Kombinasyonların ve özelliklerinin sunumu. "Kombinatorik: hareketler, permütasyonlar, kombinasyonlar" konulu cebir ve analiz ilkeleri üzerine bir ders sunumu
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Kombinasyonlar
Kombinasyonlar m veriden n elemanın sırası dikkate alınmaksızın yapılan tüm seçimlerin sayısına m elemanın n'ye göre kombinasyon sayısı denir. Tüm kombinasyonlar en az bir öğe açısından birbirinden farklıdır; Burada öğelerin sırası önemli değildir; Kombinasyon ile düzenleme arasındaki fark, bir düzenlemedeki öğeleri yeniden düzenlerseniz farklı bir düzenleme elde etmenizdir, ancak kombinasyon, içinde yer alan öğelerin sırasına bağlı değildir.
Kombinasyonlar m veriden n elemanın sırası dikkate alınmaksızın yapılan tüm seçimlerin sayısına m elemanın n'ye göre kombinasyon sayısı denir. Bulunan: 6'dan 3'e kadar olan kombinasyon sayısı: 4'ten 4'e kadar olan kombinasyon sayısı:
Görev No. 1 20 öğrenciden iki görevli memuru seçmeniz gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir? Çözüm: 20 kişiden iki kişiyi seçmemiz gerekiyor. Hiçbir şeyin seçim sırasına bağlı olmadığı açıktır, yani Ivanov - Petrov veya Petrov - Ivanov aynı çift görevli memurdur. Dolayısıyla bunlar 20'ye 2'lik kombinasyonlar olacaktır.
Görev No.2. Minotaur'un labirentte çürüyen 25 mahkumu var. a) Sabah kahvaltısı, öğle yemeği ve akşam yemeği için bunlardan üçünü kaç farklı şekilde seçebilir? b) Üç esiri özgürlüğe salıvermenin kaç yolu vardır? Çözüm: A) Sıra önemlidir. B) Sıra önemli değil
Görev No. 3 Sınıfta 27 öğrenci var, bunlardan üçünün seçilmesi gerekiyor. Aşağıdaki durumlarda bu kaç farklı şekilde yapılabilir: a) birinci öğrenci problemi çözmeli, ikincisi tebeşir almaya gitmeli, üçüncüsü yemek odasında göreve gitmeli; b) koro halinde şarkı söylemeliler mi? 6
Olimpiyatlara katılmak üzere bir matematik kulübünün yedi üyesinden oluşan iki kişilik bir takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Görev No.4
Görev No. 5 Departmanın 5 lider ve 8 kıdemli çalışanı bulunmaktadır. İki önde gelen ve iki kıdemli araştırmacı bir iş gezisine gönderilmelidir. Bir seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
36 kartlık bir desteden rastgele 4 kart çekiliyor. Çekilen tüm kartların as olma olasılığı nedir? Sorun #6
Sorun No. 7 50 parçadan oluşan bir partide 10 adet kusurlu parça var. Partiden rastgele dört parça alınıyor. 4 parçanın tamamının arızalı olma olasılığını belirleyin. Toplam sonuçlar: Olumlu sonuçlar: Olasılık.
“Kombinasyonlar” sunumu, 9. sınıfta kombinatoriğin temellerini çalışırken “Kombinasyonlar” konusunu ele almak için görsel bir yardımcıdır. Eğitim materyallerinin parlak bir görsel sunumu, dersin daha etkili olmasına ve ders hedeflerine daha hızlı ulaşılmasına katkıda bulunur. Sunum, kavramın tanımına yol açan kombinasyon örnekleri, bir deftere yazmak ve ezberlemek için vurgulanan bir tanım, kavramın özellikleri ve anlamının araştırılması, kombinasyonlarla problemleri çözmek için bir matematiksel aparat, örnekler içerir. problem çözme.
Bu sunumda, materyalin daha iyi anlaşılması için şekillerde açıkça gösterilen örnekler kullanılmıştır. Slaytlar ve animasyon kullanılarak materyal yapılandırılır, önemli kavramlar ve ayrıntılar vurgulanır. Genel olarak böyle bir sunum, öğretmeni netlik sağlamak için diğer araç ve nesneleri kullanma ihtiyacından kurtarır. Sunum, öğretmenin konuyu açıklamasına eşlik edebilir, çalışılan kavramların özelliklerini açık ve net bir şekilde ortaya koyabilir.
Sunum konunun tanıtılmasıyla başlar. Daha sonra 5 farklı renkte gül varken 3 gülden oluşan buket sayısını bulmanın gerekli olduğu problemin çözümü gösterilmiştir. Resimde a,b,c,d,e etiketli farklı renklerde 5 gül gösterilmektedir. Öncelikle sarı gül ile kombinlenebilecek tüm seçenekler değerlendiriliyor. Sarı gül içeren tüm buketler sırayla ekranda görüntülenir. Bunlardan 6 tane var ve bu tür buketleri harflerle belirtirsek, bunlar abc, abd, abe, acd, ace, ade'dir. Aşağıda sarı bir gül olmadan katlanabilecek tüm seçenekler tartışılmaktadır. Ekranda kırmızı bir gül ve ardından kırmızı güllü üç seçenek görüntülenir. Ortaya çıkan kombinasyonları harflerle belirtirsek ortaya çıkan seçenekler bcd, bce, bde olur. Geriye kalan üç gül, kırmızı ve sarı güller olmadan yalnızca bir buket yapabilir - cde. Çözümü özetlemek gerekirse çözümün 10 şekilde katlanabileceği belirtiliyor. Tüm olası buket seçenekleri ekranda görüntülenir. Olası kombinasyonların sayısı C 5 3 =10 ile gösterilir. Bu örnek kombinatorikteki kombinasyon kavramına giriş niteliğindeydi. Bu durumda kombinasyonun tanımı slayt 8'de ayrı ayrı vurgulanır ve ezberlenmesi için bir çerçeve içine alınır. Kombinasyonlar, n tane eleman arasından seçilen k tane elemandan oluşan bir küme olarak tanımlanır.
9. slaytta, kombinasyonların önemli bir özelliği, elemanların sırasının önemli olmamasıdır. Elementlerin kombinasyonları arasındaki tek fark, en az bir elementin farklılığıdır. Matematikteki kombinasyonlar Cnk ile gösterilir. Bu atama, k'nin n elemanının kombinasyon sayısı olarak okunur. Tanımlama 10. slaytta vurgulanır ve ezberlenmesi için çerçevelenir.
Daha sonra, ele alınan örneği kullanarak, kombinasyon sayısını bulmak için matematiksel aparatı tanımlıyoruz. Sunumun başında tartışılan gül buketleri için C 5 3 =10 olduğu belirlendi. k≤n için k'ye göre n elementin kombinasyon sayısı formülünü görüntülemek için, gülleri buketlere yerleştirmeye yönelik tüm olası seçenekler ekranda görüntülenir. Bu durumda permütasyonların P 3 olarak tanımlandığı ve kabul edilen gösterime göre yerleştirme sayısının A 5 3'e eşit olduğu hatırlanmaktadır. Kombinasyon sayısı, kombinasyon sayısını yerleştirme ve permütasyon sayısı yoluyla ifade eden bir formülden belirlenebilir. Kombinasyon sayısını belirleyen formülün C53.P3=A53 formülünden geldiğine dikkat edilmelidir. Kombinasyon sayısının C 5 3 =(A 5 3)/P 3 olacağını gösterir.
14. slaytta, verilen 5 gülden oluşan üç renkli gül buketlerinin sayısını bulmak için bu durumda kombinasyon sayısını bulmak için türetilen formül genel durum için geçerlidir. Genel durumda, k≤n için n'ye k elemanların kombinasyonlarının sayısı formülü, Pk permütasyon sayısı ve A n k yerleştirme sayısı aracılığıyla ifade edilir. A n k =C n k .P k olduğundan, genel durumda kombinasyonların sayısı C n k =(A n k)/Pk formülüyle bulunur. Bu formülde A n k değerini ve P k değerini bulmak için kullanılan ifadeleri yerine koyarsak, kombinasyon sayısını bulmak için genel bir formül elde ederiz: C n k =n!/k!(n-k)!. Bu formül ezberlemeniz için renkle vurgulanmıştır, çünkü problemlerdeki yardımıyla kombinasyon sayısının değerini bulmanız gerekecektir.
Slayt 16, kombinasyon sayısını bulmanız gereken bir problemin çözümüne ilişkin bir örnek sunmaktadır. Problem, 12 kalemlik bir setten 3 kalemin seçilebileceği yolların sayısını bulmayı gerektirmektedir. Açıkçası, bu işlem bir kombinasyondur, çünkü seçilen öğe sırasının sırası önemli değildir. Kombinasyonların sayısı C n k =n!/k!(n-k)! formülüyle belirlenir. Problemdeki değerleri bu formülde yerine koyarsak, C 12 3 =12!/(3!.9!)=(11/10/12)/(1.2.3)=220 elde ederiz.
Slayt 17, 12 kız ve 14 erkek çocuğun bulunduğu bir sınıftan yarışma için dört erkek ve üç kız çocuğunun seçilmesinin yol sayısını bulmanın gerekli olduğu başka bir problemin çözümünü inceliyor. Açıkçası yarışma grubu 14 erkek çocuğun 4'ünün ve 12 kız çocuğunun 3'ünün birleşiminden oluşuyor. Toplam kombinasyon sayısı C 14 4 .C 12 3 çarpımına eşit olacaktır. Hesaplamalar yapıldıktan sonra ortaya çıkan yol sayısı 220220 olur.
Bu konuyla ilgili bir cebir dersi yürütmek için görsel bir yardım olarak “Kombinasyonlar” sunumu önerilmektedir. Ayrıca bu materyal uzaktan eğitim sırasında ders yürütmek için kullanılabilir. Materyalin açık ve ayrıntılı bir açıklaması, öğrencilerin kombinasyon kavramını ve bu tür sorunların nasıl çözüleceğini bağımsız olarak anlamalarına yardımcı olacaktır.
Slayt 2
Kombinasyonlar
Tanım 1 n elemanın k ile birleşimi, verilen n elemandan bir şekilde seçilen ikili olarak farklı k elemanların herhangi bir koleksiyonudur. Başka bir deyişle, bir k-kombinasyonu, n elemanlı bir kümenin k-elemanlı bir alt kümesidir. Örnek. Birçoğu veriliyor. 2 kombinasyon yapalım:
Slayt 3
Teorem 1 Bir n-element kümesinin k-kombinasyonlarının sayısı İspat formülü kullanılarak hesaplanır. Her k-kombinasyonundan, elemanlarını mümkün olan her şekilde yeniden düzenleyerek k'yi elde ederiz! yerleşimler. Yani buradan
Slayt 4
Örnek
Mevcut 5 çikolatadan 3 tanesini kaç farklı şekilde seçebilirsiniz? Çözüm. Sorun 5'e 3'lük kombinasyon sayısını hesaplamaktan kaynaklanıyor
Slayt 5
Kombinasyon Özellikleri
1) Kanıt: 2) Kanıt:
Slayt 6
3) Kanıt: 4) Kanıt:
Slayt 7
Binom teoremi
Kanıt. İspatı n üzerinde tümevarımla gerçekleştiriyoruz. İndüksiyonun temeli. n=1 için Newton binomunun formu şu şekildedir: İfadeyi basitleştirerek doğru eşitliği elde ederiz. 2) Tümevarım varsayımı. n=t olduğunda eşitliğin sağlandığını varsayalım.
Slayt 8
3) Endüktif geçiş. n=t+1 için eşitliğin sağlandığını kanıtlayalım.Bunu yapmak için tümevarımsal hipotezin sol ve sağ taraflarını ile çarpalım. Aldık
Slayt 9
Eşitliğin sağ tarafındaki parantezleri açalım Benzerlerini sunalım Kombinasyon sayısı özelliklerini kullanalım
Slayt 10
Newton binomunun sonuçları
Newton binomundan elde edilir Newton binomundan elde edilir 1) Eşitlik 2) Eşitlik
Slayt 11
Tekrarlı kombinasyonlar
Slayt 12
Tekrarlarla kombinasyon
Tanım 1 n elemanın k ile birleşimi, verilen n elemandan bir şekilde seçilen k elemanın herhangi bir koleksiyonudur. Örnek: A = kümesi verildiğinde. Tekrarlarla 2 kombinasyon yapalım:
Slayt 13
Tekrarlı kombinasyon sayısı
Teorem 1. Bir n-element kümesinin tekrarları ile k-kombinasyonlarının sayısı İspat formülü kullanılarak hesaplanır. Lemma. K birimden oluşan, uzunluğu n olan 0 ve 1'den oluşan sıralı kümelerin sayısı eşittir. Lemma'nın Kanıtı. 0'lar ve 1'lerden oluşan sıralı bir dizi, birlerin yer seçimiyle benzersiz bir şekilde belirlenir. Birimler için k yer seçmek için farklı seçeneklerin sayısı şu formül kullanılarak hesaplanır: Lemma kanıtlanmıştır.
Slayt 14
Kümenin öğelerinin tekrarları ile k-kombinasyonları oluştururuz. Bu tür kümelerin her birinde, önce türün öğelerini, sonra türün vb. öğelerini düzenleriz. Tekrarlı her k-kombinasyonu için, n+k-1 uzunluğunda 0 ve 1'lik bir diziyi ilişkilendiririz, bu dizideki birlerin sayısı k, sıfırların sayısı n-1'dir. Her 0, farklı türden kümeleri ayırır. Tekrarlı her k-kombinasyonu, belirtilen diziyi benzersiz bir şekilde belirler ve bunun tersi de geçerlidir. Lemmaya göre bu tür diziler mevcuttur. Araç,
Slayt 15
Örnek
Mağazada 4 çeşit kek satılıyor. 7 adet pastayı kaç farklı şekilde satın alabilirsiniz? Çözüm. Satın alma işlemi tekrarlanan kek çeşitlerini içereceğinden, tekrarlı kombinasyon sayısı formülünü kullanıyoruz.
Slayt 16
Pivot tablo
Slayt 17
Problem çözme
Slayt 18
Görevler
1) Postanede 5 tür İnternet kartı satılmaktadır. 3 farklı kartı kaç farklı şekilde satın alabilirsiniz? 3 adet kartı kaç farklı şekilde satın alabilirsiniz? Çözüm. Kartlar farklı olduğu için ilk soruyu tekrarsız kombinasyon sayısı formülünü kullanarak cevaplayacağız.Kartların farklı olduğu söylenmediği için ikinci soruyu tekrarlı kombinasyon sayısı formülünü kullanarak cevaplayacağız. farklı türler; bu, kart türlerinin tekrarlanabileceği anlamına gelir
Slayt 19
2) Sınıfta 8 erkek ve 9 kız vardır. 4 erkek ve 3 kızdan oluşan bir grup çocuğu kaç farklı şekilde seçebilirsiniz? Çözüm. 8'den 4 erkek, 9'dan 3 kız seçeceğiz. Çarpma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Slayt 20
3) Newton'un binomunu kullanarak parantezleri açın. Çözüm.
Slayt 21
4) 6 özdeş portakal üç çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Çözüm. Portakallar aynı olduğundan setin 6 farklı elemanı olarak kesinlikle kullanılamazlar. Üç çocuktan oluşan bir küme düşünün. Portakal için çocukları seçeceğiz. Tekrarlı kombinasyon sayısı formülünü kullanıyoruz, çünkü bir çocuk birden fazla portakal alabilir veya hiç alamayabilir.
Slayt 22
5) 5 adet birbirinin aynı yazıcı, 3 adet telefon cihazı, 7 adet monitör 4 firmaya kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Çözüm. Önce yazıcıları, sonra telefonları, son olarak da monitörleri dağıtalım. Çarpma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Slayt 23
6) Belirli sayıda farklı numaraya aynı anda basılarak açılan bir kapı kaç farklı şekilde kodlanabilir? Kod 1 veya 2 veya ... veya 10 haneden oluşabilir. Tek haneli bir kod için, iki haneli bir kod için, ..., on haneli bir kod için çeşitli seçenekler vardır. Toplama kuralını kullanarak Newton'un binomunun bir sonucunu kullandık.
Slayt 24
Sorular: İfadeleri karşılaştırın C A C k n n k 8 2'yi hesaplayın
Tüm slaytları görüntüle
Yeniden düzenlemeler Yerleşimler Kombinasyonlar Olasılık
Belediye eğitim kurumu ortaokul No. 30, Volgograd
Matematik öğretmeni Skleinova N.I.
Faktöriyel
Tanım 1
Faktöriyel ilk n doğal sayının çarpımıdır
N! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!= 1*2*3*4=24
5!=1*2*3*4*5=120
Yeniden düzenlemeler
Tanım 2
N elemanın permütasyonu, bu elemanların her birinin belirli bir sıraya göre düzenlenmesidir P=n!
örnek 1
Final yarışındaki 8 katılımcı sekiz koşu bandına kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
R 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(yollar)
Yerleşimler
Tanım 3
N elemanın k (k≤ n) ile düzenlenmesi, verilen n elemandan belirli bir sırayla alınan herhangi bir k elemandan oluşan herhangi bir kümedir
Örnek 2
İkinci sınıf öğrencileri 8 ders çalışıyorlar. Bir gün için 4 farklı konuyu içerecek şekilde bir program kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A 8 4 =8*7*6*5= 1680 (yollar)
A N k =
Kombinasyonlar
Tanım 4
k'nin n elemanından oluşan bir kombinasyon, verilen n elemandan seçilen k elemandan oluşan herhangi bir kümedir
İLE N k =
Örnek 3
Turist grubunun 15 üyesinden üç görevlinin seçilmesi gerekmektedir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
İLE 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455(yol)
Olasılık
Tanım 5
Bir olayın olasılığı A, bir testin olumlu sonuçlarının N(A) sayısının tüm eşit olası sonuçların N sayısına oranıdır.
P(A)= N(A)/N
Örnek 4
Geometri alanındaki 25 sınav kağıdından öğrenci 11'ini ilk ve 8'ini sonuncu olarak hazırladı. Sınavda kendisinin hazırlamadığı bir bilet alma olasılığı nedir?
P(A)=(25-11-8)/25= 0,24
Olasılıkların eklenmesi
Tanım 6
C olayı, iki uyumsuz olaydan birinin meydana geldiği anlamına geliyorsa: A veya B, bu durumda C olayının olasılığı, A ve B olaylarının olasılıklarının toplamına eşittir.
P(C)=P(A)+P(B)
Zıt olayların olasılıklarının toplamı 1'dir
P(A)+P( A )=1
Olasılıkların Çarpılması
Tanım 7
C olayı, iki bağımsız A ve B olayının ortaklaşa meydana gelmesi anlamına geliyorsa, C olayının olasılığı, A ve B olaylarının olasılıklarının çarpımına eşittir.
P(C)=P(A)*P(B)
Olasılık
Olasılıkların toplamı
İki olayın olasılıklarının toplamı, bu olayların çarpımlarının olasılıkları ile bu olayların toplamının olasılıklarının toplamına eşittir.
P(A)+P(B)= P(A*B) +P(A+B)
Tutarın olasılığı
İki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamı ile bu olayların olasılıklarının çarpımı arasındaki farka eşittir.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)
Sorun 1
Çözüm
Durum
Her birinin olasılığı isabetler eşittir 0,8.
Bir biatloncu hedefe 5 kez atış yapar. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun hedefleri ilk 3 kez vurması ve son 2 kez kaçırma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Her birinin olasılığı kayıp 1-0,8'e eşit= 0,2 .
Olasılık çarpımı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
P(bir )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2
P(bir )= 0,02048 0,02
Cevap: 0,02
Sorun 2
Durum
Çözüm
Masal Ülkesinde iki tür hava vardır: iyi ve mükemmel ve sabah bir kez oluşan hava, gün boyu değişmeden kalır. Yarınki havanın bugünkü ile aynı olacağı 0,6 olasılıkla biliniyor. Bugün 18 Eylül, Masal Diyarı'nda hava güzel. 21 Eylül'de Periler Diyarı'nda havanın güzel olma olasılığını bulun.
18 Eylül'de hava güzel olduğuna göre 19 Eylül'de hava 0,6 olasılıkla iyi, 0,4 olasılıkla mükemmel.
19 Eylül'de hava güzelse, 20 Eylül'de havanın iyi olma olasılığı 0,6*0,6=0,36'dır.
Havanın mükemmel olma olasılığı 0,6*0,4=0,24
Benzer şekilde, 19 Eylül'de hava mükemmelse, 0,4 * 0,6 = 0,24 olasılıkla 20 Eylül'de hava mükemmel olacaktır. 20 Eylül'de havanın güzel olma ihtimali 0,4*0,4=0,16'dır.
Benzer şekilde akıl yürüterek, 21 Eylül'de havanın mükemmel olma olasılığının toplamın olasılığına eşit olacağını buluyoruz: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496
Sorun 3
Durum
Çözüm
Otomatik bir hat pil üretir. Bitmiş bir pilin arızalı olma olasılığı 0,02'dir. Paketlemeden önce her pil bir kontrol sisteminden geçer. Sistemin arızalı bir pili bloke etme olasılığı 0,98'dir. Sistemin yanlışlıkla çalışan bir pili bloke etme olasılığı 0,03'tür. Rastgele seçilen bir pilin kontrol sistemi tarafından bloke edilme olasılığını bulun.
A = olayı olsun (pil bloke edilecektir), o zaman bu olayın meydana gelme olasılığı olayların kesişimlerinin birleşimi olarak bulunabilir.
P(A)=0,02*0,98+0,98*0,03
P(A)=0,98(0,02+0,03)
P(A)=0,98*0,05= 0,049
Cevap: 0,049
Edebiyat
- Makarychev Yu.N. Cebir: istatistik ve olasılık teorisinin unsurları: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için el kitabı. Kurumlar. Yayınevi "Prosveshcheniye", 2003
- Mordkovich A.G., Semenov P.V. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Bölüm 1. Genel eğitim kuruluşları için ders kitabı. Yayınevi "Mnemosyne", 2015
- Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu. Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2016'ya hazırlık. Yayınevi "Legion" LLC, 2015
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Birleşik Devlet Sınavı 2016. Matematik. Olasılık teorisi. Çalışma kitabı. Yayınevi MCNMO, 2016
