Çokgen olmayan geometrik şekiller. Düzenli çokgen
Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitine zaten baktık: üçgenler ve çevre. Aynı zamanda bu şekillerin dikdörtgen, eşit ve dik üçlü-kömür-ni-ki gibi özel durumlarını da tartıştık. Artık daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi. çok fazla kömür.
Özel bir dava ile çok fazla kömür zaten biliyoruz - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Üçgen
İsminde bunun üç köşeli bir fi-gu-ra olduğu zaten belirtiliyor. Sonraki, içinde çok fazla kömür birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, bir beşgen çizin (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli fi-gu-ru-la-mi.
Pirinç. 2. Beş köşeli. Seni hantal çokgen
Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) oluşan ve onları birlikte takip eden kov'un noktalarının sayısına karşılık gelen şekil. Bu noktalara denir en iyi-on-miçok fazla kömür var ama kesimden dolayı - yüz ro-na-mi. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.
Tanım.Sağ çokgen- bu, tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.
Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da çok fazla kömür.
Yani örneğin beşgen denince hem onun tüm iç bölgesini hem de sınırlarını kastediyorlar. Ve çok sayıda kömürün içinde yer alan tüm noktalar iç bölgeyle ilgilidir. nokta aynı zamanda-no-sit-xia'dan beş-kömür-ni-ku'ya kadardır (bkz. Şekil 2).
Bilinmeyen sayıda açı (n adet) durumunun yaygın olduğunu vurgulamak için çok fazla kömüre bazen n-kömür denir.
Tanım. Birçok-kömür-no-ka'nın çevresi- çok miktarda kömürün kenar uzunluklarının toplamı.
Şimdi birçok kömürün manzaralarını tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür osurdun Ve osuruk. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. Şekil 2'de osuruyor gibi görünüyorsunuz ve Şekil 2'de. 3 osuruk değil.
Pirinç. 3. Nevy inişli çıkışlı çokgen
2. Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler
Tanım 1. Çokgen na-za-va-et-sya osurdun, eğer kenarlarından herhangi birinden doğrudan geçerken tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Neva-puk-ly-mi diğer herkes görünüyor çok fazla kömür.
Şekil 2'deki beş köşenin herhangi bir tarafını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizgiden bir taraf uzakta olacak, yani. o osuruk. Ancak Şekil 2'deki dört kömürden doğrudan geçerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. o büyük bir osuruk değil.
Ancak ne kadar kömürünüz olduğunun başka bir tanımı daha var.
Tanım 2. Çokgen na-za-va-et-sya osurdun, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçtiğinizde ve bunları bir kesimden birleştirdiğinizde, kesimdeki tüm noktalar da dahilidir - tam olarak çok fazla kömür değil.
Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki kesmelerin yapımı örneğinde görülebilir. 2 ve 3.
Tanım. Dia-go-na-lew Bitişik olmayan iki tepeyi birbirine bağlayan herhangi bir kesime çok fazla kömür denir.
3. Dışbükey bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin teorem
Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili iki önemli teorem vardır: birçok açının iç açılarının toplamı hakkında teo-re-ma Ve birçok açının dış açılarının toplamı hakkında teo-re-ma. Şimdi onlara bakalım.
Teorem. İç açıların toplamı hakkında çok fazla açınız var (N-kömür-hayır-ka).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?
Kanıt 1. Şek. 4 çıkıntılı n-gon.
Pirinç. 4. Seni inişli çıkışlı zenci
En baştan itibaren mümkün olan tüm diya-goları gerçekleştireceğiz. N-gon-nik'i tri-gon-nik'e bölüyorlar çünkü. Tepeye doğru uzanan kenarlar hariç, her bir kenar çok miktarda kömür oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n köşesinin iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n açısının iç açılarının toplamı:
Sebep 2. Bu teoremin başka bir sebebinin olması mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon'un gösterimi. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.
N-kömürü n üçgene böldük (kaç kenar, şu kadar üçgen) ). Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:
Q.E.D.
Do-ka-za-ama.
Önceki teoriye göre, n-kömür açılarının toplamının, kenar sayısına (n'den) bağlı olmadığı açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı eşittir. Kömür yokken ve açıların toplamı - vb.
4. Dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamına ilişkin teorem
Teorem. Bir sürü kömürün dış açılarının toplamı hakkında (N-kömür-hayır-ka).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , ..., dış açılardır.
Kanıt. Şekil 2'deki dışbükey n-gon'un görüntüsü. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.
Pirinç. 6. Belirlenmiş dış köşelere sahip dışbükey n-gon
Çünkü dış açı iç açıya komşu olarak bağlanır, o zaman 
ve diğer dış köşeler için de benzer. Daha sonra:
Ön geliştirme sırasında, n-kömür-ni-ka iç açılarının toplamı hakkındaki teoremi zaten kullanmıştık.
Do-ka-za-ama.
Önceki teoremden, dışbükey n-kömürün dış açılarının toplamının şuna eşit olduğu ilginç bir gerçeği takip etmektedir: 
açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamına bağlı.
Daha sonra, çok fazla kömür olduğu özel durumuyla daha ayrıntılı olarak çalışacağız - neden yeniden kömür kullanmıyorsunuz? Bir sonraki derste par-ral-le-lo-gram gibi bir şekli tanıyacağız ve özelliklerini tartışacağız.
KAYNAK
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Konu, öğrenci yaşı: geometri, 9. sınıf
Dersin amacı: çokgen türlerini incelemek.
Eğitim görevi: Öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; bir çokgenin “bileşenleri” hakkında bir fikir oluşturmak; normal çokgenlerin (üçgenden n-gon'a) kurucu elemanlarının sayısı üzerine bir çalışma yürütmek;
Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini, sözlü ve yazılı matematiksel konuşmayı, hafızayı, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlığı, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneğini geliştirme yeteneğini geliştirmek; araştırma ve eğitim faaliyetleri geliştirmek;
Eğitim görevi: Bağımsızlığı, aktiviteyi, verilen işin sorumluluğunu, hedefe ulaşmada azim geliştirmek.
Dersler sırasında: tahtaya yazılan alıntı
“Doğa matematiğin dilini, bu dilin harflerini… matematiksel şekilleri konuşur.” G. Galliley
Dersin başında sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda her biri 4 kişilik gruplara ayrılır - grup üye sayısı soru grubu sayısına eşittir).
1.Çağrı aşaması-
Hedefler:
a) öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini güncellemek;
b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetlerine motive etmek.
Teknik: Oyun “Buna inanıyor musun…”, metinle çalışmanın organizasyonu.
Çalışma biçimleri: ön, grup.
"Buna inanıyor musun..."
1. ... “çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu mu gösteriyor?
2. ... bir üçgen, bir düzlem üzerindeki pek çok farklı geometrik şekil arasından ayrılan çokgenlerden oluşan geniş bir aileye mi aittir?
3. ... kare düzgün bir sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?
Bugün dersimizde çokgenler hakkında konuşacağız. Bu şeklin kapalı bir kesikli çizgi ile sınırlı olduğunu ve bunun da basit, kapalı olabileceğini öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün veya dışbükey olabileceği gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri, uzun zamandır aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgenleri, kesikli çizgiyi gösteren posterler gösterebilir, onlara gösterebilirsiniz) Farklı türde TSO'yu da kullanabilirsiniz).
2. Konsept aşaması
Hedef: elde etmek yeni bilgi, anlaşılması, seçilmesi.
Teknik: zikzak.
Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.
Grubun her üyesine dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin hem öğrencilerin zaten bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde derlenir. Metinle birlikte öğrencilere cevapları bu metinde bulunması gereken sorular verilir.
Çokgenler. Çokgen türleri.
Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak çocukluğumuzdan beri bize tanıdık gelen üçgen pek çok ilginç ve gizemli şeyle doludur.
Zaten bildiğimiz, kenarlara (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar) ve açılara (dar, geniş, dikdörtgen) bölünmüş üçgen türlerine ek olarak, üçgen, üzerindeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir. uçak.
“Çokgen” kelimesi bu ailedeki tüm figürlerin “birçok açısı” olduğunu belirtir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.
A 1 A 2 ...A n kesikli çizgisi, A 1, A 2, ...A n noktalarından ve bunları bağlayan A 1 A 2, A 2 A 3,.... parçalarından oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve bölümlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (Şekil 1)
Kendi kendine kesişme noktaları yoksa kesikli bir çizgiye basit denir (Şekil 2, 3).
Uçları çakışıyorsa sürekli çizgiye kapalı denir. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).
Basit, kapalı bir kesikli çizgiye, komşu bağlantıları aynı düz çizgide yer almıyorsa çokgen adı verilir (Şekil 5).
“Çok” sözcüğündeki “çok” kısmı yerine belirli bir sayıyı (örneğin 3) yazın, bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Ne kadar çok açı varsa o kadar da kenar olduğuna dikkat edin, dolayısıyla bu şekillere pekala çok kenarlı şekiller denilebilir.
Kırık çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, kesik çizginin bağlantılarına ise çokgenin kenarları denir.
Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).
Düzlem çokgen veya çokgen alan, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin sonlu kısmıdır.
Bir çokgenin bir kenarının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın sonu olmayan köşeler komşu değildir.
N köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.
Her ne kadar bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olsa da, üçgenler birbirine bağlandıklarında başka şekiller de oluşturabilirler ve bunlar da çokgenlerdir.
Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.
Bir çokgene, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre aynı yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey denir. Bu durumda düz çizginin kendisinin yarım düzleme ait olduğu kabul edilir.
Belirli bir tepe noktasındaki dışbükey çokgenin açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır.
Teoremi kanıtlayalım (dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında): Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180 0 *(n - 2)'ye eşittir.
Kanıt. n=3 durumunda teorem geçerlidir. A 1 A 2 ...A n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan bu köşegenler onu n – 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı bu üçgenlerin tüm açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'a eşittir ve bu üçgenlerin sayısı n 2'dir. Dolayısıyla dışbükey bir n-gon A 1 A 2 ...A n'nin açılarının toplamı 180'e eşittir. 0 * (n - 2). Teorem kanıtlandı.
Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır.
Tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşitse, dışbükey bir çokgene normal denir.
Böylece kareye farklı bir ad verilebilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Mesela parke üzerine güzel desenler yaptılar. Ancak parke yapmak için normal çokgenlerin tümü kullanılamaz. Parke normal sekizgenlerden yapılamaz. Gerçek şu ki, her açı 135 0'a eşittir. Ve eğer bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman bunlar 270 0'ı açıklayacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği yer yoktur: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ancak bir kare için bu yeterlidir. Bu nedenle normal sekizgen ve karelerden parke yapabilirsiniz.
Yıldızlar da doğrudur. Beş köşeli yıldızımız normal bir beşgen yıldızdır. Ve eğer kareyi merkezin etrafında 45° döndürürseniz, düzgün bir sekizgen yıldız elde edersiniz.
1 grup
Kırık çizgi nedir? Çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.
Hangi kesikli çizgiye basit denir?
Hangi kırık çizgiye kapalı denir?
Çokgene ne denir? Çokgenin köşelerine ne ad verilir? Çokgenin kenarlarına ne denir?
2. grup
Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.
N – kare nedir?
Bir çokgenin hangi köşelerinin bitişik, hangilerinin bitişik olmadığını açıklayın.
Bir çokgenin köşegeni nedir?
3 grup
Hangi çokgene dışbükey denir?
Bir çokgenin hangi açılarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?
Hangi çokgene düzenli denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.
4 grup
Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtla.
Öğrenciler metinle çalışır, sorulan soruların cevaplarını arar, ardından aynı konularda çalışmaların yapıldığı uzman grupları oluşturulur: öğrenciler ana noktaları vurgular, destekleyici bir özet hazırlar ve bilgileri bunlardan birinde sunar. grafik formları. Çalışmanın tamamlanmasının ardından öğrenciler çalışma gruplarına geri dönerler.
3. Yansıma aşaması -
a) kişinin bilgisinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;
b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.
Resepsiyon: araştırma çalışması.
Çalışma biçimleri: bireysel->çift->grup.
Çalışma grupları, önerilen soruların her bölümünü yanıtlayacak uzmanları içerir.
Çalışma grubuna dönen uzman, sorularının yanıtlarını diğer grup üyelerine sunar. Grup, çalışma grubunun tüm üyeleri arasında bilgi alışverişinde bulunur. Böylece her çalışma grubunda uzmanların çalışmaları sayesinde çalışılan konu hakkında genel bir anlayış oluşturulur.
Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tablonun doldurulması.
| Düzenli çokgenler | Çizim | Kenar sayısı | Köşe sayısı | Tüm iç açıların toplamı | Derece ölçüsü iç açı | Dış açının derece ölçüsü | Köşegen sayısı |
| Bir üçgen | |||||||
| B) dörtgen | |||||||
| B) beş çubuk | |||||||
| D) altıgen | |||||||
| D) n-gon |
Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.
- Bir dörtgende, onu üç üçgene bölecek şekilde düz bir çizgi çizin.
- Her bir iç açısı 135° olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?
- Belirli bir çokgenin tüm iç açıları birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı 360 0, 380 0'a eşit olabilir mi?
Dersi özetlemek. Ev ödevi kaydediliyor.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi veya onunla bağlantı.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. O zaman kanıtlayacağız en önemli gerçekler bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.
Konu: Dörtgenler
Ders: Çokgenler
Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.
Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Üçgen
İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.
Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon
Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.
Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.
Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.
Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).
Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.
Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.
Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.
Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen
Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.
Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'deki bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.
Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.
Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.
Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.
Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.
Çokgenlerin özelliklerini tanımlamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.
Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?
Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.
Pirinç. 4. Dışbükey n-gon
Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:
Q.E.D.
İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.
Pirinç. 5.
N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:
Q.E.D.
Kanıtlanmış.
Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.
Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.
Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.
Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon
Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra 
ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:
Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.
Kanıtlanmış.
Kanıtlanmış teoremden şu sonuç çıkıyor ilginç gerçek dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: 
açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.
Kaynakça
- Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Ev ödevi
Düzlemin kapalı bir kesik çizgiyle sınırlanan kısmına çokgen denir.
Bu kesikli çizginin bölümlerine denir partilerçokgen. AB, BC, CD, DE, EA (Şekil 1), ABCDE çokgeninin kenarlarıdır. Bir çokgenin tüm kenarlarının toplamına denir çevre.
Çokgen denir dışbükey, eğer kenarlarından herhangi birinin bir tarafında bulunuyorsa, her iki köşenin ötesine süresiz olarak uzatılmıştır.
MNPKO çokgeni (Şekil 1), KR düz çizgisinin birden fazla tarafında yer aldığından dışbükey olmayacaktır.
Sadece dışbükey çokgenleri ele alacağız.
Bir çokgenin bitişik iki kenarının oluşturduğu açılara denir dahili köşeler ve üstleri çokgenin köşeleri.
Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren düz çizgi parçasına çokgenin köşegeni denir.
AC, AD - çokgenin köşegenleri (Şekil 2).
Bir çokgenin iç açılarına komşu olan açılara çokgenin dış açıları denir (Şekil 3).
Açıların (kenarların) sayısına bağlı olarak, çokgen üçgen, dörtgen, beşgen vb. olarak adlandırılır.
İki çokgen üst üste bindirilerek bir araya getirilebiliyorsa bunlara eş denir.
Yazılı ve çevrelenmiş çokgenler
Bir çokgenin tüm köşeleri bir daire üzerinde bulunuyorsa bu çokgene denir yazılı bir daireye ve daireye - tarif edildi poligonun yakınında (şek).
Bir çokgenin tüm kenarları bir daireye teğet ise bu çokgene denir tarif edildi bir daire hakkında ve daireye denir yazılı bir çokgene dönüştürün (Şek.).
Çokgenlerin benzerliği
Birinin açıları sırasıyla diğerinin açılarına eşitse ve çokgenlerin benzer kenarları orantılıysa, aynı isimdeki iki çokgene benzer denir.
Kenar sayıları (açıları) aynı olan çokgenlere aynı isimli çokgenler denir.
Karşılık gelen eşit açıların köşelerini birleştiren benzer çokgenlerin kenarlarına benzer denir (Şekil).
Dolayısıyla, örneğin ABCDE çokgeninin A'B'C'D'E' çokgenine benzer olması için aşağıdakilerin olması gerekir: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' ve ayrıca AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Benzer çokgenlerin çevrelerinin oranı
Öncelikle eşit oranlar dizisinin özelliğini düşünün. Örneğin şu oranları elde edelim: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.
Bu ilişkilerin önceki terimlerinin toplamını, ardından sonraki terimlerinin toplamını bulalım ve elde edilen toplamların oranını bulalım:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Bir dizi başka ilişkiyi ele alırsak aynı şeyi elde ederiz, örneğin: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Önceki terimlerin toplamını bulalım. Bu ilişkilerin ve sonrakilerin toplamını buluruz ve sonra bu toplamların oranını buluruz:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Her iki durumda da, bir eşit ilişkiler dizisinin önceki üyelerinin toplamı, aynı serinin sonraki üyelerinin toplamı ile ilişkilidir, tıpkı bu ilişkilerden herhangi birinin önceki üyesinin sonraki üyeyle ilişkili olması gibi.
Bu özelliği bir takım sayısal örnekleri dikkate alarak elde ettik. Kesinlikle ve genel bir biçimde türetilebilir.
Şimdi benzer çokgenlerin çevrelerinin oranını düşünün.
ABCDE çokgeni A’B’C’D’E’ çokgenine benzer olsun (Şekil).
Bu çokgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkıyor:
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Bir dizi eşit oran için türettiğimiz özelliğe dayanarak şunu yazabiliriz:
Aldığımız ilişkilerin önceki terimlerinin toplamı birinci çokgenin (P) çevresini, bu ilişkilerin sonraki terimlerinin toplamı ise ikinci çokgenin (P') çevresini temsil eder, yani P/P ' = AB / A'B'.
Buradan, Benzer çokgenlerin çevreleri benzer kenarlarıyla ilişkilidir.
Benzer çokgenlerin alanlarının oranı
ABCDE ve A’B’C’D’E’ benzer çokgenler olsun (Şekil).
ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' ve ΔADE ~ ΔA'D'E' olduğu bilinmektedir.
Ayrıca,
;
Bu oranların ikinci oranları eşit olduğundan, bu çokgenlerin benzerliğinden kaynaklanır, o zaman
Bir dizi eşit oran özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:
Veya 
burada S ve S' bu benzer çokgenlerin alanlarıdır.
Buradan, Benzer çokgenlerin alanları benzer kenarların kareleri ile ilişkilidir.
Ortaya çıkan formül şu forma dönüştürülebilir: S / S' = (AB / A'B') 2
Rastgele bir çokgenin alanı
Keyfi bir dörtgen ABC'nin alanını hesaplamak gerekli olsun (Şek.).
İçine bir köşegen çizelim, örneğin AD. Alanlarını hesaplayabildiğimiz iki ABD ve ACD üçgeni elde ediyoruz. Daha sonra bu üçgenlerin alanlarının toplamını buluyoruz. Ortaya çıkan toplam bu dörtgenin alanını ifade edecektir.
Bir beşgenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, aynı şeyi yaparız: köşelerden birinden köşegenler çizeriz. Alanlarını hesaplayabileceğimiz üç üçgen elde ediyoruz. Bu, bu beşgenin alanını bulabileceğimiz anlamına gelir. Herhangi bir çokgenin alanını hesaplarken de aynısını yaparız.
Bir çokgenin öngörülen alanı
Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, belirli bir çizgi ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı olduğunu hatırlayalım (Şekil).
Teorem. Bir çokgenin bir düzlem üzerine dik izdüşümü alanı, yansıtılan çokgenin alanı ile çokgen düzlemi ve izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan açının kosinüsüne eşittir.
Her çokgen, alanları toplamı çokgenin alanına eşit olan üçgenlere bölünebilir. Bu nedenle bir üçgen için teoremi kanıtlamak yeterlidir.
ΔАВС'ın uçağa yansıtılmasına izin verin R. İki durumu ele alalım:
a) ΔABC kenarlarından biri düzleme paraleldir R;
b) ΔABC kenarlarının hiçbiri paralel değildir R.
Hadi düşünelim ilk durum: izin ver [AB] || R.
(AB) üzerinden bir düzlem çizelim R 1 || R ve dik olarak ΔАВС'yi yansıtın R 1 ve sonrası R(pirinç.); ΔАВС 1 ve ΔА'В'С' elde ederiz.
Projeksiyon özelliği gereği elimizde ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' var ve bu nedenle
S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'
⊥ ve D 1 C 1 parçasını çizelim. O halde ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ ΔABC düzlemi ile düzlem arasındaki açının değeridir R 1. Bu yüzden
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | çünkü φ = S Δ ABC çünkü φ
ve dolayısıyla S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Düşünmeye devam edelim ikinci durum. Bir uçak çizelim R 1 || R bu tepe noktası boyunca ΔАВС, uçağa olan mesafe R en küçüğü (bu A köşesi olsun).
ΔАВС'ı uçağa yansıtalım R 1 ve R(pirinç.); projeksiyonları sırasıyla ΔАВ 1 С 1 ve ΔА'В'С' olsun.
(BC) ∩ olsun P 1 = D. O halde
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Diğer materyaller
