video 3.11. Gibanje masnega središča dveh enakih vozičkov, povezanih z vzmetjo.
Središče mase zaprtega sistema se vedno giblje s konstantno hitrostjo, saj je gibalna količina takega sistema ohranjena.
Če zdaj diferenciramo izraz za gibalno količino sistema glede na čas in upoštevamo, da je odvod gibalne količine sistema rezultanta zunanjih sil, dobimo enačba gibanja središča mase sistema na splošno:
Jasno je, da
Središče mase sistema se giblje na popolnoma enak način, kot bi se gibala materialna točka z maso, ki je enaka masi vseh delcev v sistemu, pod vplivom vektorske vsote vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem.
Če obstaja sistem materialnih točk, katerih notranja lokacija in gibanje nas ne zanimata, ga imamo pravico obravnavati kot materialno točko s koordinatami radijskega vektorja vztrajnostnega središča in maso, ki je enaka vsoti mase materialnih točk sistema.
Če referenčni sistem povežemo s središčem mase zaprtega sistema materialnih točk (delcev) (imenujemo ga sistem središča mase), potem bo skupna gibalna količina vseh delcev v takem sistemu enaka nič. Tako je v sistemu središča mase zaprt sistem delcev kot celota miruje in obstaja samo gibanje delcev glede na središče mase. Zato so jasno razkrite lastnosti notranjih procesov, ki se pojavljajo v zaprtem sistemu.
V primeru, ko je sistem telo z zvezno porazdelitvijo mas, ostane definicija masnega središča v bistvu enaka. Z majhno prostornino obdamo poljubno točko v svojem telesu. Masa v tej prostornini je enaka , kjer je gostota snovi telesa, ki morda ni konstantna glede na njegovo prostornino. Seštevek po vseh takšnih elementarnih masah sedaj nadomestimo z integralom po celotni prostornini telesa, tako da za lego težišča telesa dobimo izraz
Če je snov telesa homogena, je njegova gostota konstantna in jo je mogoče vzeti izpod integrala, tako da se bo v števcu in imenovalcu izničila. Nato dobi izraz za radij vektor središča mase telesa obliko
kje je prostornina telesa.
In v primeru zvezne porazdelitve mas velja trditev, da
Središče mase togega telesa se giblje na enak način, kot bi se gibala materialna točka z maso, ki je enaka masi telesa, pod vplivom vektorske vsote vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo.
Primer. Če projektil eksplodira na določeni točki svoje parabolične trajektorije, potem drobci letijo po različnih trajektorijah, vendar se njegovo središče mase še naprej giblje vzdolž parabole.
Ko imamo opravka s sistemom delcev, je priročno najti točko - središče mase - ki bi označevala položaj in gibanje tega sistema kot celote. V sistemu dveh enakih delcev leži taka točka C očitno na sredini med njima (slika 110a). To je jasno iz premislekov o simetriji: v homogenem in izotropnem prostoru se ta točka razlikuje od vseh drugih, ker za katero koli drugo točko A, ki je bližje enemu od delcev, obstaja točka B, ki je temu simetrična in se nahaja bližje delcu. drugi delec.
riž. 110. Središče mase dveh enakih delcev je v točki C s polmernim vektorjem ; središče mase dveh delcev z različnimi masami deli segment med njima v razmerju, ki je obratno sorazmerno z masama delcev (b)
Očitno je radij vektor točke C enak polovici vsote radij vektorjev enakih delcev (slika 110a): Z drugimi besedami, to je običajna povprečna vrednost vektorjev
Določitev težišča mase. Kako posplošiti to definicijo na primer dveh delcev z različno maso? Pričakovati je, da bo poleg geometrijskega središča sistema, katerega radij vektor je še vedno enak polovici vsote, igrala določeno vlogo tudi točka, katerih položaj je določen s porazdelitvijo
Jem maso. Naravno je, da ga definiramo tako, da je prispevek vsakega delca sorazmeren z njegovo maso:
Radij vektorja središča mase, določen s formulo (1), je utežena povprečna vrednost radij vektorjev delcev, kar je očitno, če prepišemo (1) v obliki
Radij vektor vsakega delca vstopi s težo, sorazmerno z njegovo maso. Lahko vidimo, da središče mase C, določeno s formulo (1), leži na ravni črti, ki povezuje delce in ga deli v razmerju, ki je obratno sorazmerno z masami delcev: (slika 110b).
Upoštevajte, da je definicija središča mase, podana tukaj, povezana s stanjem ravnotežja vzvoda, ki ga poznate. Predstavljajmo si, da so točkovne mase, na katere deluje enakomerno gravitacijsko polje, povezane s palico zanemarljive mase. Takšen vzvod bo v ravnovesju, če bo njegovo oporišče v središču mase C.
Naravna posplošitev formule (1) na primer sistema, sestavljenega iz materialnih točk z masami in radijskimi vektorji, je enakost
ki služi kot definicija radijnega vektorja središča mase (ali vztrajnostnega središča) sistema.
Hitrost središča mase. Središče mase ne označuje le položaja, ampak tudi gibanje sistema delcev kot celote. Hitrost središča mase, določena z enakostjo, kot sledi iz (2), je izražena kot sledi s hitrostmi delcev, ki tvorijo sistem:
Števec na desni strani tega izraza, kot izhaja iz formule (6) prejšnjega odstavka, vsebuje celotno gibalno količino sistema P, imenovalec pa njegovo skupno maso M. Zato je gibalna količina sistema delcev enaka zmnožku mase celotnega sistema M in hitrosti njegovega masnega središča
Iz formule (4) je razvidno, da je gibalna količina sistema povezana s hitrostjo njegovega masnega središča na enak način, kot je gibalna količina posameznega delca povezana s hitrostjo delca. V tem smislu je gibanje središča mase značilno za gibanje sistema kot celote.
Zakon gibanja središča mase. Zakon o spreminjanju gibalne količine sistema delcev, izražen s formulo (9) prejšnjega odstavka, je v bistvu zakon gibanja njegovega masnega središča. Pravzaprav imamo iz (4) s konstantno skupno maso M sistema
kar pomeni, da je hitrost spreminjanja gibalne količine sistema enaka produktu njegove mase in pospeška masnega središča. Če primerjamo (5) s formulo (6) § 29, dobimo
Po (6) se težišče sistema premika tako, kot bi se premikala ena materialna točka mase M pod vplivom sile, ki je enaka vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo na delce, ki vstopajo v sistem. Zlasti masno središče zaprtega fizikalnega sistema, na katerega ne delujejo zunanje sile, se giblje enakomerno in premočrtno v inercialnem referenčnem okviru ali pa miruje.
Zamisel o središču mase v številnih primerih omogoča, da dobimo odgovore na nekatera vprašanja celo preprosteje kot z neposredno uporabo zakona o ohranjanju gibalne količine. Razmislite o naslednjem primeru.
Astronavt zunaj ladje. Masovni kozmonavt, ki miruje glede na množično vesoljsko plovilo z ugasnjenim motorjem, se začne vleči proti ladji s pomočjo lahke varnostne vrvice. Kakšne razdalje bosta prevozila astronavt in vesoljsko plovilo, preden se srečata, če je začetna razdalja med njima
Središče mase ladje in astronavta se nahaja na ravni črti, ki ju povezuje, ustrezne razdalje pa so obratno sorazmerne z masama.
dobimo takoj
V globokem vesolju, kjer ni zunanjih sil, središče mase tega zaprtega sistema bodisi miruje bodisi se giblje s konstantno hitrostjo. V referenčnem sistemu, kjer miruje, bosta astronavt in ladja pred srečanjem prepotovala razdalje, podane s formulami (7).
Za veljavnost takega razmišljanja je bistveno pomembna uporaba inercialnega referenčnega okvira. Če bi tukaj nepremišljeno povezali referenčni sistem z vesoljsko ladjo, bi prišli do zaključka, da ko astronavta potegnemo navzgor, se središče mase sistema brez zunanjih sil začne premikati: približuje se ladji. Središče mase ohranja svojo hitrost le glede na inercialni referenčni sistem.
Enačba (6), ki določa pospešek središča mase sistema delcev, ne vključuje notranjih sil, ki delujejo v njem. Ali to pomeni, da notranje sile sploh ne vplivajo na gibanje masnega središča? V odsotnosti zunanjih sil ali ko so te sile konstantne, je temu res tako. Na primer, v enakomernem gravitacijskem polju se središče mase izstrelka, ki je eksplodiral med letom, še naprej giblje po isti paraboli, dokler nobeden od drobcev še ne pade na tla.
Vloga notranjih sil. V primerih, ko se zunanje sile lahko spremenijo, je situacija nekoliko bolj zapletena. Zunanje sile ne delujejo na središče mase, ampak na posamezne delce sistema. Te sile so lahko odvisne od položaja delcev, položaj vsakega delca med njegovim gibanjem pa določajo vse sile, ki delujejo nanj, tako zunanje kot notranje.
Naj to razložimo z enakim preprostim primerom izstrelka, ki se med letom pod vplivom notranjih sil razbije na majhne drobce. Medtem ko so vsi drobci v letu, se središče mase, kot že omenjeno, še naprej giblje po isti paraboli. Kakor hitro pa se vsaj eden od drobcev dotakne tal in se njegovo gibanje ustavi, se doda nova zunanja sila - sila reakcije zemeljske površine, ki deluje na odpadli drobec. Posledično se bo pospešek središča mase spremenil in se ne bo več gibal po isti paraboli. Sam pojav te reakcijske sile je posledica delovanja notranjih sil, ki so razstrelile projektil. Torej lahko delovanje notranjih sil v trenutku, ko se izstrelek zlomi, povzroči spremembo pospeška, s katerim se bo središče mase premikalo kasneje, in posledično do spremembe njegove poti.
Naj navedemo še bolj osupljiv primer vpliva notranjih sil na gibanje središča mase. Predstavljajmo si, da je zemeljski satelit,
kroži okoli njega v krožni orbiti, pod vplivom notranjih sil pa se razdeli na dve polovici. Ena od polovic se ustavi in začne padati navpično na Zemljo. V skladu z zakonom o ohranitvi gibalne količine mora druga polovica v tem trenutku podvojiti svojo hitrost, usmerjeno tangencialno na krog. Kot bomo videli v nadaljevanju, bo s takšno hitrostjo ta polovica odletela od Zemlje na neskončno veliko razdaljo. Posledično se bo tudi središče mase satelita, torej njegovi polovici, premaknilo na neskončno veliko oddaljenost od Zemlje. In razlog za to je delovanje notranjih sil, ko je satelit razdeljen na dva dela, saj bi se sicer nerazdeljeni satelit še naprej gibal po krožni orbiti.
Reaktivni pogon. Zakon o ohranitvi gibalne količine zaprtega sistema olajša razlago principa reaktivnega gibanja. Pri zgorevanju goriva se temperatura dvigne in v zgorevalni komori nastane visok tlak, zaradi česar nastali plini z veliko hitrostjo uhajajo iz šobe raketnega motorja. V odsotnosti zunanjih polj ostane skupni moment rakete in plinov, ki uhajajo iz šobe, nespremenjen. Zato, ko plini iztekajo, raketa pridobi hitrost v nasprotni smeri.
Meščerska enačba. Dobimo enačbo, ki opisuje gibanje rakete. Naj ima v nekem trenutku raketa v nekem inercialnem referenčnem sistemu hitrost.Uvedimo drug inercialni referenčni sistem, v katerem je v danem trenutku raketa negibna. Takemu referenčnemu sistemu rečemo prihajajoči. Če delujoči raketni motor v določenem časovnem obdobju izstreli maso plinov s hitrostjo glede na raketo, bo čez nekaj časa hitrost rakete v tem spremljevalnem sistemu drugačna od nič in enaka
Uporabimo zakon o ohranitvi gibalne količine na zaprti fizični sistem, ki ga obravnavamo, raketo in pline. V začetnem trenutku, v spremljajočem referenčnem okviru, raketa in plini mirujejo, tako da je skupni moment enak nič. Po določenem času je gibalna količina rakete enaka gibalni količini izpuščenih plinov
Skupna masa raketnega sistema in plinov se ohrani, zato je masa izpuščenih plinov enaka izgubi mase rakete:
Zdaj je enačba (8) po deljenju s časovnim obdobjem prepisana kot
Če se premaknemo do meje, dobimo enačbo gibanja telesa s spremenljivo maso (raketa) v odsotnosti zunanjih sil:
Enačba (9) ima obliko drugega Newtonovega zakona, če njeno desno stran obravnavamo kot reaktivno silo, to je silo, s katero plini, ki iz nje uhajajo, delujejo na raketo. Masa rakete tukaj ni konstantna, ampak se s časom zmanjšuje zaradi izgube snovi, torej reaktivne sile; usmerjena v nasprotni smeri od hitrosti plinov, ki uhajajo iz šobe glede na raketo. Vidimo, da je ta sila večja, čim večja je hitrost pretoka plina in večja je poraba goriva na časovno enoto.
Enačba (9) je bila pridobljena v določenem inercialnem referenčnem sistemu - spremljajočem sistemu. Zaradi načela relativnosti velja tudi v katerem koli drugem inercialnem referenčnem sistemu. Če poleg reaktivne sile na raketo delujejo še katere druge zunanje sile, kot sta gravitacija in zračni upor, jih je treba dodati na desno stran enačbe (9):
To enačbo je prvi dobil Meshchersky in nosi njegovo ime. Za dani način delovanja motorja, ko je masa določena znana funkcija časa, vam enačba Meshchersky omogoča izračun hitrosti rakete kadar koli.
Kateri fizikalni vidiki kažejo na smiselnost določanja središča mase z uporabo formule (1)?
V kakšnem smislu težišče mase označuje gibanje sistema delcev kot celote?
Kaj pravi zakon gibanja središča mase sistema medsebojno delujočih teles? Ali notranje sile vplivajo na pospešek masnega središča?
Ali lahko notranje sile vplivajo na trajektorijo središča mase sistema?
V problemu razpoka izstrelka, obravnavanem v prejšnjem odstavku, nam zakon gibanja središča mase omogoča, da takoj najdemo obseg letenja drugega fragmenta, če je njegova začetna hitrost vodoravna. Kako narediti? Zakaj ti premisleki ne veljajo v primeru, ko ima njegova začetna hitrost navpično komponento?
Med pospeševanjem rakete njen motor deluje v konstantnem načinu, tako da sta relativna hitrost pretoka plina in poraba goriva na časovno enoto konstantni. Ali bo pospešek rakete konstanten?
Izpeljite enačbo Meščerskega z uporabo, namesto premikajočega se referenčnega sistema, inercialnega sistema, v katerem ima raketa že hitrost
Formula Tsiolkovskega. Predpostavimo, da raketa pospešuje v prostem prostoru, kjer nanjo ne delujejo zunanje sile. S porabo goriva se masa rakete zmanjšuje. Poiščimo razmerje med maso porabljenega goriva in hitrostjo, ki jo doseže raketa.
Po vklopu motorja mirujoča raketa začne pridobivati hitrost in se premikati v ravni črti. S projekcijo vektorske enačbe (9) na smer gibanja rakete dobimo
V enačbi (11) bomo maso rakete obravnavali kot funkcijo hitrosti, ki jo je pridobila raketa. Nato lahko hitrost spremembe mase skozi čas predstavimo na naslednji način:
Središče mase vztrajnostno središče, geometrijska točka, katere položaj označuje porazdelitev mase v telesu ali mehanskem sistemu. Koordinate središčne mase so določene s formulami , Kje m do - mase materialnih točk, ki tvorijo sistem, x k, y k, z k - koordinate teh točk, M=
Σ m do - masa sistema, ρ - gostota, V- glasnost. Koncept težišča se razlikuje od koncepta težišča (glej težišče), saj je slednji smiseln samo za togo telo, ki se nahaja v enakomernem težišču; Koncept mehanskega sistema ni povezan z nobenim poljem sile in je smiseln za kateri koli mehanski sistem. Za togo telo se položaji težišča in težišča ujemata. Ko se mehanski sistem premika, se njegova središčna masa premika na enak način, kot bi se premikala materialna točka, če ima maso enako masi sistema in je pod vplivom vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem. Poleg tega nekatere enačbe gibanja mehanskega sistema (telesa) glede na osi, ki izvirajo iz središča gibanja in se translatorno premikajo skupaj s središčem gibanja, ohranijo enako obliko kot za gibanje glede na inercialni referenčni sistem (glej Inercialni referenčni sistem). Glede na te lastnosti ima koncept centralnega gibanja pomembno vlogo v dinamiki sistema in togega telesa. S. M. Targ.
Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .
Oglejte si, kaj je "center mase" v drugih slovarjih:
- (vztrajnostno središče) telesa (sistema materialnih točk), točka, katere položaj označuje razporeditev mas v telesu ali mehanskem sistemu. Pri gibanju telesa se njegovo središče mase premakne kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega telesa, do... ... enciklopedični slovar
- (vztrajnostno središče) telesa (sistema materialnih točk) točka, ki označuje porazdelitev mase v telesu ali mehanskem sistemu. Ko se telo giblje, se giblje njegovo središče mase kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega telesa, kateremu ... ... Veliki enciklopedični slovar
središče mase- mehanski sistem; središče mase; industrija vztrajnostno središče Geometrična točka, za katero je vsota zmnožkov mas vseh materialnih točk, ki tvorijo mehanski sistem, in njihovih radijskih vektorjev, narisanih iz te točke, enaka nič... Politehnični terminološki razlagalni slovar
Enako kot središče vztrajnosti. Fizični enciklopedični slovar. M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni urednik A. M. Prohorov. 1983. CENTER MAS... Fizična enciklopedija
Ta izraz ima druge pomene, glejte Težišče (pomeni). Masno središče, vztrajnostno središče, baricenter (iz druge grščine: βαρύς težek + κέντρον center) (v mehaniki) geometrijska točka, ki označuje gibanje telesa ali sistema delcev kot ... ... Wikipedia
središče mase- 3.1 središče mase: Točka, povezana s fizičnim telesom in ima takšno lastnost, da bi imel namišljen točkovni predmet z maso, enako masi tega fizičnega telesa, če bi bil postavljen na to točko, enak vztrajnostni moment glede na poljubno..... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije
Vztrajnostno središče, točka C, ki označuje porazdelitev mas v mehanskem. sistem. Radij vektorja centralne mase sistema, sestavljenega iz materialnih točk, kjer sta mi in ri masa in radij vektor i-te točke, M pa masa celotnega sistema. Ko se sistem premakne, se premakne središče ... Veliki enciklopedični politehnični slovar
- (vztrajnostno središče) telesa (sistem materialnih točk), točka, položaj roja označuje porazdelitev mase v telesu ali mehansko. sistem. Ko se telo premika, se njegova središčna masa premika kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega telesa, proti roju... ... Naravoslovje. enciklopedični slovar
Središče mase- (vztrajnostno središče) geometrijska točka, katere položaj označuje razporeditev mas v telesu ali mehanskem sistemu... Fizična antropologija. Ilustrirani razlagalni slovar.
Točka, ki označuje porazdelitev mase v telesu ali mehanskem sistemu. Pri gibanju telesa (sistema) se giblje njegova središčna masa kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega telesa, na katero delujejo vse sile, ki delujejo na to telo ... Astronomski slovar
knjige
- , Weber Alfred. Alfred Weber je nemški sociolog, kulturnik, zgodovinar, ki se močno zaveda narave in smeri družbene zgodovine in političnih trendov. Šokirana priča dveh evropskih katastrof ...
- Priljubljene. Kriza evropske kulture, Weber A.. Alfred Weber (1868-1958) - nemški sociolog, kulturni znanstvenik, zgodovinar, ki se močno zaveda narave in smeri družbene zgodovine in političnih trendov. Šokirana priča dveh katastrof ...
Težišče(oz središče mase) določenega telesa je točka, ki ima to lastnost, da če telo obesimo na tej točki, ohrani svoj položaj.
V nadaljevanju obravnavamo dvodimenzionalne in tridimenzionalne probleme, povezane z iskanjem različnih središč mase - predvsem z vidika računalniške geometrije.
V spodaj obravnavanih rešitvah lahko ločimo dve glavni: dejstvo. Prvi je, da je središče mase sistema materialnih točk enako povprečju njihovih koordinat, vzetih s koeficienti, sorazmernimi njihovim masam. Drugo dejstvo je, da če poznamo središči mase dveh figur, ki se ne sekata, potem bo središče mase njune zveze ležalo na odseku, ki povezuje ti dve središči, in ga bo delilo v enakem razmerju kot masa druga številka se nanaša na maso prve.
Dvodimenzionalni primer: poligoni
Pravzaprav, ko govorimo o središču mase dvodimenzionalne figure, lahko mislimo na eno od naslednjih treh naloge:
- Središče mase sistema točk – tj. vsa masa je skoncentrirana samo na ogliščih poligona.
- Središče mase okvirja – tj. Masa mnogokotnika je skoncentrirana na njegovem obodu.
- Središče mase polne figure – tj. Masa poligona je razporejena po njegovi celotni površini.
Vsaka od teh težav ima neodvisno rešitev in bo v nadaljevanju obravnavana ločeno.
Središče mase točkovnega sistema
To je najenostavnejši od treh problemov, njegova rešitev pa je dobro znana fizikalna formula za središče mase sistema materialnih točk:
kjer so mase točk, so njihovi radijski vektorji (ki določajo njihov položaj glede na izhodišče) in je želeni radijski vektor središča mase.
Zlasti, če imajo vse točke enako maso, potem so koordinate središča mase enake povprečje koordinate točk. Za trikotnik ta točka se imenuje središče in sovpada s presečiščem median:
Za dokaz Te formule zadoščajo, če si zapomnimo, da je ravnotežje doseženo v točki, kjer je vsota momentov vseh sil enaka nič. V tem primeru se to spremeni v pogoj, da je vsota radijskih vektorjev vseh točk glede na točko, pomnožena z masami ustreznih točk, enaka nič:
in z izražanjem od tukaj dobimo zahtevano formulo.
Središče mase okvirja
Toda potem lahko vsako stran mnogokotnika nadomestimo z eno točko - sredino tega segmenta (ker je središče mase homogenega segmenta sredina tega segmenta), z maso, ki je enaka dolžini tega segmenta.
Zdaj imamo problem o sistemu materialnih točk in z uporabo rešitve iz prejšnjega odstavka nanj ugotovimo:
kjer je središče i-te stranice mnogokotnika, je dolžina i-te stranice, je obseg, tj. vsota dolžin stranic.
Za trikotnik lahko pokažemo naslednjo izjavo: ta točka je presečišče simetrale trikotnik, ki ga tvorijo razpolovišča strani prvotnega trikotnika. (da bi to prikazali, morate uporabiti zgornjo formulo in nato opaziti, da simetrale delijo stranice nastalega trikotnika v enakem razmerju kot središča mase teh stranic).
Središče mase trdne figure
Menimo, da je masa enakomerno porazdeljena po liku, tj. gostota na vsaki točki slike je enaka istemu številu.
Trikotnik
Trdi se, da bo za trikotnik odgovor enak središče, tj. točka, ki jo tvori aritmetična sredina koordinat oglišč:
Primer trikotnika: dokaz
Tukaj podajamo elementarni dokaz, ki ne uporablja teorije integralov.
Arhimed je prvi podal tako čisto geometrijski dokaz, ki pa je bil zelo zapleten, z velikim številom geometrijskih konstrukcij. Tukaj podani dokaz je vzet iz članka "Iskanje centroidov na enostaven način" avtorja Apostola, Mnatsakaniana.
Dokaz se zmanjša na to, da pokažemo, da središče mase trikotnika leži na eni od median; Če ta postopek ponovimo še dvakrat, bomo s tem pokazali, da je središče mase na presečišču median, ki je centroid.
Razdelimo ta trikotnik na štiri, tako da povežemo središča stranic, kot je prikazano na sliki:
Štirje nastali trikotniki so podobni trikotniku s koeficientom .
Trikotnika št. 1 in št. 2 skupaj tvorita paralelogram, katerega središče mase leži na presečišču njegovih diagonal (ker je to lik, ki je simetričen glede na obe diagonali in je torej njegovo središče masa mora ležati na vsaki od obeh diagonal). Točka se nahaja na sredini skupne stranice trikotnikov št. 1 in št. 2 in leži tudi na mediani trikotnika:
Naj bo zdaj vektor vektor, narisan iz oglišča v središče mase trikotnika št. 1, in naj bo vektor vektor, narisan iz točke (ki je, spomnimo se, sredina stranice, na kateri leži) :
Naš cilj je pokazati, da sta vektorja in kolinearna.
Z in označimo točki, ki sta masni središči trikotnikov št. 3 in št. 4. Potem bo očitno središče mase množice teh dveh trikotnikov točka, ki je sredina segmenta. Poleg tega vektor od točke do točke sovpada z vektorjem.
Želeno masno središče trikotnika leži na sredini segmenta, ki povezuje točke in (ker smo trikotnik razdelili na dva enaka dela: št. 1-št. 2 in št. 3-št. 4):
Tako je vektor od oglišča do središča . Po drugi strani, ker trikotnik št. 1 podoben trikotniku s koeficientom, potem je isti vektor enak . Od tu dobimo enačbo:
kjer najdemo:
Tako smo dokazali, da sta vektorja in kolinearna, kar pomeni, da želeno težišče leži na mediani, ki izhaja iz oglišča.
Poleg tega smo spotoma dokazali, da centroid deli vsako mediano v razmerju, šteto od oglišča.
Primer poligona
Preidimo zdaj k splošnemu primeru - tj. priložnosti mnogokotnik. Zanj takšno razmišljanje ni več uporabno, zato problem reduciramo na trikotnika: namreč mnogokotnik razdelimo na trikotnike (t. i. trikotnike), vsakemu trikotniku poiščemo središče mase in nato središče trikotnika. masa nastalih masnih središč trikotnikov.
Končna formula je naslednja:
kjer je težišče th trikotnika v triangulaciji danega mnogokotnika, je ploščina th trikotnika triangulacije, je ploščina celotnega mnogokotnika.
Triangulacija konveksnega mnogokotnika je trivialna naloga: za to lahko na primer vzamete trikotnike, kjer .
Primer poligona: alternativni način
Po drugi strani pa uporaba zgornje formule ni zelo primerna za nekonveksni poligoni, saj njihovo trianguliranje samo po sebi ni lahka naloga. Toda za takšne poligone lahko najdete enostavnejši pristop. Namreč, potegnite analogijo s tem, kako lahko iščete ploščino poljubnega mnogokotnika: izbere se poljubna točka, nato pa se seštejejo površine predznakov trikotnikov, ki jih tvori ta točka in točke poligona: . Podobno tehniko lahko uporabimo za iskanje središča mase: le da bomo zdaj sešteli središča mase trikotnikov s koeficienti, ki so sorazmerni njihovim površinam, tj. Končna formula za središče mase je:
kjer je poljubna točka, je točka poligona, je središče trikotnika, je podpisano območje tega trikotnika, je podpisano območje celotnega mnogokotnika (tj.
Tridimenzionalni primer: poliedri
Podobno kot v dvodimenzionalnem primeru lahko v 3D takoj govorimo o štirih možnih formulacijah problema:
- Središče mase sistema točk – oglišč poliedra.
- Središče mase okvirja so robovi poliedra.
- Središče mase površine – tj. masa je porazdeljena po površini poliedra.
- Središče mase polnega poliedra – tj. masa je porazdeljena po poliedru.
Središče mase točkovnega sistema
Tako kot v dvodimenzionalnem primeru lahko uporabimo fizično formulo in dobimo enak rezultat:
ki se v primeru enakih mas spremeni v aritmetično sredino koordinat vseh točk.
Središče mase okvirja poliedra
Podobno kot v dvodimenzionalnem primeru vsak rob poliedra preprosto nadomestimo z materialno točko, ki se nahaja na sredini tega roba, in z maso, ki je enaka dolžini tega roba. Ko smo prejeli problem materialnih točk, zlahka najdemo njegovo rešitev kot uteženo vsoto koordinat teh točk.
Središče mase površine poliedra
Vsaka ploskev ploskve poliedra je dvodimenzionalna figura, katere središče mase lahko iščemo. Ko najdemo te masne centre in vsako ploskev nadomestimo z njenim masnim središčem, dobimo problem z materialnimi točkami, ki ga je že enostavno rešiti.
Središče mase polnega poliedra
Primer tetraedra
Tako kot v dvodimenzionalnem primeru, najprej rešimo najpreprostejši problem - problem za tetraeder.
Trdi se, da središče mase tetraedra sovpada s presečiščem njegovih median (mediana tetraedra je odsek, narisan od njegovega vrha do središča mase nasprotne strani; torej mediana tetraedra poteka skozi oglišče in skozi točko presečišča median trikotne ploskve).
Zakaj je temu tako? Tukaj je sklepanje, podobno kot v dvodimenzionalnem primeru, pravilno: če razrežemo tetraeder na dva tetraedra z uporabo ravnine, ki gre skozi oglišče tetraedra in neko sredino nasprotne ploskve, bosta imela oba nastala tetraedra enako prostornino (ker trikotna stran bo razdeljena z mediano na dva trikotnika enake površine, višina obeh tetraedrov pa se ne bo spremenila). Če večkrat ponovimo te argumente, ugotovimo, da je središče mase na presečišču median tetraedra.
Ta točka - točka presečišča median tetraedra - se imenuje njegova središče. Lahko se pokaže, da ima dejansko koordinate enake aritmetični sredini koordinat oglišč tetraedra:
(to je mogoče sklepati iz dejstva, da centroid deli mediane v razmerju)
Tako ni bistvene razlike med primeroma tetraedra in trikotnika: točka, ki je enaka aritmetični sredini oglišč, je središče mase v dveh formulacijah problema: tako, ko se mase nahajajo samo na ogliščih, in ko so mase razporejene po celotni površini/prostornini. Pravzaprav se ta rezultat posplošuje na poljubno dimenzijo: središče mase poljubne simplex(simpleks) je aritmetična sredina koordinat njegovih oglišč.
Primer poljubnega poliedra
Preidimo zdaj na splošni primer - primer poljubnega poliedra.
Ponovno, tako kot v dvodimenzionalnem primeru, ta problem reduciramo na že rešenega: polieder razdelimo na tetraedre (tj. tetraedroniziramo), vsakemu od njih poiščemo središče mase in dobimo končni odgovor na problem v obliki utežene vsote najdenih centrov mas.
Mehanski sistem
Mehanski sistem je niz materialnih točk:- premikanje po zakonih klasične mehanike; in - interakcijo med seboj in s telesi, ki niso vključena v ta niz.
Utež
Masa se v naravi kaže na več načinov.
Pasivna gravitacijska masa kaže, s kakšno silo deluje telo na zunanja gravitacijska polja - pravzaprav je ta masa osnova za merjenje mase s tehtanjem v sodobnem meroslovju.
Aktivna gravitacijska masa kaže, kakšno gravitacijsko polje ustvarja to telo samo - gravitacijske mase se pojavljajo v zakonu univerzalne gravitacije.
Inertna masa označuje vztrajnost teles in se pojavlja v eni od formulacij drugega Newtonovega zakona. Če poljubna sila v vinercialnem referenčnem sistemu enako pospeši različna sprva negibna telesa, dobimo tem telesom enako vztrajnostno maso.
Gravitacijska in vztrajnostna masa sta med seboj enaki (z visoko natančnostjo - približno 10 −13 - eksperimentalno, v večini fizikalnih teorij, vključno z vsemi eksperimentalno potrjenimi, pa natančno), torej v primeru, ko ne govorimo o " new physics” , govorijo preprosto o masi, ne da bi navedli, na katero mislijo.
V klasični mehaniki masa sistema teles je enaka vsota mas njenih sestavnih teles. V relativistični mehaniki masa ni aditivna fizikalna količina, to pomeni, da masa sistema v splošnem primeru ni enaka vsoti mas komponent, ampak vključuje energijo vezave in je odvisna od narave gibanja delcev relativno drug na drugega
Središče mase - ( v mehaniki) geometrijska točka, ki označuje gibanje telesa ali sistema delcev kot celote. Ni enak konceptu težišča (čeprav največkrat sovpada).
Položaj središča mase (vztrajnostnega središča) sistema materialnih točk v klasični mehaniki se določi na naslednji način:
kjer je radij vektor središča mase, je radij vektor jaz th točke sistema, - masa jaz th točka.
Za primer neprekinjene porazdelitve mase:
kjer je skupna masa sistema, je prostornina in je gostota. Središče mase torej označuje porazdelitev mase po telesu ali sistemu delcev.
Lahko se pokaže, da če sistem ni sestavljen iz materialnih točk, ampak iz razširjenih teles z masami, potem je radijski vektor središča mase takega sistema povezan z radijnimi vektorji središč mase teles z odnos:
Z drugimi besedami, v primeru razširjenih teles je formula veljavna, njena struktura sovpada s tisto, ki se uporablja za materialne točke.
V mehaniki!!!
Koncept središča mase se pogosto uporablja v mehaniki in fiziki.
Gibanje togega telesa lahko obravnavamo kot superpozicijo gibanja središča mase in rotacijskega gibanja telesa okoli njegovega središča mase. V tem primeru se masno središče giblje na enak način, kot bi se gibalo telo z enako maso, a neskončno majhnih dimenzij (materialna točka). Slednje zlasti pomeni, da so za opis tega gibanja uporabni vsi Newtonovi zakoni. V mnogih primerih lahko popolnoma zanemarite velikost in obliko telesa in upoštevate le gibanje njegovega središča mase.
Pogosto je priročno obravnavati gibanje zaprtega sistema v referenčnem sistemu, povezanem s središčem mase. Takšen referenčni sistem imenujemo sistem središča mase (C-sistem) ali sistem vztrajnostnega središča. V njem ostane skupna gibalna količina zaprtega sistema vedno enaka nič, kar omogoča poenostavitev enačb njegovega gibanja.
Središča mase homogenih likov
Segment ima sredino.
Za poligone (tako trdne ravne figure kot okvirje):
Paralelogram ima presečišče svojih diagonal.
Trikotnik ima presečišče median ( središče).
Pravilni mnogokotnik ima središče rotacijske simetrije.
Polkrog ima točko, ki deli pravokotni polmer v razmerju 4:3π od središča kroga.
Zagon = impulz
Količina gibanja sistema (impulz sistema).
Količina gibanja (telesni impulz)– vektorska fizikalna količina, ki je enaka zmnožku mase telesa in njegove hitrosti:
Impulz (količina gibanja) je ena najbolj temeljnih značilnosti gibanja telesa ali sistema teles.
Zapišimo Newtonov zakon II v drugačni obliki, upoštevajoč, da pospešek Potem torej
Produkt sile in časa njenega delovanja je enak prirastku gibalne količine telesa (slika 1):
Kje je impulz sile, ki kaže, da rezultat sile ni odvisen samo od njene vrednosti, ampak tudi od trajanja njenega delovanja.
Slika 1
Količina gibanja sistema (impulz) se imenuje vektorska količina, ki je enaka geometrijski vsoti (glavni vektor) količin gibanja (impulzov) vseh točk sistema.(slika 2):
Iz risbe je razvidno, da ne glede na vrednosti hitrosti točk sistema (razen če so te hitrosti vzporedne), lahko vektor prevzame poljubne vrednosti in se celo izkaže, da je enak nič, ko poligon, zgrajen iz vektorjev, se zapre. Posledično narave gibanja sistema ni mogoče v celoti oceniti glede na njegovo velikost.
Slika 2
Poiščimo formulo, s katero je veliko lažje izračunati vrednost in tudi razumeti njen pomen.
Iz enakosti
temu sledi
Če vzamemo časovni odvod obeh strani, dobimo
Od tod to ugotovimo
količina gibanja (gibalna količina) sistema je enaka produktu mase celotnega sistema in hitrosti njegovega masnega središča . Ta rezultat je še posebej primeren za uporabo pri izračunu količin gibanja togih teles.
Iz formule je razvidno, da če se telo (ali sistem) giblje tako, da središče mase ostane negibno, je gibalna količina telesa enaka nič. Na primer, gibalna količina telesa, ki se vrti okoli nepremične osi, ki poteka skozi njegovo središče mase, bo enaka nič.
Če je gibanje telesa kompleksno, potem vrednost ne bo označevala rotacijskega dela gibanja okoli središča mase. Na primer, za kotalno kolo, ne glede na to, kako se kolo vrti okoli svojega središča mase Z.
torej gibalna količina označuje samo translacijsko gibanje sistema. Pri kompleksnem gibanju količina označuje samo translacijski del gibanja sistema skupaj s središčem mase.
Glavna točka je količina stv dv emisija (impulz) sistema.
Glavni moment gibalne količine (ali kinetični moment) sistema glede na dano središče O se imenuje količina, ki je enaka geometrijski vsoti momentov količin gibanja vseh točk sistema glede na to središče.
Podobno se določijo trenutki količin gibanja sistema glede na koordinatne osi:
V tem primeru hkrati predstavljajo projekcije vektorja na koordinatne osi.
Tako kot je zagon sistema značilnost njegovega translacijskega gibanja, glavni gibalni moment sistema je značilnost rotacijskega gibanja sistema.
Slika 6
Razumeti mehanski pomen količine L 0 in imamo potrebne formule za reševanje problemov, izračunamo kotni moment telesa, ki se vrti okoli fiksne osi (slika 6).Poleg tega, kot običajno, definicija vektorja se spusti na določanje njegovih projekcij.
Najprej poiščimo najpomembnejšo formulo za aplikacije, ki določa količino L z, tj. kinetični moment rotirajočega telesa okoli osi vrtenja.
Za vsako točko na telesu, ki je oddaljena od osi vrtenja, je hitrost . Zato za to točko. Potem dobimo za celotno telo, vzamemo skupni faktor ω iz oklepaja
Vrednost v oklepaju predstavlja vztrajnostni moment telesa glede na os z. Končno najdemo
torej kinetični moment rotirajočega telesa glede na vrtilno os je enak produktu vztrajnostnega momenta telesa glede na to os in kotne hitrosti telesa.
Če je sistem sestavljen iz več teles, ki se vrtijo okoli iste osi, potem očitno obstaja
Zlahka je videti analogijo med formulama in: količina gibanja je enaka zmnožku mase (količina, ki označuje vztrajnost telesa med translacijskim gibanjem) in hitrosti; kinetični moment je enak produktu vztrajnostnega momenta (vrednost, ki označuje vztrajnost telesa med rotacijskim gibanjem) in kotne hitrosti.
